Hệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtHệ phương trình hay và chi tiếtv
BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI, PHƯƠNG PHÁP THẾ VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 33 22 4 16 1 5 1 x y y x yx HD: Thay 22 45yx , hệ có 4 nghiệm 0; 2 , 1; 3 , 1;3 VD2.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 32 8 12 2 12 0 xy x xy y HD: Thay 22 8 12xy từ phương trình đầu vào phương trình hai, đáp số: 2; 1 , 2;1 VD3. (THPT Bỉm Sơn) Giải hệ phương trình 22 22 21 1 21 1 x y y y x x HD: Trừ từng vế, đáp số 2y VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 3 2 4 2 16 3 8 x y x xy y x y x y x ĐS: 2;0 , 1; 3 VD5.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 1 2 2 2 2 2 1 1 2 log 2 y x x x xy ĐS: 2 17 17 1;2 , ;2 log 99 VD6.(THPT Thuận Thành số 1) Giải hệ phương trình: 32 3 2 3 2 5 3 3 10 6 6 13 10 x y x y x x y x x x y y HD: Từ phương trình thứ hai suy ra 2yx , thay vào phương trình đầu, đáp số 2; 0xy VD7.(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 3 3 2 3 7 3 12 6 1 4 1 3 2 4 x y xy x y x x x y x y HD: Từ phương trình đầu suy ra 1yx , thay vào PT thứ hai. ĐS 2; 1 Trang 2 VD8.(THPT Mai Anh Tuấn) Giải hệ phương trình: 2 20 22 x xy x x y y y x x HD: Sử dụng phương pháp thế để đưa về PT đẳng cấp. ĐS 0;0 , 1;1 VD9.(THPT Hậu Lộc 4) Giải hệ phương trình: 2 4 2 2 2 4 2 0 8 3 4 0 x xy x y x x y x y HD: Chia hai vế PT đầu cho x, chia hai vế PT hai cho 2 x . ĐS: 0;0 , 1;1 , 2;1 . VD10.(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 2 2 7 7 8 3 13 15 2 1 y xy y x x y x x ĐS: 3;2 , 3; 2 . VD11.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình: 2 2 10 1 2 0 x y x y x x y y ĐS: 0;1 , 1;2 . VD12.(THTT – Đề 5) Giải hệ phương trình: 2 1 1 1 6 2 1 4 x x y y x x y HD: Cộng vế với vế. ĐS: 0;3 , 1;0 . VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 22 12 2 1 2 3 3 yx xy x y x x x HD: Từ PT đầu có 2yx yx . ĐS: 3;2 3 . VD14.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 1 3 1 4 6 x x y y y x x y x y HD: Từ PT đầu có 2 1yx , thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp. ĐS: 2;3 . VD15.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình: Trang 3 22 5 3 6 7 4 0 2 3 3 x y y x y y x x HD: Từ PT thứ hai có 3; 1y y x . ĐS: 1;2 , 4;5 . VD16.(THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam) Giải hệ phương trình: 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y HD: Đưa về PT đẳng cấp. ĐS: 11 0;0 , ; , 1;1 22 VD17.(THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải hệ phương trình: 2 2 2 30 1 3 1 2 2 0 x xy x x y xy x y y HD: Thế 2 3xy x x vào PT thứ hai. ĐS: 1;3 VD18.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 3 3 22 27 7 8 96 x y y x y y x ĐS: 3 3 3 3 3 3 7 19 7 26 7 215 ; ; ; 2 ; 2 ; 2 19 7 26 7 215 7 VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình: 22 3 61 5 xy x x y x y ĐS: 2; 2 VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 2 1 2 17 0 4 32 x xy y x y xy HD: Từ PT đầu có 2 16x y x , thay vào PT hai. ĐS: 0;8 ; 2;2 ; 6;2 VD20.(THPT Chuyên Lào Cai) Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 22 x y x x y x y y y x y x HD: Từ PT hai có 2xy . ĐS: 33 22 0;0 ; log 4;log 2 VD21.(THPT Cổ Loa) Giải hệ phương trình: 2 3 3 5 3 2 22 99 24 x y y x x x y y x x Trang 4 HD: Từ PT đầu có 33 9yx , kết hợp với PT hai ta có 21yx . ĐS: 1; 2 ; 2; 1 VD22.(THPT Thái Phúc – Thái Bình) Giải hệ phương trình: 3 7 1 2 1 2 4 5 x x y y y x y x y HD: Từ PT đầu có 31 2 yx xy . ĐS: 17 76 2;1 ; ; 25 25 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ VD1. Giải hệ phương trình: 22 2 2 2 2 6 3 7 3 6 2 x y y x xy x x y y x y HD: Đặt ẩn phụ 2 2 3 3 x u x y v y , đáp số: 1 2 15 2 30 1; ; ; 2 15 15 VD2. (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải hệ phương trình: 2 2 2 41 2 7 2 x x y y x x x y y x HD: Đặt 2 1 u x y y v x , đáp số: 2;1 , 5; 2 VD3. (THPT Lý Thái Tổ) Giải hệ phương trình: 33 22 9 3 1 125 45 75 6 yx x y x y HD: Đặt 3 5 ux v y , đáp số: 2 1 5 ;5 , ; 3 3 2 VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 2 3 8 1 0 8 3 13 0 x y y x x x y y HD: Đặt 2 2 3 8 u x y v y x , ĐS 1;1 , 5; 7 VD5. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 58 13 x y xy y x y x y Trang 5 HD: Đặt x y a xy x b , ĐS 3 5 1 5 3 5 1 5 ; , ; 2 2 2 2 VD6. (Chuyên Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 22 13 2 xy x y x y x y HD: Đặt 1 xa y x b y . ĐS 1 1 2;1 2 , 2;1 , 1; 2 VD7. (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 22 3 3 14 14 36 x y x y xy x y x y xy HD: Đặt x y a xy b . ĐS 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ; , ; 2 2 2 2 VD8. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 2 22 2 6 1 7 x x y x xy y HD: Đặt x y a x y b . ĐS 3;2 , 1;2 VD9. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 12 3 4 16 4 5 5 6 x y xy xy HD: Đặt 4 4 x y a xy b . ĐS 3;2 , 1;2 VD10. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 22 4 3 12 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y xy x y xy x y x y x y HD: Đặt 2 2 3 4 x x u y y v . ĐS 3 13 3 13 9 21 ;0 , ; 4 , ; 2 , 2 2 6 VD11. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 1 11 3 xy xy x y y y x x x HD: Đặt 1 u x yv . ĐS 1;0 Trang 6 VD12. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 2 2 1 3 2 4 2 5 3 3 3 6.3 3 2.3 1 2 1 3 3 2 y x y y x y x x y y x HD: Từ phương trình đầu có 21yx , thay vào PT thứ hai. ĐS 11 9 1;1 , ; 42 VD13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 1 1 3 2 4 x y x y xy VD14. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 5 2 15 5 22 4 15 x y x y x y x y HD: Đặt 3 5 x y u x y v . ĐS: 1 58 ; 77 VD15. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 3 1 0 8 3 1 0 x x y y xy HD: Chuyển vế hai PT, nhân từng vế, đặt t xy . ĐS: 3 3 1 4; 4 III. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ VD1. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 1 1 8 20 x x y y x y x y x HD: Từ PT đầu suy ra 0y , nhân hai vế của PT đầu với 2 4 1 1y và thay 2 2 x x y ta đưa đến PT: 2 2 1 1 1 1 2 4 1 2y y y x x x , đến đây sử dụng hàm số …. VD2. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 2 2 2 11 11 4 3 2 2 9 xy xy xx x yy HD: Sử dụng hàm số khẳng định xy , thay vào PT hai ta có xy …ĐS: 17 3 xy VD3.(THPT Thuận Thành II – Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 2 22 1 2 1 4 2 6 3 1 2 4 8 4 4 x y x y x y x x x x xy Trang 7 HD: Từ PT thứ nhất có 4 2 1xy , thay vào PT thứ hai. ĐS: 11 ; 22 . VD4.( Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 3 2 2 1 9 6 3 15 3 6 2 x x y x x y x y x y x HD: Từ PT thứ nhất có 10xy , thay vào PT thứ hai xét hàm số 3 3f t t t , biến đổi đến 33 1 2 1xx . ĐS: 3 33 2 1 2 ; 2 1 2 1 . VD5.( THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải hệ phương trình: 3 3 2 3 3 2 1 2 2 x x y y xy HD: Xét hàm số 3 3 , 1f t t t t , từ PT thứ nhất suy ra 1xy . ĐS: 2;3 VD6.( THPT Hà Trung) Giải hệ phương trình: 3 3 2 22 3 6 3 4 6 10 5 4 x y x x y x y x y y x y HD: Xét hàm số 3 3f t t t , từ PT thứ nhất suy ra 1yx . ĐS: 5; 4 VD7.( BDVH Lê Hồng Phong) Giải hệ phương trình: 32 2 2 3 8 4 2 1 13 1 5 7 1 x x x y y x y y y HD: Từ hai PT của hệ dẫn đến xét hàm số 3 f t t t , suy ra 2 1 2xy . ĐS: 2;1 IV. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 1) 22 4 2 2 4 4 8 x xy y x x y y ; 2) 3 1 1 4 x y xy xy ; 3) 33 22 10 0 1 xy x xy y ; 4) 3 3 3 3 5 17 x xy y x x y y ; Trang 8 5) 1 1 9 2 15 2 xy xy xy xy 6) 22 4 1 1 2 x y x y x x y y y Bài 2. Giải các hệ phương trình 1) 2 2 1 2 1 2 xy y yx x ; 2) 1 6 3 1 6 3 xy yx ; 3) 4 3 4 3 y xy x x yx y ; 4) 2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y Bài 3. Giải các hệ phương trình: 1) 2 22 2 2 4 2 14 x xy x xy y ; 2) 22 22 13 25 x y x y x y x y Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 22 8 11 x y x y xy x y m Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2 2 21x y xy m x y xy m m . hệ phương trình: 22 32 8 12 2 12 0 xy x xy y HD: Thay 22 8 12xy từ phương trình đầu vào phương trình hai, đáp số: 2; 1 , 2;1 VD3. (THPT Bỉm Sơn) Giải hệ phương. BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI, PHƯƠNG PHÁP THẾ VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 33 22 4 16 1 5 1 x. HD: Từ phương trình thứ hai suy ra 2yx , thay vào phương trình đầu, đáp số 2; 0xy VD7.(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 3 3 2 3 7 3 12 6