Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Bài toán khó tháng 6/2013 đề luyện thi vào chuyên toán 2013-2014 Môn : Toán (chuyên toán) Thời gian làm : 150 phút (không tính thời gian phát đề) ( Đề có 01 01 trang ) Đề Tìm nghiệm dương phương trình sau : x 2012 x 1 x 2012 x x x x 2012 x x 2013 x x 1 x 1 2012 2012 + 2012 2012 1 x 1 x 1 x x 2012 x x 1 2012 4 2012 x 2012 x x 1 -HÕt C¸n coi thi giải thích thêm đề thi! Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh : DeThiMau.vn Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Hướng dẫn giải Tìm nghiệm dương phương trình sau : x 2012 x 1 x 2012 x x x x 2012 x x 2013 x x 1 x 1 2012 2012 + 2012 2012 x x x x 2012 x x 1 2012 4 2012 x 2012 x x Trước giải ta giải đề thi gồm 05 câu sau : đề Câu Cho hai số i , j > Chøng minh r»ng : i2 + j2 2ij , dÊu “ = “ x¶y ? Câu Cho ba số a,b,c cho a + b + c = Chøng minh r»ng : 3abc = a3 + b3 + c3 C©u Chøng minh r»ng : p4 + q4 2 pq 2 , dÊu “ = “ x¶y nào? Câu Cho hai số m , n d¬ng Chøng minh r»ng : 2 m 2 , dÊu “ = “ xảy nào? mn n Câu Cho hai sè , , Chøng minh r»ng: 2 , dấu = xảy ? -HÕt C¸n coi thi giải thích thêm đề thi! Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh : DeThiMau.vn Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Lời giải đề thi dành cho bạn đọc , Bây ta vào giải đề thi : Thật : Vì đề yêu cầu tìm nghiệm dương nên ta có : x > => ĐK Bài toán là: x > Ta có : x 2012 x 1 x 2012 x x x x 2012 x x 2013 x x 1 x 1 2012 2012 x x 1 2012 4 2012 x 2012 x x 1 + 2012 2012 x x 2012 x.x x 1 2012 x x x x x 2012 x x x 2012 x x 2012 x 2 x 1 2012 x 2012 2012 x 2012 x + = 2102 x x 1 x x 2012 x x x 2012 x x 1 2012 2012 x 2 2012 x.x x 1 2012 x x x x x 2012 x x x 2012 x 2 + x( x 1) 2012 x 2012 x x( x 1) 2012 x x( x 1) 2012 x x( x 1) = x 1 x x2 x 2012 x x( x 1) 2012 x 2012 x x( x 1) 2 2012 x §Õn đơn giản phương trình , không tính tổng quát đặt : a x( x 1) b 2012 x c x( x 1) 2012 x ( tìm nghiệm dương phương trình) , phương trình trở thành : 3abc - c3 + (a2 - b2 )2 + a b 2 a b a b a b b a 2 1 b a b a a b với a, b > Mặt khác : Theo câu đề thi ta có : a + b + c = => 3abc 3abc - c3 = a3 + b3 a2 b2 = đặt vào (*) ta : 1 a b DeThiMau.vn (*) = a + b3 + c3 Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN a2 b2 1 a b + (a2 - b2 )2 + a b 2 a b a b a b b a 2 1 b a b a a b (**) víi a, b > Cho hai sè , => 2 mµ theo câu đề ta có : 2 => ( B§T bun-nhi-a-cèp-ski) Nên áp dụng vào toán ta có : a b 2 a b b a b a L¹i theo Câu (1) , dấu = xảy a2 = b2 ®Ị Ta cã : 2 Cho hai sè m , n d¬ng => a b a b 1 1 a b a b 2 m 2 n , nên áp dụng vào toán ta có: mn (2) , dấu = xảy a2 = b2 Lại theo câu ®Ị ta cã : p4 + q4 2 pq 2 p q , nên áp dụng vào to¸n ta cã: (a2 - b2 )2 0 (3) , dÊu ‘=’ xay a2 = b2 L¹i theo câu đề ta có : Cho hai số i j áp dụng vào toán ta : (4) , dÊu ‘=’ x¶y a2 = b2 VËy tõ ( 1) (2) (3) (4) ta cã : a b 2 b a a2 b2 1 a b + (a2 - b2 )2 + j i i , j > => i2 + j2 2ij , nªn a b 2 a b a b a b b a 2 1 b a b a a b DeThiMau.vn (***) Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Vậy so sánh (**) (***) => a2 = b2 => x( x 1) 2012 x x 2012 ( v× x > 0) => x = 2013 (là nghiệm thoả mÃn yêu cầu toán) Tặng em thi chuyên , chúc em đạt kết cao kì thi nµy! DeThiMau.vn ... Cán coi thi giải thích thêm đề thi! Họ tên thÝ sinh : Sè b¸o danh : DeThiMau.vn Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Lời giải đề thi dành cho bạn đọc , Bây ta vào giải đề thi : Thật : Vì đề yêu... a b DeThiMau.vn (***) Nguyễn Văn Tuyên :QV-BN Vậy so sánh (**) vµ (***) => a2 = b2 => x( x 1) 2012 x x 2012 ( x > 0) => x = 2013 (là nghiệm thoả mÃn yêu cầu toán) Tặng em thi chuyên. .. = xảy a2 = b2 đề Ta cã : 2 Cho hai sè m , n d¬ng => a b a b 1 1 a b a b 2 m 2 n , nên áp dụng vào toán ta cã: mn (2) , dÊu ‘=’ x¶y a2 = b2 Lại theo câu đề ta có : p4