Đang tải... (xem toàn văn)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần III) 201. 2 2 2 1 4 3 0 22 9 18 4 3 76 x x y y x y x 202. 6 3 2 2 9 28 30 2 3 x y x y y x x y 203. 2 2 2 3 3 3 x y x x y x y x x 204. 2 3 2 2 2 1 2 1 log 1 1 log 2 x y x y y x 205. 2 2 2 2 1 3 1 3 0 x x xy y x y y y xy x 206. 2 2 2 5 0 2 5 1 0 x y xy x y xy y y 207. 2 2 2 2 3 2 2 2 3 0 2 3 2 6 1 0 x y x y x xy y x y y 208. 2 4 3 3 2 2 4 2 227 2 2 5 1 454 x y y x x x y x x 209. 11 10 22 12 4 4 2 2 7 13 8 2 . 3 3 1 3 x xy y y y x y x x y 210. 2 4 16 2 3 x y x y x y x y x 211. 2 4 2 4 2 2 2 2 1 2 3 2 3 x y xy y x y x y x 212. 2 3 2 2 4 3 8 13 x x y x y 213. 3 3 6 2 2 2 2 3 3 2. 3 10 3 2 4 5 3 x y x y x xy y x x y y 214. 2 2 2 2 1 1 4 6 4 6 x x y y x x y y 215. 3 3 2 3 3 1 3 2 42 2ln ln 2ln 0 3 x y xy y x y x x x y 216. 2 2 3 3 1 2 1 2 2 1 2 68 15 x y xy x x y 217. 3 3 2 2 2 2 3 10 12 6 2 3 x xy y x y x x y x y xy 218. 2 1 2 3 3 2 2 2 2 6 x x y x y x y x y x y 219. 3 2 3 3 2 4 3 1 2 2 3 2 2 14 3 2 1 x x x x y y x x y 220. 3 2 2 2 1 1 1 1 10 x x y x y y x y y 221. 2 2 3 2 2 2 2 3 4 0 1 3 x y xy y x y xy x y xy x y 222. 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 6 12 13 x y x y y x x x y x x y x 223. 4 2 2 4 4 3 4 9 7 3 3ln 0 64 32 8 3 x y x y x y x x y x y y 224. 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 3 y x y x x x x y y
Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần III) x 1 x y y 201 22 x y 18 3x 76 x2 y x2 x y 203 x2 y x x x x 1 xy 3 y x y 205 y y 1 xy 3 x x y x y 28 y 30 202 2x x y x y x 1 y 1 204 log y 1 log x x y xy x y 206 2 xy y y x2 y 2 x y 207 2 x xy y 3 x y y 209 211 213 215 217 219 x11 xy10 y 22 y12 4 2 7 y 13x y x 3x y 1 2 x y xy y x y x y2 x x y 3x y 3x 10 xy y x x y y 3 x y xy y x y x 2ln x ln x 2ln y 3x 10 xy y 12 x3 y x2 y x 2 x y xy 2 x3 x 3x x3 y y x 14 x y x y xy y x y 2 xy x y 3xy x y 2 y y x x x 3 208 x y x x 454 227 x y x y 4x y 210 x 16 y 3x x x2 y 212 2 x y 13 214 216 218 220 x2 x y y x x y2 y x y xy 68 15 x x y 2x x y 3x y x y 2 x y x y x3 x y x y y x y 1 y 10 x3 y x y y x x x y 221 222 2 x 3x y 12 x 13 y x y 4 x y x y2 x 1 x 223 x y x y x y 224 x 3 3ln 0 x x2 y 64 32 y 3 y2 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 1 2 x y 2 x y 225 y x2 x 2y x3 y x y x y 1 227 3 y 3x 14 x 14 y 2x 4 9x y x y 226 x 1 y 18 x2 y 30 x 18 y 228 45 y 20 x x y 5 y y 2207 y 1 1 x 229 230 2 5 x y 11x 12 y x y xy x y 10 x 14 xy y 1 2 2 x y x y 3x y 231 y x4 x 2y x x2 y x x x2 y 232 x 3x y 65 y 3 y y x 1 y x y 233 y y x 3y y y 10 x y 3 y x 235 x 2y y 1 x 1 3x3 y xy 234 3 2 x y 3xy x y y x 12 237 3x ( x y )2 x3 y y x x y y xy 238 y x x10 y10 x y 239 241 243 245 247 x y x2 y x2 y 2 y x x y 2 1 x y x x y 22 y 12 x y y 4x y 3y 4x 2 y x y x y x x y 2 y y x 1 y x 1 4 x x y x y x x y x y x x 1 y x x 1 y Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình x 1 y 1 236 72 xy x y 29 x y x y 4x y x x 240 2 y x y x y y y x 12 32 x x 242 40 x x y 14 x 3x y x y xy 14 244 2 x y x 14 xy y 36 2 x 17 x 13xy 246 2 y 10 y 13xy x y xy x y xy 248 x y xy 3x y xy Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam xy x y 249 x3 y x y 243 251 253 255 257 259 261 263 x 1 y 1 x x 1 y y 1 3 x 3x x y x y 2 x3 x 3xy 3x y 3 y x x y 2 x y 3 xy 2 x y x xy y x y x y 33 y x y xy 45 2 xy x y x3 x y 1 3x xy y x 1 y y x 3y y 1 x x y y x x y x e x y ln y x e x x x2 x y y 2 x y 3x y 8 y xy x y x3 13 265 3 x 5x x y 6 x y x y y 1 x 267 x2 x y 1 x 18 x 20 2x 9x 2 x x y 269 x y y 5y y y xy 1 y 1 250 x xy 1 x2 x xy y x y 252 2 x x y y x y x2 y x y 254 xy xy x y y x x3 3 256 x y x 1 12 x y 258 y y 2x x2 y x y 260 x y y x xy y 262 x5 y 31 x3 y 6 x y y 35 264 2 5 x y xy x 13 y x y xy x y 266 2 x y 2 2 x x y x x y 268 76 x 20 y x x 1 y 12 x 3xy x3 3x y x y 271 2 x xy 3x xy 13 y xy 270 xy y 1 y x3 y 55 64 272 xy y y 3 12 51x x x 2007 y 273 2007 x y 1 y 4 x x y 274 xy x y x y 1 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 2 x y y x 3x x x x y 1 y y 275 276 2 x y 2x y x y 2 x xy y x2 x y x y 7 x 7 0 y 1 x 1 xy 277 278 3x 35 x 98 3x 21 y x y x7 y x y x2 2 x x y 34 xy x 279 2 y x y 34 xy y 281 283 285 287 289 291 293 295 2 x x y log3 x log y 2 y x x 32.2 y 260 1 x x 1 x x y y 2 32 x x x y 2 x y x y 2 x 1 x y 2y y x 1 x3 3x y y 3 x y y x 2010 2011 2012 y 2013 x 2010. y 4024 2012 y 3xy 17 x 27 x3 3x 13 y 2 x y xy y x 10 x y xy 18 x 22 y 31 2 2 x y xy x 46 y 175 y x3 log 2 log x 2x y y y x 1 y x 11y x2 x x3 11y 12 y 41 297 y y 11x 12 x 31 x2 4x2 y x y 8x2 y3 299 8 x y x y x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình x y 3xy x 2 280 y x yx y x y y x xy 282 x x2 y y x2 y 2 x y 284 x 12 x y 19 x2 y 286 x y 1 xy 2 x y 288 x 12 x y 19 x3 3xy x y xy x 290 2 y yx y y xy x x y 4 13x 292 x y 3x y xy x y 294 3 4 x 12 x x y y x 1 1 y 1 x 296 xy x y x y x y x 1 x x 3 y 298 2 6 y x y y x 28 x 300 2 xy x y x 18 Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam CÁC BÀI GIẢI Bài 201: Điều kiện y 3x Không khó để phát hàm số phương trình thứ hệ Phương trình thứ x x y y (*) hệ tương đương với: Hàm số có đạo hàm f ' t 3t nên hàm số f t Xét hàm số f t t t đồng biến Mặt khác (*) có dạng: f x f x x 3 y x 3 y 2 3 y x y x Thế vào phương trình thứ hai ta được: 22 x x 18 3x 76 (**) không nghiệm (**) 4 Xét hàm số g x 22 x x 18 3x 0; Hàm số có đạo hàm: 3 27 16 27 4 27 g ' x 36 x3 64 x 36 x x 36 x x x 9 3 3x 3x 3x 27 4 4 ) nên hàm số g x Với x 0; g ' x (do x x x 3 3x 3 4 nghịch biến 0; Mặt khác thấy f 1 76 nên (**) x y x2 3 Vậy hệ có nghiệm x , y 1;2 Bài 202: Điều kiện x Phương trình thứ hệ tương đương với: x6 x y y 28 y 30 x x 1 y 3 y 3 1 (*) Xét hàm số f t t t Hàm số có đạo hàm f ' t 3t nên hàm số f t Nhận thấy x = x = đồng biến Mặt khác (*) có dạng: f x f y 3 x y y x Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: x x x2 x x2 x x2 x x y x x 2 x x 3 x x 3 x 1 x x y 1 Vậy nghiệm hệ x , y 3;6 , 2;1 Cách giải khác: Khi nhẩm nghiệm phương trình x = 3: x x x x x x x 3 x 2x 0 2x x x 3 x x (**) 2x 2x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam +) Với x = y = +) (**) tương đương với x 2x 3 Với x ; hàm số g x x 2 x đồng biến (dễ thấy x tăng g x tăng) Mặt khác ta lại có g nên (**) x y 1 Cách làm chấp nhận dường chưa thuyết phục! Bởi nghiệm x nhẩm mà phải sử dụng đến máy tính bỏ túi Bài 203: Điều kiện x x y Với điều kiện phương trình thứ hệ tương đương với: x y x 3 x x y x x y x x x x2 y x2 Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: x x x x Đến để làm gọn ta dùng cách đánh giá: +) Nếu x +) x = thỏa mãn (*) x2 x x x 12 , không thỏa mãn +) Nếu x x x , không thỏa mãn nốt Vậy x = 1, thay vào (*) ta được: y y Vậy hệ có nghiệm x , y 1;8 1 Bài 204: Điều kiện x x x x Với điều kiện phương trình thứ hai hệ tương đương với: 2 log y 1 log y xy 3x x x x y x 1 y x y xy x y (1) Lúc hệ viết lại thành: 2 3x xy (2) 3x xy Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: x y3 x xy xy y x xy y xy x y x y x x y y x y x y x y x y 1 x y x 1 y +) Với x = y thay vào (2) ta được: 3x x3 x x 1 (thỏa mãn) x2 y +) Với x y y x 1, thay vào (2) ta có: 3x x x 1 x x x (thỏa mãn điều kiện) – Nếu x y x y Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình 6 Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 6 6 2 6 2 Vậy nghiệm hệ x , y 1; 1 , 2;2 , 1 3; , 1 3; 2 3 y y y Bài 205: Nếu x = hệ trở thành: y y 1 y y 1 Nếu x khác phương trình thứ hai hệ tương đương với: xy x Thay vào phương trình thứ hệ ta được: y y 1 x x 1 x y x x 1 y y x x y x 4 x y x y x x y x y x y x – Nếu x y y x2 y x (do x nên x y ) y x x Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: y x x xy 3 x x xy y 3 xy y y 2x 1 phương trình trở thành = 0, vô lý x ) 2 Lại tiếp tục vào y phương trình thứ ta được: 3x 2 x x 1 x 2x 2x 2x 3x 3x x x x 1 3 0 x x x 1 2x 2x 2x 2x 2x x2 x 1 x x x 1 x x3 x 3x 10 1 x x 2 y 1 2x x x 1 x x (thỏa mãn) x 1 y 1 2x Vậy nghiệm hệ x , y 0;0 , 2; 1 , 1;1 Bài 206: Rõ ràng thấy y = không thỏa mãn phương trình thứ hai hệ nên y phải khác y2 y Lúc phương trình thứ hai hệ tương đương với: x 2y Thế x vào phương trình thứ hệ ta được: (dễ thấy x = y2 y y2 y y2 y y 5y y 2y 2y 2y y y 1 y y 1 y y y 1 20 y (nhân hai vế với 4y) Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 1 1 1 y y 3y y y 2 1 1 5 5 y x x y 2 2 1 1 5 5 y x x y 2 2 5 1 1 ; ; Vậy hệ có bốn nghiệm x , y , 2 2 Bài 207: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ vế theo vế ta được: xy y x y y 3 x y y 2 xy xy x y xy 3x y3 y xy xy x y y 1 x y 1 y 1 y 1 y 1 y x +) Với y 1 , thay vào phương trình thứ hệ ta được: x2 x y 1 y 1 x y 1 y 1 y 3 , thay vào phương trình thứ hệ: x 3x x 2 +) Với y x , thay vào phương trình thứ hệ: +) Với y x x 3 x 1 x x , vô nghiệm 3 1 3; 1 , ; 2 Cách giải khác: Phân tích hệ để đưa hai phương trình hệ dạng: x y 2 x y x y x y 3 Đến ta đặt ẩn phụ a x y b x y để giải hệ hai ẩn Dường cách giải “có hệ thống” hơn, không dễ phát việc phải trừ hai vế hệ cho Bài 208: Điều kiện y x Biến đổi phương trình thứ nhất: Vậy hệ có bốn nghiệm x, y y y x x x y x x y 3x y x2 y yx x 3x y x y x y yx x 3x 2 y x2 2 y x2 2 y x2 y yx x 3x x y y 3x x y Rõ ràng x = y = không thỏa mãn phương trình thứ hai hệ, loại Thế 2y x vào phương trình thứ hai hệ ta được: 227 x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình x x x 454 (*) Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Xét hàm số f x 227 x x x x x 1 Đạo hàm f ' x 227 x. 1 x x x 227 x ln 227 x 2x x x2 x f ' x 227 x. x x x 227 x ln 227 x 2x f ' x 227 x x x x ln 227 x 2x 1 1 Ta có: ln 227 ln 227 2 2 x 2x x 2x x 1 x x2 2x x x 1 x 1 Từ hai điều suy f ' x x Mặt khác x 1 x x f 1 454 nên phương trình (*) có x2 2 1 Vậy nghiệm hệ x , y 1; 2 Bài 209: Với y = thay vào phương trình thứ ta x = Rõ ràng cặp số không thỏa mãn hệ, nên ta phải có y khác nghiệm x y 11 x x Lúc chia hai vế phương trình thứ cho y ta được: y11 y (*) y y Xét hàm số f t t11 t Đạo hàm f ' t 11t10 nên đồng biến Mặt 11 x x khác (*) lại có dạng f f y y y x (suy x > 0) y y Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: 13 x 13x x x 3x 3x 1 3 x x x x x 12 10 x x x x x x x 3 2 2 1 2. 1 x x x x x x Xét hàm số g t t 2t Hàm số có đạo hàm g ' t 3t nên hàm số g t đồng biến Mặt khác (*) có dạng: 3 2 2 g 1 g 1 x x x x x x x x x 13 1 5 89 1 x 1 x x x x x 16 x x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 1 5 89 89 89 , ta lấy x y x x x 16 89 89 ; Vậy nghiệm hệ x , y Do x > nên Bài 210: Điều kiện x 4, y 3x 4x y Bình phương hai vế phương trình thứ hệ ta thu được: x x y x y y x x y y 2x x y (do y 3x x ) y xy y y y x y x (do y 3x ) y x Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: x 16 x x 16 x 5 x x5 x 5 x (thỏa mãn) x 16 x x 16 x x5 x5 x5 (Dễ thấy nên biểu thức ngoặc vuông 1 1 x x 16 x2 x dương) Với x = ta tìm y = 16 Vậy nghiệm hệ x , y 5;16 x 25 Bài 211: Điều kiện x y x y xy y xy x y xy y Thấy 1 y , nên ta nhân liên hợp với “lượng chứa căn” vế trái phương trình thứ dạng hiệu hai bình phương xy 1 y Biểu thức lại có liên hệ với 3y vế trái, ta thử thực phép nhân liên hợp Điều ý thực phép nhân liên hợp phải ý đến điều kiện biểu thức liên hợp khác (+) Nếu y = phương trình thứ hệ trở thành: , vô lý! (+) Nếu y khác phương trình thứ hệ tương đương với: x y xy y 2 y 3 x y xy xy xy 2 1 y 1 y 2 y 2 y xy y xy 1 y 2 y 2 xy y y xy 1 xy y 2 xy 1 y 2 y xy y Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 10 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam y 3 y x x 7 2 x7 x7 y y 0 3 3x 14 x 2. x7 x7 2a3 2a b3 2b (1) y Đặt a b x ( b ) hệ trở thành: x7 (2) 3b 3b 2a a Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: 2a3 2a2 3a 2b3 2b2 3b 2a3 2a 3a 2b3 2b2 3b (*) 3 2 2 a b a b 3 a b a b 2a 2b 2ab 2a 2b 2 a b a b a 1 b 1 1 a b a b Với a = b, thay vào phương trình (2) ta được: 3a3 2a 2a a 1 3a 5a a b x 6 y (thỏa mãn điều kiện) x 1 x7 y 1 Vậy nghiệm hệ x , y 6;1 Lưu ý: Có thể giải (*) phương pháp hàm số Xét hàm số f t 2t 2t 3t Từ suy Hàm số có đạo hàm: f ' t 6t 4t 2t 1 2t t Mặt khác (*) có dạng f a f b nên (*) a b Bài 278: Điều kiện x y 1 Đầu tiên ta chứng minh rằng: (*) x 1 y 1 xy Thật vậy: x y2 x y xy x 1 y 1 (*) x 1 y 1 xy x y xy xy x y 2x y 2xy x y xy xy x y 2xy x y xy x y xy nên f t đồng biến xy xy xy x y xy , x , y Như (*) chứng minh Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có: x y xy x y xy Ta nhân vế theo vế (*) với (**) ta được: xy 1 2 xy y x 1 1 2 x y 1 x 1 y 1 xy xy x 1 y 1 (**) Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 49 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam xy x y (***) y 1 x 1 xy Kết hợp với điều kiện xác định (***), ta có phương trình thứ hệ tương đương với x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3 2 1 0 2x 2x x 1 x x 1 x x 2x 2 x 1 3 1 x x 4 x 1 x x x 1 x 1 1 1 3 2 x x x (thoả mãn) y x 1 x 1 1 x 4 (dễ thấy biểu thức dấu ngoặc vuông dương với x ) Như nghiệm hệ x, y 2;2 Bài 279: Điều kiện: x y Trừ hai vế hai phương trình hệ ta được: x2 y 3xy x y x y x y x y x 2y x 2y 2 x y y 2x +) Nếu x = 2y Từ điều kiện ta có 2y y Lại tiếp tục kết hợp với điều kiện ta có y = x = Thử lại thấy không thoả mãn hệ +) Nếu y = – 2x, thay vào phương trình thứ hệ ta được: x2 x 2 x 34 x 1 x x x 3x x 2 x 34 (*) Từ suy điều kiện x x Xét hàm số f x x 3x x 2 x 34 ;0 1 x ;0 nên f t nghịch Hàm số có đạo hàm: f ' x 12 x 2x 2 x biến ;0 Mặt khác (*) có dạng f x mà f 2 nên (*) x 2 y Vậy hệ có nghiệm x , y 2;5 Bài 280: Điều kiện: x y Từ hai phương trình hệ dễ dàng suy x y Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta được: x y xy y x xy y x 3xy x y Thế (1) vào phương trình thứ hệ ta được: x y 2 x y 2 x y x y 1 (1) (2) Dễ thấy x = từ (1) ta suy y = 0, không thoả mãn hệ Tương tự ta có y khác Nhân chéo (1) với (2) vế theo vế ta được: x y x y x y 3xy x y x y 3xy Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 50 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam x 2y x 3xy y x y x y y 2x +) Nếu x = 2y, thay vào (2) ta được: y y y 1 y3 1 y3 7 7 7 y3 x 23 27 27 27 7 7 y 23 27 27 7 7 7 7 , ;2 ; Vậy nghiệm hệ x , y 27 27 27 27 Bài 281: Điều kiện x y Xét trường hợp: +) Nếu y = 2x, tương tự thay vào (2) ta được: x log3 x 1 log y 1 log3 x 1 log y 1 x +) Nếu x y 2 x y 20 x y 0 2 2 x Từ suy vế trái phương trình thứ âm, vế phải phương trình thứ âm dương, không thoả mãn +) Nếu x = y, thay vào phương trình thứ thấy thoả mãn +) Nếu y x , tương tự trường hợp x y ta điều mâu thuẫn, loại Như phương trình thứ hệ tương đương với x = y > Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 2 2 x x x 32.2 x 260 x x x 2.2 x 16 256 x x 16 x2 x (thỏa mãn) y 2 16 Vậy hệ có nghiệm x , y 2;2 Bài 282: Hệ phương trình hay lạ! Trước hết ta thấy x = 0, thay vào phương trình thứ hệ ta tìm y = Rõ ràng không nghiệm hệ phương trình x Tương tự ta suy y Với x, y khác ta biến đổi tương đương hệ phương trình cho sau: y2 x2 y2 x2 7 7 y x y x 3x 6y 2 x x2 x y y y x 3 x y2 y x2 y2 7 y x 2 2 y 6 x 1 1 x y x2 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 51 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam y2 Đến ta đặt a ( a , b 1) hệ trở thành: y b a a b b a 3a 30 6 2 2 2 a 1 b 1 a 18 a a 1 a x2 , b x b a 2a 11a 14 a ab (thỏa mãn) 3a 30 a 1 a 8 b a b (+) Nếu a = b = thì: x 0, y x 15 2 2 x x y 6 x2 15 45 x 12 x y 2 y y y 30 45 y 24 15 (+) Nếu a = b = thì: x2 x 0, y x 2 x2 x x 3x 2 y y 6 y 5y 5 24 y y 15 30 ; Tóm lại hệ có hai nghiệm x , y 1; , 15 15 Bài 283: Điều kiện x y Nhận thấy x = phương trình thứ hệ trở thành: 1 x x x x x 1, mâu thuẫn Như nên x > Lúc chia hai vế phương trình thứ cho x ta được: 1 x x x y y x x y y (*) x x x Xét hàm số f t t t D = 0; Hàm số có đạo hàm: f ' t 2t x D nên hàm số f t đồng biến D Mặt khác (*) có dạng 1 x f f x y 1 x 1 x y y x x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 16 x 1 x 16 x (**) x x Đặt t x (1 t ) (*) trở thành: 2 16t 16t 5t 2t 1 4t 4t 3t 2t t t (dễ thấy với t 4t 4t 3t ) Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 52 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 1 Với t x t y 1 Vậy nghiệm hệ phương trình x, y ;3 4 Bài 285: Điều kiện x Phương trình thứ hệ tương đương với: Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: y x 1 y x 1 y y2 y y2 y 2y x 1 y x y y2 y y y x y x y y y +) Nếu y = 0, thay vào hệ ta tìm x = +) Nếu x 2y y x 1 x 1 1 x 1 x 1 x y x y y y x Đặt t x ( t x ) phương trình trở thành: t y t y y yt y t y 4t yt y t 1 y t t y x t y 1 y y (Điều kiện: t nên y ) Thay trở lại vào phương trình thứ hệ ta được: 2 y y y y 1 y y y 2 y y 3 y y , y 0 y 2 16 y y y y 4 y 12 y y 16 y 0 y 0 y y (*) 3 y y 12 y y 16 4 y 12 y y 16 Thấy (*) xảy với y bị chặn thì: 5 3 3 y 12 y y 16 y 16 4. 16 2 Với y = 0, thay trở lại hệ ta lại tìm x = Như hệ có nghiệm x , y 0;0 Cách giải khác: Trường hợp y khác hệ tương đương với: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 53 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam x x 1 x x 1 y y 2 y y x x x x y y x x y y y2 x y y y y y x x 1 y y x y (**) (1) y y xyy x x y (2) x x 1 y y 1 y 1 y x y2 y Kết hợp với (2) suy y (**) x x Lại kết hợp với (1) ta 1 có: y y x y , vô lý loại 2 Bài 286: Phương trình thứ hệ số , làm ta liên tưởng đến phương pháp lượng giác hóa Ta đặt x sin t y cos t ( t 0;2 ) phương trình thứ hai hệ trở thành: 2 sin t cos t 1 4sin t cos t sin t cos t 1 2sin 2t 6 sin t cos t 2sin t sin 2t 2cos t sin 2t 6 sin 3t cos3t sin 3t sin 3t 4 4 7 k 2 3t k 2 t 36 k 2 3t t 11 k 2 k 2 36 17 41 65 13 37 61 ; ; ; ; ; Vì t 0;2 nên ta tìm giá trị t là: t 36 36 36 36 36 36 17 41 65 13 37 61 ; ; ; ; ; Vậy x, y sin t ;cos t t 36 36 36 36 36 36 sin t cos t cos t cos3t sin t sin3t x x Bài 287: Điều kiện y y y y2 y Với điều kiện ta viết lại phương trình thứ hệ thành: x3 3x y y x 1 3 x 1 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình y3 3 y 3 (*) Trang 54 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Xét hàm số f t t 3t 3; Hàm số có đạo hàm: f ' t 3t t , từ suy f t đồng biến 3; Mặt khác (*) có dạng f x 1 f y nên: (*) x y x y Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: x y2 y 9 x 2 y2 y y y2 y y y 18 y y 1 y 1 y 0 2 y3 y 1 y 1 y y 1 y y 2 y3 2 y3 (Dễ thấy biểu thức dấu ngoặc vuông dương với y không âm) Với y – = y x Vậy nghiệm hệ x , y 3;1 Bài 288: Điều kiện x y Phương trình thứ hệ tương đương với: x 8 y 5 (*) x y 1 x4 2 y 1 +) Nếu x từ (*) suy y > Như ta có: x 12 x y 12.8 52 19 , mâu thuẫn phương trình thứ hai hệ, loại +) Nếu x từ (*) suy y < Tương tự ta lại có: x 12 x y 19 , không thỏa mãn +) Nếu x = từ (*) suy y = Cặp số thỏa mãn hệ cho Vậy nghiệm hệ x, y 8;5 Bài 289: Đặt a x 2010 b y 2013 hệ cho trở thành: 1 a 2011 2012b a 2012b 2011 (1) a b 2011 2012 b3 2012 2011 (2) a Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: 2012 1 b 1 b3 b b b2 2012 b a a a a a a 1 1 b b b2 2012 b b a a a a a 2 b b 3b 2012 với a, b) (Dễ thấy b 2012 a a a 2 Thế trở lại b vào phương trình (1) ta được: a Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 55 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam b 1 a 1 b 8045 b3 2012b 2011 b 1 b b 2011 b a b 1 8045 b a b 1 x a 2010 Ta có: Thế a, b vào ta tìm ba nghiệm hệ là: y b 2013 8045 8045 8045 2010; 2013 , x, y 2009;2012 , 8045 8045 2010; 2013 8045 Bài 290: Hệ phương trình hệ khó, có cách giải đặc biệt liên quan tới số phức Ta viết lại hệ sau: x x y xy x y xy x (1) 2 2 y y x x y x y xy y (2) Lấy phương trình (1) trừ cho phương trình thứ hai nhân i ta được: (i đơn vị ảo số phức) x x y xy x y 2xy x i y y x 2x y x y 2xy y 1 x y x yi xy xi y x y 1 i xy 1 i x yi i x2 y x yi xyi x yi x y 1 i xyi i 1 x yi i 2 2 x yi x xyi y 1 i x xyi y x yi i x yi 1 i x yi x yi i Đặt z x yi phương trình (*) trở thành: (*) z i z 1 i z z i z i z z i 1 z z i 1 +) Nếu z i 1.i x = y = 1, thử lại thỏa mãn hệ ban đầu +) Nếu z z i (**) Phương trình (**) có biệt thức i 1 4i Giả sử k a bi ( a, b ) bậc hai ta có: 41 10 41 2 2 a b 2 a b b 2 a a 4 2ab 4 a a 5a b a2 10 41 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 56 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 10 41 i 10 41 10 41 1 i 10 41 hay cụ thể là: Như (**) có hai nghiệm z12 Như bậc hai 2 10 41 10 41 2 i z2 i 4 10 41 10 41 10 41 2 10 41 2 , Từ suy x, y ; ; 4 10 41 10 41 Thử lại hai cặp số thỏa mãn hệ cho Như hệ có tất ba nghiệm: 10 41 2 10 41 2 , x, y 0;1 , ; ; 4 10 41 10 41 2 Bài 291: Từ phương trình thứ hai ta rút: xy x y 5x y 10 Thế vào phương trình thứ hệ ta được: y3 3x2 y 15x 18 y 30 17 x 27 x3 3x 13 y z1 y3 3x y x3 x y 1 y 1 x3 x 3 y 1 x3 y 1 x y x y 1 x y 1 x 2 (*) 2 x 3x nên: Dễ thấy y 1 x y 1 x y 1 2 (*) y x y x Thế trở lại vào phương trình thứ hai hệ ta được: x 1 y 2 2 x x 1 x x 1 x 1 x 10 3x x x y 3 5 8 Vậy hệ cho có hai nghiệm x, y 1;2 , ; 3 Bài 292: Điều kiện: x y 3x y Phương trình thứ hai hệ tương đương với: x y 3x y x y 3x y x y 3x y 1 x x 3x xy y x 3x xy y 1 x x y 2 x (*) Thế x y x vào phương trình thứ ta được: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 57 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam x 1 x 1 13x 16 x 21x x 16 2 nên ta lấy nghiệm x = Thế trở lại vào (*) ta được: 1 y y Vậy hệ có hai nghiệm x, y 1;1 Do x Bài 293: Hệ phương trình bậc hai ẩn có cách giải thú vị Ý tưởng cách giải đưa hệ phương trình dạng đẳng cấp! Đặt x u a , y v b hệ phương trình trở thành: u a 2 3 v b 2 u a v b 18 u a 22 v b 31 2 2 u a v b u a v b u a 46 v b 175 u 3v 4uv 2a 4b 18 u 4a 6b 22 v a 3b 4ab 18a 22b 31 2 2 2u 4v 2uv 4a 2b u 2a 8b 46 v 2a 4b 2ab 6a 16b 175 Ta đưa hệ hệ đẳng cấp với u, v (với a, b số), tức ta phải có: 2a 4b 18 4a 6b 22 a 5 b 4a 2b 2a 8b 46 u 3v 4uv (1) Như ta đặt x = u – y = v + hệ ban đầu trở thành: 2 2u 4v 2uv (2) Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được: u v 2uv u v u v 5 x u v y Với u = v, trở lại (1) ta có: 8u 5 x u v y 2 5; , 5; 7 Hệ có hai nghiệm x, y 4 Nhận xét, cách giải khác: Chúng ta thấy cách giải hay, cần làm nháp để tìm a, b trình bày vào làm ngắn gọn Tuy vậy, cách giải có hạn chế toán áp dụng cách giải Thật vậy, hệ phương trình hai ẩn a, b có nghiệm nên giải toán theo cách đẹp trên, chúng nghiệm hướng giải theo cách đẳng cấp “dừng lại” Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 58 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Sau xin trình bày thêm cách giải hệ phương trình bậc hai nói (từ lời giải rút cách giải tổng quát) 3 y 22 y 31 +) Nếu x = hệ cho trở thành: , vô nghiệm 4 y 46 y 175 +) Nếu x khác Lúc ta đặt y tx ( t ) hệ phương trình lúc viết lại thành: 3t 4t 1 x 18 22t x 31 2 4t 2t x 46t x 175 Xem hệ phương trình bậc hai ẩn x x hệ có định thức là: a b D ab ' a ' b 50t 50t 58t 42 1 t 5t 5t 3 a' b' Dx2 b c bc ' b ' c 3336 2424t b' c' c a ca ' c ' a 401t 638t 113 c' a' 7 3 +) Nếu D = 0, trường hợp t = 1, t = t = không tìm nghiệm 5 hệ 7 3 +) Nếu D khác 0, tức t 1, t t hệ có nghiệm là: 5 Dx2 x D x Dx2 Dx D D.D x x2 D D2 x Dx D Dx 401t 638t 113 1 t 5t 5t 3 3336 2424t 39601t 223676t 471462t 439484t 152881 281 24 199t 562t 391 t 199 Từ thay trở lại vào hệ ban đầu để tìm x, y Các giải có ưu điểm tổng quát có nhược điểm hệ số giải phương trình tìm t thường lớn nghiệm t dạng chứa thức thay vào phương trình ban đầu rắc rối việc biến đổi (ví dụ toán này) Với toán trên, ta áp dụng cách giải cộng đại số: Phương trình thứ cộng K lần 1 582 616298 582 616298 ; phương trình thứ hai tìm K ; 1; 1364 1364 7 Với số đẹp K = –1 ta thu phương trình: x y xy 24 x 24 y 144 x y 12 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 59 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Hay với K = ta cộng lần phương trình thứ với phương trình thứ hai ta được: x2 25 y 30 xy 120 x 200 y 392 5 y 20 2 x Xem phương trình ẩn x tham số y ta giải được: 5 y 20 2 x Từ ta thấy “sức mạnh” cách làm cộng đại số hai phương trình lại với nhau! Bài 294: Hệ cho tương đương với: y x 1 x 3 4 x 1 y x 1 y Đến ta đặt z x hệ trở thành: yz z yz z yz z 3 3 4 z y yz y 4 z y y z 4 z 3zy y yz z z y z y y z y 2z z z (*) (**) 17 0 y 2z z 2 z z (Phương trình (*) vô nghiệm nên ta loại hệ khỏi hệ thống) 17 17 y 2x x x 4 Ta lại thay z x hệ (**) trở thành: 17 x y 17 y 17 17 17 17 17 , , Như hệ cho có hai nghiệm x , y , Bài 295: Điều kiện x , x y x3 Phương trình thứ hai hệ tương đương với: y3 y x y x 11y x x 11x y 12 xy y x y x y 3x xy y x y x y 3x xy y 1 x y y x (dễ thấy 3x xy y x y 2x x dương) Thế vào phương trình thứ hệ ta được: x log log 16 log x x3 log x log log x 2x 2 16 x 4x 1 log x 16 log x log16 x 4log16 x log16 x log16 x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình (*) Trang 60 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 1 Đặt t log16 x ( t ) phương trình (*) trở thành: 4t 1 t (thỏa mãn) x 16t 16 y x 4t 1 4t t Như nghiệm hệ phương trình cho x, y 2;4 x y, x y0 x 0;1 y 1 x Bài 296: Điều kiện x 0;1 x x 2 x y 0; x y y Phương trình thứ hai hệ tương đương với: 2 x y xy x y x y x y xy 2 x y x y x y x y x y +) Nếu x y x y (*) thỏa mãn (*) (**) x Từ ta có nhận xét rằng: x 1 1 x x Kết hợp với điều kiện xác định suy x = 1, không thỏa mãn phương trình (**), loại +) Nếu x – y (*) tương đương với: x y x y x y x y 3 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y (thỏa mãn) x y x y y Thay y = vào phương trình thứ hệ ta được: x 1 1 x x 1 1 1 1 x x x (***) x 1 x 1 11 x x Thế vào phương trình thứ hệ ban đầu ta được: x 1 1 x 1 (***) x x x x x x x x 1 x x x x x x x2 x x 0 1 Kết hợp với điều kiện biến đổi hệ điều kiện xác định hệ ta lấy nghiệm x 1 1 ;0 Như nghiệm hệ x , y Bài 297: Cộng hai phương trình hệ lại với vế theo vế ta được: x4 x3 y y 11x 12 x 11y 12 y 72 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 61 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam x x3 11x 12 x 36 y y 11y 12 y 36 x2 x x x x x 6 y y 6 y y y y Các cặp số tìm x, y 2;2 , 2;3 , 3;2 , 3;3 Thử vào hệ không thấy cặp số thỏa mãn Như hệ cho vô nghiệm Bài 298: Biến đổi hệ cho thành: x x y 7 x y x 2 2 6 y x y 6 y x y +) Nếu x + y = 0, thay vào phương trình thứ hệ ta được: x3 x 2 y x , không thỏa mãn phương trình thứ hai hệ, loại +) Nếu x y (*) hệ tương đương với: 2 2 7 x y x 7 x y x (1) 3 2 6 x y y x y x y 6 x y y x y x (2) Ta có phương trình (2) tương đương với: y3 12 y x x y x3 x3 y 12 y x xy x3 2 y x x y x y Bây ta vào phương trình thứ hai hệ ban đầu ta được: 2 2 x 2y y y2 2 y y2 y (thỏa mãn (*)) 2 2 x y 2 2 2 2 2 2 , , Như hệ cho có hai nghiệm x, y , Bài 299: Ta khai thác phương trình thứ hệ Nhận thấy vế phải chứa lượng có bậc lớn (bậc 5) nên ta tìm cách làm giảm bậc Hơn dấu ngoặc dấu ngoặc thứ hai chứa biểu thức mà nhân lượng liên hợp cho y , nên ta thực phép nhân liên hợp Nhưng trước nhân liên hợp phải xét trường hợp y = (vì y = biểu thức liên hợp 0) Với y = 0, thay vào phương trình thứ hệ ta được: x x , rõ ràng điều vô lý Suy y phải khác Lúc phương trình thứ hệ tương đương với: y2 x2 x2 y x 8x y3 x x y x 2x y y 4y 1 1 x2 x 2x y y2 (*) Nhận thấy hai vế bắt đầu xuất hình thức giống nhau: số hạng chứa số hạng không chứa Đến không khó phát ta phải chia hai vế cho x Dễ thấy x = không thỏa mãn (*) nên chia hai vế (*) cho x ta được: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 62 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam x2 1 2y x2 x Xét hàm số f t t y2 t 1 1 y x x2 y2 (**) Hàm số có đạo hàm: f ' t t t2 t2 0 t nên f t đồng biến Mặt 1 khác (**) có dạng f f y y x y x x Biến đổi phương trình thứ hai: x x y x x y x x x x x x 1 x x 1 x x x 1 y 2x 2 3 1 Vậy hệ cho có hai nghiệm x , y 1; 2 x y x3 28 (1) Bài 300: Hệ cho tương đương với: x y x 18 (2) Từ (2) suy x > Kết hợp với (1) ta có y3 x3 y x Như ta có y x Phương trình thứ hệ tương đương với: 28 28 28 y x3 y x3 y x3 x x x Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: 2 28 28 x x3 x x3 x3 18 x x 28 x x6 28 x x3 18 (*) x x Ta thấy vế trái (*) hàm số đồng biến 0; nghiệm (*) Đây nghiệm dương (*) 28 2y3 8 2 2 Nhận thấy x = Với x = Như hệ có nghiệm x , y ;2 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu hệ phương trình Trang 63