SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN Năm học: 2003 - 2004 TOÁN (Lớp 10 chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài I: (6 điểm) Cho a > 0, chứng minh ta có a x y x Giải hệ phương trình: x y x 1 a ta có a + a a a y y 3 Cho phương trình: x4 – (m2 – 4)x2 – (m2 + 3) = (1) (x ẩn, m tham số) Chứng minh: phương trình (1) có nghiệm với m Bài II: (7 điểm) Người ta muốn dùng sắt có độ dài để xếp thành mạng ô vuông hình chữ nhật hình vẽ (1) Nếu chiều dài hình chữ nhật gồm 120 chiều rộng hình chữ nhật gồm 20 phải dùng sắt để tạo thành mạng 120 20 Hình vẽ (1) 3 x x x Cho phương trình bậc hai (x ẩn, m tham số): (m+2)x2 + 2(3m – 2)x + m + = 0.(m –2) (*) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 x2 thỏa: x 12 x 22 x ( x 1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y = Với số thực m số nguyên dương n ta định nghóa (m n) sau: (m n) m(m 1)(m 2)(m 3) (m n 1) 1 Hãy tính ( 2003) : ( 2003) 1.2.3 n 2 Bài III: (7 điểm) Cho tam giác ABC, AM trung tuyến (M BC) a Chứng minh : AB + AC > 2AM b I điểm thuộc đoạn BM (IB, IM), qua I kẻ đường thẳng song song với AM cắt AB, AC E D Chứng minh IE+ ID = 2AM Trên đường tròn (O) lấy dây cung AB cố định, M điểm tùy ý cung AB ( với MA, MB) Gọi K trung điểm đoạn MB Chứng minh đường thẳng qua K vuông góc với AM qua điểm cố định M chạy cung AB Họ tên thí sinh: ……………….Số báo danh: ThuVienDeThi.com Chữ ký Giám thị 1: ……………………… ĐÁP ÁN Môn TOÁN (Lớp 10 chuyên Toán) Bài I: (6 điểm) (2điểm) a +/ Từ đề => ( a )( a a +/ => ( a ) a +/ => ( a ) a +/ => a + a x y x Giải hệ phương trình: x y x Chứng minh: a + ) a a a (0,5điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) y y (2điểm) +/ Điều kiện: x + y vaø x – y – 3 +/ Đặt U = V Ta có hệ: x y x y (0,5điểm) 3U 2V U V +/ Tìm U = V = +/ Giải hệ ta có x = y = (0,5điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) Chứng minh: phương trình có nghiệm với m (2điểm) +/ Đặt (0,5điểm) x2 = X (X 0) Ta có phương trình: X2 – (m2 – 4)X –(m2 + 3) = 0.(2) +/ Nhận xét phương trình (2) có nghiệm (0,5điểm) +/ Nhận xét phương trình (2) có nghiệm trái dấu (0,5điểm) +/ Từ nghiệm dương phương trình (2) => phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Bài II: (7 điểm) (0,5điểm) Số sắt (1,5điểm): ý cho 0,5điểm +/ Có 121 cột, cột có 20 suy số xếp theo cột dọc: 121.20 = 2420 +/ Có 21 dòng, dòng có 120 suy số xếp theo cột dọc: 21.120 = 2520 +/ Số sắt phải dùng: 2420 + 2520 = 4940 3 x Giá trị lớn nhất, nhỏ y = (2điểm) x x */ Giá trị lớn nhất: (1điểm) 3( x 1) 3 +/ Ta có y (0,5điểm) x x +/ Khi x = –1 y đạt GTLN (0,5điểm) */ Giá trị nhỏ nhất: (1điểm) ( x 1) +/ Ta coù y (0,5điểm) x x +/ Khi x = y đạt GTNN –1 (0,5điểm) ThuVienDeThi.com Phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa: x 12 x 22 x ( x 1) (2điểm) +/ Biến đổi hệ thức cho thành ( x1 x2 ) ( x1 1) (0,5điểm) +/ Vậy: x1 x2 hay phương trình (1) có nghiẹm kép (0,5điểm) +/ Thế x = vào phương trình suy m = (0,5điểm) +/ Kiểm tra m = phương trình (1) có nghiệm kép chọn m = (0,5điểm) Với số thực m số nguyên dương n ta định nghóa (m n) sau: (1,5điểm) 1 +/ ( 2003) 4005 ( )( )( ) ( ) 2 2 1.2.3 2003 (0,5điểm) 1 4003 ( )( )( )( )( ) ( ) 2 2 +/ ( 2003) 2 1.2.3 2003 (0,5điểm) 1 2003) : ( 2003) = – 4005 2 (0,5điểm) +/ ( Bài III: (7 điểm) (4điểm) D A E B I C M a Chứng minh : AB + AC > 2AM (1,5đ) +/ Lấy N đối xứng với A qua M.=> NC = AB +/ AB + AC = CN +AC > MN = 2AM (0,75điểm) (0,75điểm) N b Chứng minh EI + ID = 2AM (2,5 điểm) +/ Từ IE // AM suy ra: IE BI AM BM ID CI +/ Từ ID // AM suy ra: AM CM +/ Suy ra: IE ID AM AM P (0,75điểm) M A K B (0,75điểm) (0,5điểm) +/ Vậy IE + ID = 2AM (0,5điểm) O A/ Chứng minh qua điểm cố định.(3điểm) +/ Gọi A/ đối xứng A qua tâm O.=> A/B cố định +/ Suy KP // MA/ (với P chân đường vuông góc K xuống AM) +/ Mà KM = KB suy PK qua trung điểm A/ B suy đpcm ThuVienDeThi.com (1điểm) (1điểm) (1điểm) ...ĐÁP ÁN Môn TOÁN (Lớp 10 chuyên Toán) Bài I: (6 điểm) (2điểm) a +/ Từ đề => ( a )( a a +/ => ( a ) a +/ => ( a ) a +/ => a... ? ?2003) 4005 ( )( )( ) ( ) 2 2 1.2.3 2003 (0,5điểm) 1 4003 ( )( )( )( )( ) ( ) 2 2 +/ ( ? ?2003) 2 1.2.3 2003 (0,5điểm) 1 ? ?2003) : ( ? ?2003) = – 4005 2 (0,5điểm) +/ ( Bài III: (7... Thế x = vào phương trình suy m = (0,5điểm) +/ Kiểm tra m = phương trình (1) có nghiệm kép chọn m = (0,5điểm) Với số thực m số nguyên dương n ta định nghóa (m n) sau: (1,5điểm) 1 +/ ( ? ?2003)