TỔNG HỢP NHỮNG BÀI TOÁN NÂNG CAO ÔN THI VÀO 10 (đạt điểm 10) Dạng 1 Các bài toán về chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp *)Phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1 Phương pháp dùng định nghĩa[.]
TỔNG HỢP NHỮNG BÀI TỐN NÂNG CAO ƠN THI VÀO 10 (đạt điểm 10) Dạng 1: Các toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp *)Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức: Muốn chứng minh a < b, ta chứng minh a – b < Muốn chứng minh a > b ta chứng minh a – b > Phương pháp biến đổi tương đương: Nếu bất đẳng thức cuối bất đẳng thức đầu Phương pháp vận dụng tính chất bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức quen thuộc: Từ bất đẳng thức biết ta dùng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Phương pháp phản chứng: Muốn chứng minh A < B ta giả sử A ≥ B suy điều vơ lí (mâu thuẫn với điều cho biết), từ suy điều giả sử sai, điều phải chứng minh Chú ý Tính chất bất đẳng thức Cộng vế hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều Trừ vế hai bất đẳng thức khác chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức thứ Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm, ta bất đẳng thức chiều Đặc biệt: 8.Nếu Một số bất đẳng thức hay dùng Nếu a b hai số dấu (dấu xảy ) Nếu (dấu (dấu xảy (dấu Bất đẳng thức Cô-si xảy xảy ) Với hay Vài dạng khác bất đẳng thức Cô-si ( ) (dấu ) xảy ) ) *)Phương pháp chứng minh đẳng thức Phương pháp dùng định nghĩa đẳng thức: Muốn chứng minh a = b, ta chứng minh a – b = Phương pháp biến đổi tương đương: Nếu đẳng thức cuối đẳng thức đầu Phương pháp vận dụng đẳng thức chứng minh: Từ đẳng thức biết ta dùng tính chất đẳng thức để suy đẳng thức cần chứng minh Phương pháp biến đổi vế: để chứng minh đẳng thức A = B ta xuất phát từ vế trái A biến đổi A B ngược lại Sử dụng tính chất bắc cầu Để chứng minh đẳng thức A = B ta chứng minh A = C B = C, từ suy đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho x, y số dương thỏa mãn điều kiện x + y = Chứng minh Lời giải Dễ dàng chứng minh với a > 0, b > ta có a = b (1) Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: Dấu “=” xảy x = y = 2,5 ( thỏa mãn) Ví dụ 2: Chứng minh với n > Giải Ta có đẳng thức cho đứng với n > Dạng 2: Các tốn tìm GTLN, GTNN Phương pháp : Để tìm GTLN-GTNN biểu thức ta thường sử dụng bất đẳng thức +) Một số bất đẳng thức thông dụng - BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối (dấu “=” xảy x = 0) (dấu “=” xảy x > 0) (dấu “=” xảy xy không âm) ( dấu “=” xảy y(x+y) không dương) - BĐT Cô-si Áp dụng cho số không âm a b: (dấu “=” xảy a = b) Áp dụng cho số không âm a,b c: ( dấu “=” xảy a = b = c) - BĐT Bu-nhi-a-côp-xki Áp dụng cho cặp số thực (a,b) (x,y): ( dấu “=” xảy Áp dụng cho ba số (a,b,c) (x,y,z): ) (dấu “=” xảy ) +)Để tìm GTLN biểu thức P ta làm sau : Sử dụng BĐT ta đánh giá P m P = m GTLN P m +)Để tìm GTNN biểu thức P ta làm sau : Sử dụng BĐT ta đánh giá P = m GTNN P m Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức P = Giải Áp dụng , ta có: Dấu “=” xảy Vậy GTNN P đạt Chú ý: Nếu P = làm tương tự ta viết lại P = sau Ví dụ 2: Cho x, y, z số thực thỏa mãn x ≥ 7, x + y ≥ 12 x + y + z = 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y2 + z2 Giải Ta có: x ≥ 7, x + y ≥ 12 x + y + z = 15 (vì x ≥ 7, x + y ≥ 12 x + y + z = 15) Dấu “ = ” xảy x = 7, y = 5, z = (thỏa mãn) Vậy A đạt giá trị nhỏ 83 x = 7, y = 5, z = Dạng 3: Các toán giải hệ phương trình nâng cao Phương pháp Để giải hệ nâng cao chương trình lớp ta thường sử dụng hai phương pháp sau Phương pháp biến đổi tương đương Trong phương pháp ta sử dụng số hướng biến đổi sau - Rút x y từ phương trình vào phương trình - Đưa hai phương trình hệ dạng tích có nhân tử phương trình bậc hai ẩn sau sử dụng phương pháp để giải - Xem phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn ẩn cịn lại tham số dùng cơng thức nghiệm Phương pháp đặt ẩn phụ - Điểm mấu chốt phương pháp phải phát ẩn phụ u = f(x;y) v = g(x;y)ngay phương trình hệ sau số phép biến đổi hệ cho - Thông thường việc biến đổi hệ xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hệ chia hai vế phương trình hay hai phương trình hệ cho đại lượng khác khơng từ nhận việc chọn ẩn phụ cho hợp lí Ví dụ 1: Giải hệ phương trình Giải Ta có (1) Coi (1) phương trình bậc hai với ẩn x – y Phương trình có a + b+ c = + – = nên có hai nghiệm x – y = 1; x – y = -4 Với x – y = ta có hệ phương trình Với x – y = -4 ta có hệ phương trình Phương trình có hệ phương trình nên vơ nghiệm, vơ nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm: (1;0) (-1;-2) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình Giải Ta có Đặt Hệ cho trở thành (2) Theo Vi-et u v nghiệm phương trình X=6 hệ (2) có hai nghiệm (u;v) = (2;6) (6;2) Với hệ (1) có nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2) Với X = hệ (1) có nghiệm: (-3;1), (2;1), (-3;-2), (2;-2) Kết luận: hệ phương trình cho có nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2), (-3;1), (2;1), (-3;-2), (2;-2) Bài tập áp dụng Bài 1: Giải hệ phương trình Bài 2: Giải hệ phương trình Bài 3: Giải hệ phương trình Bài 4: Giải hệ phương trình Bài 5: Giải hệ phương trình Bài 6: Giải hệ phương trình Bài 7: Giải hệ phương trình Bài 8: Giải hệ phương trình Bài 9: Chứng minh rằng: Bài 10: Chứng minh rằng: Bài 11: Cho x + y + z = A Chứng minh rằng: Bài 12: Cho a + b + c = Chứng minh rằng: Bài 13: Cho x > y, xy = Chứng minh rằng: Bài 14: Cho a, b , c, d ≥ Chứng minh rằng: Bài 15: Cho a, b , c số thực Chứng minh rằng: 1) 2) Bài 16: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau a b Bài 17: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau a b Bài 18: Cho biểu thức 2 Với x > 0, y > x + y =1 Tìm giá trị nhỏ B Bài 19: Cho hai số dương x y Chứng minh Bài 20: Cho x, y, z số dương thoả mãn: xy + yz + zx = 4xyz Chứng minh: ... Các toán giải hệ phương trình nâng cao Phương pháp Để giải hệ nâng cao chương trình lớp ta thường sử dụng hai phương pháp sau Phương pháp biến đổi tương đương Trong phương pháp ta sử dụng số hướng... phương trình Bài 7: Giải hệ phương trình Bài 8: Giải hệ phương trình Bài 9: Chứng minh rằng: Bài 10: Chứng minh rằng: Bài 11: Cho x + y + z = A Chứng minh rằng: Bài 12: Cho a + b + c = Chứng minh