GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI VÀO 10 Dạng 1 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (PP thế, PP cộng đại số) Phương pháp Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ phương trình có dạng (trong đó a1, b1, c1[.]
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ƠN THI VÀO 10 Dạng 1: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn (PP thế, PP cộng đại số) Phương pháp Hệ phương trình bậc hai ẩn x, y hệ phương trình có dạng (trong a1, b1, c1, a2, b2, c2 hệ số thực; x y ẩn) + Giải hệ phương trình bậc hai ẩn PP ta làm sau - B1: Nếu a1 ≠ ta rút x từ phương trình (1) vào phương trình (2) phương trình ẩn y - B2: Giải phương trình ẩn y để tìm y - B3: Thay y tìm vào phương trình (1) tìm x -B4: Kết luận nghiệm hệ phương trình Chú ý: - Ta rút y từ phương trình (1) để vào phương trình (2) - Có thể rút x y từ phương trình (2) vào phương trình (1) + Giải hệ phương trình bậc hai ẩn PP cộng đại số ta làm sau - B1: Nhân hai vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn ( x y) hai phương trình đối -B2: Cộng vế với vế trừ vế với vế hai phương ta phương trình ẩn - B3: Giải phương trình ẩn thu B2 suy nghiệm hệ cho Ví dụ : Giải hệ phương trình Giải Cách 1: PP cộng đại số Ta có Lấy (1) –(2) ta được: -7y = Thay vào (1): Vậy nghiệm hệ phương trình Cách 2: PP Từ (1) (*), vào (2) ta được: 7x – 21 = Thay 7x = 22 vào (*): Vậy nghiệm hệ phương trình Dạng 2: Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ Phương pháp Để giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ ta làm sau: -B1: Đặt điều kiện cho phương trình hệ(nếu có) -B2: Biến đổi hệ cho (nếu cần), đặt ẩn phụ đưa điều kiện cho ẩn phụ Đưa hệ cho hệ theo ẩn phụ -B3: Giải hệ tìm ẩn phụ -B4: Thay giá trị ẩn phụ vào biểu thức đặt ẩn phụ B2 để tìm ẩn ban đầu - B5: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện sau kết luận Ví dụ: Giải hệ phương trình: a b Giải a ĐKXĐ: Đặt (a ≥ 0) , ta có hệ phương trình Ta thấy a = 1, b = -4 thỏa mãn điều kiện ẩn phụ Với a = 1, b = -4 hệ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (4;-1) b Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ Đặt (*) Hệ phương trình cho tương đương với Ta có: Thay vào (*) ta có Vậy nghiệm hệ phương trình (thỏa mãn) (thỏa mãn điều kiện Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đánh giá Phương pháp -B1: Đặt điều kiện cho ẩn (nếu có) - B2: Đánh giá giá trị hai vế hai phương trình hệ nhờ ta thu hẹp miền giá trị ẩn tạo điều kiện cho ta nghiệm hệ chứng minh hệ vô nghiệm -B3: Kết luận Chú ý : Với phương pháp đòi hỏi người làm phải nắm vững kiến thức bất đẳng thức, phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình Giải Giả sử hệ có nghiệm, phương trình thứ hai hệ có nghiệm Ta biến đổi phương trình (1) Ta coi (1) phương trình bậc hai ẩn y, tham số x Vì phương trình có nghiệm nên Ta biến đổi phương trình Ta coi (2) phương trình bậc hai ẩn x, tham số y có Vì phương trình có nghiệm nên (2) Ta có Vậy phương trình thứ vơ nghiệm ( mâu thuẫn với giả sử ban đầu) Vậy hệ vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình Giải Hệ phương trình Từ phương trình (2) ta có (x – 2) (y – 2) dấu (*) Nếu x > x – > 0, từ (1) suy y – < ( mâu thuẫn với *) Nếu x < x – < 0, từ (1) suy y – > ( mâu thuẫn với *) Nếu x = thay vào (1) ta có: y – = y=2 Với x = 2; y = thay vào hệ phương trình ta Vậy nghiệm hệ phương trình (2;2) Dạng 4: Giải hệ phương trình nâng cao: đối xứng loại I, đối xứng loại II, đẳng cấp Hệ phương trình đối xứng loại a Dạng hệ phương trình - Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn x, y mà thay x y thay y x phương trình hệ khơng thay đổi - Ví dụ: Hệ phương trình Khi thay x y thay y x hệ Ta thấy phương trình hệ không thay đổi nên hệ cho hệ đối xứng loại b Cách giải B1: Biến đổi biểu thức hai phương trình hệ theo tổng tích x, y B2: Đặt với điều kiện (S2 ≥ 4P) B3: Tìm S, P thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P) Khi x, y nghiệm phương trình t2 – St + P = B4: Kết luận Ví dụ: Giải hệ phương trình (I) Giải Hệ (I) Đặt với điều kiện (S2 ≥ 4P) Khi hệ phương trình trở thành Từ S + P = P = – S Thế vào phương trình S2 + S -2P = ta S2 + S - 2(5 - S) = S2 + S – 10 + 2S - = S2 + 3S – 18 = *Với S = Ta có P = – = thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P) , theo Vi-et x, y nghiệm phương trình: t2 – 3t + = Suy hệ có hai nghiệm: x = y = 2, x =2 y = * Với S = -6 P = – (-6) = 11 không thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P) nên loại Vậy hệ cho có hai nghiệm: x = y = 2, x =2 y = Hệ phương trình đối xứng loại a Dạng hệ phương trình - Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn x, y mà thay x y thay y x phương trình trở thành phương trình ngược lại hệ không thay đổi - Ví dụ: Hệ phương trình Khi thay x y thay y x hệ Ta thấy phương trình trở thành phương trình ngược lại hệ không thay đổi nên hệ cho hệ phương trình đối xứng loại b Cách giải - B1: Trừ vế với vế hai phương trình cho ta phương trình dạng (x – y).f (x,y) = -B2: Kết hợp (*) với phương trình hệ, kết hợp (**) với phương trình hệ ta hai hệ phương trình Giải hai hệ phương trình -B3: Kết luận - Ví dụ: Giải hệ phương trình Giải Lấy (1) – (2) ta được: x – y = 3x + 2y – 3y – 2x 2 Kết hợp x – y = với phương trình (1) ta có hệ: Với x = y = x = Với x = y = x = Kết hợp x + y - = với phương trình (1) ta có hệ: Với x = -1 y = – x = + = Với x = y = – x = - = -1 Vậy hệ phương trình có nghiệm : (0;0), (5;5), (-1;2), (2;-1) Hệ phương trình đẳng cấp a Dạng hệ phương trình đẳng cấp Hệ phương trình đẳng cấp hệ gồm phương trình ẩn mà phương trình bậc ẩn Dạng với f, g hàm số với hai biến x, y có bậc Ví dụ: Tất số hạng hai phương trình( x3, y3, x2y, 2xy2) có bậc nên hệ phương trình đẳng cấp bậc b Cách giải Để giải hệ phương trình đẳng cấp này, ta thực bước sau: Hệ phương trình + Bước 1: Nhân phương trình (1) với a phương trình (2) với a trừ hai phương trình để làm hệ số tự + Bước 2: Phương trình có hai ẩn x y Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: x = y = thay vào phương trình để tìm y x Thử lại kết vừa tìm cách thay vào hệ phương trình - Trường hợp 2: x khác y khác 0, chia hai vế phương trình cho bậc cao ẩn x y + Bước 3: Giải phương trình với ẩn phương trình sau tìm nghiệm hệ Ví dụ: Giải hệ phương trình: Lời giải: Có Lấy (1) – (2) ta có: Trường hợp 1: với y = 0, thay vào phương trình (3) có x = Với x = 0, y = thay vào phương trình (1) có = (vơ lý) Vậy x = 0, y = không nghiệm hệ Trường hợp 2: với y khác 0, chia hai vế phương trình (3) cho y3 ta được: Đặt Phương trình trở thành: Với , thay vào phương trình (1) có: Với , thay vào phương trình (2) có: (vơ lý) Với , thay vào phương trình (2) có: Vậy nghiệm hệ phương trình là: Dạng 5: Giải biện luận số nghiệm của hệ phương trình chứa tham số m Phương pháp Cho hệ phương trình : (I) -Từ hệ phương trình : dùng phương pháp cộng đại số để có phương trình ẩn x ẩn y Giả sử phương trình ẩn x có dạng ax= b (1) -Số nghiệm PT(1) số nghiệm HPT(I) Biện luận phương trình (1) ta có biện luận HPT(I) +Nếu a=0 PT (1) trở thành 0x =b - Nếu b = PT(1) có vơ số nghiệm HPT có vơ số nghiệm - Nếu b¿ PT(1) vơ nghiệm HPT vơ nghiệm +Nếu a ¿ PT(1) có nghiệm HPT có nghiệm Biểu diễn nghiệm nhất( x,y) theo tham số Ví dụ 1: Giải biện luận hệ phương trình: Giải ⇒ Từ (1) x = m + - my, thay vào (2) ta được: m(m + - my) + y = 3m - - 1)(m + 1)y = (m – 1)2 (3) *Nếu ⇔ (m - 1)(m + 1) ¿ hay m¿ ± PT(3) có nghiệm nghiệm ⇔ (m HPT có y= Khi x = Hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( ; ) * Nếu m = thì PT(3) có vơ số nghiệm HPT có vơ số nghiệm * Nếu m = -1 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm *Kết luận - Nếu m¿ ± hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( - Nếu m = hệ có vơ số nghiệm - Nếu m = -1 hệ vơ nghiệm Ví dụ 2: Cho hệ phương trình theo m ; ) Giải biện luận hệ phương trình Giải Ta có Nếu m ≠ ±1thì phương trình (*) có nghiệm Do hệ phương trình có nghiệm Nếu m = 1thì phương trình (*): 0.x = 0( phương trình có vơ số nghiệm) Do hệ phương trình có vơ số nghiệm Nếu m = -1 phương trình (*): 0.x = 2( phương trình vơ nghiệm) Do hệ phương trình vơ nghiệm Kết luận : hệ phương trình có nghiệm - Nếu m ≠ ±1thì hệ phương trình có vơ số nghiệm -Nếu m = 1thì -Nếu m = -1 hệ phương trình vơ nghiệm Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn u cầu cho trước Phương pháp Muốn tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu cho trước ta làm sau + B1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm theo tham số m + B2: Thay nghiệm vừa tìm vào điều kiện + B3: Giải điều kiện tìm m + B4: Kết luận Ví dụ 1: Cho hệ phương trình mãn x = 3y + Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa Giải Ta có Theo giả thiết x = 3y + m = 3(m + 1) + m = 3m + m = -2 Vậy với m = -2 hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x = 3y + Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: ( a tham số) Tìm số ngun a để hệ phương trình có nghiệm nguyên Giải Từ PT ta có: (3), vào PT(2) ta được: (4) Với , phương trình (4) có nghiệm Thay vào ta (3)có: Suy a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm Hệ phương trình có nghiệm ngun: Điều kiện cần: Điều kiện đủ: (nhận) (nhận) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ngun Bài tập áp dụng Bài 1: Giải hệ phương trình Bài 2: Giải hệ phương trình sau: Bài 3: Giải hệ phương trình sau 4 Bài 4: Định m n để hệ phương trình sau có nghiệm (2;-1) Bài 5: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x > 0, y > d) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương e) Định m để hệ có nghiệm (x;y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi tương tự với S = xy) f) Chứng minh hệ có nghiệm (x;y) điểm M(x;y) ln nằm đường thẳng cố định m nhận giá trị khác Bài 6: Cho hệ phương trình: a) Giải biện luận hệ theo m b) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x;y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x;y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ d) Xác định m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x;y) nằm parabol y = - 0,5x2) e) Chứng minh hệ có nghiệm (x;y) điểm D(x;y) ln ln nằm đường thẳng cố định m nhận giá trị khác Bài 7: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) mà x > y < c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) mà x, y số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mà S = x – y đạt giá trị lớn Bài 8: Giải hệ phương trình sau: 4 10 Bài 9: Giải hệ phương trình sau Bài 10: Giải hệ phương trình Bài 11: Giải biện luận hệ phương trình sau: Bài 12: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình b) Tìm m để hệ (m tham số) m = có nghiệm (x;y) thỏa mãn x + y = -3 Bài 13: Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: Bài 14: Cho hệ phương trình : a) Giải hệ phương trình với a = b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Bài 15: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn Bài 16: Giải hệ phương trình Bài 17: Giải hệ phương trình Bài 18: Giải hệ phương trình Bài 19: Giải hệ phương trình Bài 20: Giải hệ phương trình ... phương trình S2 + S -2P = ta S2 + S - 2(5 - S) = S2 + S – 10 + 2S - = S2 + 3S – 18 = *Với S = Ta có P = – = thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P) , theo Vi-et x, y nghiệm phương trình: t2 – 3t + = Suy hệ... nghiệm theo tham số m + B2: Thay nghiệm vừa tìm vào điều kiện + B3: Giải điều kiện tìm m + B4: Kết luận Ví dụ 1: Cho hệ phương trình mãn x = 3y + Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa Giải Ta có Theo... nghiệm (x;y) mà S = x – y đạt giá trị lớn Bài 8: Giải hệ phương trình sau: 4 10 Bài 9: Giải hệ phương trình sau Bài 10: Giải hệ phương trình Bài 11: Giải biện luận hệ phương trình sau: Bài 12: