SU DUNG BAT DANG THUC AM-GM ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HOC RA SA0? Trường THPT Khoa học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội HOANG LE NHAT TUNG
Hệ phương trình là dạng toán hay và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS và kì thi tuyển sinh vào
lớp 10 THPT Trong bài viết này tác giả xin
đưa ra phương pháp sử dụng bất đẳng thức
AM-GM để giải hệ phương trình
Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy) được phát biểu dưới dạng
như sau:
Với các số thực không 4m aj, ap, Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
—=_._ 1
Đẳng thức xảy ra khi a, = a;= = a„-;= ap Việc chứng minh bất đẳng thức này đã có
trong nhiều tài liệu, xin phép không chứng minh
Với n = 2; 3 ta có các dạng quen thuộc
stay > Jara ; “E2 =3 > đƒaaaag
Trang 2.-eS A(xŸ + y3) <x3+ yŠ + 3xy(x + y) @ x+y? <xy(x +y)
© xŸ +yŸ —xy(x + y)<0 © (x-y)*(x+y) <0 © (x-y)2 <0 ©x=Yy Thay x = y vào phương trình thứ hai của hệ ta được 3x=3xŸ —3x2 —1 © 4x) =x) +3x2 + 3x +1 ©(x3⁄4) =(x+1)Ÿ © x(Đ4 —1) =1 Y4-1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 1 Lm.) Bài toán 3 Giải hệ phương trình x+y+z=—~ (1) xyZ vx + Jy + vz =3 (2) Lời giải Điều kiện x, y, z > 0 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số thực dương ta có = K+ fy NEP =x+y+z+(Jxy +Jyz+ Zx) +(\xy + Jyz + Vzx) >3.3(x + y + z)(/xy + yz + Vzx)? © 27> (x+y + z)(/xy + Jyz + Vzx)? Mặt khác, ta có bất đẳng thức quen thuộc (Jxy + Jyz + Vzx)? > 3,/xyz(vx + Jy + Vz) Kết hợp với xx + Jy + Vz =3 ta có 27 > 9,/xyz(x + y + Z) xyz(x + y + Z) <3 (3) Lại có 3=Ax+Wg+z>33J\x.jyz =3.Đlxyz â XyZ <1 xyz < /xyz Do dé xyz(x + y + Z) < /xyz(x+ y+ Z) <3 ©x+y+Z< = xyz
Trang 3© (Vx + Jy + VƠz)đ >27(x+y+z)(\xy + Jyz + V2x)? Kt hợp với (3) ta có 3° > 27(x + y + z)(Vxy + yz + Vzx)? © 27> (x+y + 2)(/xy + Jyz + zx)? >(x+y+z)(3.3./xy.Jyz.zx)? =(X+y+ z).9Ỷ (xyz) Mặt khác, ta lại có 3>vx+ + z>3.⁄x.Jy-Jz =3.8xyz
=>XyZz<1<© Ÿl(xyz)? >XyZ
nên ta suy ra 27 3 (x + y + Z).9xyz © xyZ(x+ y+Zz) <3
Kết hợp với phương trình (1) của hệ, ta có đẳng thức xảy ra khi thỏa mãn đồng thời các điều kiện Mi xyz=1, x, y,z>0 ©x=y=Z=t Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y, Z) = (1; 1; 1) Bài toán 5 Giải hệ phương trình as + 5 + = =2 (1) 3 53 ty axtytz (2) Lời giải Điều kiện x, y, z > 0 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số thực dương ta có yyy "- Màu + SE TH sappy aie see 3(x + y + Z) x ys 73 =1 21 g3X†y+Z yo z Kết hợp với phương trình (2) của hệ, ta có xe, Về 8 y ye 2 2 đẳng thức xảy ra khi hay x = y=Z Thay vào phương trình (1) của hệ ta được Ss vx Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 999 œy.2)=[ g2} Bài toán 6 Tìm các số thực dương (x, y) =2©x =ã (thỏa mãn) thỏa mãn t ty aay y) (0 x4 — xy? +1=.J2xy-2x +1 (2)
Lời giải Phương trình (1) tương đương với
Trang 4©x=y =1 (thỏa mãn) Vậy (x, y) = (1; 1) là cặp số duy nhất thỏa mãn bài toán Bài toán 7 Giải hệ phương trình x? + 2x +12 = By® —12xy + 4y (1)
yx? -2y+3 +x? -4y+6 =x? -3y 40, (2)
Lời giải Ta có hằng đẳng thức quen thuộc sau 8Ÿ + bẺ + c° - 3abc = (a + b + c)(a? + b2 + c2 - ab - bc - ca)
Phương trình (1) của hệ tương đương với x3 —8yŸ +8+12xy +2x—4y+4=0 © xŠ +(_2y)Š + 23 ~ 3x(—2y)2+ 2x - 4y + 4=0 S (x — 2y + 2)[x? + 4y? + 4+ 2xy + 4y — 2x] +2(x —2y + 2) =0 © (x— 2y + 2)(x2 + 4yˆ + 2xy — 2x + 4y + 6) =0 Do x + 4y? + 2xy - 2x + 4y + 6 =s[&+2v +(x -2)2 + (2y+2)?]+2>0
nên ta suy rax —- 2y+2=06 2y=x+2 Thay vào phương trình (2) của hệ ta được \Jx?-(x+2)+3 + \jx2 - 2(x + 2) + 6 =x2-3w+2+11 2 2 2_ eax? x44 4x2 2K 42—- 2-5 gy 1% 3 Ta có x x t=[x-J) +—>0; 2) 4 x?-2x+2=(x-1)2+1>0 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số thực dương ta có Vx? —x +14 Vx? -2x +2 = (x? —x +1).14 V(x? - 2x +2).1 2—x+1+1 x?-2x+2+1 xX < 2 + 2 _ 2x2 -3x+5 —— Kết hợp với (3) ta có đẳng thức xảy ra khi thỏa mãn đồng thời x2 -x+1=1 x? -x=0 >> x?-2x+2=1_ |x?2-2x+1=0 Xó= 1 =1 ; > x © 4_ (thỏa mãn) 2y=x+2 ves Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất T %xy)=[1 3] Để kết thúc bài viết, tác giả xin đưa ra một số bài tập áp dụng Giải các hệ phương trình sau ; Pr +2x+2=8y° —6xy + 4y
, yx? -2y+2+2.fxŸ(5—4y) = 2y? -x+2