Sử dụng bất đẳng thức AM - GM để giải hệ phương trình ôn thi vào chuyên Toán

SU DUNG BAT DANG THUC AM-GM ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HOANG LE NHAT TUNG Trường THPT Khoa học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội HOC RA SA0? Hệ phương trình dạng toán hay thường xuyên xuất đề thi chọn học 2(x + Jy + Vz) >3(x + y +z) —(x? + y? +27) sinh giỏi lớp THCS kì thi tuyển sinh vào =(x+y+z)* = (x? +y? +27) =2(xy + yz+ Zx) lớp 10 THPT Trong viết tác giả xin evx+Jy+ đưa phương pháp sử dụng bất đẳng thức Kết hợp với phương trình (2) hệ ta có AM-GM để giải hệ phương trình Bất đẳng thức AM-GM (hay cịn gọi bất đẳng thức Cauchy) phát biểu dạng sau: Với số thực không 4m aj, ap, Khi ta có bất đẳng thức sau: —=_._ không chứng =3 > đƒaaaag Vx + Vx cho số © 2Vx >3x— x2 Cộng >3y— y’, > xy>0 So xy#0 x>0,y>0 Nếu x 0 ta có v2 X 2(x? + y2) y? = xy\2(x2 + y2) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM +x? >34 Vx.Vx.x? = 3x Tương tự 2W 2(x2 + y2) Lời giải Điều kiện { exe Lời giải Điều kiện x, y, z > thực khơng âm ta có x y (2) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM v2 x+y+zZ=3() sec 3\/xy =3y? - 3x? -1 Sau số toán áp dụng Bài toán Giải hệ phương trình decsy (x, y, Z) = (1; 1; 1) y Với n = 2; ta có dạng quen thuộc eo Vậy hệ phương trình có nghiệm An Đẳng thức xảy a, = a;= = a„-;= ap Việc chứng minh bất đẳng thức có stay > Jara“E ; đẳng thức xảy x = y = Z = Bài tốn Giải hệ phương trình » Ant, nhiều tài liệu, xin phép minh Z>xy+yZ+zx 2Jz>3z-— z2 vế với vế bất đẳng thức ta thực dương ta có xy\2(x2 + y2) = Jxy.\/2xy (x? + y2) ‹*†y _ (x+y) ag x?+y2+2xy 3,3 Từ suy x” + y x+y) - cho số Lại có eS A(xŸ + y3) 33J\x.jyz =3.§lxyz x+y? cho số thực khơng âm ta có vx + Jy + vz =3 (2) bất đẳng ayes Áp dụng bất đẳng thức AM-GM x+y+z=—~ (1) xyZ Áp dụng eee Lại có (vx + Jy +vz nổ cớ) =(X+y+Z) x§iB?sjftzìstfis.D=xdBi >3.3(x + y + z)(jxy+ Jyz + Ýzx)? (8) © Kết hợp với phương trình (2) hệ, ta cú (Vx + Jy + VƠz)đ xe, >27(x+y+z)(\xy + Jyz + V2x)? Kết hợp với (3) ta có zx)? >(x+y+z)(3.3./xy.Jyz.zx)? Mặt khác, ta lại có =>XyZz 27(x + y + z)(Vxy + yz + Vzx)? © 27> (x+y + 2)(/xy + Jyz + Về đẳng thức xảy ye z>3.⁄x.Jy-Jz =3.8xyz Ÿl(xyz)? >XyZ vào phương trình (1) hệ ta =2©x =ã (thỏa mãn) hệ phương 999 trình có nghiệm œy.2)=[ g2} Bài tốn Tìm số thực dương thỏa mãn t ty aay (x, y) y) (0 x4 — xy? +1=.J2xy-2x +1 (2) nên ta suy 27 (x + y + Z).9xyz © xyZ(x+ y+Zz) 0 (do x,y>0) ©x=y=Z=t Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, Z) = (1; 1; 1) Bài tốn Giải hệ phương trình as + + = =2 53 ty axtytz (2) =2x+12|xÊ aie 3(x + y + Z) x ys 73 =1 21 g3X†y+Z yo z 2 +450 ;] — 4) +— VX cho số thực dương ta có cho số + SE TH see Tx+ (3) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM thực dương ta có "- Màu trình (2) hệ ta x'—x3+1=2x?-2x+1 =2 (1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM sappy Thay x = y vào phương Do Lời giải Điều kiện x, y, z > yyy x? (x-y)-y?(x-y)=0 2x? -2x+14+1 (2x? — 2x + 1).1< T= x -x+1 Kết hợp với (3) suy x^ -xŠ+10 Đẳng thức xảy 2x?—-2x+1=1_ x-1=0 x=y>0 [2x(x-1)=0 @jx=] x=y>0 Kết hợp với (3) ta có đẳng thức xảy ©x=y =1 (thỏa mãn) Vậy (x, y) = (1; 1) cặp số thỏa thỏa mãn đồng thời mãn toán x2 -x+1=1 Bài tốn Giải hệ phương trình x?-2x+2=1_ x? + 2x +12 = By® —12xy + 4y (1) yx? -2y+3 +x? -4y+6 =x? -3y 40, (2) Lời giải Ta có đẳng thức quen thuộc sau 8Ÿ + bẺ + c° - 3abc = (a + b + c)(a? + b2 + c2 - ab - bc - ca) Phương trình (1) hệ tương đương với x3 —8yŸ +8+12xy +2x—4y+4=0 > x |x?2-2x+1=0 Xó= =1 2y=x+2 Vậy x? -x=0 >> hệ © phương %xy)=[1 T3] ; 4_ (thỏa mãn) ves trình có nghiệm tập áp dụng Giải hệ phương trình sau S (x — 2y + 2)[x? + 4y? + 4+ 2xy + 4y — 2x] ; Pr +2(x —2y + 2) =0 (Toán Tuổi thơ số 195) Do x + 4y? + 2xy - 2x + 4y + N +(x -2)2 + (2y+2)?]+2>0 nên ta suy rax —- 2y+2=06 2y=x+2 Thay vào phương trình (2) hệ ta Ta có x x 2) gy +—>0; x?-2x+2=(x-1)2+1>0 thực dương ta có Vx? —x +14 Vx? -2x +2 = (x? —x +1).14 V(x? - 2x +2).1 < xX 2—x+1+1 _ 2x2 -3x+5 —— + x?-2x+2+1 z xX cho số 2.2 ty [2.22 yee l2 v2 [Zee x? ~y? + Jx-y+2=0 "|x + 8y + 4Vx -8\/y —4\xy =0 x? +y? + 2xy —3x —5y + =2,/x(2— y) , vx +xJ2-y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM xy = 4x- y eax? x44 4x2 2K 42—- 2-5 =(xẺ + y?Njx? — xy + y? 3.2 2 XM Zp =x2-3w+2+11 1% t=[x-J) l ty Vx + Vy +⁄z =1 \Jx?-(x+2)+3 + \jx2 - 2(x + 2) + 2_ +2x+2=8y° —6xy + 4y , yx? -2y+2+2.fxŸ(5—4y) = 2y? -x+2 © (x— 2y + 2)(x2 + 4yˆ + 2xy — 2x + 4y + 6) =0 Để kết thúc viết, tác giả xin đưa số © xŠ +(_2y)Š + 23 ~ 3x(—2y)2+ 2x - 4y + 4=0 =s[&+2v =2  ... Áp dụng bất đẳng thức AM- GM thực dương ta có "- Màu trình (2) hệ ta x''—x3+1=2x ?-2 x+1 =2 (1) Áp dụng bất đẳng thức AM- GM sappy Thay x = y vào phương Do Lời giải Điều kiện x, y, z > yyy x? (x-y)-y?(x-y)=0... y) , vx +xJ2-y Áp dụng bất đẳng thức AM- GM xy = 4x- y eax? x44 4x2 2K 42? ?- 2-5 =(xẺ + y?Njx? — xy + y? 3.2 2 XM Zp =x 2-3 w+2+11 1% t=[x-J) l ty Vx + Vy +⁄z =1 \Jx ?-( x+2)+3 + \jx2 - 2(x + 2) +... 1) Bài toán Giải hệ phương trình xyz(x + y+z)=3 (1) Lm.) fe Bài tốn Giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện x, y, z > (2) ýx+vx+1>3.JJxJx.1=3.Ÿx Lời giải Điều kiện x, y, z > thức AM- GM cho số thực