Bài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hayBài tập hệ phương trình hay
Trang 1BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu
I PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI, PHƯƠNG PHÁP THẾ
VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
HD: Thay 4 y25x2 , hệ có 4 nghiệm 0; 2 , 1; 3 , 1;3
VD2.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
8 12
2 12 0
HD: Thay 2 2
8 12
x y từ phương trình đầu vào phương trình hai, đáp số: 2; 1 , 2;1 VD3 (THPT Bỉm Sơn) Giải hệ phương trình
21 1
21 1
HD: Trừ từng vế, đáp số y 2
VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2
2
4 2 16 3 8
ĐS: 2;0 , 1; 3
VD5.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 1
2
2 2 2
2 1 1 2 log 2
x
x
17 17
1; 2 , ; 2 log
VD6.(THPT Thuận Thành số 1) Giải hệ phương trình:
HD: Từ phương trình thứ hai suy ray x 2, thay vào phương trình đầu, đáp số x2;y0 VD7.(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
3
Trang 2VD8.(THPT Mai Anh Tuấn) Giải hệ phương trình:
2
x xy x
HD: Sử dụng phương pháp thế để đưa về PT đẳng cấp ĐS 0;0 , 1;1
VD9.(THPT Hậu Lộc 4) Giải hệ phương trình:
2
8 3 4 0
HD: Chia hai vế PT đầu cho x, chia hai vế PT hai cho 2
x ĐS: 0;0 , 1;1 , 2;1 VD10.(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
2
ĐS: 3; 2 , 3; 2
VD11.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:
2 2
1 0
x y x y
ĐS: 0;1 , 1; 2
VD12.(THTT – Đề 5) Giải hệ phương trình:
2
HD: Cộng vế với vế ĐS: 0;3 , 1;0
VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
2
x
HD: Từ PT đầu có y 2x
ĐS: 3; 2 3
VD14.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
2 2
2 3
1
6
x
y
HD: Từ PT đầu có yx21, thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp ĐS: 2;3
VD15.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:
Trang 3
HD: Từ PT thứ hai có y 3;y x 1 ĐS: 1; 2 , 4;5
VD16.(THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam) Giải hệ phương trình:
2
3
HD: Đưa về PT đẳng cấp ĐS: 1 1
0; 0 , ; , 1;1
2 2
VD17.(THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải hệ phương trình:
2
3 0
x xy x
HD: Thế xy x2 x 3 vào PT thứ hai ĐS: 1;3
VD18.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
3 3 3
x y y
ĐS: 3 7 319 3 7 3 26 3 7 3 215
; ; ; 2 ; 2 ; 2
VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình:
3
5
x y
x
ĐS: 2; 2
VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
2
4 32
x y xy
HD: Từ PT đầu có xyx216, thay vào PT hai ĐS: 0;8 ; 2; 2 ; 6; 2
VD20.(THPT Chuyên Lào Cai) Giải hệ phương trình:
2
HD: Từ PT hai có x2y ĐS: 3 3
0; 0 ; log 4; log 2
Trang 4HD: Từ PT đầu có y3 x39, kết hợp với PT hai ta có y 2 x 1 ĐS: 1; 2 ; 2; 1
VD22.(THPT Thái Phúc – Thái Bình) Giải hệ phương trình: 3 7 1 2 1
HD: Từ PT đầu có 3 1
2
ĐS: 17 76
2;1 ; ;
25 25
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
VD1 Giải hệ phương trình:
HD: Đặt ẩn phụ
2
2
3
3
x
u x y
v y
, đáp số: 1;1 ; 2 15 2 30;
2 15 15
VD2 (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải hệ phương trình:
2
4 1
HD: Đặt 2
1
u x y
y v
x
, đáp số: 2;1 , 5; 2
VD3 (THPT Lý Thái Tổ) Giải hệ phương trình: 3 3
y x
HD: Đặt
3 5
v
y
, đáp số:
;5 , ;
VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
8 3 13 0
HD: Đặt
2 2
3 8
, ĐS 1;1 , 5; 7
VD5 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
2 2
1 3
x y xy y
x y x y
Trang 5HD: Đặt x y a
xy x b
3 5 1 5 3 5 1 5
VD6 (Chuyên Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 2 1 32
2
x y x y
HD: Đặt
1
y x
b y
1 2;1 2 , 2;1 , 1;
2
VD7 (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
2 2
14 36
x y x y xy
HD: Đặt x y a
xy b
ĐS
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
VD8 (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
2
7
x xy y
HD: Đặt x y a
x y b
ĐS 3; 2 , 1; 2
VD9 (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 12 3 4 16
4 5 5 6
HD: Đặt 4
4
x y a
xy b
ĐS 3; 2 , 1; 2
VD10 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
3 2 9 8 3
HD: Đặt
2
2
3 4
VD11 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
1
3
xy xy x
HD: Đặt
1
u x
y v
ĐS 1; 0
Trang 6VD12 (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
3
3 6.3 3 2.3
1 2 1 3 3 2
y
HD: Từ phương trình đầu có y2x1, thay vào PT thứ hai ĐS 11 9
1;1 , ;
4 2
VD13 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 1 1
3 2 4
VD14 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 5 2
15 5 22 4 15
HD: Đặt 3
5
x y v
1 58
;
7 7
VD15 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải hệ phương trình:
3 2 2 3
3 1 0
8 3 1 0
x x y
y xy
HD: Chuyển vế hai PT, nhân từng vế, đặt txy ĐS: 3
3
1 4;
4
III SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ
VD1 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2
2
1 3 2 4 1 1 8
2 0
x y x
HD: Từ PT đầu suy ra y0, nhân hai vế của PT đầu với 4y2 1 1 và thay 2 x x y2 ta
2
1 2y 4y 1 2y
x x x , đến đây sử dụng hàm số …
VD2 (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
2 2
2
9
x
HD: Sử dụng hàm số khẳng định x y, thay vào PT hai ta có x y …ĐS: 1 7
3
x y
VD3.(THPT Thuận Thành II – Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:
2
1 2 1 4 2 6 3
1 2 4 8 4 4
Trang 7HD: Từ PT thứ nhất có 4x2y1, thay vào PT thứ hai ĐS: 1; 1
2 2
VD4.( Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:
3
1
9 6 3 15 3 6 2
x x y x x y
HD: Từ PT thứ nhất có x y 1 0, thay vào PT thứ hai xét hàm số 3
3
f t t t, biến đổi đến
3 3
1 2 1
x x ĐS:
3
2 1 2
;
2 1 2 1
VD5.( THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải hệ phương trình:
1 2 2
HD: Xét hàm số 3
3 , 1
f t t t t , từ PT thứ nhất suy ra x y 1 ĐS: 2;3 VD6.( THPT Hà Trung) Giải hệ phương trình:
2 2
3 6 3 4
6 10 5 4
HD: Xét hàm số 3
3
f t t t, từ PT thứ nhất suy ra y 1 x ĐS: 5; 4 VD7.( BDVH Lê Hồng Phong) Giải hệ phương trình:
8 4 2 1 13 1 5 7
1
HD: Từ hai PT của hệ dẫn đến xét hàm số 3
f t t t, suy ra 2x 1 y 2 ĐS: 2;1
IV MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau
1)
4 8
x xy y
x x y y
; 2)
3
x y xy
3)
3 3
10 0
1
x y
x xy y
; 4) 3 3 3 3
5 17
x xy y
x x y y
Trang 85)
1 1 9
2
1 5
2
x y
x y
xy
xy
6)
2 2
4
Bài 2 Giải các hệ phương trình
1)
2
2
1 2
1 2
y
x
; 2) 1 6 3
3)
4
3
4
3
y
x y
x x
y x
y
; 4)
2 2 2 2
2 3
2 3
y y x x x y
Bài 3 Giải các hệ phương trình:
1)
2
2
2 4 2 14
x xy
; 2)
2 2
2 2
13 25
x y x y
x y x y
Bài 4 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2 2
8
1 1
x y x y
Bài 5 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
x y xy m
x y xy m m