Đề luyện thi vào chuyên toán 2013 2014 môn: Toán (chuyên toán)41578

Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Bài toán khó tháng 6/2013 đề luyện thi vào chuyên toán 2013-2014 Môn : Toán (chuyên toán) Thời gian làm : 150 phút (không tính thời gian phát đề) ( Đề có 01 01 trang ) Đề Tìm nghiệm dương phương trình sau : x 2012 x 1  x  2012 x  x  x      x  2012 x  x  2013 x   x 1  x 1     2012  2012  +  2012  2012   1   x 1  x 1  x  x  2012 x   x 1 2012   4     2012  x   2012 x  x  1  -HÕt C¸n coi thi giải thích thêm đề thi! Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh : DeThiMau.vn Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Hướng dẫn giải Tìm nghiệm dương phương trình sau :  x  2012 x 1  x  2012 x  x  x      x  2012 x  x  2013 x   x 1  x 1     2012  2012  +  2012  2012     x   x   x  x  2012 x   x 1 2012   4     2012  x  2012 x  x Trước giải ta giải đề thi gồm 05 câu sau : đề Câu Cho hai số i , j > Chøng minh r»ng : i2 + j2  2ij , dÊu “ = “ x¶y ? Câu Cho ba số a,b,c cho a + b + c = Chøng minh r»ng : 3abc = a3 + b3 + c3 C©u Chøng minh r»ng : p4 + q4  2 pq 2 , dÊu “ = “ x¶y nào? Câu Cho hai số m , n d­¬ng Chøng minh r»ng : 2 m      2  , dÊu “ = “ xảy nào? mn n Câu          Cho hai sè  ,   , Chøng minh r»ng:     2 , dấu = xảy ? -HÕt C¸n coi thi giải thích thêm đề thi! Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh : DeThiMau.vn Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Lời giải đề thi dành cho bạn đọc , Bây ta vào giải đề thi : Thật : Vì đề yêu cầu tìm nghiệm dương nên ta có : x > => ĐK Bài toán là: x > Ta có : x  2012 x 1  x  2012 x  x  x      x  2012 x  x  2013 x   x 1  x 1     2012  2012  x   x 1 2012   4     2012  x  2012 x  x  1      +  2012  2012     x   x    2012 x.x x  1  2012 x  x  x   x  x  2012 x  x  x  2012 x   x  2012 x    2 x 1 2012 x  2012    2012 x  2012 x  +  =  2102 x  x  1 x  x  2012 x x  x  2012 x       x 1 2012      2012 x     2   2012 x.x x  1  2012 x  x  x   x  x  2012 x  x  x  2012 x  2 + x( x  1)  2012 x 2012 x x( x  1) 2012 x   x( x  1) 2012 x x( x  1) =  x 1 x  x2  x   2012 x  x( x  1) 2012 x      2012 x x( x  1)    2 2012 x §Õn đơn giản phương trình , không tính tổng quát đặt : a x( x 1)   b  2012 x   c   x( x  1)  2012 x ( tìm nghiệm dương phương trình) , phương trình trở thành : 3abc - c3 + (a2 - b2 )2 + a b    2  a b a b a  b b a        2 1 b a b a a b với a, b > Mặt khác : Theo câu đề thi ta có : a + b + c = => 3abc  3abc - c3 = a3 + b3 a2 b2 = đặt vào (*) ta : 1 a b DeThiMau.vn (*) = a + b3 + c3 Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN a2 b2 1 a b + (a2 - b2 )2 + a b    2  a b a b a  b b a        2 1 b a b a  a b (**) víi a, b >           Cho hai sè  ,   =>     2 mµ theo câu đề ta có :    2        =>             ( B§T bun-nhi-a-cèp-ski) Nên áp dụng vào toán ta có : a b    2 a b b a      b a L¹i theo Câu (1) , dấu = xảy a2 = b2 ®Ị Ta cã : 2 Cho hai sè m , n d­¬ng => a  b  a b   1 1  a b a b 2 m  2 n , nên áp dụng vào toán ta có: mn (2) , dấu = xảy a2 = b2 Lại theo câu ®Ị ta cã : p4 + q4  2 pq 2   p  q , nên áp dụng vào to¸n ta cã: (a2 - b2 )2 0 (3) , dÊu ‘=’ xay a2 = b2 L¹i theo câu đề ta có : Cho hai số i j áp dụng vào toán ta : (4) , dÊu ‘=’ x¶y a2 = b2 VËy tõ ( 1) (2) (3) (4) ta cã : a b  2 b a a2 b2  1 a b + (a2 - b2 )2 + j i i , j > => i2 + j2  2ij    , nªn a b    2  a b a b a  b b a        2 1 b a b a a b DeThiMau.vn (***) Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Vậy so sánh (**) (***) => a2 = b2 => x( x  1)  2012 x  x   2012 ( v× x > 0) => x = 2013 (là nghiệm thoả mÃn yêu cầu toán) Tặng em thi chuyên , chúc em đạt kết cao kì thi nµy! DeThiMau.vn ... Cán coi thi giải thích thêm đề thi! Họ tên thÝ sinh : Sè b¸o danh : DeThiMau.vn Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Lời giải đề thi dành cho bạn đọc , Bây ta vào giải đề thi : Thật : Vì đề yêu... a b DeThiMau.vn (***) Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Vậy so sánh (**) vµ (***) => a2 = b2 => x( x  1)  2012 x  x   2012 ( x > 0) => x = 2013 (là nghiệm thoả mÃn yêu cầu toán) Tặng em thi chuyên. .. = xảy a2 = b2 đề Ta cã : 2 Cho hai sè m , n d­¬ng => a  b  a b   1 1  a b a b 2 m  2 n     , nên áp dụng vào toán ta cã: mn (2) , dÊu ‘=’ x¶y a2 = b2 Lại theo câu đề ta có : p4