Đề chính thức thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hà Nam năm học 2015 2016 môn: Toán (chuyên toán)30146

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0 điểm)  x y x y  x  y  2xy  : 1   Cho biểu thức: P      xy  xy   xy    (với x  0, y  0, xy  ) a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P P Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 10x   x   x   2x  b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I 2;1 Tìm tọa độ điểm A, B tương ứng thuộc tia Ox , Oy cho tổng IA  IB  AB có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên n  2008 cho: 22008  22012  22013  22014  22016  2n số phương Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn O; R , đường kính AD cố định Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn O; R  Gọi I giao điểm AC BD ; K hình chiếu I AD a) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK b) Gọi F giao điểm CK BD Chứng minh: BI DF  BD.IF c) Gọi E trung điểm ID Chứng minh: ED  EB.EF d) Xác định vị trí điểm B để bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABD lớn Tính giá trị lớn theo R Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 2a  3b  4c  2015 Chứng minh : 3b  4c  2020 2a  4c  2020 2a  3b  2020    15  2a  3b  4c -HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: .Giám thị 2: ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn (Chun Tốn) UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm gồm trang ) Nội dung Câu Điể m Câu a) 1,25 điể m  P     x  y 1  xy  1  xy  1  xy 1  xy   x  y   xy  x  y  xy : 0,5   xy  x  2y x  xy  xy  x  y  xy 0,5 x 1  y  x  1  x 1  y   x Ta có : P  x   0,25 b) x x 0,75 Lại có x   x với x  nên P   1 điể x 1 x m Vậy  P   P  P Câu ĐK : x  / phương trình ban đầu trở thành :  10 x    a) 1,0 điể m   3x   9x    2x   x3 x3  0 10x   9x  9x   2x  0,25 0,25 0,25 0,25 1    x  3  0 9x   2x    10x   9x  0,25  x  (thỏa mãn) 1   x  10x   9x  9x   2x  Vậy pt có tập nghiệm S  3 0,25 Gọi H đối xứng với I qua tia Ox , suy H 2; 1 0,25 Ta có: AI  AH , BI  BK suy IA  IB  AB  AH  AB  BK  HK 0,25 Dấu "="  H , A, B, K thẳng hàng hay A, B giao điểm đường thẳng HK với tia Ox, Oy tương ứng 0,25 Gọi K đối xứng với I qua tia Oy , suy K 2;1 b) 1,0 điể m 0,25 ThuVienDeThi.com phương trình HK : y  1 x , suy A  B  O 0;0  0,25 Câu Ta có: 22008  22012  22013  22014  22016  2n  369   22008  24  25  26  28  2n2008  22008 n2008   0,25 số phương 369  2n2008  b với b  ฀ * Đặt a  n  2008 số nguyên dương , ta có pt : 369  2a  b 1,0 điểm Xét hệ đồng dư mod3 ta có: 0,5 369  mod3;2a  1;2mod3; b  0;1mod3 Suy 2a  1mod3suy a số chẵn hay a  2c c  ฀ *  Phương trình trở thành : 369  b  22 c  41.3.3  b  2c b  2c  Do b  2c  b  2c suy : b  ; b  41;9 ; 369;1; 41.3;3  b;2  25;16 ; 185;184 ; 63;60  c c 0,25 c  b; c  25;4  Vậy n  a  2008  2c  2008  2016 số cần tìm Câu C B I F E A K O D a) 1,0 điểm Ta có ฀ ABD  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ฀AKI  900 0,25 (gt) ฀  CAD ฀ Suy tứ giác ABIK nội tiếp  IBK ฀  CAD ฀ ฀ ) Lại có IBC (cùng chắn CD ฀  IBC ฀ ฀ Suy IBK  BI phân giác góc CBK 0,25 ฀ Chứng minh tương tự có CI phân giác BCK 0,25 ThuVienDeThi.com Vậy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK Ta có CI đường phân giác tam giác BCF, suy : b) 1,0 0,25 BI CB 0,25 (1) ( t/c đường phân giác tam giác)  IF CF ACD  900  CD  CI  CD phân giác tam giác 0,25 Lại có ฀ BCF điểm suy : BD  CB DF CF Từ (1) (2), có : 2  ( t/c đường phân giác tam giác) BI BD   BI DF  BD.IF IF DF 0,25 0,25 Ta có KE trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác tam giác IKD  KE  ED  ID /  tam giác KED cân E ฀ ฀ ( t/c góc ngồi tam giác)  BEK  BDA ฀ ฀ Mà BDA (2 góc nội tiếp chắn ฀  BCA AB ) ฀ ฀ Suy BEK  BCA 3 c) 1,0 điểm d) 1,0 điểm 0,25 ฀ Mặt khác CI phân giác BCK ( chứng minh trên) ฀ ฀  BCK  BCA 4  ฀ ฀ Từ (3) (4) suy BEK , suy tứ giác BCEK nội tiếp  BCK ฀ ฀ ฀ Suy EKC  EKF đồng dạng EBK  EBC  EBK  EK  EB.EF Mà EK  ED ( chứng minh trên) 0,25 Suy : ED  EB.EF 0,25 Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABD vuông B, suy : r  AB  BD  AD  AB  BD  R Suy r lớn  AB  BD lớn 0,25   Ta có :  AB  BD   AB  BD  AD  R 2  AB  BD  2 R ( dấu " =" xảy  AB  BD  R )  Suy r  AB  BD  R  2  R Vậy max r  R 1,0 0,25 0,25 ฀  B   1 AB  BD  ฀AB  BD 0,25 điểm ฀ AD điểm 0,25 Câu Đặt x  2a  1; y  3b  1; z  4c  bất đẳng thức trở thành : cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  2018 chứng minh : y  z  2018 x  z  2018 x  y  2018    15 (*) x y z ThuVienDeThi.com 0,25 Ta có:  x y  y z   z x 1 1 VT (*)              2018      y x  z y x z x y z     2018  15 x yz 2018 2015 2015 2015 a ;b ;c Dấu “=”  x  y  z  12 Chú ý: Mọi cách làm khác mà cho điểm tương đương -HẾT - ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn (Chun Tốn) UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm gồm trang ) Nội... trình ban đầu trở thành :  10 x    a) 1,0 điể m   3x   9x    2x   x3 x3  0 10x   9x  9x   2x  0,25 0,25 0,25 0,25 1    x  3  0 9x   2x    10x   9x  0,25... x y z     2018  15 x yz 2018 2015 2015 2015 a ;b ;c Dấu “=”  x  y  z  12 Chú ý: Mọi cách làm khác mà cho điểm tương đương -HẾT - ThuVienDeThi.com 0,5 0,25