GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH THI VÀO 10 Dạng 1 Toán chuyển động Phương pháp B1 Lập phương trình (hệ phương trình) Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn Biểu diễn các dữ kiện[.]
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH THI VÀO 10 Dạng 1: Tốn chuyển động Phương pháp B1: Lập phương trình (hệ phương trình) - Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan ẩn số kiện biết B2: Giải phương trình (hệ phương trình) B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện ẩn số có đưa kết luận Một số lưu ý: - quãng đường = vận tốc × thời gian - vận tốc xi dịng = vận tốc nước n lặng + vận tốc dòng nước - vận tốc ngược dòng = vận tốc nước yên lặng - vận tốc dịng nước Ví dụ : Ví dụ 1: Một tô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h đến sớm Tính qng đường AB thời gian dự định lúc đầu Giải Gọi t thời gian dự định lúc đầu ( t đơn vị giờ, t > 1) Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thời gian từ A đến B là: t + (giờ) quãng đường AB là: 35.(t + 2) km (1) Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thời gian tử A đến B là: t - (giờ) quãng đường AB là: 50.(t - 1) km (2) Từ (1) (2) ta có phương trình: (thỏa mãn điều kiện) Vậy thời gian dự định ban đầu 8(giờ) quãng đường AB dài 35.(t + 2) = 35.10 = 350 (km) Ví dụ 2: Lúc tơ chạy từ A B Sau nửa giờ, xe máy chạy từ B A Ơ tơ gặp xe máy lúc Biết vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 10km/h khoảng cách AB = 195km Tính vận tốc xe Giải Gọi vận tốc ô tô Gọi vận tốc xe máy Vì vận tốc tơ vận tốc xe máy 10km/h nên ta có phương trình: x – y = 10 Thời gian ô tô lúc gặp xe máy là: – = 2(giờ) Thời gian xe máy lúc gặp ô tô là: (giờ) Quãng đường ô tô chạy 2x(km) Quãng đường xe máy chạy Vì quãng đường AB dài 195km nên ta có phương trình hay Do ta có hệ hai phương trình : Giải hệ ta (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc ô tô 60 km/h, vận tốc xe máy 50 km/h Dạng 2: Tốn cơng việc (làm chung, làm riêng, suất ) Phương pháp B1: Lập phương trình (hệ phương trình) - Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan ẩn số kiện biết B2: Giải phương trình (hệ phương trình) B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện ẩn số có đưa kết luận Lưu ý: Khối lượng cơng việc = Năng suất × Thời gian Ví dụ 1: Một hợp tác xã dự kiến thu hoạch 200ha lúa thời gian định Song thực tế ngày thu hoạch nhanh so với kế hoạch 5ha nên hồn thành cơng việc nhanh dự kiến ngày Hỏi theo dự kiến ngày thu hoạch ? (mỗi ngày thu hoạch số lúa nhau) Giải Gọi t số ngày hợp tác xã dự kiến thu hoạch xong 200ha lúa (t > 2) theo dự kiến ngày hợp tác xã thu hoạch số lúa Thực tế, ngày hợp tác thu hoạch +5 = Do số ngày hồn thành cơng việc là: = (ha) (ha) (ngày) Vì cơng việc hoàn thành sớm dự kiến ngày nên ta có phương trình Với t = -8 khơng thỏa mãn điều kiện (loại) Với t = 10 thỏa mãn điều kiện (nhận) Vậy theo dự kiến ngày hợp tác thu hoạch số lúa Ví dụ 2: Hai người làm chung công việc xong Nếu người làm người thứ hồn thành xong cơng việc người thứ hai Hỏi người làm làm để xong cơng việc( biết người thứ làm khối lượng công việc người thứ hai làm khối lượng công việc nhau) Giải Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (giờ), x > Thời gian người thứ hai làm xong công việc x + (giờ) Trong người thứ làm Trong người thứ hai làm Trong hai người làm Với < (loại) công việc công việc công việc nên ta có phương trình Với x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy người thứ làm xong cơng việc giờ, người thứ hai làm xong cơng việc Dạng 3: Các tốn tìm số Phương pháp B1: Lập phương trình (hệ phương trình) - Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan ẩn số kiện biết B2: Giải phương trình (hệ phương trình) B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện ẩn số có đưa kết luận Lưu ý: Số có hai chữ số ký hiệu Giá trị số: ; (Đk: 1 a 0 b 9, a,b N) Số có ba chữ số ký hiệu = 100a +10b + c, (Đk: a b, c 9; a, b, c N) Tổng hai số x; y là: x + y Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2 Bình phương tổng hai số x, y là: (x + y)2 Tổng nghịch đảo hai số x, y là : Ví dụ : Ví dụ 1: Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số tổng bình phương hai chữ số 13 Giải Gọi chữ số hàng chục số tự nhiên có hai chữ số x (0 < x ≤ 5) chữ số hàng đơn vị – x Vì tổng bình phương hai chữ số 13 nên ta có phương trình Với x = chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Do số phải tìm 23 Với x = chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Do số phải tìm 32 Vậy có số tự nhiên thỏa mãn đề 23 32 Ví dụ 2: Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 Nếu đổi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho Giải Gọi chữ số hàng chục số cần tìm x, điều kiện x N, (0 < x ≤ 9) Gọi chữ số hàng đơn vị số cần tìm y, điều kiện y N, (0 ≤ y ≤ 9) Tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 nên có phương trình: Số là: Nếu đổi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho số là: Theo ta số lớn số cho 18 đơn vị nên có phương trình: Từ ta có hệ phương trình (thoả mãn điều kiện) Số cần tìm 68 Dạng 4: Các toán liên quan đến chảy chung, chảy riêng vịi nước Phương pháp B1: Lập phương trình (hệ phương trình) - Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan ẩn số kiện biết B2: Giải phương trình (hệ phương trình) B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện ẩn số có đưa kết luận Chú ý: Lượng nước chảy vào bể tỉ lệ thuận với thời gian Nếu vịi chảy riêng đầy bể x (giờ) vịi chảy (bể) Ví dụ 1:Hai vịi nước chảy đầy bể khơng có nước 3h 45ph Nếu chảy riêng rẽ, vòi phải chảy đầy bể ? biết vòi chảy sau lâu vòi trước h Giải Gọi thời gian vịi đầu chảy đầy bể x ( x > , x tính ) Gọi thời gian vịi sau chảy đầy bể y ( y > , y tính ) vòi đầu chảy ( bể ) vòi sau chảy ( bể ) hai vòi chảy ( bể ) (1) Hai vịi chảy đầy bể 3h 45ph = Vậy hai vòi chảy h ( bể ) ( 2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình Mặt khác ta biết chảy vịi sau chảy lâu vịi trước tức y–x=4 Vậy ta có hệ phương trình Ta có Ta thấy x = 6, y = 10 thoả mãn đk ẩn Trường hợp loại x < Vậy Vịi đầu chảy đầy bể h Vịi sau chảy đầy bể 10 h Ví dụ 2: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu vòi thứ chảy vòi thứ chảy bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể Giải Gọi thời gian vịi thứ chảy đầy bể x (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể y (giờ) (Điều kiện: x, y > ) Trong vòi thứ chảy bể; vòi thứ hai chảy bể Trong hai vịi chảy bể Vì hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể nên ta có phương trình: Nếu vịi thứ chảy vịi thứ chảy ta có phương trình: Từ ta có hệ phương trình: bể nên Giải hệ phương trình ta đươc x = = 7,5 ; y = 15(thỏa mãn điều kiện) Vậy thời gian vịi thứ chảy đầy bể 7,5 giờ; thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể 15 Dạng 5: Các toán liên quan đến tỉ số phần trăm Phương pháp B1: Lập phương trình (hệ phương trình) - Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan ẩn số kiện biết B2: Giải phương trình (hệ phương trình) B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện ẩn số có đưa kết luận Ví dụ: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy ? Giải Gọi x số chi tiết máy tổ I làm tháng giêng ( x > 0, ) Gọi y số chi tiết máy tổ II làm tháng giêng ( y > 0, ) Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy nên ta có phương trình x + y = 720 (1) Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15% nên sản xuất 1,15x ( chi tiết) Trong tháng hai, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 1,12y ( chi tiết) Vì tháng hai hai tổ sản xuất 819 chi tiết nên ta có phương trình 1,15x + 1,12y = 819 (2) Từ (1) (2) ta có hệ (thỏa mãn) Vậy tháng giêng tổ I sản xuất 420 chi tiết, tổ II sản xuất 300 chi tiết Dạng 6: Các toán liên quan đến Lý – Hóa Phương pháp B1: Lập phương trình (hệ phương trình) - Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan ẩn số kiện biết B2: Giải phương trình (hệ phương trình) B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện ẩn số có đưa kết luận Một số lưu ý: -Công thức: (Qtỏa nhiệt lượng tỏa ra, đơn vị Kcal; m khối lượng khối lượng chất lỏng, đơn vị kg; ∆t = nhiệt độ ban đầu – nhiệt độ sau pha) -Công thức: (Qthu nhiệt lượng thu vào, đơn vị Kcal; m khối lượng khối lượng chất lỏng, đơn vị kg; ∆t = nhiệt độ sau pha - nhiệt độ ban đầu ) - Qthu = Qtỏa - Công thức ( C% nồng độ phần trăm, mct khối lượng chất tan, mdd khối lượng dung dịch) - Công thức m = D.V( m khối lượng chất lỏng, D khối lượng riêng chất lỏng, V thể tích) Ví dụ 1: Pha lít nước sơi (1000C) lít nước lạnh (200C) hỗn hợp nước có nhiệt độ bao nhiêu? Giải lít nước = 1kg nước Gọi nhiệt độ hỗn hợp nước x0C (20 < x < 100) Nhiệt lượng tỏa nước là: Qtỏa = 2(100 – x) Nhiệt lượng thu vào nước là: Qthu = 3(x - 20) Vì Qthu = Qtỏa nên ta có phương trình: 2(100 – x) = 3(x - 20) (thỏa mãn) Vậy nhiệt độ hỗn hợp nước 520C Ví dụ 2: Khi thêm 200g axit vào dung dịch A dung dịch B có nồng độ axit 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch B dung dịch C có nồng độ axit 40% Tính nồng độ axit dung dịch A Giải Gọi khối lượng axit nước dung dịch A x(g) y(g) Điều kiện: x > 0, y > Trong dung dịch B khối lượng chất tan x + 200, khối lượng dung dịch x + y + 200 Nồng độ axit dung dịch B 50% nên ta có phương trình (1) Trong dung dịch C khối lượng chất tan x + 200, khối lượng dung dịch x + y + 200 +300 = x + y +500 Nồng độ axit dung dịch C 40% nên ta có phương trình Từ (1) (2) ta có hệ phương trình Giải hệ ta x = 400, y = 600 (thỏa mãn) Vậy nồng độ axit dung dịch A là: Dạng 7: Các toán liên quan đến hình học Phương pháp B1: Lập phương trình (hệ phương trình) - Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan ẩn số kiện biết B2: Giải phương trình (hệ phương trình) B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện ẩn số có đưa kết luận Một số lưu ý: - Nếu hình chữ nhật có cạnh a b diện tích hình chữ nhật a.b, chu vi hình chữ nhật 2(a + b) - Nếu hình vng có cạnh a diện tích hình vng a2, chu vi hình vng 4a - Chu vi tam giác tổng độ dài cạnh, diện tích tam giác nửa tích độ dài đường cao nhân cạnh đáy tương ứng - Nếu tam giác vng có cạnh góc vng a b, cạnh huyền c c2 = a2 + b2 (Định lý Pi-ta-go) Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Nếu chiều dài chiều rộng tăng thêm 5cm hình chữ nhật có diện tích 153cm2 Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu Giải Gọi chiều rộng hình chữ nhật x cm (x > 0) chiều dài hình chữ nhật 3x (cm) Chiều rộng tăng thêm 5cm có độ dài x + (cm) Chiều dài tăng thêm 5cm có độ dài 3x + (cm) Vì diện tích hình chữ nhật 153cm2 nên ta có phương trình Với x = thỏa mãn x > (nhận) Với không thỏa mãn x > (loại) Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều rộng 4cm, chiều dài 12cm Do chu vi hình chữ nhật ban đầu là: 2(4 + 12) = 32 (cm) Ví dụ 2 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m Nếu tăng thêm chiều dài 3m chiều rộng 2m diện tích tăng thêm 45m2 Hãy tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn Giải Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật x(m); y(m) Điều kiện: x > y > 0(*) Chu vi mảnh vườn là : 2(x + y) = 34 (m) (1) Diện tích trước tăng: xy (m2) Diện tích sau tăng: (x + 3)(y + 2) (m2) Sau tăng chiều dài chiều rộng diện tích tăng thêm 45m2 nên ta có phương trình : (x + 3)(y + 2) – xy = 45 (2) Từ (1) (2) ta có hệ: mãn *) (thỏa Vậy chiều dài 12m, chiều rộng 5m Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết số lớn số bé đơn vị tổng bình phương chúng 369 Bài 2: Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài 3: Tìm hai số biết tổng hai số 51 số thứ số thứ hai Bài 4: Tìm hai số chẵn nguyên dương liên tiếp biết tổng bình phương hai số 244 Bài 5: Một người xe máy từ A đến B vận tốc 25km/h Lúc người với vận tốc 30km/h nên thời gian thời gian 20 phút Tính quãng đường AB Bài 6: Lúc sáng ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc 40km/h Khi đến B người làm nhiệm vụ giao nhận hàng 30 phút cho xe quay A với vận tốc 30km/h Tính qng đường AB biết tơ đến A lúc 10 sáng ngày Bài 7: Hai xe máy khởi hành lúc sáng từ A đến B Xe thứ chạy với vận tốc 30km/h, xe thứ hai chạy với vận tốc lớn xe thứ 6km/h Trên đường xe thứ hai dừng lại nghỉ 40 phút lại tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính quãng đường AB biết hai xe đến B lúc Bài 8: Hai người xe đạp lúc, ngược chiều từ hai địa điểm A B cách 42km gặp sau Tính vận tốc người biết người từ A nhanh người từ B 3km Bài 9: Hai đội công nhân làm đoạn đường Đội làm xong nửa đoạn đường đội đến làm tiếp nửa lại với thời gian dài thời gian đội làm 30 ngày Nếu hai đội làm 72 ngày xong đoạn đường Hỏi đội làm ngày đoạn đường này? ( biết ngày khối lượng công việc mà đội làm ngày khối lượng công việc mà đội làm nhau) Bài 10: Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch thời gian Đội phải trồng 40 ha, đội phải trồng 90 Đội hồn thành cơng việc sớm ngày so với kế hoạch Đội hoàn thành muộn ngày so với kế hoạch Nếu đội làm công việc thời gian thời gian đội làm đội làm thời gian đội làm diện tích trồng hai đội Tính thời gian đội phải làm theo kế hoạch? ( biết ngày diện tích rừng mà đội trồng ngày diện tích rừng mà đội trồng nhau) Bài 11: Hai đội công nhân làm chung cơng việc Thời gian để đội I làm xong cơng việc thời gian để đội II làm xong cơng việc Tổng thời gian gấp 4,5 lần thời gian hai đội làm chung để xong cơng việc Hỏi đội làm phải xong? ( biết khối lượng công việc mà đội làm khối lượng công việc mà đội làm nhau) Bài 12: Một xí nghiệp giao cho công nhân làm 120 sản phẩm thời gian quy định Sau làm giờ, người cải tiến kĩ thuật nên tăng sản phẩm so với dự kiến Vì thời gian quy định khơng hồn thành kế hoạch trước mà vượt mức 16 sản phẩm Tính suất làm lúc đầu (biết xí nghiệp làm số sản phẩm nhau) Bài 13: Một ruộng tam giác có diện tích 180m Tính chiều dài cạnh đáy ruộng, biết tăng cạnh đáy lên 4m chiều cao tương ứng giảm 1m diện tích khơng đổi Bài 14: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6m bình phương đường chéo gấp lần chu vi Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật Bài 15: Một tam giác vng có cạnh góc vng 8m Nếu tăng cạnh góc vng lên lần giảm cạnh góc vng lần tam giác có diện tích 51m2 Tính độ dài hai cạnh góc vng Bài 16: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 1m Nếu chiều dài tăng thêm lần độ dài hình chữ nhật có diện tích tăng thêm 3m2 Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu Bài 17: Hai người thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm xong? cơng việc Hỏi người làm cơng việc Bài 18:Nếu vịi A chảy vịi B chảy hồ Nếu vòi A chảy vịi B chảy 30 phút hồ Hỏi chảy vịi chảy đầy hồ Bài 19: Hai vòi nước chảy vào bể sau đầy bể Nếu vịi chảy cho đầy bể vịi II cần nhiều thời gian vịi I Tính thời gian vịi chảy đầy bể? Bài 20 : Năm ngối tổng số dân hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 người Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay? Bài 21: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất lại vườn để trồng trọt 4256 m2 Bài 22: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 23:Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vng Bài 24: Nếu tử số phân số tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số Tìm phân số Bài 25:Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng Tìm phân số Bài 26: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm Tổ I vượt mức 15% kế hoạch tổ Tổ II vượt mức 12% kế hoạch tổ Do đó, hai tổ làm 102 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải làm sản phẩm Bài 27: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu? Bài 28: Pha lít nước nóng với lít nước lạnh 200C để nước có nhiệt độ 620C Tính nhiệt độ nước nóng Bài 29: Có hai loại quặng chứa 75% sắt 50% sắt Tính khối lượng loại quặng đem trộn để 25 quặng sắt chứa 66% sắt Bài 30: Người ta hòa lẫn 4kg chất lỏng I với 3kg chất lỏng II hỗn hợp có khối lượng riêng 700kg/m3 Biết khối lượng riêng chất lỏng I lớn khối lượng riêng chất lỏng II 200kg/m3 Tính khối lượng riêng chất lỏng ... tổ Tổ II vượt mức 12% kế hoạch tổ Do đó, hai tổ làm 102 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải làm sản phẩm Bài 27: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 100 0 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật... lít nước sơi (100 0C) lít nước lạnh (200C) hỗn hợp nước có nhiệt độ bao nhiêu? Giải lít nước = 1kg nước Gọi nhiệt độ hỗn hợp nước x0C (20 < x < 100 ) Nhiệt lượng tỏa nước là: Qtỏa = 2 (100 – x) Nhiệt... việc nhanh dự kiến ngày Hỏi theo dự kiến ngày thu hoạch ? (mỗi ngày thu hoạch số lúa nhau) Giải Gọi t số ngày hợp tác xã dự kiến thu hoạch xong 200ha lúa (t > 2) theo dự kiến ngày hợp tác xã thu