Đề chính thức thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hà Nam năm học 2015 2016 môn: Toán (chuyên tin)39439

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn (Chun Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0 điểm)  x y x y  x  y  2xy  : 1   Cho biểu thức: P      xy  xy   xy    (với x  0, y  0, xy  ) a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P P Câu (2,0 điểm)  x  y  xy  x  y  a) Giải hệ phương trình:   x  2 y    b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y  x đường thẳng (d) có phương trình y  x  m Gọi M, N giao điểm (d) trục Ox, Oy Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB diện tích tam giác OMN Câu (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y) thoả mãn: x y3  3x 10 y3  2 Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường trịn O; R , đường kính AD cố định Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn O; R  Gọi I giao điểm AC BD ; K hình chiếu I AD a) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK b) Gọi F giao điểm CK BD Chứng minh: BI DF  BD.IF c) Gọi E trung điểm ID Chứng minh: ED  EB.EF ฀ d) Tính BCD biết chu vi tam giác ABD lớn Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh : 1    a  b  b  c  c  a  -HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: .Giám thị 2: ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn (Chun Tin) UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm gồm trang ) Câu  a) 1,25 điểm     Nội dung Câu    x  y  xy   xy P   xy  xy  x  2y x  xy   xy  x  y  xy Điểm  x  y   xy  x  y  xy :   xy  0,5 x 1  y  x  1  x 1  y   x Ta có : P  x   b) 0,75 điểm 0,5 0,25 0,25 Lại có x   x với x  nên P  x x  1 x 1 x Vậy  P   P  P 0,25 0,25 Câu ĐK : x  0; y  Phương trình thứ tương đương với ( x  y )( x  y  1)  0,25  x  2 y (l )   x  y 1 Với x  y  Thế vào phương trình thứ hai ta y 1  2 y 1    y   y  19 a) 1,0 điểm 0,25 19  y   49 y  330 y  425   19   y     y   85  y  ( l) 49  Với y  x  b) 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y   4;5  0,25 Phương trình hồnh độ giao điểm x  x  m  (1) 0,25 ThuVienDeThi.com 1,0 điểm Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Điều kiện    4m   m   Gọi A x1; x1  m , B x2 ; x2  m Theo Vi-ét : x1  x2  1; x1 x2   m (d) cắt Ox M(-m;0), (d) cắt Oy N(0;m) với m  Diện tích tam giác OAB diện tích tam giác OMN AB  MN  AB  MN  2( x2  x1 )  2m 0,25 0,25  ( x1  x2 )  x1 x2  m  m  4m    m   ( thoả mãn) 0,25 Câu x y  x  10 y  2 3  y (3 x  5)  (3 x  5)  7 0,25  (3 x  5)(2 y  1)  7 1,0 điểm 3 x   3 x   1 3 x   3 x   7  ; ; ; 2 y   7 2 y   2 y   1 2 y    x   x  2    y  1  y  1 Vậy 0,25 0,25 x; y 2; 1; 2; 1 0,25 Câu C B I F E A K O D a) 1,0 điểm Ta có ฀ ABD  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ฀AKI  900 0,25 (gt) ฀  CAD ฀ Suy tứ giác ABIK nội tiếp  IBK ฀  CAD ฀ ฀ ) Lại có IBC (cùng chắn CD b) ฀  IBC ฀ ฀ Suy IBK  BI phân giác góc CBK 0,25 ฀ Chứng minh tương tự có CI phân giác BCK Vậy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK Ta có CI đường phân giác tam giác tam giác BCF, suy : 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com 1,0 điểm BI CB  (1) ( t/c đường phân giác tam giác) IF CF ACD  900  CD  CI  CD phân giác ngồi tam giác Lại có ฀ BCF suy : 0,25 BD CB  2  ( t/c đường phân giác tam giác) DF CF 0,25 BI BD   BI DF  BD.IF IF DF 0,25 Từ (1) (2), có : Ta có KE trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác tam giác IKD  KE  ED  ID /  tam giác KED cân E ฀ ฀  BEK  BDA ( t/c góc ngồi tam giác) ฀ ฀ AB ) Mà BDA  BCA (2 góc nội tiếp chắn ฀ ฀ ฀ Suy BEK  BCA 3 c) 1,0 điểm 0,25 ฀ Mặt khác CI phân giác BCK ( chứng minh trên) ฀ ฀  BCK  BCA 4  ฀ ฀  BCK Từ (3) (4) suy BEK , suy tứ giác BCEK nội tiếp ฀ ฀ ฀  EBC  EBK Suy EKC  EKF đồng dạng EBK  EK  EB.EF Mà EK  ED ( chứng minh trên) 0,25 Suy : ED  EB.EF 0,25 Chu vi tam giác ABD lớn  AB  BD  AD  AB  BD  R lớn  AB  BD lớn d) 1,0 điểm 0,25   Ta có :  AB  BD   AB  BD  AD  R 2  AB  BD  2 R ( dấu "="xảy AB  BD  R ) 0,25 0,25 Như chu vi tam giác ABD lớn (2  2)R AB =BD tức tam 0,25 giác ABD vng cân B ฀ ฀ Khi BAD  450  BCD  1350 ( tứ giác ABCD nội tiếp ) 0,25 Câu Dấu ‘=’ xảy x  y  z Chứng minh x  y  z  ( x  y  z ) x, y, z  1,0 điểm 0,25 Ta có: 0,25 ThuVienDeThi.com 1 1 1         2 (a  b) (b  c) (c  a ) 3 a b bc c a  1     3 a bbcc a  1    x, y, z  x y z x yz 1 Vậy    2 (a  b) (b  c) (c  a ) Dấu “=”  a  b  c  0,25 Vì 0,25 Chú ý: Mọi cách làm khác mà cho điểm tương đương -HẾT - ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn (Chun Tin) UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm gồm trang ) Câu... trình có nghiệm x; y   4;5  0,25 Phương trình hồnh độ giao điểm x  x  m  (1) 0,25 ThuVienDeThi.com 1,0 điểm Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Điều... )  2m 0,25 0,25  ( x1  x2 )  x1 x2  m  m  4m    m   ( thoả mãn) 0,25 Câu x y  x  10 y  2 3  y (3 x  5)  (3 x  5)  7 0,25  (3 x  5)(2 y  1)  7 1,0 điểm 3 x   3