lấy điểm C.. Chứng minh rằng a là một số chính phương. Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài và chiều rộng tương ứng là a b ,. Hãy xác định độ dài đoạn AE theo R. Trong một hình v[r]
(1) Tài liệu sưu tầm
BỘ ĐỀ LUYỆN THI
VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
(2)BỘĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐỀ SỐ
Câu (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức
2
a b a b b b
P
a ab ab a ab a ab
+ − −
= + +
+ − + (với a b, >0 a≠b) Rút gọn biểu thức P tìm giá trị nhỏ biểu thức
2019 13
Q= + P+ a− a+a a
b) Tìm tất cặp số nguyên dương ( , )x y cho hai số x2+8y y2+8x
các số phương Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x3+3x2+4x+ =3 3x x( +1)3 x+2 b) Giải hệ phương trình:
2
2
( ) ( 12)
4(2 3)
x x y y xy
x y
+ + + =
+ − =
Câu (0,5 điểm). Cho hai hàm số 2
y= x y= mx Tìm m để hai đồ thị hai hàm số
đã cho cắt ba điểm phân biệt ba đỉnh tam giác
Câu (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD F
a) Chứng minh 12 12 12
AB AE AF
− =
b) Từ điểm M tam giác ABC, vẽ MI ⊥BC MH, ⊥CA MK, ⊥AB Xác định vị
trí điểm M để MI2+MH2+MK2 đạt giá trị nhỏ
Câu (2,0 điểm).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O , D điểm cạnh BC (D khác B C) Gọi M N, trung điểm cạnh AB AC, Đường thẳng MN cắt ( )O điểm P Q, (P Q, thuộc AB AC) Đường tròn ngoại
tiếp tam giác BDP cắt AB I (khác B) Các đường thẳng DI AC cắt K
a) Chứng minh tứ giác AIPK nội tiếp PK QB PD =QA
b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G (khác P) Đường
thẳng IG cắt đường thẳng BC E Chứng minh D di chuyển BC CD
CE khơng đổi
Câu (1,0 điểm).Cho a b c, , số thực dương Chứng minh 2
2 2
8 8
( ) ( ) ( )
8 8
3 3
a b c
a+b + abc+ b+c + abc+ c+a + abc+ + + ≥a+ +b+ +c+
Câu (0,5 điểm) Cho tập X ={0;1;2;3;4;5} Hỏi từ tập X ta lập số tự nhiên abcdef gồm chữ số khác thỏa mãn: d + + − − − =e f a b c
(3)ĐỀ SỐ
Câu (2,0 điểm) a) Cho biểu thức
2 2
2 :
a b a b a b
P
a b
a b a b a b a b
− − −
= +
+
+ + − − − +
(với a> >b 0)
Rút gọn biểu thức P tìm giá trị nhỏ biểu thức b= −a b) Tìm tất cặp số nguyên dương ( ; )x y thỏa mãn
2
x y
y + x =
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 3
1
x − − x − + =x
b) Giải hệ phương trình
4
2
697 81
3 4
x y
x y xy x y
+ =
+ + − − + =
Câu (0,5 điểm)
Cho parabol
( ) :P y=x đường thẳng d y: =mx+3 Tìm m để đường thẳng d cắt ( )P
tại hai điểm A B, phân biệt cho độ dài AB ngắn
Câu (2,0 điểm) Trong tam giác ABC lấy điểm O cho ABO= ACO Gọi H K, hình chiếu O lên AB AC
a) Chứng minh OB.sinOAC=OC.sinOAB
b) Gọi M N, trung điểm BC HK Chứng minh MN vng góc
với HK
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB< AC, nội tiếp đường trịn ( )O ngoại
tiếp đường tròn ( )I Điểm D thuộc cạnh AC cho ABD= ACB Đường thẳng AI cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC điểm thứ hai E cắt đường tròn ( )O điểm
thứ hai Q Đường thẳng qua E song song với AB cắt BD P
a) Chứng minh tam giác QBI cân BP BI =BE BQ
b) Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K trung điểm EJ Chứng
minh PK//JB
Câu (1,0 điểm)
Cho a b c, , số thực dương cho ab+bc+ca=3abc Chứng minh
2 2 2
1 1
2
2a +b + b +c +2c +a ≤
Câu (0,5 điểm)
(4)ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm)
a) Cho a b c, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+ + +b c abc =4 Tính giá trị biểu thức P= a(4−b)(4− +c) b(4−c)(4−a) + c(4−a)(4−b) − abc +2019
b) Với số nguyên dương n, xác định theo n số tất cặp thứ tự hai số nguyên dương ( ; )x y cho x2 −y2 =100.302n đồng thời số cặp số phương
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: ( )
1
x+ x+ − =x x + +x
b) Giải hệ phương trình: ( )
2 2
3
5 2 2
2 12
x xy y x xy y x y
x y x y xy y
+ + + + + = +
+ + + + + = + +
Câu (0,5 điểm) Cho parabol
( ) :P y=x đường thẳng d y: =5mx+4m m( ≠0) Tìm m để đường thẳng d cắt ( )P hai điểm phân biệt A B, có hồnh độ x x1, 2 cho
2
2
2
1
5 12 12
x mx m
m A
x mx m m
+ +
= +
+ + đạt giá trị nhỏ
Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD, điểm E nằm cạnh BC (E khác B, E khác )
C Hai đường thẳng AE CD cắt F a) Chứng minh 12 + 12 = 12
AE AF AB
b) Gọi G trọng tâm tam giác ACD I trung điểm cạnh AD Điểm M di động đoạn thẳng ID, đường thẳng MG cắt AC N Chứng minh AD + AC =3
AM AN
và giá trị tích AM AN nhỏ tính tỉ số AM
AD
Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn ( ; )O R điểm A cố định ( ; )O R Gọi M, N giao điểm hai đường tròn ( ; )O R ( ; )A R ; H điểm thay đổi cung nhỏ MN
đường tròn ( ; )A R Đường thẳng qua H vng góc với AH cắt ( ; )O R B, C Kẻ
( ), ( )
HI ⊥ AB I∈AB HK ⊥ AC K∈AC
a) Chứng minh IK ln vng góc với đường thẳng cố định
AB AC = R
b) Tìm giá trị lớn diện tích ∆AIK H thay đổi
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 4a 9b 16c
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Câu (0,5 điểm) Cho tập X ={1, 2,3, ,81} Chứng minh phần tử tùy ý
(5)ĐỀ SỐ
Câu (2,0 điểm)
a) Cho 3
1
x= + + Tính giá trị biểu thức P= x3−3x2−3x+2019 b) Tìm cặp số nguyên dương ( ; )a b cho
3
3
4 b 4 b b 4 b b
a+ − = + + + − +
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 4
13 x −x +9 x +x =16 b) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
4
2
3
240
2 4
x y
x y x y x y
− =
− = − − −
Câu (0,5 điểm)
Cho parabol
( ) :P y=2ax (a>0) đường thẳng d y: =4x− −y 2a2 Tìm a để d cắt
( )P hai điểm phân biệt A B, có hồnh độ x x1, 2 cho biểu thức
1 2
8
2
Q
x x x x
= +
+
đạt giá trị nhỏ
Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD có xAy=450 quay quanh đỉnh A Các tia
,
Ax Ay cắt cạnh BC CD theo thứ tự P Q Kẻ PM song song với AQ QN
song song với AP Đường thẳng MN cắt AP E cắt AQ F Chứng minh
a) Tam giác AMN cân b) EF2 =ME2 +NF2
Câu (2,0 điểm)
Cho đường tròn (O R; ) đường tròn (O R′ ′; ) cắt A B Trên tia đối AB
lấy điểm C Kẻ tiếp tuyến CD CE, với đường trịn tâm O, D E, tiếp điểm E nằm đường tròn (O′) Đường thẳng AD AE, cắt đường tròn (O′)
M N (M N, =/ A) Tia DE cắt MN I Chứng minh rằng:
a) MIBAEB b) O I′ ⊥MN
Câu (1,0 điểm)
Cho số dương a b c, , thỏa mãn a+ + =b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2 2
2( ) ( )
P= a b+b c+c a + a +b +c + abc
Câu (0,5 điểm) Cho tập A={1, 2, ,16} Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho
trong tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a b, mà a2+b2
một số nguyên tố
(6)ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm) a) Cho a b, số dương, a≠b
( )( )
2
( ) (2 )
: 3
a a b b a a b b
a b a b
ab
a b a b
+ −
+ − + − =
+ −
Tính S 2ab2 2(a22 b2)
a b
+ − +
=
+
b) Cho số nguyên dương a b c d, , , thoả mãn a< ≤ <b c d ad; ; =bc d − a ≤1 Chứng minh a số phương
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 3 ( )2 ( )3
2 2
x +x + x x x − + = x + x+ x + −x x − x
b) Giải hệ phương trình:
3 3
1
1 1
1 18
x y
x y x y
+ =
+ + + =
Câu (0,5 điểm) Cho parabol
( ) :P y=x hai điểm A B, thuộc ( )P có hồnh độ lần
lượt −1 Tìm M thuộc AB cho tam giác MAB có diện tích lớn
Câu (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài chiều rộng tương ứng a b, Điểm G nằm đường chéo AC cho
2
GA
GC = Một đường d qua G cắt
cạnh AD AB tương ứng P Q
a) Chứng minh AD AB
AP + AQ có giá trị không đổi
b) Đặt AP=x gọi S diện tích ngũ giác BCDPQ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
2
1
6
M
a ax
S
x b
= +
+
+
−
biết a+ ≤b
Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O R; ) Trên cung nhỏ AD
lấy điểm E (E không trùng với A D) Tia EB cắt đường thẳng AD AC, I K Tia ECcắt đường thẳng DA DB, M N, Hai đường thẳng
,
AN DK cắt P
a) Chứng minh tứ giác IABN,EPND nội tiếp EKM =DKM
b) Khi điểm M vị trí trung điểm AD Hãy xác định độ dài đoạn AE theo R
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng:
( )( )
( ) ( ( )( ) ) ( ( )( ) )
2 2
2 2 2
a bc b c b ca c a c ab a b
a b c b c a c a b
+ + + + + +
+
+ + + + ≥
(7)ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm)
a) Cho x>1,y<0 thỏa mãn điều kiện
( )
3
2
( )( ) 16
2019
1 ( )
x y x y x x
x x y xy y
+ − − − = −
− − + +
Tính tỉ số x
y
b) Tìm tất số tự nhiên n cho n7 −n5+2n4 +n3−n2 +1 có ước nguyên tố
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 2
2
x x
x x
x
+ + + + =
+
b) Giải hệ phương trình: ( )( )
2 3
2
6 6
2
1
x x x x x x
x
x y
− + = + − +
+ = +
Câu (0,5 điểm) Cho parabol
( ) :
2
P y= − x d đường thẳng qua hai điểm
(0; 2), ( ;0)
I − M m với m≠0 Chứng minh d cắt ( )P hai điểm phân biệt A B, với độ dài AB>4
Câu (2,0 điểm) Giả sử ABCD miếng bìa hình vng cạnh a Trên mặt phẳng có
hai đường thẳng song song l1 l2 cách đơn vị Hình vng ABCD đặt
trong mặt phẳng cho AB AD cắt l1 E F, Cũng CB CD lần
lượt cắt l2 G H Gọi chu vi AEF CGH tương ứng m m1, Lấy hai điểm M N nằm BC DC cho NH =AE MG=AF
a) Chứng minh tổng m1+m2 chu vi MCN
b) Chứng minh với cách đặt bìa hình vng thế, dù đặt
m +m số
Câu (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ( )O (AD<BC) Gọi I giao điểm AC
và BD Vẽ đường kính CM DN, Gọi K giao điểm AN BM, Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NOC điểm J khác C
a) Chứng minh KBNJ tứ giác nội tiếp b) Chứng minh I K O, , thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Cho a b c, , số thực thỏa mãn a+ + =b c Chứng minh
2 2
1 1
8 8
a b c
a b c
− + − + − ≥ −
+ + +
Câu (0,5 điểm) Cho lớp học có 35 học sinh, học sinh tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh ln có học sinh tham gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh
(8)ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm)
a) Cho 2
x= −
+ Tính giá trị biểu thức
( ) 2019
9
5 29
2
(4 1) 4 5
2
x
P x x x x x x x
x x
−
= + − + + + − + + +
+
b) Tìm tất cặp số nguyên dương ( , )x n cho xn+2n+1 ước 1
2
n n
x + + + +
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x2−11x+21 4− x− =4 0 b) Giải hệ phương trình:
3
2
3 49
8 17
x xy
x xy y y x
+ = −
− + = −
Câu (0,5 điểm) Cho parabol ( ) :
3
P y= x đường thẳng :
d y= − +x Gọi A B
giao điểm d với ( )P Tìm điểm M trục tung cho độ dài MA MB+ nhỏ
Câu (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân A có A=360 Phân giác BD đường cao AH cắt I
Tia phân giác ADB cắt AH O Gọi E giao điểm BO AC; F giao điểm
của CI DO
a) Chứng minh BEF cân
b) Chứng minh tứ giác BCEF BDAF hình thoi
Câu (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O Lấy điểm P cung BC không chứa điểm A ( )O Gọi ( )K đường tròn qua A P, tiếp xúc với AC Đường tròn ( )K
cắt PC S khác P Gọi ( )L đường tròn qua A P, đồng thời tiếp xúc với AB Đường tròn ( )L cắt PB T khác P.Gọi D điểm đối xứng với A qua BC a) Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác DPT
b) Ba điểm S D T, , thẳng hàng
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
a ab b bc c ca
P
b ca c c ab a a bc b
+ + +
= + +
+ + + + + +
Câu (0,5 điểm) Cho tập X ={1, 2,3, , 200} Chứng minh với tập A X
(9)ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức 1 :2
1
1
xy x x y xy
x P
xy
xy xy
+ + +
= + +
−
+ −
( với x>0,y>0,xy≠1) Rút gọn biểu thức P tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 16xy P (x2 y P2)
x y
= + +
+
b) Tìm cặp số nguyên ( )x y; thỏa: 6060 6060 4040 2020
y =x −x −x +
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
4 x+ +3 2x+ =7 (x+1)(x +4x+2) b) Giải hệ phương trình:
2
4
2( ) 2(2 )
3 6
x y x y xy
x x y y xy
+ + + = +
+ + + =
Câu (0,5 điểm) Cho parabol
( ) :P y= −x đường thẳng d y: =2x−3 Gọi A B, hai giao điểm d ( )P Tìm điểm M AB parabol ( )P cho MAB vuông
tại M
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có trực tâm H Qua A kẻ đường thẳng song song
với BH cắt CH E
a) Gọi p p1, chu vi tam giác EHA ABC Chứng minh
1
p EH
AB = p
b) Qua A kẻ đường thẳng song song với CH cắt tia BH D Kẻ đường trung tuyến AM ABC Chứng minh DE⊥ AM
Câu (2,0 điểm). Cho đường tròn ( ), (O O1), (O2) biết (O1), (O2) tiếp xúc với điểm I (O1), (O2) tiếp xúc với ( )O tạiM M1, Tiếp tuyến (O1)
I cắt ( )O tạiA A, Đường thẳng AM1 cắt (O1) điểN1, đường thẳngAM2 cắt
(O ) điểm N2 Chứng minh tứ giác M N N M1 1 2 2 nội tiếp OAN N2 1
b) Kẻ đường kính PQ ( )O cho PQAI( điểm P nằm AM1 không chứa
điểmM2) Chứng minh PM PM1, 2 khơng song song đường thẳng
, ,
AI PM QM đồng quy
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:
2 2
1
1 1
( ) ( ) ( )
a a + bc +b b + ac +c c + ab ≤ abc
Câu (0,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ có điểm nguyên nằm đường trịn bán kính r Chứng minh tồn hai điểm mà khoảng cách không nhỏ
3
r
(10)ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức 2
2 2
a b ab
P
ab a b ab a b
(với a b, 0 a1)
Tìm giá trị lớn P a1 số tự nhiên
b) Cho m n, hai số nguyên dương lẻ cho n21 chia hết cho m2n21 Chứng minh 2
1
m n số phương
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x x 1 x
x x x
−
+ = − + −
b) Giải hệ phương trình:
2
2
1 1
3
x y y y x x x y
x x x y x x y
Câu (0,5 điểm) Cho parabol 2 ( ) :
3
P y x Lấy hai điểm thay đổi A B ( )P
cho OAOB Chứng minh hình chiếu H O AB thuộc đường tròn cố
định đồng thời xác định vị trí A B để OH lớn
Câu (2,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có BACCAD ABCACD Hai tia AD BC cắt E, hai tia AB DC cắt F Chứng minh
a) AB DE BC CE b) 1( )
2
AC AD AFAB AE
Câu (2,0 điểm). Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp
đường tròn ( )I Gọi D E F, , tiếp điểm BC CA AB, , với đường tròn ( )I
Gọi M giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC, biết AD cắt đường tròn
( )I điểm N (N không trùng với D), gọi K giao điểm AI EF
a) Chứng minh điểm I D N K, , , thuộc đường tròn b) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn ( )I
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn điều kiện
a b c+ + ≤
Chứng minh rằng:
2 2
1 4 1
6 4
a b c b c c a a b
a b c a b c b c a c a b
+ + + − − −
+ + ≤ + + +
− − − + + +
Câu (0,5 điểm) Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách hai sân bay khác Mỗi máy bay cất cánh từ sân bay bay đến sân bay gần Chứng minh sân bay khơng thể có q máy bay đến
(11)ĐỀ SỐ 10 Câu (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức 8
3 3
a a a a
P= a+ + − + a− + −
b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau:
( ) ( )
3 2 2
2
3 3
8 16
2
x x x x x x x x
y z
− + − − − − − −
+ = − +
với điều kiện 2≤ < <y x 10
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: ( )2
2 x + −x 1 +2x +2x= +3 4x+5
b) Giải hệ phương trình:
2
1 4( ) 3( ) 2019 2020
x y x y x y
x y
+ + + = + + +
− =
Câu (0,5 điểm) Cho parabol ( ) :
2
P y= x đường thẳng d có hệ số góc m
− (với
m≠ ) qua điểm I(0;2) Chứng minh d cắt ( )P hai điểm phân biệt A B, khác phía Oy AB>4; 8yA2 +yB2 > (Ở yA,yB tung độ hai
điểm A B)
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD BE CF, , cắt H
Biết SAEF =SBFD =SCDE Chứng minh
a) H tâm đường tròn nội tiếp DEF b) ABC tam giác
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có A B C nội tiếp đường trịn O , ngoại tiếp đường tròn I Cung nhỏ BC có M điểm N trung điểm cạnh BC
Điểm E đối xứng với I qua N Đường thẳng ME cắt đường tròn O điểm thứ hai
Q Lấy điểm K thuộc BQ cho QK QA Chứng minh rằng: a) Điểm Q thuộc cung nhỏ AC đường tròn O
b) Tứ giác AIKB nội tiếp BQ AQ CQ
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , ba số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức 22 22 22
( 2) ( 2) ( 2)
a b c
P
b a c b a c
= + +
+ + +
Câu (0,5 điểm) Bên đường trịn tâm O bán kính R=1 có điểm phân biệt Chứng minh rằng: tồn hai điểm số chứng mà khoảng cách hai điểm nhỏ
(12)ĐỀ SỐ 11 Câu (2,0 điểm)
a) Cho ba số dương x y z, , thỏa xy+ yz+zx=1 Tính giá trị biểu thức ( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
2 2
1 1 1
1 1
y z z x x y
P x y z
x y z
+ + + + + +
= + +
+ + +
b) Cho ba số tự nhiên a b c, , thỏa mãn đồng thời hai điều kiện a b− số nguyên tố
( )
2
3c =c a+b +ab Chứng minh 8c+1 số phương Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
32x −80x +50x +4x− −3 x− =1 b) Giải hệ phương trình:
3
4
8
2
x y xy
x y x y
+ − =
+ − − =
Câu (0,5 điểm) Cho parabol
( ) :P y= −x đường thẳng d y: =mx−1 Chứng minh d qua điểm cố định I cắt ( )P hai điểm A B, phân biệt m thay đổi Tìm m để IA
IB =
Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K Chứng minh
a) 1 2 1 2
AE + AF không đổi b)
cosAKE=sinEKF.cosEFK+sinEFK.cosEKF Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( )O Các đường caoAD BE CF, , cắt H Tiếp tuyến B C, ( )O cắt G Gọi S =GD∩EF M trung
điểm cạnh BC Giả sử EF∩BC =T AT, ∩( )O =K
a) Chứng minh điểm A K F E H, , , , nằm đường tròn b) Chứng minh điểm M H S K, , , thẳng hàng
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , số dương thỏa mãn
a+ + =b c Tính giá trị lớn
của
biểu thức ( )( )
( a)(b b) c ( (b)(c a)( ) c) ( (a)(c a)( ) b)
P
a b b c a c b c a c a b a c a b b c
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + + + + + Câu (0,5 điểm) Trên bảng cho đa thức ( )
4
A x =x + x+ Thực trò chơi sau,
bảng có đa thức B x( ) phép viết lên bảng hai đa thức sau:
( ) 2 ( ) ( )2
1 ;
1
C x x A D x x A
x x
= + = − −
Hỏi sau số bước ta viết đa thức ( )
10
E x =x + x+ hay không?
(13)ĐỀ SỐ 12 Câu (2,0 điểm)
a) Cho số a b, thỏa mãn điều kiện 3 3 4
b
a + b = − Chứng minh − ≤ <1 a b) Tìm tất số nguyên tố p cho p2− +p lập phương số tự nhiên Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
4
2
3 17 11
( 1)
3
x x x x
x x
x x
+ + + + = + +
+ +
b) Giải hệ phương trình: ( )( )
( )( ( ))
2
1
xy x y xy x y y
x y xy x x
+ − − + = +
+ + + − =
Câu (0,5 điểm) Cho hàm số 2
( ) ( 14)
f x = −m + m− x số thực
1
a= + + + + 10
2
b= + + + +
Hãy so sánh f a( ) f b( )
Câu (2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC Chứng minh
a) 12 12 42
R +r =a
b) 82 32 2
( )
R r S
R r
=
+ ; ( Kí hiệu S diện tích tứ giác ABCD)
Câu (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O tâm O, đường kính AD
Hai đường chéo AC BD cắt I Gọi H hình chiếu I lên AD M
trung điểm ID Đường tròn (HMD) cắt ( )O N (N khác D) Gọi P giao điểm
của BC HM Chứng minh
a) Tứ giác BCMH nội tiếp
b) Ba điểm P D N, , thẳng hàng
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , >0 thỏa 21ab+2bc+8ca≤12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P
a b c
= + +
Câu (0,5 điểm) Chứng minh 2015 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chữ số chia hết cho 28
(14)ĐỀ SỐ 13 Câu (2,0 điểm)
a) Cho số thực x y, thỏa mãn x= y− y2 + +1 y+ y2+1 Tính giá trị biểu thức
4 2
3 2019
P=x +x y+ x +xy− y +
b) Cho số nguyên a b, số nguyên tố p thỏa mãn
2
a b
p
+ ∈
Cho biết p tổng
của hai số phương Chứng minh a2 b2
p
+
tổng hai số phương Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 37
4 26
3 x+ − x + x− = b) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2
1
1
1 2
2
1 2
9
xy
x y
x x y y
+ =
+
+ +
− + − =
Câu (0,5 điểm) Cho parabol
( ) :P y= −x đường thẳng d qua điểm I(0; 1)− có hệ số góc k Chứng minh với k, d cắt ( )P hai điểm phân biệt A B, cho x1−x2 ≥2 OAB vuông
Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho
BE=CM
a) Chứng minh OEM vuông cân ME // BN
b) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H∈ BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn ( )O có AD BE CF, , ba đường cao Đường thẳng EF cắt BC G, đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( )O
điểm M
a) Chứng minh bốn điểm A M E F, , , nằm đường tròn
b) Gọi N trung điểm cạnh BC H trực tâm tam giác ABC Chứng minh GH ⊥ AN
Câu (1,0 điểm) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x2+y2+ + + +z2 (x y z)2≤4
Chứng minh 12 12 12
( ) ( ) ( )
xy yz zx
x y y z z x
+ + + + + ≥
+ + +
Câu (0,5 điểm) Cho A tập gồm phần tử tập S={0;1;2; ;14} Chứng minh tồn hai tập B C A (B C, khác khác rỗng) cho tổng phần tử B tổng phần tử C
(15)ĐỀ SỐ 14 Câu (2,0 điểm)
a) Cho n số tự nhiên n≥1 Chứng minh
3 3
1 1
1 + 1+ + + + 3+ + n + n <
b) Cho x y, số nguyên cho x2−2xy−y xy−2y2−x chia hết cho
Chứng minh 2
2x +y +2x+y chia hết cho
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 2 ( )4( 2 )
1+ 2x−x + 1− 2x−x =2 x−1 2x −4x+1
b) Giải hệ phương trình:
2
3
2
14 2
9
2
xy y x y x y x y
x y x y
+ − + −
= +
+ −
+ =
Câu (0,5 điểm) Cho parabol
( ) :P y=2x đường thẳng d y: = −2mx+ +m Tìm m để d cắt ( )P hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2 cho biểu thức
2 2
1
1
(2 1) (2 1)
P
x x
= − −
− − đạt giá trị lớn
Câu (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F lần lượt hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD
a) Chứng minh tứ giác BEDF hình bình hành CH CD =CB CK
b) Chứng minh
AB AH +AD AK = AC
Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB=2R C điểm
AB Lấy điểm M tùy ý BC (M khác B) Gọi N giao điểm hai tia OC BM Gọi H I, trung điểm đoạn thẳngAO AM, ; Klà giao điểm
đường thẳng BM HI
a) Chứng minh A H K N, , , nằm đường trịn
b) Xác định vị trí điểm M cung BC (M khác B) cho 10
2
R
AK =
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , số thực dương cho ab bc+ +ca=1 Chứng minh
6b 6c 6a
a+ + b+ + c+ ≤ abc
Câu (0,5 điểm) Giả sử A tập số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ
1, phần tử lớn 100 x∈A (x≠1), tồn a b, ∈A cho x= +a b (a b) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ
(16)ĐỀ SỐ 15 Câu (2,0 điểm)
a) Cho n số tự nhiên n≥1 Chứng minh
( )
2 2
1 1 1
1 +2 +3 + + n n+2 n+1< 2
b) Tìm số nguyên dương (m n; ) cho p=m2+n2 số nguyên tố m3+n3−4 chia hết chop
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: ( )
( ) ( ) ( )
4
4
2
2
2
1
3
1
x
x x x
x x
−
+ − + = − −
−
−
b) Giải hệ phương trình:
2 3
2 3
x
x y y
y
x x y x y
− = − +
+ − = + −
Câu (0,5 điểm) Lấy điểm A B thuộc parabol ( ) :P y=x2 với xA<0, xB >0 Hãy xác định tọa độ điểm A B, cho OAB
Câu (2,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F cắt CD I Chứng minh
a) DK =CI EF//CD b) AB2=CD EF
Câu (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( )O có trực tâm H Giả sử M điểm BC không chứa A (M khác B C, ) Gọi N P, điểm đối xứng M qua đường thẳng AB AC,
a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp ba điểm N H P, , thẳng hàng b) Tìm vị trí M để đoạn thẳng NP lớn
Câu (1,0 điểm) Cho số dương x y z, , thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=xyz
Chứng minh x+yz + y+zx+ z+xy ≥ xyz + x+ y+ z
Câu (0,5 điểm) Xét tập X gồm 700 số nguyên dương lớn 1, đôi khác
mỗi
số nhỏ 2017 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x y, cho x−y thuộc tập E ={3;6;9}
(17)ĐỀ SỐ 16 Câu (2,0 điểm)
a) Cho a≥0 a≠1 Rút gọn biểu thức
( )
3
6 20 14 ( 3) :
2
a
P a a a
a
−
= − + + + − − −
−
b) Giả sử số nguyên dương n có tất k ước số dương làd d1, 2, ,dk Chứng minh
1 k
d +d + +d + =k n+
2
n
số phương Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 4 28 27
2 27 24
3
x + x+ = + x+
b) Giải hệ phương trình:
2
2
8
16
2
8 3
xy
x y
x y
x x x x y
y y
+ + =
+
+ = + −
Câu (0,5 điểm) Cho đường thẳng d y: =ax b+ qua điểm M(2;7) Tìm số nguyên ,
a b cho đường thẳng d cắt trục hoành điểm có hồnh độ số ngun
âm, cắt trục tung điểm có hồnh độ số nguyên dương
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E
a) Chứng minh EA.EB = ED.EC điểm M di chuyển cạnh AC tổng
BM BD CM CA+ có giá trị không đổi
b) Kẻ DH ⊥BC (H∈BC) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ⊥PD
Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây AB cố định (O không thuộc AB) P
điểm di động đoạn AB (P khácA B, ) Qua A P, vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với
( )O A Qua B P, vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với ( )O B Hai đường tròn ( )C
( )D cắt N ≠P
a) Chứng minh ANP=BNP PNO=900
b) Chứng minh P di động N ln nằm cung tròn cố định
Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn a2 +b2 + +c2 (a+ +b c)2 ≤4 Chứng minh
( ) (2 ) (2 )2
1 1
3
ab bc ca
a b b c c a
+ + + + + ≥
+ + +
Câu (0,5 điểm) Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu xanh, vàng đỏ Chứng minh ln tìm hai điểm màu có khoảng cách cm
(18)ĐỀ SỐ 17 Câu (2,0 điểm)
a) Cho số thực a b c x y z, , , , , cho x y z, , ≠0, 3
ax =by =cz 1 1
x+ + =y z Chứng
minh ax2 +by2 +cz2 = a+ 3b+ c
b) Tìm tất ba số nguyên ( , , )a b c cho số ( )( )( ) 2
a−b b−c c−a
+ lũy thừa 2019
2018 (Một lũy thừa 2019
2018 là số có dạng 2019 2018 n với
n số nguyên không âm)
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 2
x + x+ = − + +x
b) Giải hệ phương trình:
2 2
4
2
x xy y xy y
x x y y y
− + + − =
+ − + = +
Câu (0,5 điểm) Cho đường thẳng d y: =(m−2)x− +m Tìm m để khoảng cách từ O
đến đường thẳng d lớn
Câu (2,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM =3MD Kẻ tia Bx cắt cạnh CD I sao cho ABM =MBI Kẻ tia phân giác CBI, tia cắt
cạnh CD tại N
a) So sánh MN với AM + NC
b) Tính diện tích tam giác BMN theo a Câu (2,0 điểm)
Từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( )O Vẽ hai tiếp tuyến AB AC, ( ,B Clà hai tiếp điểm)
và cát tuyến AEF đến ( )O cho (AEF nằm tia AO AB, , F E, ∈( )O
BAF <FAC) Vẽ đường thẳng qua E vng góc với OB cắt BC M , cắt BF N
Vẽ OK ⊥EF Chứng minh rằng:
a) Tứ giác EMKC nội tiếp
b) Đường thẳng FM qua trung điểm AB
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , ba số thực không âm thỏa mãn a+ b+ c≥1 Chứng
minh 2 ( ) ( )( )( )
7
a +b +c + ab+bc+ca ≥ a+b b+c c+a
Câu (0,5 điểm) Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài Chứng minh ln tồn hình trịn có bán kính
4
R= chứa tồn đường gấp khúc
(19)ĐỀ SỐ 18 Câu (2,0 điểm)
a) Cho x y, >0 cho x+ = −y xy Tính giá trị biểu thức
2
2
2
1
2 (1 )(1 )
1
y x
P x y x y
x y
+ +
= + + + +
+ +
b) Tìm tất số nguyên dương k cho phương trình x2+ y2+ + =x y kxy có
nghiệm nguyên dương Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2
2
2
8
2
x x
x
x x
− +
− + = −
b) Giải hệ phương trình:
( )( )
2
2
21
1
x y x y
x x y y
+ + + =
+ + + + =
Câu (0,5 điểm) Cho parabol
( ) :
P y= x đường thẳng d mx: − + =y Tìm m để d cắt ( )P hai điểm phân biệt A B, cho diện tích tam giác AOB
2 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC với đỉnh A B C, , cạnh đối diện với đỉnh tương ứng a b c, ,
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b c, , b) Chứng minh 2
4
a +b +c ≥ S
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O với AB< AC Gọi M trung điểm BC, AM cắt ( )O điểm D khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác
MDCcắt đường thẳng AC E khác C Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt
đường thẳng AB F khác B
a) Chứng minh BDFCDE; ba điểm E M F, , thẳng hàng OA⊥EF.
b) Phân giác góc BAC cắt EF điểm N Phân giác góc CEN BFN lần
lượt cắt CN BN, P Q Chứng minh PQ song song với BC
Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca≤3abc
Chứng minh 2( a b b c c a) a2 b2 b2 c2 c2 a2
a b b c c a
+ + +
+ + + + + ≥ + + +
+ + +
Câu (0,5 điểm) Trên đảo có 13 tắc kè xanh, 15 tắc kè đỏ 17 tắc kè vàng Khi hai tắc kè khác màu gặp nhau, chúng đổi sang màu cịn lại Liệu đến lúc tất tắc kè có màu hay không ?
(20)ĐỀ SỐ 19 Câu (2,0 điểm)
a) Cho số thực x y z, , đôi khác thỏa mãn
3 3
3 3
(y−z) 1−x + −(z x) 1−y +(x−y) 1−z =0
Chứng minh 3 3
(1−x )(1−y )(1−z )= −(1 xyz) b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2
8
x y y
x y x
− = − Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
1
x+ + x − x+ = x
b) Giải hệ phương trình:
2
2 34
2 34
x x y xy x
y x y xy y
+ − + − − = +
+ − + − − = − +
Câu (0,5 điểm) Cho hàm số y= 2x−1 có đồ thị ( )C Tìm m để đường thẳng
:
d y= +x m cắt ( )C hai điểm phân biệt A B cho đoạn thẳng AB có độ dài
bằng
Câu (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB< AC) có đường cao AH cho AH =HC Trên AH lấy điểm I cho HI =BH Gọi P Q trung
điểm BI AC Gọi N M hình chiếu H AB IC; K
giao điểm đường thẳng CI với AB; D giao điểm đường thẳng BI với AC
a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABC
b) Chứng minh tứ giác HNKM hình vng bốn điểm N P M Q, , , thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn ( )O đường kính AB=2AC, điểm C thuộc đường tròn
(C≠ A C, ≠B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường
tròn ( )O Gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q, tia AM cắt BC N
a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân
b) KhiMB=MQ, tính BC theo R
Câu (1,0 điểm) Cho số thực không âm a b c, , thoả mãn a2+b2+c2 =2
Chứng minh bất đẳng thức { }
( )
2 2 2 3
2 8max ; ;
3 a b b c c a
a b c abc
a b c
+ + + ≥
+ +
Câu (0,5 điểm) Cho ba đống sỏi khác Sisyphus thực di chuyển viên sỏi từ ba đống sỏi sang đống sỏi lại Mỗi lần chuyển sỏi, Sisyphus nhận từ Zeus số tiền hiệu số số sỏi đống sỏi lấy đống sỏi nhận thêm trước di chuyển Nếu số chênh lệch âm Sisyphus phải trả cho Zeus số tiền chênh lệch Sau số bước thực số sỏi đống trở ban đầu Hỏi số tiền tối đa mà Sisyphus nhận ?
(21)ĐỀ SỐ 20 Câu (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức
3
10 5
5 5
5
x x x x
P x
x x x x
x
+ + −
= − − −
+ + + −
−
Rút gọn biểu thức P tìm số nguyên x≥11 để
P>
b) Tìm số nguyên x y, thỏa mãn x4+ =y x3+y2 Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
(3 4)
x + x − x− x+ =
b) Giải hệ phương trình:
4
3
( 1)( 1)
1 1
x y xy
x y x
+ + =
− − − = −
Câu (0,5 điểm) Cho parabol ( ) :
2
P y= x đường thẳng : ( 1) 2
d y = m+ x−m − (m
là tham số) Tìm m đường thẳng d cắt Parabol ( )P hai điểm A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) cho biểu thức T = +y1 y2−x x1 2 đạt giá trị nhỏ
Câu (2,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB / / CD AB, <CD) Gọi K M, trung điểm BD,AC Đường thẳng qua K vng góc với AD cắt đường thẳng qua
M vng góc với BC Q Chứng minh
a) KM //AB b) QC=QD
Câu (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M điểm di động đoạn OB (M khôngtrùng với O B, ) Vẽ đường tròn tâm I qua M tiếp xúc với BC B, vẽ đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với CD D Đường tròn ( )I
đường tròn ( )J cắt điểm thứ hai N
a) Chứng minh điểm A N B C D, , , , thuộc đường tròn Từ suy điểm
, ,
C M N thẳng hàng
b) Tính OM theo a để tích NA NB NC ND lớn
Câu (1,0 điểm) Cho x y z, , >0 thỏa x+ y+ z =1 Chứng minh rằng:
2 2
2 2
2 ( ) ( ) (
1 )
x yz y zx z xy
x y z y z x z x y
+ + + + +
+ + + ≥
Câu (0,5 điểm) Một quân cờ di chuyển bàn cờ n n× theo cách: lên
một ô, sang bên phải ô, xuống bên trái Hỏi qn cờ qua tất ô, ô lần quay lại ô kề bên phải ô xuất phát không ?
(22)ĐỀ SỐ 21 Câu (2,0 điểm)
a) Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với giá trị nguyên dương n
( 2 )
2 2 2
P= n + n+ + n − n+ n + − n +
b) Tìm tất số tự nhiên ( ; )x y thỏa mãn x x2 =9y2+6y+16 Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: ( ( ) )
2 x+2 +2 2−x = 9x +16
b) Giải hệ phương trình: ( ) 4
2019 2023 2023 2019
2021
2
2
xy x y
x y x y
+ + =
+ =
Câu (0,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol ( ) :P y=x2 đường thẳng
:
d y= − mx− m Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt ( )P hai điểm
phân biệt có hồnh độ x x1, cho x1 + x2 =3
Câu (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a AD, =b Gọi H hình chiếu A lên BD Gọi E F hình chiếu H lên BC CD, gọi M giao
điểm CH AD Chứng minh:
a) HE 2a3 2
a b
=
+ b)
6
a b
CM
a
+
=
Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn ( )O đường kính AB, qua A B vẽ tiếp
tuyến d1 d2 với ( )O Từ điểm M ( )O vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 C cắt d2 D Đường trịn đường kính CD cắt đường trịn ( )O E F (E
thuộc cung AM ), gọi I giao điểm AD BC
a) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD
b) Chứng minh MI vng góc với AB ba điểm E I F, , thẳng hàng
Câu (1,0 điểm). Cho a b c, , >0 cho a+ + ≥b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2
2 25
2
3
b c
Q a
a b c
= + + + + +
Câu (0,5 điểm) Trong 100 số tự nhiên từ đến 100, chọn n số (n≥2) cho số phân biệt chọn có tổng chia hết cho Hỏi chọn n số thỏa mãn điều kiện
trên với n lớn ?
(23)ĐỀ SỐ 22 Câu (2,0 điểm)
a) Cho a= 2; b= Chứng minh 1 a b a b
a−b− = + + + +b b a
b) Tìm tất ba số nguyên tố ( ; ; )a b c thỏa mãn a< <b c, , , 1bc− a ca− b ab− c
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 64
5
5 6
x x
x x
x x
+ + + =
+ + b) Giải hệ phương trình:
2
2
2
4 4
x y x
x xy y y
+ − =
− + − + =
Câu (0,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol
( ) :P y=x hai đường thẳng
:
d y=m; d′:y=m2 (với 0< <m 1) Đường thẳng d cắt ( )P hai điểm phân biệt A B, đường thẳng d′ cắt ( )P hai điểm phân biệt C D, (với hoành độ A D số
âm) Tìm m cho diện tích hình thang ABCD gấp lần diện tích tam giác OCD
Câu (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M BD cho MB≠MD
Đường thẳng qua M song song với AB cắt AD BC E F Đường
thẳng qua M song song với AD cắt AB CD K H
a) Chứng minh KF // EH đường thẳng EK HF BD, , đồng quy b) Chứng minh SMKAE =SMHCF
Câu (2,0 điểm) Cho AB đường kính cố định đường tròn ( )O Qua điểm A
vẽ đường thẳng d vng góc với AB Từ điểm E đường thẳng d, vẽ tiếp
tuyến với đường tròn ( )O (C tiếp điểm, C khác A) Vẽ đường tròn ( )K qua C
tiếp xúc với đường thẳng d E, vẽ đường kính EF đường trịn ( )K Gọi M
trung điểm OE Chứng minh rằng:
a) Điểm M thuộc đường tròn ( )K
b) Đường thẳng qua F vng góc với BE ln qua điểm cố định E thay
đổi đường thẳng d
Câu (1,0 điểm) Cho số dương x y, Tính giá trị nhỏ biểu thức
3
2 (2 )( )
4 3( )
(2 ) 1 ( ) 1
x y x y
P
x y
x y x y
+ +
= + + −
+
+ + − + + −
Câu (0,5 điểm) Trên bảng ban đầu ghi số số Ta thực viết thêm số lên bảng sau: đã có số, giả sử a b, (a≠b), ta viết thêm lên bảng số có giá trị a+ +b ab Hỏi với cách thực vậy, bảng xuất số 2016 khơng
? Giải thích
(24)ĐỀ SỐ 23 Câu (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức ( )
( )2
2 3 6 4
2
2
b a b b
P a b
a b a b a ab a b
− +
= − − +
+ − − + −
(với a b, số nguyên dương, a,b≤9,a≠b,b≠4a)
Rút gọn P tìm n=ab (n số có hai chữ số a b, a≠0) để P đạt giá trị lớn
b) Tìm tất số tự nhiên n thỏa mãn 2n+1, 3n+1 số phương 2n+9 số nguyên tố
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
3x− +5 3− x =9x −36x+38 b) Giải hệ phương trình: 2 2
2
1
1 25
4 16
x y
x y
y x
+ =
+ + =
Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol ( ) :
4
P y= x Giả sử hai đường
thẳng qua I(0;1) cắt ( )P A B1, 1 A B2, tương ứng Chứng minh
1 2
1 1
1
IA + IB = IA + IB = 1 2 1 2
1
IA IA + IB IB ≤
Câu (2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh AB=a A, =600 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA DA theo thứ tự M N
a) Chứng minh tích BM DN có giá trị khơng đổi b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo BKD
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( )O đường kính BC Kẻ đường
cao AH ABC Cho biết 20 ,
AH
BC cm
AC
= =
a) Tính độ dài cạnh AB AC
b) Đường trịn đường kính AH cắt đường tròn ( )O , AB AC, M D E, , Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC K Chứng minh ba điểm A M K, , thẳng hàng bốn điểm B D E C, , , nằm đường tròn
Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn abc=2 Chứng minh 3
a +b +c ≥a b+ +c b a+ +c c a+b
Câu (0,5 điểm) Đặt tùy ý 2018 bìa hình vng cạnh nằm hình vng lớn có cạnh 131 Chứng minh bên hình vng lớn, ta ln đặt hình trịn có bán kính cho hình trịn khơng có điểm chung với bìa hình vng
(25)ĐỀ SỐ 24 Câu (2,0 điểm)
a) Chứng minh số x0 = 2+ 2+ − 2− + nghiệm phương trình
16 32
x − x + =
b) Cho ABC có A= +B 2C độ dài ba cạnh ba số tự nhiên liên tiếp Tính độ dài
cạnh ABC
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
4 10
x x
x− x+ + x− x+ =
b) Giải hệ phương trình: ( )
( )
3
2
2
6
6
2
x xy y
x y
x x y
x xy y
+ = +
+
+ − + =
+ +
Câu (0,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d y: = +x ( ) :P y=x
Xác định độ dài cạnh hình vng ABCD biết hai đỉnh A B, thuộc đường thẳng d hai
đỉnh C D, thuộc parabol ( )P
Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh
, , ,
AB BC CD DA hình vuông
a) Chứng minh ( )
2
ABCD
AC
S ≤ MN+NP+PQ+QM
b) Xác định vị trí M N P Q, , , để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD BE CF, , cắt điểm H Đường thẳng EF cắt điểm M Gọi O trung điểm BC Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác OBF OCE, cắt giao điểm thứ P
a) Chứng minh tứ giác EFPH,BCHP MEPB, tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OPM tam giác vuông
Câu (2,0 điểm) Cho a b c, , ba số dương Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
2 2 2 2 2
4 ( ) ( ) ( )
2 2
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ − + − + −
+ +
+ + + + + + ≥
Câu (0,5 điểm) Trong bảng 11 11× vng ta đặt số tự nhiên từ đến 121 vào
đó cách tùy ý (mỗi ô đặt số hai khác đặt hai số khác nhau) Chứng minh tồn hai ô vuông kề (tức hai vng có chung cạnh) cho hiệu hai số đặt hai lớn
(26)ĐỀ SỐ 25 Câu (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức 2
2
1 ( 1)
a a
P a
a a
= + + +
+ + với a≠ −1 Rút gọn biểu thức P tính giá trị biểu thức P a=2020
b) Cho p q, số nguyên tố thỏa mãn
1
p q n
p q n
+
+ =
+ + với n số nguyên dương Tìm tất giá trị dương q−p
Câu (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
3x− +5 3− x =9x −36x+38 b) Giải hệ phương trình:
2
2
3
2
x y xy x y
x y x y
+ − + + − =
− + + − =
Câu (0,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol ( ) :P y=x2 Trên ( )P lấy điểm
phân biệt ( ; ) i i i
A a a với i=1, 2, ,6 Giả sử A A1 2 ⊥ A A4 5 A A2 3 ⊥A A5 6 Chứng minh
nếu
1 2 3 4 5 6
(a +a )(a +a )(a +a )(a +a )(a +a )(a +a )≠ −1 A A3 4 A A6 1 khơng thể vng
góc với
Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M ( CM <CD), vẽ hình vng CMNP (P nằm B C), DP cắt BM H , MP cắt BD K
a) Chứng minh DH vng góc với BM tính PC PH KP BC + DH +MK
b) Chứng minh
MP MK +DK BD=DM
Câu (2,0 điểm) Cho ( )O ( )d không giao Vẽ OH ⊥( )d , lấy hai điểm A B, thuộc ( )d cho HA=HB Lấy điểm M thuộc đường tròn ( )O Dựng cát tuyến qua
, ,
H A B điểm M cắt đường tròn ( )O C D E, , ,DE∩( )d =S Dựng đường
thẳng qua O vng góc với CE cắt tiếp tuyến E ( )O K Dựng ON ⊥DE N
a) Chứng minh tứ giác HNCS tứ giác nội tiếp
b) Ba điểm S C K, , thẳng hàng
Câu (1,0 điểm) Cho ba số x y z, , không âm thỏa mãn x2+ y2+z2 =1 Chứng minh
2 2
1 1
2 2
x+y y+z x+z
− + − + − ≥
Câu (0,5 điểm) Từ đa giác 15 đỉnh, chọn đỉnh Chứng minh có ba đỉnh số đỉnh chọn ba đỉnh tam giác cân
(27)Câu a) Ta có
1
a b a b b b
P
a ab ab a ab a ab
+ − −
= + +
+ − +
( 1) ( ) ( )
a b a b b b
ab
a a b a a b a a b
+ − −
= + +
+ − +
( 1) (( )( ))
2
b a b a b
a b a b
ab
a a b a a b a b
+ + −
+ − −
= +
+ + −
( 1) ( ) ( 1)
a b a b
a
a a b a a b a a b
+ − + − +
= + = =
+ + +
Khi
4
2019 13 2019 13
Q P a a a a a a a a
a
= + + − + = + + − + (a>0) 2019 12 (a a 4a a) a 4 (2a a 8)
a
= + + − + + − + − − +
2031 a a( a 4) (a a 4) (2 a a 4)
a
= + − + + − + − − +
2031 a (a a 4) 2030 a ( a 2)2
a a
= + + − − + = + + − −
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM (Cơ si) ta có a
a
+ ≥ Hơn ( a−2)2 ≥0 nên Q≥2031
Vậy minQ=2031 a=1 a=4
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
(28)b) Khơng giảm tính tổng qt, giả sử x≥ y Khi đó, ta có đánh giá
2
2
2
8 x 8x (x 4)
x <x + y≤ + < +
Do
x + y số phương nên ta xét trường hợp sau:
Trường hợp 1: 2
8 ( 1)
x + y= x+ ⇔ y= x+ Điều xảy hai vế
khác tính chẵn lẻ
Trường hợp 2: 2
8 ( 3)
x + y= x+ ⇔ y= x+ Điều xảy hai
vế khác tính chẵn lẻ
Trường hợp 3: 2
8 ( 2)
x + y= x+ ⇔ =x y−
Do 2
8 8(2 1) 16
y + x= y + y− = y + y− số phương nên
ta xét khả sau
• Với y=1 cặp số ( ; )x y =(1;1) thỏa u cầu tốn • Với y≥2, ta có
2 2
(y+3) < y +16y− <8 (y+8) Do
16
y + y− số phương nên
2 2 2
16 {( 4) , ( 5) , ( 6) , ( 7) }
y + y− ∈ y+ y+ y+ y+
Giải trực tiếp trường hợp ta thu được, ta thu cặp số (5;3), (3;5), (21;11), (11; 21)
Tóm lại, cặp số ( ; )x y thỏa mãn yêu cầu toán
(1;1), (5;3), (3;5), (21;11), (11; 21) Câu
a) Đặt
; 1;
a=x b= +x c= x+ Khi a3+b3+c3 =2x3+3x2+4x+3 Phương trình cho thành
( ) ( ) (2 ) (2 )2
3 3
3
2
a +b +c = abc⇔ a+ +b c a−b + b−c + −c a =
0
a b c
a b b c c a
+ + =
⇔ − = − = − =
a b c
a b c
+ + =
⇔ = =
Với a+ + =b c ta có
( )
1
(29)3 x 2 2x 1 ⇔ + = − −
( )3
2
x x
⇔ + = − − ( )( )
1 8
x x x
⇔ + + + =
⇔ = −x (do 8x2 +8x+ > ∀ ∈3 0, x )
Với a= =b c ta có x= + =x 1 x+2 (vơ lý) Vậy phương trình cho có nghiệm x=1 b) Hệ phương trình cho viết lại sau
3
2
2 12
8 12
x xy y
x y
+ + =
+ =
Thay 2
12=x +8y vào phương trình hệ, ta được:
3 2
2 ( )
x + xy + x + y y=
3 2
2
x xy x y y
⇔ + + + =
3 2
(x 8y ) (2xy x y)
⇔ + + + =
2
(x )(y x 2xy 4y ) xy(2y x)
⇔ + − + + + =
2
(x )(y x xy 4y )
⇔ + − + =
Nếu x+2y= ⇔ = −0 x 2y thay vào phương trình thứ hai hệ
ta
12y =12⇔ = ±y • Với y=1 suy x= −2 • Với y= −1 suy x=2
Nếu
2 2
2 15
4 0
2
y y
x −xy+ y = ⇔x− + = ⇔ = =x y
thay vào
phương trình thứ hai hệ thấy khơng thỏa Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho
{( 2;1), (2; 1)}
S = − −
Câu
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số
2
0
2
2
0; ; 2
x
x mx x m x m x
x
m m
=
= ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ − =
(30)Gọi giao điểm hai đồ thị (0;0); ; ; ;
2 2
m m m m
O A B −
Gọi H giao điểm AB trục tung, suy ;
2
m
AB= m OH =
Do OAB nên
2
2
3
3 {0; 3; 3}
2 2
m
OH = AB⇔ = m ⇔ m = m ⇔m∈ −
So điều kiện, chọn m= ±
Vậy m= ± thỏa mãn yêu cầu toán Câu
I
H N
K
L
E
G D C
A B
M
F
a) Vẽ AG⊥AF G( ∈CD)
Dễ thấy ABE đồng dạng với ADG (g-g)
Suy
2
AE AB
AG AE
AG = AD = ⇒ =
Xét AGF vuông A ta có
2 2
1 1
AD = AG + AF
Khi
2 2
1 1
1
2
AF
AB AE
= +
hay 12 12 2
AB AE AF
− =
b) Vẽ đường cao BL tam giác ABC MN ⊥BL Khi
2 2
(31)Mặt khác, MH =NL nên
2 2
MI +MH +MK ≥BN +NL (1)
Áp dụng bất đẳng thức 2
2 ( )
2
x +y ≥ x+ y ta có
2 ( )2
2
BN NL BL
BN +NL ≥ + = (2)
Từ (1) (2) suy
2
2 2
2
MI +MH +MK ≥ BL
Vậy 2 2
min( )
2
BL
MI +MH +MK = M trung điểm BL
Câu
G K
I
Q
P M N
O
B C
A
D E
J
a) Do tứ giác BDIP nội tiếp nên
180
PIK = −PID=PBC
Lại tứ giác APBC nội tiếp nên
180
PAK = −PAC =PBC
Suy
PIK =PAK
Do tứ giác AIPK nội tiếp
Do tứ giác AIPK BDIP nội tiếp nên PKI =PAI PDI =PBI
(32)PK PA
PD = PB (1)
Lại tứ giác APBQ nội tiếp nên MPB =MAQ MBP =MQA
Suy MPBMAQ (g – g),
PB MP
QA= MA (2)
Tương tự, MAPMQB (g – g), suy
PA MP
QB =MB (3)
Mà MA=MB nên từ (2) (3) ta suy
PB PA
QA=QB (4)
Từ (1) (4) ta đến
PK QB
PD = QA
b) Do tứ giác BDIG APBC nội tiếp nên PGI =PBI PBA=PCA, suy
PGI =PCA Do IG//AC
CD KD
CE = KI (5)
Trên cạnh AB, lấy điểm J cho KPI = APJ
Vì tứ giác AIPK nội tiếp nên KPI =1800−KAI =BAC khơng đổi, J điểm cố
định, nghĩa tỉ số AB
AJ không đổi (6)
Lại PKI PAJ (g – g) PKDPAB (g – g) nên
KI PK KD
AJ = PA = AB (7)
Từ (5), (6) (7) dẫn đến CD AB
CE = AJ
Vậy D di chuyển BC CD
CE khơng đổi
(33)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
2 2
(a+b) =(1.a+1.b) ≤2(a +b ) (1) Hơn nữa, từ bất đẳng thức 2
2ab≤a +b ta đến
2 (
4abc≤ c a +b ) (2) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1) (2) ta
2 2
2
(a+b) +4abc≤ (a +b )(c+1) Suy
28 2 42
(a+b) +4abc ≥(a +b )(c+1) (3) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
2 2 2 2
1 2(
( )( 1) 1)
a b
b c c
a c
+ +
+ + ≥ + = + (4)
Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta
( 2( 1)
8
)
c+ = c+ + ≥ c+
(5) Từ (3), (4) (5) ta suy
28 2
( )
8
a b
a b abc c
+
+ ≥
+ +
+ (6) Tương tự
28 2
( )
8
b c
b c abc a
+
+ ≥
+ +
+ (7) 28 2
( )
8
c a
c a abc b
+
+ ≥
+ +
+ (8) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (6), (7) (8) ta thu
2 2
2 2
8 8
( ) ( ) ( )
8 8
3
4
a b c
a b
a b
abc b c abc c a abc
c
+ +
≥ + +
+ +
+ + +
+ + + +
+
+ +
(34)Từ giả thiết ta có: a+ + =b c Các ba phần tử X có tổng
{0;2;5 , 0;3;4 , 1;2;4} { } { } Gọi A tập số abcdef cần tìm
{ }
{ A a b c: , , 0;2;5 }
B= abcdef ∈ ∈
{ }
{ A a b c: , , 0;3;4 }
C = abcdef ∈ ∈
{ }
{ A a b c: , , 1;2;4 }
D= abcdef ∈ ∈
Ta có: A= ∪ ∪B C D B C D, , tập rời Do đó: A = B +C + D =2 2.2.1 3! 3!.3! 84( ) + =
===Hết===
Câu a) Ta có:
2 2
2 :
a b a b a b
P
a b
a b a b a b a b
− − −
= +
+
+ + − − − +
( )
( )
2
2 2
a b
a b a b
a b a b a b a b a b a b
−
− +
= +
+ + − − + − − −
2
2
1
a b
a b
a b a b a b a b a b
+
= − +
+ + − + − −
−
2
2
2
( ) ( )
a b a b a b
a b a b a b
− + +
=
+ − − − a2 b2
b
+ =
Thay a= +b vào biểu thức P ta
2 2
( 1) (1 2 ) (2
2 2 2) (1 )
2 2
b b b b b b
P
b b b
+ + − + + + −
= = = + + ≥ +
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
(35)Vậy
2
1 2
min 2
1
2
a b
P
b a
b
+ = − =
= + ⇔ ⇔
= −
=
b) Cách
Phương trình cho viết lại sau
3 3 3
9 3 .3 27
x + y = xy⇔ x +y + − x y = (*)
Áp dụng đẳng thức 3 2
3 ( )( )
a +b + −c abc= a+ +b c a +b +c −ab bc− −ca , ta có
phương trình (*) tương đương với
2
(x+ +y z x)( +y + −9 xy−3x−3 )y =27
(x y z)[(x y) 3(x y) 3xy 9] ⇔ + + + − + − + = Do x y, ∈+ nên x+ + ≥y nên x+y+ ∈3 {9; 27}
Xét trường hợp:
Trường hợp 1: 23
8
( ) 3( )
x y x y
xy
x y x y xy
+ + = + =
⇔
=
+ − + − + =
Giải hệ ta thu
các nghiệm ( ; )x y (2; 4), (4; 2)
Trường hợp 2:
2
24 27
512 ( ) 3( )
3
x y
x y
xy
x y x y xy
+ =
+ + =
⇔
=
+ − + − + =
(vô lý)
Vậy cặp số ( ; )x y cần tìm (2; 4), (4; 2) Cách
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương, ta có
3 2
9xy=x +y =(x+ y x)( +y −xy)≥(x+y)xy
Suy
2≤ + ≤x y Mặt khác, ta có
3 3
9xy=x + y ⇔9xy=(x+ y) −3xy x( +y) (*) Suy x+y chia hết cho Do x+ y∈{3;6;9}
Trường hợp 1: Với x+ =y 3, thay vào (*)
(36) Trường hợp 2: Với x+ =y 6, thay vào (*) ta xy= ⇔ =8 x 4,y=2 2,
x= y=
Trường hợp 3: Với x+ =y 9, thay vào (*) 81
xy= (vô lý)
Vậy cặp số ( ; )x y cần tìm (2; 4), (4; 2) Câu
a) Điều kiện:x≥ 32 Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với: (3 ) ( )
1
x − − + x− = x − −
( ) ( )
2
2
2
3
9 27
3
2
1
x x x x x x − − ⇔ + − = − + − + − + ( ) ( )
( )( )
2
2
3
3
3
3
2
1
x x x
x x x x x − + + + ⇔ − + = − + − + − + ( ) 2
2
3
3
1
2
1
x
x x x
x x x = + + + ⇔ + = − + − + − + (*)
Nhận xét: 3 2 x x x + + >
− + ; ( )2
2
3
3
1
1
x x x + < − + − + Thật vậy, ( ) 2 3
2 2
2
x x
x x x
x
+ + > ⇔ + + > − +
− +
3
2 x − <2 x +3x− ⇔1 4x − <8 x +9x + +1 6x −2x −6x
( )2 ( )2
2
x x x x x x x x
⇔ + + − + > ⇔ + + − + > (luôn đúng)
( ) ( )
2
2
3
2
3
3
1 1
1
x
x x x
x x
+ < ⇔ − + − + >
− + − +
Đặt
t = x − ;t>0 Cần chứng minh:t2+ + >2t t3+1
Ta có:
2 1
(37)Do phương trình (*) vơ nghiệm
Vậy phương trình cho có nghiệm x=3
b) Phương trình thứ hai hệ viết lại sau: ( )
3 4
x + y− x+y − y+ = Xem
đây phương trình bậc hai x Phương trình có nghiệm
( )2 ( 2 )
0 4.1 4
3
x y y y y
∆ ≥ ⇔ − − − + ≥ ⇔ ≤ ≤
Tương tự ta xét phương trình bậc hai y thu
x
≤ ≤ Khi
4
4 697
3 81
x +y ≤ + =
Dấu “=” xảy 4,
3
x y
⇔ = = Thay vào hệ phương trình thấy khơng thỏa Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm
Câu
Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d
2
3
x =mx+ ⇔x −mx− = (*)
Vì c
a = − < nên phương trình ln có hai nghiệm trái dấu ∀m Do d ln cắt ( )P
tại hai điểm phân biệt ∀m Gọi A x mx( ;1 1+3), ( ;B x mx2 2+3)
Do x x1, hai nghiệm phương trình (*) nên theo định lí Vi-ét ta có
1
x x m
x x
+ =
= −
Ta có
2 2 2
2 2
( ) ( ) ( 1)( )
AB = x −x + mx −mx = m + x −x
2 2
1 2
(m 1)[(x x ) 4x x ] (m 1)(m 12) 12
= + + − = + + ≥
Suy AB≥2
(38)F E
M N H
K A
B C
O
a) Ta có
: sin : sin
OB OH OBH
OC =OK OCK (do OBH OCK, vuông H K, ) OH
OK
= (do ABO= ACO)
sin sin
OA OAH
OA OAK
= (do OAH OAK, vuông H K, )
sin sin
OAB OAC
= hay OB.sinOAC =OC.sinOAB
b) Gọi E F, trung điểm OB OC,
Do MEOF hình bình hành nên MEO =MFO (1)
Ta có
2 2
OEH = ABO= ACO=OFK (2)
Từ (1) (2) suy MEH =MFK
Lại có
;
ME=OF =FK EH =EO=MF nên MEH =MFK (c.g.c) Suy MH =MK ⇒MHK cân M ⇒MN ⊥HK
Câu
a) Ta có AI phân giác BAC nên Q điểm cung BC (O)
Suy BAQ=QAC =QBC
(39)Hay tam giác QBI cân Q
Do ABDACB nên
AB AD
AC = AB hay
2
AB = AD AC (1)
Tam giác ADI đồng dạng tam giác AEC
Do ADI AEC (có góc A chung AID= ACE)
nên
AD AI
AE = AC hay AI AE = AD AC (2)
Từ (1) (2) suy
AI AE= AB ,
Suy ABI AEB
Suy
2
ABC AEB= ABI =
Ta có
2
BAC
AEP=BAE= (hai góc so le trong),
Suy
2
ABC BAC
BEP= +
Theo a) ta có
BAC ABC
BIQ= + suy BIQ =BEP
Ta có BPE = ABD= ACB=BQI
Suy PBE QBI , suy BP BE BP BI BE BQ
BQ = BI ⇔ =
b) Do PBEQBI tam giác BQI cân Q nên tam giác PBE cân P, suy
BAC ABC
PBE = + PH ⊥BE với H trung điểm BE
Do HK đường trung bình tam giác EBJ nên HK//BJ
Ta có
2
ACB
JBD =
2
BAC ABC
DBE= + , suy JBE =90o hay JB vng góc BE
K
H J
Q O
P
E D
I
B
(40)Suy PH//JB, suy P, H, K thẳng hàng hay PK//JB
Câu
Đặt x=bc y, =ca z, =ab Khi
3
3
x y z abc
a
x bc
+ + = = ;
3
x y z
b y
+ +
= ;
x y z
c z
+ + = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2 2 2
2 2 2
2
9 9
2 2 ( )
x y y z z x
x y
y z z z
x + y + + + + x ≤ + +
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
2 2
2 2
2
3
2 x y y x y
x + y =x + y +y ≥ =
Suy
2
4 2 2
9
2 3
9
3
x y
y y
x y
y x x
x + ≤ =
Lại áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2
3 2
3
3 x y = x xy xy ≤x +xy+xy=x + xy
Suy
2 2 2
2
x y
x + y ≤x + xy
Chứng minh tương tự
2 2 2
2
y z
y + z ≤y + yz;
2 2 2
2
z x
z + x ≤z + zx
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta đến
2 2 2
2 2 2
2
9 9
2 2 ( )
x y y z z x
x y
y z z z
x + y + + + + x ≤ + +
Dấu đẳng thức xảy x= =y z hay a= = =b c
Câu Gọi A tập số có chữ số abcd (a≥1) cho a+ + +b c d chia hết cho
Xét b+ + =c d 4k+r (0≤ ≤r 3) Nếu r∈{0;1;2} với giá trị r tồn hai giá trị
(41)Ký hiệu: B={bcd: 0≤b c d, , ≤9;b+ + =c d 4k+r,0≤ ≤r 2}
{ : b c, , 9; 3}
C = bcd ≤ d≤ b+ + =c d k+
Ta có: ( )
2 2 10
A= × B + ×C = × B + C +C = × + C
Xét tập hợp C Giả sử c+ =d 4m+s Nếu s∈{ }0;1 tồn hai giá trị b cho
4
b+ + =c d k+ Nếu s∈{ }2;3 tồn ba giá trị b cho b+ + =c d 4k+3 Ký hiệu: D={cd: 0≤c d, ≤9;c+ =d 4m+s(0≤ ≤s 1)}
{ : c d, 9,c s, 3}
E = cd ≤ ≤ + =d m+ ≤ ≤s
Ta có: ( )
2 2 10
C = × D + × E = × D + E + E = × + E
Xét tập E: đếm trực tổng c+d ta được: E =24+25=49
Vậy
2 10 10 49 2249
A= × + × + =
===Hết===
Câu a) Ta có
(4 )(4 )
a −b −c
(16 4 ) [4( ) 4 ]
a b c bc a a b c abc b c bc
= − − + = + + + − − +
(4 4 4 ) (4 )
a a b c abc b c bc a a abc bc
= + + + − − + = + +
2
4a 4a abc abc (2a abc)
= + + = +
Suy
(4 )(4 )
a −b −c = a+ abc
Tương tự
(4 )(4 )
b −c −a = b+ abc ;
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
(42)(4 )(4 )
c −a −b = c+ abc
Do
2( ) 2019 2.4 2019 2027
P= a+ + +b c abc + = + =
b) Theo đề, ta có
(x−y x)( +y) 100.30= n Suy x+y x−y chẵn
Đặ ,
2
x y x y
a= + b= − , ta thu được:ab=2 52n 2n 2n+2 =A
Số ước A
(2n+1) (2n+3)
Vì a>b nên suy số cặp ( ; )x y thỏa mãn số cặp ( ; )a b thỏa mãn
2
1
[(2 1) (2 3) 1] ( 1)(4 1) n+ n+ − = n+ n + n+ Ta chứng minh
(n+1)(4n +6n+1) khơng thể số phương Thật vậy, giả sử
(n+1)(4n +6n+1) số phương
Do
gcd(n+1; 4n +6n+ =1) nên 4n2+6n+1 phải số phương Điều vơ lý
2 2
(2n+1) <4n +6n+ <1 (2n+2) Câu
a) Điều kiện:0≤ ≤x
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với:
( ) ( )2 ( )2
1
x+ x+ − =x x+ − x
(x x 1) x (x x 1)(x x 1)
⇔ + + − = + + − + x x x
⇔ − = − + (dox− x+ >1 với 0≤ ≤x 2)
( )
2 2 2
x x x x x x x x x
⇔ + − = + ⇔ + − + − = + +
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
4
0
2
x x
x x x x
x x x x
+ −
⇔ − = + − ⇔
− = + − ≥
(43)( )( ) ( )
1
1 11
5 2
1 *
x x
x
x x x x
x x x
≥
⇔ ⇔ =
− + + − =
+ + −
≥ −
=
−
Với x≥ 0− > thìx3+5x2+11x>03+5.0 11.+ ( 1− >) Do phương trình (*) vơ nghiệm
Vậy phương trình cho có nghiệm x=1
Bình luận Cần ý đến phân tích quen thuộc hấp dẫn sau đây
( )2 ( ) ( )2 ( )2
4 2 2
1 2
x +ax + = x + − −a x = x + − x −a
( )( )
2
x x a x x a
= − − + + − + với a<2 b) ∀x y, ∈ ta có:
( ) (2 )2
2
5x +2xy+2y = 2x+y + x−y ≥0; 2x2+2xy+5y2 =(x+2y) (2+ x−y)2 ≥0 Điều kiện để hệ phương trình xác định là: 2x+y+ ≥1
Viết lại phương trình thứ hệ đánh sau:
( ) (2 )2 ( ) (2 )2
2 2
5x +2xy+2y + 2x +2xy+5y = 2x+y + x−y + x+2y + x−y
≥ 2x+ y + +x 2y ≥3x+ y ≥3(x+ y)
Phương trình thứ hệ thỏa mãn nếu:
0
0
2
x y
x y x y
x y
− =
+ ⇔ =
+
≥ ≥
≥
Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:
2
3x+ +1 19x+ =8 2x + +x
( )
( ) (( ) )
2
2x 2x x 3x x 19x ⇔ − + + − + + + − + =
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 3
3 14
2
1 2 2 19 8 19 8
x x x
x x
x x
x x x x x x
+ −
−
⇔ − + + =
+ + + + + + + + +
2
0
x x
(44)(do
( ) (2 )3 ( )2
3
1 14
2
1 2 2 19 8 19 8
x
x x x x x x
+
+ + >
+ + + + + + + + + )
Vậy phương trình cho có hai nghiệm là: ( ) ( )0;0 , 1;1 Câu
Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d
2
5
x = mx+ m⇔ x − mx− m= (1) d cắt ( )P hai điểm phân biệt A B,
⇔phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2
16
25 16 25
0
m
m m
m
< − ⇔ ∆ = + > ⇔
>
(*)
Theo định lý Viet, ta có: 2
5
x x m
x x m
+ =
= −
Vì x1 nghiệm phương trình nên:x12−5mx1−4m= ⇒0 x12 =5mx1+4m
Do
( )
2
1 12 5 12 16 15 16
x + mx + m= mx + m+ mx + m= m x +x + m= m + m>
Tương tự, ta tính được: 2
2 12 25 16
x + mx + m= m + m>
Khi đó: 22 2
2 2
1
5 12 25 16
2
5 12 25 16
x mx m
m m m m
A
x mx m m m m m
+ + +
= + = + ≥
+ + +
( Bất đẳng thức AM – GM cho số dương) Dấu “=” xảy
( )
2
2
4 2
2
25 16
25 16 25 16
25 16
m m m
m m m m m m
m m m
+
= ⇔ = + ⇔ = +
+
0
24 16 2
3
m
m m
m
=
⇔ + = ⇔
= −
Kết hợp với (*) ta chọn
m= −
Vậy minA=2
(45)Câu a) Cách Ta có
2
2 2
1 1
1
AB AB
AE AF
AE AF AB
+ = ⇔ + =
Đặt BAE= AFD=α Ta có: AB cos , AB AD sin
AE = α AF =AF = α
Vậy AB AB cos2 sin2 1
AE AF α α
+ = + =
Cách Ta có
2 2
2 2 2 2
1 1
1
AB AB DC AD
AE + AF = AB ⇔ AE + AF = ⇔ AE + AF =
Laị có
AE DC DC DF
AF = DF ⇒ AE = AF
Vậy 2 2 2
2 2 2
DC AD DF AD DF AD AF
AE AF AF AF AF AF
+
+ = + = = =
Cách
Dựng đường thẳng qua A, vng góc với AE cắt đường thẳng CD J
+ Chứng minh hai tam giác ADJ ABE Suy AJ = AE.
+ Trong tam giác vng AJF có:
2 2 2
1 1 1
AD = AJ + AF ⇔ AB = AE + AF
F I
C' D'
N G
K A
D
B
C E M
J F
A
D
B
(46)b) Cách
Trường hợp 1: M trùng I M trùng D ta có: AD AC
AM + AN =
Trường hợp 2: M khác I M khác D:
Gọi K trung điểm CD Dựng CC’// MG, DD’// MG (C’, D’ thuộc AG) Khi
' '
,
AD AD AC AC
AM = AG AN = AG
Do
' ' ' '
AD AC AD AC AD AC
AM AN AG AG AG
+
+ = + =
Hai tam giác KDD’ KCC’ nên KC’=KD’ Suy
2
2
AD AC AK
AM + AN = AG = =
Ta có
4
2
9
3 AD AC AD AC AM
AM AN ≥ AM AN ⇒ AN ≥ AD AC
= + (AD, AC không đổi)
Dấu đẳng thức xảy
AD AC
MN
AM = AN ⇔ // DC hay MG//DC
Khi
2
AM AG
AD = AK =
Vậy AM AN nhỏ
AM
AD =
(47)t
N
M
A' J
K
I O
H
C B
A
a) Ta có
90 ; 90
AIH = AKH = Vì AIH +AKH =1800 nên tứ giác AIHK nội tiếp Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn ( ; )O R A
Ta có:
0
0 90
90
ACB HAC
ACB AHK
AHK HAC
+ =
⇒ =
+ =
(1)
Ta lại có: AHK =AIK (do tứ giác AIHK nội tiếp) (2)
BAt = ACB(cùng
2sđ
AB) (3)
Từ (1), (2) (3) suy ra: BAt =AIK ⇒ At IK
Mặt khác OA⊥ At⇒IK ⊥OA Vậy IK ln vng góc với đường thẳng cố định OA
Gọi J giao điểm AO IK; A′là điểm đối xứng với A qua O
Ta có: ( )
90 ;
ACH AA B AHC′ ABA′ ACH AA B′
∆ ∼ ∆ = = =
2
AC AH
AB AC AH AA R AH R
AA AB ′
⇒ = ⇒ = = =
′
b) Ta có
AK AH
AKH AHC AK AC AH
AH AC
∆ ∼ ∆ ⇒ = ⇒ =
Gọi S S, ′lần lượt diện tích tam giác ABC AIK.
Ta có AIK ACB AI AK IK AJ
AC AB BC AH
(48)( )
2 4 2
2
1
2 .
1 . .2 4 4
AJ IK
S AJ IK AK AK AC AH AH
S AH BC AH BC AB AB AC AH R R
′
= = = = = = =
Suy 1 2
4 8
R R R
S′ = S= AH BC = BC≤ R=
Vậy giá trị lớn tam giác AIK
R , đạt
H ≡O
Câu
Đặt x= + −b c a y; ; = + −c a b z= + −a b c
Suy x y z, , >0 , ,
2 2
y z z x x y
a= + b= + c= +
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
2 9 8
2
2 9
16 36 26
2
y z z x x y
P
x y z
y x z x z y
x y x z y z
+ + +
= + +
= + + + + + ≥ + + =
Dấu đẳng thức xảy
2 2 2
2 9
, , , ,9 , ,
2 2
y x z x z y z
y x z x z y x y x z y
x = y x = z y = z ⇔ = = = ⇔ = = =
Vậy 26 , ,
2
z
P= ⇔ =x y= x z= y
Câu
Xét phần tử x x x1, 2, 3∈X Đặt , 1, 2,3
i i
c = x i= ta có: 1≤ ≤ci Chia khoảng [ ]1;3 thành hai khoảng [ ]1;2 [ ]2;3 Theo nguyên lý Dirichlet ba số c c c1, ,2 3 có hai số thuộc hai khoảng nói Giả sử hai số là: x= 4a
y= b a b, hai số thỏa mãn yêu cầu toán
(49)Câu
a) Từ x= +1 2+3 4 suy 32x=3 2+ 34+ = +2 x 1 Khi
3 3
2x =(x+1) ⇒ x −3x −3x=1 Vậy P= 2020
b) Đặt 3
2+ b =x; 2− b =y
Do b>0 nên x>0 Khi xy=3 4−b x3+ y3 =4 Do phương trình nghiệm ngun cho trở thành
3 2
2 ( )( ) 2
x y x y x y xy
xy x y x y xy
a a
+ + = + ⇔ + + − = + − Do
2 2
2
0,
2
x x
x +y −xy=y− + > ∀ >x
nên x+ =y a
Bây ta có
3
3
2+ b + 2− b =a (1)
3
4 b a a
⇒ + − = (2) hay
3
4
3
a b
a
− − =
Vì b số nguyên nên a3−4 3 a⇒a3−4a⇒4a⇒a∈{1; 2; 4}
Với a=1 b=5
Với a=2 a=4 b khơng phải số nguyên dương
Thử lại: với a=1,b=5 ta thấy (2)
3 3 3
3
x +y + xyz=a ⇔a −x −y − xya=
2 2
(a x y)[(a x) (a y) (x y) ] ⇔ − − + + + + − = Do x>0,a>0 nên x+ >a 0, suy (a+x)2+(a+y)2+(x−y)2 >0
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
(50)Suy a− − = ⇔ = +x y a x y Điều chứng tỏ (1)
Câu
a) Điều kiện: − ≤ ≤1 x Với điều kiện này, phương trình cho tương đương với:
( )2
2 2
13 256
x −x + +x =
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
( )2 ( )( ) ( )
2 2 2
13, 13 13− x +3 3 3+ x ≤ 13 27 13 13+ − x + +3 3x =40 16 10− x
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
( ) 2
2 10 16 10
10 16 10 64
2
x x
x − x ≤ + − =
Khi
( )2
2 2
13 256
x −x + +x ≤
Dấu đẳng thức xảy
2
2
2
2
1
9
1
3
5
20 16 10 16 10
x x x
x
x x
x
x x
+
− = + − =
⇔ ⇔ = ⇔ = ±
=
= −
Vậy phương trình cho có nghiệm là: 5
x= ;
5
x= −
b) Cách
Nhân phương trình thứ hai hệ với −8 cộng với phương trình thứ ta được:
4
8 24 32 16 16 96 256 256
x − x + x − x+ =y − y + y − y+
( ) (4 )4
2
2
x y x y
x y
x y x y
− = − = −
⇔ − = − ⇔ ⇔
− = − = −
Lần lượt thay x= −y ; x= −6 y vào phương trình thứ hệ để tìm y Cuối hệ phương trình cho có nghiệm: (− −4; , 4; 2) ( )
(51)Đặt y=2t Hệ cho thành: ( )
( )
4
3
16 16 16
3 16
x t
x x x t t t
+ = +
− + = − +
(I)
Nhân chéo hai PT hệ (I) ta được:
( )( ) ( )( )
16 16
x + t − t + t = t + x − x + x (1)
Nếu ( )x t; nghiệm hệ (I) xt≠0 Chia hai vế PT (1) cho 2
0
x t > ta được:
2
2
16 16
3
x t t x
x t t x
+ − + = + − +
(2) Đặt u x
x
= + ; v t t
= + ( Điều kiện: u ≥2, 2v ≥ )
Phương trình (2) trở thành:
( )( ) ( )( ) 2 ( 2) ( )
8 3
u − v− = v − u− ⇔u v−v u− u −v + u−v =
⇔(u−v)uv−3(u+ +v) 8= ⇔0 (u−v) ( u−3)(v− − =3) 1 (3)
Từ phương trình thứ hệ (I) ta suy ra: x t dấu Từ điều kiện u v, ta suy ra: u v, ≥4 ≤ −4 Suy ra: u−3 , v−3 ≥1 ≤ −7
Do đó: (u−3)(v− − ≥3) Từ (3) suy ra: u=v Khi
( ) ( )
4 4 4
0 4
x t
x t x t x t
x t x t xt x
t
=
+ = + ⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ =
Với x=t thay vào phương trình thứ hệ (I) ta
( )
4
16 16 16
t + = t + , vô nghiệm
Với x t
= thay vào phương trình thứ hệ (I) ta được:
( ) ( )( ) 4
256
16 16 t 16 t 15t 16 t t 16 t t
t + = + ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ±
(52)Câu
Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d
2 2
2ax =4x−2a ⇔2ax −4x+2a =0 (*)
d cắt ( )P hai điểm phân biệt A B, ⇔ phương trình (*) có nghiệm phân biệt
0 a 0 a ∆ > ⇔ − > ⇔ < <
⇔ (do kết hợp với a>0)
Áp dụng định lí Viète cho phương trình (*) ta có
1
2
x x
a
x x a
+ =
=
Khi
8 1
4 2
2 2
Q a
a a a a
a
= + = + ≥ =
Vậy
0
0
1
min 2 1
4 2
2 2
a a
Q a
a a
a
< < < <
= ⇔ ⇔ = ± ⇔ = =
Câu
a) Do PM //AQ QN //AP nên
45
MPA=PAQ=NQA=
ND BP BP DQ
PAB NQD ABP QDN ND
DQ AB AB
⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = (1)
MB QD QD BP
BPM DAQ BPM DAQ MB
BP QA DA
= ⇒ ⇒ = ⇒ = (2)
K
F
E Q
N D
A
B C
M
(53)Từ (1) (2) suy ND=MB hay AM = AN
Vậy AMN cân A
b) Gọi K điểm đối xứng với M Suy AK =AM =AN MAP =KAP
Mặt khác,
45
MAP+QAN =KAP+QAK = ⇒QAN =QAK⇒K N đối xứng
qua AQ⇒ EM =EK FK, =FN Khi
( ) ( ) ( )
180 180 360 90
KEF+KFE= −KEM + −KFN = − MEP+NFQ =
Suy 90
EKF =
Vậy theo định lí Pythagore 2 2
EF =KE +KF =ME +MF
Câu
I O'
O
E
N
M D
C
B A
a) Ta có BAN BMN = (cùng chắn BN ) (1) Do tứ giác AMNB nội tiếp nên MNB =DAB=DEB hay INB=DEB
Do tứ giác BEIN nội tiếp nên EBI =ENI hay EBI = ANM = ABM =EBI
Suy CBE +EBM =EBM +IBM ⇒CBE =IBM (2)
Từ (1) (2) suy MIBAEB (g – g)
b) Do CD tiếp tuyến đường tròn ( )O nên CDA =CBD suy CDBCAD (g –
g) BD CD
DA CA
⇒ = Chứng minh tương tự ta có CE EB
CA = EA
Mà CD=CE (tính chất tiếp tuyến) nên BD EB
DA= EA (3)
Theo chứng minh trên, MIB AEB EB IB
EA MI
⇒ =
(54)Lại có ABD=AED=IEN
Do tứ giác BNIE nội tiếp ⇒ IEN =IBN ⇒ ABD=IBN
Mặt khác, theo chứng minh ta có INB =DAB
Suy DBA IBN DB IB
DA IN
⇒ =
(5) Từ (3), (4) (5) suy IB IB MI IN
MI = IN ⇔ =
Vậy O I′ ⊥MN
Câu Ta có:
2 2 2
( )( ) ( ) ( )
ab+bc+ca = a+ +b c ab+bc+ca = a b+b c+c a + ab +bc +ca + abcSuy
2 2
2 2 2
( ) 2( ) 2( )
1 ( ) ( )
a b c a b c ab bc ca ab bc ca
a b b c c a ab bc ca abc
+ + = + + − + + = − + +
= − + + + + + +
Do đó:
2 2 2 2 2
2 2
2( ) ( ) ( )
1 2( )
P a b b c c a a b b c c a ab bc ca abc abc
ab bc ca abc
= + + + − + + + + + + +
= − + + +
Khơng tính tổng quát giả sử a≤ ≤b c
Suy
2 2 2
( )( ) ( )( )
0
a a b b c a ab b c
a b a c ab abc ab ca a b abc
− − ≥ ⇒ − − ≥
⇒ − − + ≥ ⇒ + ≤ +
Do
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
ab +bc +ca +abc= ab +ca +bc +abc≤ a b+abc +bc +abc=b a+c Áp dụng
bất đẳng thức
3
, , ,
x y z
xyz≤ + + ∀x y z>
ta có
3
3
2 2
( ) 4
2 3 27
a c a c
b
a c a c a b c
b a c b
+ +
+ +
+ + + +
+ = ≤ = =
Suy 2 2 19
1 2( ) ( )
27 27
P= − ab +bc +ca +abc ≥ − b a+c ≥ − =
Vậy 19
27
(55)Câu
Nếu a b, chẵn a2+b2 hợp số Do tập X A có hai phần tử phân biệt
,
a b mà a2+b2 số ngun tố X khơng thể chứa số chẵn Suy ra: k≥9 Ta chứng tỏ k=9 giá trị nhỏ cần tìm Điều có ý nghĩa với tập X
gồm phần tử A tồn hai phần tử phân biệt a b, mà a2+b2 số
nguyên tố Để chứng minh khẳng định ta chia tập A thành cặp hai phần tử phân
biệt a b, mà a2+b2 số nguyên tố, ta có tất cặp:
( ) ( ) ( ) (1;4 , 2;3 , 5;8 , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15) ( ) ( ) ( ) ( )
Theo ngun lý Dirichlet phần tử X có hai phần tử thuộc cặp ta có
điều phải chứng minh
===Hết===
Câu a) Ta có
( )( )
2
( ) (2 )
: a a b b a a b b 3
a b a b
ab
a b a b
+ −
+ − + − =
+ −
( 2 )( 2 )
:
a b a b a b a b
a b
+ − − + + + ⇔
+
( )( )( )( )
3
a b a ab b a b a ab b
ab a b
+ − + − + +
− =
−
2 3( )( )
:[( ) ]
b a a b
a b ab ab
a b
− +
⇔ + − − =
+
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
(56)2
3( )
3 1
( )
b a
b a a b
a b
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
−
Thay a= −b vào biểu thức S ta
2 2
2 2
1 2( ) 2( 1) 2[( 1) ] ( 1)
ab a b b b b b
S
a b b b
+ − + + − − − +
= =
+ − +
2 22 4 222 1
2 2
b b b b b b
b b b b
+ − − + − − + −
= = =
− + − +
b) Đặt ad=bc=t Ta có
( ) ( )
t t t a
a d b c d c d c d c
d c cd c
+ − − = + − − = − − = − − >
a d b c a d b c
⇒ + > + ⇒ + ≥ + + Khi đó:
( )2 ( )2
2 1
d − a = + −d a ad ≥ + + −b c bc = c− b + ≥ (*)
Kết hợp với giả thiết d − a≤1, suy d − a =1 Dấu đẳng thức (*) xảy
2
1
b c
a b d
a d b c
=
⇒ = − +
+ = + +
Ta có ad bc a bc b2
d d
= ⇒ = =
Suy 2
2 ( )
b
b d d b d
d = − + ⇒ − =
Khi
1 1 ( 1)
d − a = ⇒ a = d − = − − ⇒ =d b a d− −b
Vậy a số phương
Câu
a) Nhận thấy x=0 nghiệm phương trình Với x≠0, chia hai vế phương trình cho x2ta được:
2
2 3 3
2
2 2
2
x x x x x
x x x x x
+ + − + = + + − + −
2
3
2 2 2
1 2
x x x x x
x x x x x
⇔ − − − + − + − + − − =
(57)Đặt t x
x
= − Phương trình (*) thành:
( )
6 3
1 2
t − t + t+ +t t − = ⇔ − + +t t t t − − =t
( )( )
1
t t t
⇔ − + + = Vì
2
4 1
2 0,
2 2
t + + =t t − + +t + > ∀ ∈t
nên
2
1
t − = ⇔ = ±t
Với t =1 1 2 0
2
x
x x x
x x = − − = ⇔ − − = ⇔ =
Với t = −1 1 2 0
x
x x x
x x = − = − ⇔ + − = ⇔ = − Vậy tập nghiệm phương trình cho S = − −{ 2; 1;1; 2} b) Cách
Điều kiện x y, ≠0 Đặt 3 1 , u v x y = =
Hệ phương trình cho thành:
( )( )( ) (( ))( ( ))
3 3
9
1 18 18
u v u v uv u v
u v u v u v u v uv
+ = + − + = ⇔ + + + = + + + + =
Đặt S = +u v P, =uv Điều kiện
S ≥ P
Hệ phương trình trở thành
( ) ( ) ( ) 3
3
1 18 18
S PS
S PS
S S P PS S S
− = − = ⇔ + + = = − −
Thay (2) vào (1) ta được: ( )3
3 63 64
S + S + S− = ⇔ S+ = ⇔ = ⇒ =S P
Với
2 S P = =
ta suy ra: u v, nghiệm phương trình:
2
3
(58)Khi u v = =
2 u v = =
Suy ra:
1 x y = = 1 x y = = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm 1;1 , 1;1
8
Cách
Sử dụng đẳng thức 3 3
(a+ +b c) =a +b + +c 3(a+b b)( +c c)( +a) ta có
3 3 3 3
1 1 1 1
1 1 3.18 64
x y
x y x y x y
+ + = + + + + + + = + + = Suy 3 1
x + y = Kết hợp với phương trình
1
x+ =y ta giải tương tự cách
và thu nghiệm 1;1 , 1;1
8
Câu
Do A B, ∈(P) có hồnh độ −1 nên A( 1;1), (2; 4)− B
Phương trình đường thẳng AB có dạng y=ax+b
Đường thẳng qua điểm A B nên ta có hệ phương trình
1 ( 1)
4 2
a b a
a b b
= − + =
⇔ = + =
Do đường thẳng AB có phương trình y= +x Giả sử
( ; ) ( )
M x x ∈ P ( với − ≤ ≤1 x 2) Kẻ AE⊥Ox BF, ⊥Oy MN, ⊥Ox MK, ⊥Oy
Suy
1, 4, , 1, 3,
AE= BF = MN =x EN = +x EF= NF = −x
MAB AEFB AENM MNFB
S =S −S −S
1 2
.(1 4).3 (1 )(1 ) (2 )
2 x x x x
= + − + + − −
2
3 27
3
27
2 2
x x x
(59)Dấu đẳng thức xảy
x=
Vậy max 27
8 MAB
S = ⇔M ∈AB 1;
2
M
Câu
a) Gọi O giao điểm AC BD
Ta có 1
2 2
GA GA
GC = ⇒ AO−GA=
1
2( ) 2
GA GA
GA GO GA GA GO
⇒ = ⇒ =
+ − +
2GA GA 2GO GA 2GO G
⇒ = + ⇒ = ⇒ trọng tâm
ABD
Kẻ BN DK song song với PQ
Khi
AD AK
AP = AG
AB AN
AQ = AG
Suy
( ) ( )
AD AB AK AN AO OK AO ON
AP AQ AG AG AG
+ + −
+ = + =
Dễ dàng chứng minh BNO=DKO (g – c – g )⇒ON =OK
Do AD AB 2AO
AP + AQ = AG =
Vậy biểu thức AD AB
AP + AQ có giá trị khơng đổi
b) Ta có
1 ABCD APQ
S=S −S =ab− AP AQ
Với AP=x ta có 3
3
AD AB b a ax
AQ
AP + AQ = ⇔ +x AQ = ⇒ = x b−
N O K
C A
D
B G
P
(60)Suy
2
2
ax ax
S ab x ab
x b x b
= − = −
− −
Thay vào biểu thức M ta thu
2
3
M
ab a
= +
+
Do a b, chiều dài chiều rộng hình chữnhật nên a> >b 0 Kết hợp với
a+ ≤b ta dựđoán giá trịnhỏnhất M đạt a=2,b=1 Từ a+ ≤b suy b+ ≤ −1 a; 0< <a 3, 0< <b
Ta có 3
4
1
( 1) b b b b
b b b b a
b ≥ > ⇒ + ≥ ⇒ ≥ − ≥ −
+ + −
+
3 2 3
(4 ) (
2)
b b b b
a a a
ab a b
− − − −
≥ = ≥ ⇒ ≥
− ⇒
− − (do
2 ( 2) 0≤ a− < )
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có
3
3(
2 2 3( 1) 7
) a a b
b a
a a
b
+ + + −
≤ = ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥
− + −
+
+
Khi
3 7
2
6 7 3
b b b
b b b
M ≥ − + = − + − ≥ − − =
− − −
Vậy
1
2
min
1
7
6
b
a
M a
b b
b
=
=
= ⇔ + = ⇔ = −
= −
Câu a) Ta có
2
IBN = sđED
2
IAN =DAC−NAC =DCA−NCA= (sđAD − sđEA)=
2sđ
(61)Suy IBN =IAN Do tứ giác IABN nội tiếp
Ta có
2
PNE=NAC+NCA= NCA=sđEA
2
PDE=PDA+ADE=ABE+ADE= ABE= sđEA
Suy PNE=PDE Do tứ giác PNDE nội tiếp
Do
45
MEK =MAK = nên tứ giác AKME nội tiếp
90
MEA MKA MK AC MK
⇒ = = ⇒ ⊥ ⇒ //BD ⇒MKD =KDB=EKM
P
N M
K I
E
D C
B A
b) Ta có 2
4
MD ME CD
MDC MEA ME MC MD MA MD
MC MA
⇒ = ⇔ = = =
Lại có 2 2
4
CD CD
MC =CD +MD =CD + =
5
2 10
MC CD ME CD
⇒ = ⇒ =
Suy MC=5ME
Khi
2
2 10
5
5
CD
EA AM AM CD
EA CD R
CD MC MC
CD
= ⇒ = = = =
Vậy 10
5
EA= R
(62)Đặt ( 2) ( 2) ( 2)
, ,
x=a b +c y=b c +a z=c a +b với x y z, , >0 Bất đẳng thức cần chứng minh thành
3
y z z x x y
x y z
+ +
+ ≥
+
+
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
( )( )( )
3
3 x y y z z x
y z z x x y y z z x x y
x y z x y z xyz
+ + +
+ + + + + ≥ + + + =
Lại áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
( )( )( ) 2
8
x y y z z x xy yz zx
xyz xyz
+ + +
≥ =
Do
3
3
y z z x x y
x y z ≥
+
+ + =
+ +
Dấu đẳng thức xảy ra⇔ = =x y z hay a= =b c
Câu
Giả sử hình vng ABCD có cạnh Khi chiếu đường trịn lên cạnh hình vng ta hình chiếu đoạn thẳng có độ dài đường kính đường trịn Gọi đường kính đường trịn thứ k dkvà hình chiếu A Bk k cạnh AB
Ta có: π(d1 +d2 + + dn) =10 hay π (A B1 1+A B2 2 + + A Bn n) =10 Suy ra:
π
+ + = > = 1 2
10
3
n n
A B A B A B AB
Do tổng độ dài đoạn thẳng A Bk k lớn lần độ dài AB nên tồn điểm nằm đoạn thẳng A Bk k Khi tồn đường thẳng ∆ qua điểm nêu, vng góc với AB ln cắt đường trịn
(63)Câu
a) Do x>1 nên 4x− − > ⇒1 4x− 16x− =4 ( 4x− −1 1)2 = 4x− −1 Khi
( )
3 2
2 2
2
( )( ) 16 ( )( )( )
2019 2019
( )
1 ( )
x y x y x x x y x y x xy y
y x xy y
x x y xy y
+ − − − + − + +
= − ⇔ =
+ +
− − + +
2
2 2 2
2
2019 2020 x 2020 x 2020
x y y x y
y y
⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
Do x>1,y<0 nên x
y < Vậy 2020 x
y = −
b) Xét trường hợp:
Với n=0 ta có n7 −n5 +2n4 +n3−n2 + =1 (không thỏa mãn)
Với n=1 ta có
2
n −n + n +n −n + = (thỏa mãn)
Xét n≥2 ta có 3
2 ( 1)( 1)
n −n + n +n −n + = n − +n n + +n (*)
Giả sử
2
n −n + n +n −n + có ước nguyên tố p
Vì n≥2 nên n4 + + =n n n( 3− + +n 1) (n2 + >1) n3 − + >n 1 Suy tồn số nguyên dương s t, cho s>t
4
3
1
s t
n n p
n n p
+ + =
− + =
Ta có
1 ( 1) ( 1) s t t( s t )
n + = n + + −n n n − + =n p −np = p p − −n
2 ( )
1 t 1
n + p ⇒n + ≥n − + ⇒n n n − − ≤n (vô lý)
Vậy n=1 thỏa yêu cầu toán Câu
a) Điều kiện x≠ −1 Cách
2
2 2 2
2 2 2
2
x x
x x x x x x x x x
x
+ +
+ + = ⇔ + + + + + = + +
+
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
(64)( )2
2 2
2x x x 2 x x x x 4x
⇔ + + + + + = + + +
( ) ( )2
2 2
2x x x 4x 2 x x x x ⇔ + + − + + + − + + =
( ) ( )
2x x x 2 x x x x 2 ⇔ + + − − + + + + − =
( )( )
2 2
x x x x x
⇔ + + − − + + = 2 2 2 2
3
0
x x
x x
x
x x x
x x + − = + + = ⇔ ⇔ + + = − − = ≥ 1, 2 , x x x x x x x = = − = ⇔ ⇔ = − = = − ≥
Vậy phương trình cho có nghiệm x=1 Cách
Đặt
1
t = x + + >x Phương trình cho thành: t2 −2(x+1)t+4x=0 (*) Ta có: ( )2
1
x
′
∆ = − ≥ ⇒phương trình (*) ln có nghiệm Nghiệm t =2 , 2x t=
Với t =2x ta có 2 2 2
0
3
x
x x x x
x x + + = ⇔ ⇔ = − ≥ − =
Với t =2 ta có 2 2
2
x
x x x x
x = + + = ⇔ + − = ⇔ = − Vậy tập nghiệm phương trình cho S ={1; 2}−
b) Từ phương trình thứ hai hệ suy
0
x x x
x
+ > ⇒ > ⇒ + > Do
6
2
x + x− ≥ ⇔ ≥x − Kết hợp với điều kiện:
5
x − x+ ≥ ta được:
21
x≥ −
(65)( )( ) ( ) ( )
3
2 2
6 1
2
5
2
x − x+ = x− x + −x ≤ x− + x + −x = x + x−
và
3
3 3
2 3
4
4 2
.4
2 3
x x
x x x
x x
+ + +
= = ≤ =
Suy ra: ( )( )
2
6x x −6x+5≤ x + x− x +4
Khi phương trình cho tương đương với
2
3
1
2
2
x x x
x x
− = + −
⇔ =
=
Thay x=2 vào phương trình thứ hai hệ ta tìm y= ±1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ( ) (2;1 , 2; 1− ) Câu
Gọi y=ax+b phương trình đường thẳng d Vì d qua I(0; 2)− M m( ;0) nên có hệ phương trình
2
0
2
b a
m am b
b
− = =
⇔
= +
= − Suy d y: x
m
= −
Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d
2
1
2
2x mx x mx
− = − ⇔ + − = (*)
Do 42 0, m
m
′
∆ = + > ∀ ≠ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Điều có nghĩa d cắt ( )P hai điểm phân biệt A B
Giả sử 12 22
1; , 2;
2
x x
A x − B x −
Khi
2 2
2 2 2
2 1 2
1
( ) [( ) ] ( )
2
x x
AB = x −x + − = x +x − x x + x +x
(66)1
1
4
x x
m x x
+ = −
= −
Ta có
2
16
16 16
AB
m m
= + + >
Do AB>4
Câu
a) Dễ thấyAEF CHG
Suy ra:HC GC
AE = AF
Do NH = AE MG= AF nên
HC GC
NH = MG tức GH //MN
Qua H kẻ đường thẳng song song vớiAD cắt MN L
Do AEF =HNL nên ta có:
, , ,
AE=NH AF =LH =MG EF =LN GH =MLTa có
1 ,
m = AE+AF+EF m =HC+GC+GH
Suy
1
m +m = AE+AF+EF+HC+GC+GH
=NH +HC+GC+MG+ML+LN
NC MC MN
= + + Do tổng m1+m2 chu vi MCN
b) Từ F hạ đường thẳng vng góc xuống GH cắt GH J, ta cóFJ =a Tương tự từ A hạ đường vng góc xuống MN cắt MN I, ta có FJ =AI =a
Điều chứng tỏ MN tiếp tuyến với đường tròn tâm A bán kính a
Do chu vi MCN bằngBC+DC =2a
Vậy m1+m2 =2a số a
L
M
N
J F
C B
A D
G
H E
(67)Câu
a) Ta có
BJN=BJC−NJC
( )
0
180 BIC 180 NOC
= − − −
NOC BIC
= −
Lại có
2
NOC = (sđDM+ sđNC)
2
BIC= (sđBC+ sđAD)
Từ suy
2
BJN = (sđDM+sđNC−sđBC− sđAD)
Mặt khác
2
NKB= (sđAM −sđNB) =
2[(sđ
DM −sđAD)−(sđBC− sđNC)]
= (sđDM +sđNC−sđBC−sđAD)
Do BJN =NKB
Vậy tứ giác KBNJ nội tiếp
b) Do tứ giác KBNJ nội tiếp nên
180
NJK+NJO=NJK+NCM =NJK+NAM =NJK+NBK = hay O J K, , thẳng hàng Lại có
180
KJB+IJB=KNB+BCI =KNB+BNA= hay K I J, , thẳng hàng Vậy J K O, , thẳng hàng
Câu
Trước hết, nhân vào hai vế cộng phân số cho 1, ta có
2 2
2 2
( 2) ( 2) ( 2)
8 8
a b c
a b c
+ + + + + ≥
+ + +
J
K N
M O I
D
C
(68)Không tính tổng qt, giả sử ab≥0
2 2 2
( ) ( )
a +b = a+b − ab≤ a+b =c
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
2 2
2 2 2
( 2) ( 2) ( 4) (4 )
8 ( ) 16 16
a b a b c
a b a b c
+ + + ≥ + + ≥ −
+ + + + +
Do đó, ta cần đưa chứng minh
2
2 2
( 4) ( 2) 8
0
16 16 16
c c c
c
c c c c
− + + ≥ ⇔ − + + ≥
+ + + +
Quy đồng phân tích thành nhân tử, ta có
2
2
( 4)
0 ( 16)(2 16)
c c
c c
− ≥
+ + ,
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh
Đẳng thức xảy a= = =b c a= = −b 2,c=4 hoán vị Câu
Giả sử tất câu lạc có khơng q học sinh Gọi N số câu lạc có học sinh
Nếu N >4 từ số câu lạc này, chọn câu lạc học sinh, 10 học sinh khơng thỏa mãn điều kiện tốn
Nếu N <4, số học sinh tham gia câu lạc không 3.8=24, nghĩa cịn 35 24− =11 học sinh, học sinh tham gia câu lạc mà câu lạc có học sinh Chọn 10 học sinh số này, không thỏa mãn điều kiện tốn
Do N =4
Số học sinh tham gia câu lạc không 4.8=32, nghĩa cịn học sinh, học sinh tham gia câu lạc mà câu lạc có học sinh
Chọn số học sinh câu lạc chọn học sinh, 10 học sinh không thỏa mãn điều kiện
Vậy điều giả sử sai, nghĩa tồn câu lạc có học sinh tham gia
(69)Câu
a) Từ 1 ( 1)2
2 2
x= − = − = −
+
ta suy 2x+ =1 hay 4x2+4x− =1 Khi
2
2
x + x =
3
4x +4x −x + =1 (4x +4x−1)x + =1
3
4x +4x −5x +5x+ =3 (4x +4x−1)(x − + + =x 1) 4
2
1 2
2 1
2
2
x x
x
x x
− = − = − =
+
Vậy 29 ( )9 2019
1 514
P= + + =
b) Nếu n=1 x+ = + +3 x 1x2+ + =4 x2+ =5 (x+3)(x− +3) 14 Suy x+3 14 hay {4;11}
x∈
Giả sử n≥2
Với x∈{1; 2;3} ta có:
( )
1
1 2+ n+ < +1 2n+ + <1 2+ n+1 ;
( )
1
2n+2n + <1 2n+ +2n+ + <1 2n +2n+1 ;
( ) 1 ( )
2 3n +2n + <1 3n+ +2n+ + <1 3n +2n+1 Do xn+2n+1 khơng chia hết xn+1+2n+1+1
Với x≥4
2 2
2 2
n n
n
n
x
x x
x = + ≥ + Khi
( ) ( )2 2
2 2 2 1
2
2
2
1
n n n
n n
n x x n
x x
+
+
+ + + + +
≤ = < + + +
+ Do
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
(70)( )( ) 1 ( ) n 2n n 2n n 2n n 2n n 2n
x− x + + =x + + x+ −x x − − <x + + + + <x x + +
Lại thấy xn+2n+1 không chia hết xn+1+2n+1+1 Vậy có nghiệm ( ) (4;1 , 11;1)
Câu
a) Đặt 4 4
4
t
t = x− ⇒ =x + ;
6
2 16
16
t t
x = + +
Phương trình cho trở thành ( ) ( )
1 11
8 16 21
6 t + t + − t + + − =t
14 24 96
t t t
⇔ − − + = (1)
( )2( 4 3 2 )
2 12 18 24
t t t t t
⇔ − + + + + = (2)
Nếu t ≤0 VT( )1 >0
Nếu t >0 t4+4t3+12t2+18t+24>0 Từ (2) suy t =2 Khi đó: 4x− = ⇔ =4 2 x 3
Vậy x=3 nghiệm phương trình cho b) Cách
Đặt x+ =y u ; x− =y v Ta có:
2
u v
x= + ,
2
u v
y= −
Hệ cho thành: ( )
( )
3
3
2 2
27 125 98
3 25 25
u v
u v
u v u v u u v v
− = − − + = −
⇔
− + = − − − + = − −
Nhân hai vế phương trình (2) cho cộng với phương trình (1) theo vế ta
( )3 ( )3
3
u− = − +v ⇔ = − −u v (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
2
2 15
5
v u
v v
v u
= ⇒ = −
+ − = ⇔
= − ⇒ =
Với
3
u v
= − =
ta được:
1
x y
(71) Với
5
u v
= = −
ta được:
1
x y
= − =
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (− −1; ,) (−1; 4) Cách
Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với cộng với phương trình thứ theo vế ta được:
3 2
3 24 24 51 49
x + x + xy − xy+ y = y− x−
( ) ( ) ( )
3 2
3 3 24 48
x x x y x y x x
⇔ + + + + + − + + + =
( ) ( )2
1 24 48
x x y y
⇔ + + + − + =
( ) ( )2 ( )2
1
1
4
x
x x y x
y
= −
⇔ + + + − = ⇔ = − =
Thay x= −1 vào phương trình thứ hệ ta được: y= −4 y=4 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (−1; ,) (− −1; 4)
Câu
Phương trình hoành độ giao điểm ( )P d
2
1
3
4
3
x
x x x x
x
= = − + ⇔ + − = ⇔
= − Suy 1;1 , 4;16
3
A B −
(0; )
Oy M
M ∈ ⇒ m
Ta có
2
2 16
1
3
MA+MB= + −m + +m−
Bổ đề: ∀a b, ∈ ta có a2+b2 + c2+d2 ≥ (a+c)2+ +(b d)2 (*) Chứng minh:
Ta có
2 2 2 2 2
(72)2 2 2 2 (a b )(c d ) ac bd (ac bd) (a b )(c d )
⇔ + + ≥ + ⇔ + ≤ + +
(luôn với bất đẳng thức Cauchy – Schwarz)
Áp dụng bổ đề ta 16
(1 4)
3 m
MA MB≥ + + − + −m =
+
Dấu đẳng thức xảy
1
1 3
16
4
3
m m m
−
⇔ = ⇔ =
−
Vậy với 0;4
M
MA MB+ đạt giá trị nhỏ Câu a) Do ABC cân A nên
0 0 180 36
72
B= =C − =
Do BD phân giác ABC nên ABD=CBD=360
ABC
cân A có AH đường cao⇒ AH phân giác
18
BAC⇒CAH =BAH =
ABD
cân 0
180 2.36 108
D⇒ ADB= − =
DO phân giác ADB nên BE phân giác
18
ABD⇒EBD= ABE=
0 0
0 0
18 36 54 18 36 54
EBC EBD DBC
EBC BEC
BEC ABE BAE
= + = + =
⇒ =
= + = + =
Suy BCE cân C Mà CI phân giác BCE nên CI trung trực đoạn BE⇒BF =EF Do BEF cân F
b) ABD cân D có DO phân giác ADB nên DO trung trực AB
Suy BF =AF =EF Do FAE FAB, cân F
Suy 1800 ; 1800
2
BFA AFE
BAF = − FAE= −
Khi
0
2 2.36 72
2
BFA AFE BFE
BAC =FAE−BAF = − = ⇒BFE= BAC= =
O I
D
H
B C
A
(73) 36
BFC EFC BCF
⇒ = = ⇒ cân B ECF cân E
BC CE EF BF BCEF
⇒ = = = ⇒ hình thoi
Do BD=BC nên BD=DA=AF =BF Do BDAF hình thoi
Câu
a) Do A đối xứng với D qua BC nên ta cóBA=BD
Để ý rằngAB tiếp tuyến ( )L nên BA2 =BT BP ⇒BD2 =BT BP Suy BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp DPT
b) Từ chứng minh câu a ta cóBDT BPD⇒BDT =BPD
Chứng minh tương tự: CDS =CPD
Ta có
( )
SDB+BDT =SDC−BDC+BDT =CPD−BAC+BPD= CPD+BPD −BAC Mặt khác
ta có
360
CPD+BPD= −BPC
Do tứ giác ABPC nội tiếp nên BPC +BAC=1800
Vậy
180
SDB+BDT = hay điểm S D T, , thẳng hàng Câu
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
( ) (2 )2 ( )( )
b+ ca+c = b b+ a c + c c ≤ b+ +a c b+ +c c
T D
S
L
K O
P
C B
(74)Khi
( )2 ( )( )
1
2
a b c b c
b ca c
≥ + + + + + ( ) ( )( ) 2 2 2
a ab a ab
a b c b c
b ca c
+ + ⇔ ≥ + + + + + ( ) ( ) 2
2
2
a ab a ab
a a
a b c b c
b ca c
+ + ⇔ + − + + + + + ≥ ( ) ( ) 2
2 2
2
a ab a ab ac
a
a b c b c
b ca c
+ ≥ + + ⇔ − + + + + + ( ) 2 2
a ab a a
b c a b c
b ca c
≥ + ⇔ − + + + + + Tương tự ( ) ( ) 2 2
2 2
;
2
b bc b b c ca c c
c a a b c a b a b c
c ab a a bc b
≥
+ − + −
+ + + + + +
+ + + + ≥
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta
2 2
2 2
1
2 2 2
a b c a b c
P
b c c a a b ab ac bc ba ca cb
≥ + + − = + + − + + + + + + ( ) ( ) 2
a b c
ab bc ca
+ +
≥ −
+ +
Dễ thấy ( )2 ( )
3
a+ +b c ≥ ab+bc+ca nên P≥1
Vậy minP=1 a= =b c
Câu
Giả sử A={a a1, 2, ,a101} Viết số ai dạng:
i
i i
(75)Câu
a) Ta có
2
1
1 :
1
xy x x y xy
x P
xy
xy xy
+ + +
= + +
−
+ −
( )( ) ( )( )
( )( )
1 1 2 2
:
1
x xy xy x xy xy x y xy
xy
xy xy
+ − + + + + − +
=
−
+ −
( )
( )
2
2
2 1
:
1 1 2 1
x
x y xy
x xy
xy xy xy xy x xy
+ +
+ −
= = =
− − − +
Thay vào biểu thức Q ta
2
2 16
16 1
( ) xy
xy x y
Q x y
x y xy xy x y xy
+
= + + = +
+ +
Cách
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
2
3
2
8 8
2
( ) ( )
2
xy xy x y xy xy x y
Q
x y x y xy x y x y xy
+ +
= + − ≥ −
+ + + + + =
Do minQ=10 x= y
Cách
Ta có
( )
2 2
16 ( )
8 10 10
x y
xy x y x y
Q
x y xy xy x y
−
+ −
= − + − + = − +
+ +
Ta chứng minh ( )
2
( )
0
x y
x y
xy x y
− −
+ ≥
− (*)
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
(76)Thật vậy, ( )2 (*)⇔(x+y x)( −y) −8xy x− y ≥0
⇔(x+ y)( x− y) (2 x+ y)2 −8xy( x− y)2 ≥0
⇔( x− y)2[(x+y)( x+ y)2 −8xy]≥0 (**)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
( ) ( )2
2
)
(x+y x+ y −8xy≥ xy x y − xy=
Điều có nghĩa (**) đúng, dẫn đến (*)
Vậy minQ=10 x= y
Cách
Ta có
( ) (4 )
2
16
10
( ) 10
x y xy x y
xy x y
Q
x y xy xy x y
− + +
+
= + = + ≥
+ +
Vậy minQ=10 x= y
b) Đặt 2020
u=x ; 2020
v= y Do x y, ∈ nên u v, ∈; ,u v≥0 Khi phương trình cho thành 3
2
v =u −u − +u
Ta có: 3 3 2 ( )3 ( )2 ( )3
2 1
v =u −u − + =u u− + u− + > u−
( ) (3 )( ) ( )3
3
2
v =u −u − + =u u+ − u+ u+ < u+
Suy ra: ( ) ( )
( )
3
3 3
3
1
1
v u
u v u
v u
= − < < + ⇒
= +
Trường hợp 1: 3
v =u Suy ra: u= =v ; u= =v • Với u= =v ta có: x= = ±y
• Với u= =v khơng có x y, ∈
Trường hợp 2: 3 ( )3 ( )3 3 2 2
1 4
v = u+ ⇒ u+ =u −u − + ⇔u u + u− = Phương
trình vơ nghiệm
(77)Câu
a) Điều kiện: x≥ −3
Biến đổi phương trình cho tương đương với ( ) ( )
4 x+ − +3 2 2x+ − =7 x +5x +6x−12
( )
2
2
2 4( 1) 4( 1)
( 1)( 12) 2
4
1 ( 3)
3 2
4
( 3) 3 2
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
x x
− −
⇔ + = − + +
+ + + +
⇔ − + − + − =
+ + + +
=
⇔ + = + +
+ + + +
(*)
Vì x≥ −3 nên x+ ≥3 2x+ ≥7
Suy (*) 4 3 2
VT
x x
= +
+ + + + ≤
Dấu “=” xảy x= −3
Vậy tập nghiệm phương trình cho S= −{ 3;1}
b) Điều kiện: x≥0,y≥0
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
4 2
6= 3x +6x y+ 3y +6xy =x 3x +6xy +y 3y +6xy
2
2 xy (3x 6xy)(3y 6xy)
≥ + +
2
2 2 2 2 2
2
2 3xy 5x y 2xy x( y ) ≥ xy x y x y xy x y xy
= + + + = =
Suy xy≤1 (1)
Dấu “=” xảy x= y
Lại áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
4
6 6
3
x x x y y y y x
x x y y xy + +
= + + + = +
2 (12 ) (12 )
2( )
6
x x y y y x
x y xy
+ +
≤ + = + +
4 4xy ( x y) 4xy xy
= + − + ≤ + −
(78)4 4 xy x y xy
xy≥ ⇒ ≥
⇒
Rõ ràng xy>0, xy= ⇔ =0 x y=0 dẫn đến điều vô lý
Suy 3
1
x y ≥ ⇒ xy≥ (2)
Dấu “=” xảy x= y
Từ (1) (2) suy xy= ⇔ = =1 x y (thỏa mãn điều kiện x≥0,y≥0)
Vậy hệphương trình cho có nghiệm là: (1;1) Câu
Phương trình hồnh độgiao điểm ( )P d
2
2 3
3
x
x x x x
x
= − = − ⇔ + − = ⇔
= − Do d cắt ( )P hai điểm A(1; 1), ( 3; 9)− B − −
Gọi ( ; )
M m −m (− < <3 m 1) nằm AB ( )P (M ≠ A M, ≠B)
Gọi I trung điểm AB, suy I( 1; 5)− −
MAB
vuông M
2 2
20 ( 1) ( 5) 20
IM IA m m
⇔ = = ⇔ + + − + =
4 2
9 ( 1)( 3)( )
m m m m m m m m
⇔ − + + = ⇔ − + − − = (*)
Giải phương trình (*) so với điều kiện − < <3 m 1ta thu m= −1
Vậy M(1− 3;2 3−4) thỏa mãn yêu cầu tốn Câu
a) Ta có
HEA=BHE (so le trong)
BAC =BHE (cùng phụ với ABH )
Suy HEA=BAC
Lại có AHE=ABC (cùng phụ với BAH)
Do EHAABC
Điều dẫn đến
p
EH HA AE EH HA AE
AB BC CA AB BC CA p
+ +
= = = =
+ +
I O
M
D E
H A
(79)b) Gọi O=DE∩AH I, =DE∩AM Do tứ giác ADHE có AE//BH, AD//EH nên
là hình bình hành Suy O trung điểm AH
Do EHAABC nên
2
AE AH AO AO
CA = CB = CM =CM
Mặt khác, AE//DH DH ⊥BC nên EA⊥ AC
Xét AEO CAM có EAO =ACM AE AO CA =CM
Do AEOCAM (c – g – c)⇒ AEO=CAM
Ta có 90
AEI +EAI =CAM +EAI =EAC= ⇒IAE vuông I
Vậy DE⊥ AM
Câu
a) Do AI tiếp tuyến chung đường tròn(O1), (O2) nên
1 2
AN AM AI AN AM
Suy tứ giác N M N M1 2 nội tiếp
Để chứng minh OA⊥N N1 ta chứng minh
0 90
AN N +OAM =
Thật vậy, tứ giác N M N M1 2 nội tiếp ta suy 1 2 1
2
AN N =N M M = M OA
Do
1 1 1
1
90
2
AN N OAM M OA OAM OM A (do M OA1 cân O) Vậy
1
OAN N
Q
S
P
A'
A
O
N2 N1
I
M2 M1
(80)b) Ta cóAI PQPQ//O O1 2 Gọi S =PM1∩QM2 O O M, 2, thẳng hàng O I2 //
2 2
OP⇒O IM =M PO
Mặt khác ta có:O IM2 2IM O2 2M PO 2 O IM2 2.Suy P I M, , thẳng hàng
Tương tự Q I M, , thẳng hàng Mà PQ đường kính ( )O nên 1 , 2
QM ⊥M P QM ⊥M P Suy I trực tâmSPQ hayAI qua S
Vậy ba đường thẳng AI PM QM, 1, đồng quy I
Câu Do abc>0 nên bất đẳng thức cho tương đương với
3 3
8 8
1
abc abc abc
a + abc +b + abc+c + abc ≤
2 2 2
8
1 1
8
a b c
bc ca ab
⇔ + +
+ + +
≤
Đặt x a2,y b2,z c2
bc ca ab
= = = với xyz=1 (1)
Bất đẳng thức (1) trở thành
1
8
1
x+ + y+ + z+ ≤ (2)
Ta chứng minh bất đẳng (2) Ta có
8( )
(2)⇔3[(xy+yz+zx) 16(+ x+y+z) 192+ ]≤xyz+ x+y+z + 12
⇔5(xy+ yz+zx) 16(+ x+ +y z)≥63 (do xyz=1) (3)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
2
3 (xyz)
xy+yz+zx≥ = x+ y+z≥33 xyz =3
Do ta chứng minh xong bất đẳng thức (3)
Dấu đẳng thức xảy ra⇔ = = =x y z hay a= =b c
Câu Giả sử ba điểm cho A B C, , a độ dài cạnh lớn ABC Ta
có: abc=4rS Hơn dễ thấy 2S∈ nên
2
S ≥
Suy ra: 3
2
(81)Câu
a) 2
2 2
a b ab
P
ab a b ab a b
1 2 21 2
a b ab
a b a b
2
( 1)
a b a ab a
a b
1
a a
Ta có
P
a
Nếu a0 P 1
Nếu a2 P3
Nếu a2 P3
Vậy maxP3 a2 b) Xét trường hợp sau
Trường hợp 1: Nếu mn ta có điều phải chứng minh Trường hợp 2: Nếu mn đặt ( , ; 0; 0)
2
m n x
x y x y
m n y
Khi m x y
n x y
từ x y 0;x y suy rax y
Do 2 2 2 2
1 1
n m n m m n m k m n , k (1)
Ta có 2
(1)(xy) k 4xy 1 x 2(2k1)xy(y k) (*) Phương trình (*) có nghiệm nguyên x nên có nghiệm x1
Ta có
1
1
2(2 1)
x x k
x
xx y k
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
(82)• Với x10 ( , )x y1 cặp nghiệm thỏa mãn (*), suy x1 y
Khi 2 2
1
y k xx y y k
Suy 0 x x1 2(2k 1) 0, mâu thuẫn • Với x10
2
1 0 0
xx y k k y k xy y
Ta có 2 2
1 2(2 1) 1 2(2 1)
kx k x yy x k x yy
Suy k2(2k1) x y1 2(2k 1) k , mâu thuẫn
Do đóx10 Khi
2
k y
2
2
m
m n
k số phương
Vậy 2
m n số phương
Câu
a) Điều kiện:
1
1
1
0
x x
x x
x
− ≥
≥
⇔
− ≤ <
− ≥
(*)
Đặt t 1
x
= − (điều kiện t≥0), phương trình cho trở thành
( )
2
1
t − + x+ t+ x= (1) (coi phương trình bậc hai ẩn t) Ta có
( )2 ( )2
1 x 8x x 10 x x
∆ = + + − = + + + = + + ≥ ,∀x thỏa mãn (*) Do đó, nghiệm phương trình (1) là:
2( 1)
t = x+ + ; t = x+ −1
Trường hợp 1: Với t=2( x+ +1 1) ta có: 1 2( x 1)
x
− = + + vơ nghiệm
VT VP, với x thỏa mãn (*) Trường hợp 2: Với t= x+ −1 ta có:
1
1 1 1
1 1
x x
x x x
x
≥ − = + − ⇔
− = + − + +
( )2
2
1
1
1
1 1
x
x x
x x
x x x x x x
≥
≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔
+ − =
+ + − + = + − =
(83)2
1
1 1 5
1 2 x x x
x x x
≥ ≥ + ⇔ ⇔ ± ⇔ = + = =
(thỏa mãn (*))
Vậy phương trình cho có nghiệm
x= +
b) Điều kiện x y (*) Biến đổi phương trình thứ hai
2 2
3
3
1
3
x x x y x x x y
x x x y x y
x x x y x y
Vì
2
2 2 3
1
3
x x x y
x x
x y x y
nên y x
Thay vào phương trình ban đầu, biến đổi:
1 2
x x x x x x x 1
Đặt 2
2,
a x x b x x ,
2 2
v u
x
2 2
2
1
1
2
1
v u v u
u v v u
v u u v u v
Vì u v 0nên có hai trường hợp sau xảy
Trường hợp 1: uv Ta có
2 1
2
2
x x x x x y (thỏa điều kiện (*))
Trường hợp 2: u v Ta có 2
3
1
2
v u
v u x
x v u
Kết hợp với u v suy 3v x Khi
2
1
1 7 1
8
x y
x x x x x
(84)Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: 1; ; 1; ; 7;
2 8
Câu
Giả sử phương trình OA có dạng ymx Do OBOA nên phương trình OB có dạng
1
y x
m
(với m0)
2 3
( ) ;
2
AOA P A m m
;
3
( ) ;
2
B OB P B
m m
Phương trình đường thẳng AB
2
1
m
y x
m
Rõ ràng đường thẳngAB qua điểm cố định 0;3
I
Do
90
OHI nên H thuộc đường trịn đường kính OI
Ta có OH OI Dấu “=” xảy ra ABOI m2 1 m
Do 3; , 3; 2 2
A B
3 3 ; , ; 2 2
A B
Câu
a) Ta có BACCBAECAECDBAC
Do CDEACE nên CE AE DE = CE
Do AC phân giác BAD nên AE AB CE = BC
Do AB CE
BC = DE hay AB DE =BC CE
b) Bổ đề: Cho ABC có phân giác CD Khi CD2 <CA CB Chứng minh:
Cách
Do CDB >CAB nên tia đối tia DC lấy điểm E
cho CAE =CDB
E F
A B
D C
D
A B
C
(85)CAE CDB
(g – g) CA CE CD CE CA CB
CD CB
⇒ = ⇒ =
Do CD<CE nên CD2 <CA CB Cách
Do CDB >CAB nên ta lấy điểm F CB cho
CDF =CAB
CAD CDF
(g – g)
CA CF
CD CA CF
CD CD
⇒ = ⇒ =
Mà CF <CB nên CD2 <CA CB
Áp dụng bổ đề cho toán, ta thấy AC vừa phân giác ADF vừa phân
giác ABE nên
2
AC < AD AF AC2< AB AE Suy
( )
2
AC < AD AF +AB AE
Câu
K N
M
I F
E
D C
B A
a) Nối N với F , D với F Xét ANF AFD có:
AFN ADF (vì AF tiếp tuyến) FAD chung
ANF AFD
⇒ ∆ ∆ (g.g) AN AF AF2 AN AD.
AF AD
(1)
Xét AFI có AF IF (do AF tiếp tuyến, FI bán kính) FK AI (do AF
và AE tiếp tuyến chung AI nối tâm) AFI vng F có FK đường cao) D
A B
C
(86)2
AK AI AF
(2)
Xét ANK AID có IAD chung
Từ (1) (2) suy AN AD AK AI AN AI
AK AD
ANK AID
(c.g.c) NKA IDN (3)
Từ (3) có IDNDKN NKA DKN 1800 tứ giác DIKN nội tiếp đường tròn Vậy điểm I D N K, , , thuộc đường trịn
b) Ta có ID DM (DM tiếp tuyến, DI bán kính) IK KM (câu a)
Tứ giác DIKM nội tiếp đường tròn đường kính MI Vì bốn điểm D I K N, , , thuộc đường tròn (do câu a)) nên hai đường tròn ngoại tiếp DIK hai đường tròn trùng N nằm đường tròn đường kính MI INM 900
Vì IN bán kính đường trịn ( )I , MN IN nên MN tiếp tuyến đường tròn ( )I
tại tiếp điểm N
Câu
Với
4
a+ + ≤b c
1
1 4
1
4
a
a a b c a a b c
a a a b c a b c
+
+ = ≤ + + + = + +
− − + + − + Thật vậy,
( ) ( ) ( )
1
4
1
a a b c
b c a b c a b c a a b c
a b c
+ ≤ + + ⇔ + + + ≤ + + − + +
− +
2 4(a a b c) 0
⇔ [ − + + ]≥ (Bất đẳng thức ln đúng)
Khi 6 2
1
cyc cyc cyc cyc
a a b c a b c a b a c
a b c b c b c
+ − ≤ + + − = + + − = − + −
− + + +
∑ ∑ ∑ ∑
( ) 1 ( ( )( )2 )
cyc cyc cyc cyc cyc cyc
a b
a b a c a b b a
a b
b c b c b c c a b c c a c a c b
−
− − − −
= + = + = − − =
+ + + + + + + +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Lại
có ( )
( ) ( ( ) () )
2 2
4 2
1
a b a b
a b
c a b c a b ca cb a b
− = − = −
+
+ + + (1)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có ( ca+ cb)2≤ +(c a c b)( + ) (2)
Có ( )2 3( )
4
a+ b+ c ≤ a+ +b c = < nên a+ b+ c <1
(87)Từ (1), (2) (3) dẫn đến ( ( )( ) )
2 2
1 a b a b
c a b c a c b
− ≥ −
+ +
+
Tương tự, suy ( )
( )( )
2
1
cyc cyc
a b a b
c a c b c a b
− −
≤
+ + +
∑ ∑ , dẫn tới điều cần chứng minh
Câu
Từ giả thiết suy máy bay từ ccác sân bay M N đến sân bay O khoảng
cách MN lớn cạnh MON, MON >60o
Giả sử máy bay bay từ sân bay M M1, 2, ,Mn đến sân bay O góc M ONi j khơng lớn
360o
n với i j n, , ∈{1;2; ;80} tổng góc
cho 360o Vậy 360
60
o
n
n > ⇒ < Suy điều phải chứng minh
===Hết===
Câu
a) Đặt
3
a
x= − Suy a=3x2+1 3
a
x
+ = + Khi
2 2
33 1 ( 3) 33 1 ( 3)
P= x + + x + x+ x + − x + x
3 3
3 1 3
x x x x x x
= + + + + − + − =3 (x+1)3 + 3(1−x)3
=(x+ + −1) (1 x)=2
b) Đặt ( ) ( )
3 2 2
3 3
0
2
x x x x x x x x
A= − + − − + − − − − >
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 10
(88)Suy
( )( )
3 2
3 3
A =x − x+ A⇒ A−x A +x +Ax− =
Do
2
x> ⇒ x − > A>0 nên A2 +x2+ Ax− >3 Do đó: A=x
Phương trình cho thành:
( )2
2 2 2
8x=y −z +16⇔ x−4 −z =x −y
Do 2≤ <y x x∈+ nên ta có trường hợp sau:
Nếu x∈{3;4;5} 0< ≤ <2 y x nên suy ra: 2
x −y > ; z nguyên dương nên
1
z≥ suy ra: (x−4)2 −z2 ≤0 Vì ứng với x∈{3;4;5} phương trình cho khơng có nghiệm ngun dương
Nếu x≥6, y<x nên x≥6 y≤5 ta ln có 2 2 11
x −y ≥ − =
Do ( )2 ( )2
11 11
4 x
x− −z ≥ ⇒ − > ⇒ ≥x Mà x<10 nên x∈{ }8;9
Với x=8, ta có: y2 −z2 =48 Dễ dàng suy ra: y=7;z=1
Với x=9 ta có: y2−z2 =56 Phương trình vơ nghiệm ngun Vậy phương trình cho có nghiệm là: (x y z; ; ) (= 8;7;1)
Câu
a) Điều kiện:
x≥ − Đặt y=x2+ −x Phương trình cho trở thành
2
1
2
x y + − =y − + +
Đặt
2
x
z=− + + (với
2
z≥ − ) Biến đổi phương trình dạng
2
1
z + − =z x
Khi ta xây dựng hệ phương trình
( )
( )
( )
2
2
2
1
1
1 1
1 1
x x y
x x y
y y z y y z
z z x z z x
+ = + + − =
+ − = ⇔ + = +
+ − = + = +
Vì
2
(89)Nhân vế tương ứng phương trình ta xyz=1
Mặt khác, cộng vế tương ứng phương trình cho áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta
2 3 2 2 2 3=x +y +z ≥3 x y z ⇒x y z ≤1 Do đẳng thức xảy ra⇔ 2
1 1
x = y =z = ⇔ = = =x y z (do x y z, , khác – 1) Vậy phương trình cho có nghiệm x=1
b) Điều kiện:x+ ≥y Đặt u= x+y u; ≥0
Phương trình thứ hệ trở thành 4
1 3
u + + = u + u⇔ u + − u= u −
2
2
2
2
2
(2 1)(2 1)
1
(2 1)
1
u u
u u
u u
u u
u u
+ −
⇔ = − +
+ +
⇔ − + + =
+ +
2
2u
⇔ − = Suy 2x+2y=1
Kết hợp với phương trình thứ hai hệ cho ta có 2
1 2019 2020
2
x
x y
x y y
= + =
⇔
− =
= −
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 1; − Câu
d qua I(0;2) có hệ số góc
m
− nên có phương trình y x
m
= − + Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d
2
1
2 4
2x = −mx+ ⇔mx + x− m= (*)
Do c
a = − < nên phương trình ln có nghiệm trái dấu với m Điều có nghĩa
là d ln cắt ( )P điểm A B, nằm hai phía trục Oy
(90)2
2 2
( ) (
( B A) ( B A) B A A B) A B A B 16
AB = x −x + y −y > x −x = x +x − x x ≥ − x x =
Suy AB>4
2 2 2
2 ( )
2 2
A B A B A B A B
y +y > y y = x x = x x =
(Lưu ý xảy dấu đẳng thức yA ≠ yB)
Câu
a) Do AEB AFC có A chung nên
AEB AFC
(g – g) AE AF
AB AC
⇒ =
AEF ABC
⇒ (c – g – c)⇒ AFE= ACB
Tương tự, BFD =ACB
Suy AFE=BFD⇒CFE =CFD hay FC tia phân
giác DFE
Tương tự, FDA=EDA
hay DA tia phân giác FDE
Do Hlà tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
b)
2
AEF ABC
S AE
AEF ABC
S AB
⇒ =
2
DBF ABC
S DB
DBF ABC
S AB
⇒ =
Do SAEF =SDBF nên AE=DB
Từ AEB=BDA (cạnh huyền – cạnh góc vng)⇒ BAC=ABC
Tương tự, BAC= ACB
Vậy ABC tam giác
Câu
Ta có 1 1
2
NCE IBN B ANCM Do E nằm góc NCM (1) Do B C nên N C nằm phía AM
D
E H
A
B C
(91)Do E C nằm phía AM (2) Từ (1) (2) suy E nằm AMC Vậy Q thuộc cung nhỏ AC
Q
M L N K
E I
O
C B
A
b) Vì QK QA (3) nên
1
2 2
QAK AKQ A B IAK CAQ B IBK CBQ
Mặt khác, CAQ CBQ nên CAQ IBK hay tứ giác AIKB nội tiếp Từ ta
có
2
IKQ BAI AKQM Suy KI //MQ
Gọi L giao điểm KN MQ, KILE hình bình hành Suy N trung
điểm KL Do BKCL hình bình hành Mặt khác ta có BK//CL, BK CL
và CLQ BLQ CQM (4) nên CL QC (5) Từ (4) (5) suy BK CL (6) Từ (3) (6) ta có BQ QA QC
Câu
Ta có ab bc ca 3abc 1
a b c
+ + = ⇔ + + = Đặt x 1;y 1;z
a b c
= = = Khi x y z, , >0 ; x+ + =y z biểu thức P trở thành
2 2
1 2
x y z
P
z x y
= + +
+ + +
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
( )
2
3
2 3 4
2 2
1 2 3 9
x xz xz
x x x x z x x z x xz
z = − z ≥ − z = − ≥ − + = −
+ +
Dấu “=” xảy z=1
Tương tự, 2
1 9
y
y xy
x ≥ −
(92)2
1 9
z
z yz
y ≥ −
+ Dấu “=” xảy y=1 Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế, ta có:
7
( ) ( )
9
P≥ x+ + −y z xy+yz+zx
Mặt khác
2
(x+ +y z) ≥3(xy+ yz+zx)
Do
( ) ( )
9 27
P≥ x+ + −y z x+ +y z =
Vậy minP=1 x= = =y z hay a= = =b c Câu
Nhận xét: điểm số điểm cho khác tâm O Ta gọi điểm
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
A A A A A A A A
O A2
A1
Ta có góc nhỏ số góc đỉnh O hai điểm lại
i k
A OA (i ≠k,1≤i k, ≤8) không lớn
0 360
60 < Giả sử A OA1 2 góc bé
Xét A OA1 2 ta có :
Vì
1 60
A OA < nên
1 2
0
1 2
60 60
OA A OA A A
OA A A
A A O
> > ⇒
> >
Mà OA1≤1 OA2 ≤ ⇒1 A A1 <1
(93)Câu
a) Ta có 2
1+x =xy+yz+zx+x =(xy+x )+(yz+zx) =x y( +x)+z y( +x)=(x+ y x)( +z) Tương tự:
1+ y =(x+y y)( +z); 1+z2=(y+z z)( +x) Khi
( )( )( )( )
( )( ) ( )(( )()( )() )
y x y z z x z y z x z y x y x z
P x y
x z x y x y y z
+ + + + + + + +
= +
+ + + +
( )(( )()( )() )
y z x z
z y x y z x y x z
+ +
+ + + + +
=x y( + +z) y z( +x)+z x( + y)=2(xy+yz+zx)=2 b) Giả thiết cho tương đương với
( )( )
2
4c =c +ab bc+ +ca= a+c b+c
Đặt (a+c b; +c)=d d|(a+ − + ⇒c) (b c) d a b| − ⇒ = −d a b d =1 (chú ý a b− số nguyên tố)
Trường hợp 1: Nếu d =1 a+c b+c số phương
Đặt 2
,
a+ =c m b+ =c n với m n, ∈
Khi m2 −n2 = − ⇒ − = ⇒ = +a b m n 1 m n 1
Mặt khác, 4c2 =m n2 2⇒2c=mn⇒8c+ =1 4mn+ =1 4n n( + + =1) 1 (2n+1)2 số phương
Trường hợp 2: Nếu d = −a b a+ =c (a b x− ) b+ =c (a b y− ) (vớix y, ∈) Khi (a+ − +c) (b c) (= a b x− ) (− a b y− ) ⇒ − =a b (a b− )(x−y)
1
x y x y
⇒ − = ⇒ = +
Ta có 4c2 =(a+c b)( +c) (= a−b)2xy=(a−b) (2 y y+1)
Do y y( +1) số phương Tích hai số tự nhiên liên tiếp số phương tích Suy c=0 Khi 8c+ =1 số phương
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 11
(94)Vậy 8c+1 số phương Câu
a) Điều kiện: x≥1
Với điều kiện trên, hệ phương trình cho tương đương với:
( )
4 x− x− = −1 32x +80x −50x +3 (*) Ta có
( ) ( )
* 4
2 3
VT = x− x− = x− − +
≥ Dấu "=" xảy 1
2
x x
⇔ − = ⇔ = Lại có: ( )
2
2
* 32
4
VP = x x− +
≤
−
Dấu "=" xảy
0
0 5
4
4
x x x
x
=
⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình cho có nghiệm là:
x=
b)
Xét y=0 ta có:
4
1
1 0;
2
x x
x
x x
x x
= =
⇔ ⇔ =
= =
− =
Xét y≠0 Đặt t x y
= Hệ phương trình cho trở thành:
( )
( )
3
3 3
4 4
4
8
2 2
y t t
t y y ty
t y y ty y y t t
− + =
+ − =
⇔
+ − − = + = +
Suy 3
4
4
8 12 0; 2;
2
t t
t t t t t t
t t
− +
= ⇔ − + = ⇔ = = =
+ +
Với t =0
(95) Với t =2 x=2y Thay vào phương trình thứ hệ cho ta
1
1
y= ⇒ =x
Với t =6 x=6y Thay vào phương trình thứ hệ cho ta
3 3
3
1
216 24
200 25 25
y + y − y = ⇔ y = ⇔ =y ⇒ =x
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: ( )
3
1
1;0 , 0; , 1; , ; 2 25 25
Câu
d qua điểm cố định I(0; 1)− với m thay đổi Phương trình hoành độ giao điểm ( )P d
2
1
x mx x mx
− = − ⇔ + − = Do c
a = − < nên d cắt ( )P hai điểm phân biệt với m thay đổi
Gọi A x mx( ;1 1−1), ( ;B x mx2 2−1) Khi
2 2 2
1 2
4 16 ( ) 16[ ( ) ]
IA
IA IB IA IB x mx x mx
IB = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = +
2 2 2 2
1 2
(x 16x ) m x( 16x ) (1 m )(x 16x )
⇔ − + − = ⇔ + − =
1
2
1
1
4 16
4
x x
x x
x x
= ⇔ − = ⇔
= − Do x x1 2 = −1 nên
1
x x
= −
Với x1 =4x2 ta có 12 1
1
x x
x
= − ⇔ = − (vô nghiệm)
Với x1 = −4x2 ta có
2
1 1
1
4
x x x
x
= − − ⇔ = ⇔ = ±
Do
3
( )
2
m= − x +x =
(96)P N' M'
Q M
H K
F B A
D
C E N
a) Ta có ABF =ADK ⇒ AF =AK
Trong tam giác vuông KAE có AD đường cao nên
2 2 2
1 1 1 1
AE + AF = AE + AK = AD =a (khơng đổi)
b) Ta có
1
.sin cos
2
KEF
S = KE EF AEK = KE EF AKE (1)
Mặt khác
( )
2
KEF
S = EH KF = EH KH +HF (2)
Từ (1) (2) suy
.cos ( )
KE EF AKE =EH KH +HF
cos
EH KH EH HF
AKE
KE EF
+
⇔ =
cosAKE EH KH EH HF
EF EK KE EF
⇔ = +
cosAKE sinEFK.cosEKF sinEKF c osEFK
(97)Câu
a) Giả sử GD cắt TO I TF cắt AO J Ta chứng minh AO⊥EF J Thật vậy, dựng tiếp tuyến Ax ( )O Ax⊥ AO
Ta có: xAC =ABC mà ABC= AEF⇒ xAC= AEF⇒ Ax/ /EF hay AO⊥EF Mặt khác, ta cần chứng minh GS ⊥TO điểm I
Thật vậy, ta có MFB =MBF ⇔MFD +DFB=MTF +TFB
Mà DFB =DCA=EFA=TFB nên MFD=MTF hay MDF MTF
Từ suy
MF =MD MT
Mặt khác ta có
MO MG=MB MC=MF (do MB=MC =MF) Suy MO MG. =MD MT. hay MOT MDG⇒GI ⊥OT
Dễ thấy điểm A K H E, , , nằm đường tròn đường kính AH Vì tứ giác AKBC nội tiếp nên TK TA TB TC. = . .
Vì tứ giác EFBC nội tiếp nên TK TA TF TE. = . hay tứ giác AKFE nội tiếp Vậy điểm A K F H E, , , , nằm đường tròn
b) Do tứ giác JSIO nội tiếp nên TS TJ. =TI TO.
Do tứ giác IOMD nội tiếp nên TI TO. =TM TD.
Xét tứ giác MDFE có:
180 180 180
FDE = −FDB−EDB= − − =A A − A
x
J
I
N K
M O S
G F
E
D H
C B
A
(98) ( ) ( )
180 180 180 180 2( ) 180 180
FME = −FMB−EMC= − − B − − C = B C+ − = − A
Suy tứ giác MDFE nội tiếp Do TD TM. =TE TF.
Nhưng TE TF. =TK TA. suy TS TJ. =TA TK. ⇒tứ giác AKSJ nội tiếp
90
SKA SJA S HK
⇒ = = ⇒ ∈
Mặt khác từ chứng minh ta cóAKMD nội tiếp nên MKA =MDA=900 Vậy điểm M H S K, , , thẳng hàng
Câu
Đặt x= +a b y, , = +b c z= +a c
Suy ra: x y z, , >0 x+ + =y z 2(a+ +b c)=1
Khi đó: P xy yz zx
xy z yz x zx y
= + +
+ + +
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
( ) ( )( ) 12
xy xy xy xy x y
xy z xy z x y z x z y z xy z
x y
x z
y y z
x z z
= = ⇒ = ≤ +
+ + + + + + + + + + +
Chứng minh tương tự ta được:
1
yz y z
yz x y x z x
≤ +
+ + + ;
2
z x
z y x
x
zx y y
z
≤ + + +
+
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được:
P≤
Dấu "=" xảy
a= = =b c
Vậy max
P=
6
a= = =b c
Câu Xét đa thức ( )
,
B x =ax +bx+c a≠ có biệt thức
B b ac
∆ = − Hai đa thức viết thêm trở thành:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ;
C x = a+ +b c x + +b a x+a D x =cx + −b a x+ a b− +c
Dễ dàng tính
4
B C D b ac
(99)Vì hai đa thức A x( ) E x( ) có biệt thức ∆A ∆E khác nên viết đa thức E x( )
===Hết===
Câu
a) Do 3 2
( )( )
x −y = x−y x +xy+ y x2+xy+y2≥0 nên x≥ ⇔y x3≥ y3
Đặt 3
,
x= a y= b Khi 3 3 0
4
x+ =y y − ⇒ =x y − − <y
Giả sử x< −1, ta có
3 3 2
3 1 3 3 1 ( 1) 0
4
y − = + < − ⇔y x y y − <y − y + y− ⇔ y− < (vô lý)
Do x≥ −1 hay a≥ −1 Vậy − ≤ <1 a
b) Đặt
1
p − + =p a với *
a∈
Khi ( ) ( )( )
1 1
p p− = a− a + +a (1)
Nếu p a| −1 a= pk+1 với k∈
Khi ( ) 3 2
1 ⇔ p − + =p p k +3p k +3pk +1 Với k≥2 thìVT(1)<VP(1), 0≤ ≤k
+ Với k=0 p2− + = ⇔p 1 p p( − =1) , mâu thuẫn
+ Với k=1 p3−2p2+4p= ⇔0 p2 −2p+ = ⇔4 (p−1)2 + =3 0, mâu thuẫn Do đóp a/| −1 ,
|
p a + +a (2)
Lại có a−1| p p( −1) mà gcd(p a, − =1) nên a−1| p−1
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 12
(100)Đặt p=(a−1)b+1 với b∈ Khi từ (2) suy
( )
2
1 1
a a
a b
+ +
− + số nguyên dương Điều
này tương đương với 2
1
a b ab b b a
a
ab b ab b
+ + − −
= + +
− + − + (3) nguyên dương Do ta phải có 3b−2−a ≥ab−b+1
Trường hợp 1: Nếu 2b−2−a≥ab b− + ⇔1 b(4−a)≥a+3
Nếu a≥4 b(4−a)< +a 3, mâu thuẫn Do 2≤ ≤a Nếu a=3 phương trình tương đương với p p( − =1) 26 , mâu thuẫn Nếu a=2 phương trình đầu tương đương với p p( − =1) 7, mâu thuẫn
Trường hợp 2: Nếu 2+a−3b≥ab b− + ⇔1 b(2+a)≤a+1, mâu thuẫn vìa+ > +1 a
Trường hợp 3: Nếu 3b− − = ⇔ =2 a a 3b−2 Khi p=3b b( − +1)
( ) (2 )
2
1 3 9
a − + =a b− + b− + = b − b+ Do
2
1
a a
p
+ + = Ta có ( )1 3( 1) ( 1)( 3)
3
b
p a b b
b
= ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔
=
+ Nếu b=1 p=a, mâu thuẫn p2 + + =p p3 ⇔ p p( 2− − =p 1) + Nếu b=3 p=3a−2 Khi ( )
1 15
7
a
a a a
a
= ⇔ − + = ⇔
= Thử lại thấy a=7 thỏa mãn Với a=7 suy p=19
Vậy p=19 thỏa mãn yêu cầu toán Câu
a) Phương trình cho tương đương với:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
4 2 2
2 2
1
2 3
2 1 3
2
x x x x
x x
x x
+ + + + + +
= + +
+ + +
Đặt
1, 3,
a=x+ b= x + b≥
Phương trình thành:
( )
4 2 2
2
2
(101)Chia hai vế cho
b đặt t a b
= ta được:
( ) ( )2
4 3
4t −4t + − + = ⇔t 2t 4t t− + −1 t =0
( )( ) ( )( )( )
1
1 1 2 1
2
t
t t t t t t t
t
= ⇔ − + − = ⇔ − − + + = ⇔
=
Với t =1 a=b Khi x+ =1 x2 + ⇔3 x2 +2x+ =1 x2 + ⇔ =3 x
Với
2
t = b=2a Khi
2
2
13 2( 1)
3
1
x
x x x
x x
−
+ = + ⇔ ⇔ =
+ + =
≥ −
Vậy phương trình cho có nghiệm 1; 13
3
x= x= −
b) Điều kiện: x≥0;y≥0;xy+(x−y)( xy−2)≥0 Phương trình thứ hệ tương đương với:
( )( 2)
xy+ x−y xy− − +y x− y =
( )( )
( )( )
2
0
x y y xy x y
x y
xy x y xy y
− + − −
⇔ + =
+
+ − − +
( )
( )( )
2
0
y xy
x y
x y
xy x y xy y
+ −
⇔ − + =
+
+ − − +
Mặt khác từ phương trình thứ hai hệ ta có:
( )
2
2
2
1
1
y xy x x x x
x x
+ = − + = + − + − +
+ + ≥
Suy ra:
( )( )
2
0
y xy
x y
xy x y xy y
+ −
+ > +
(102)Thay y=x vào phương trình thứ hai hệ ta được:
( )( )
3 2
1
2 4 1 17
2
x
x x x x x x
x
=
− − + = ⇔ − − − = ⇔ ± =
Vì x= ≥y nên hệ phương trình cho có nghiệm là: ( )1;1 , 17 1; 17
2
+ +
.
Câu
Ta chứng minh n > n+ +1 n−1 (*) với n nguyên dương
Thật vậy, 2
(*)⇔4n>2n+2 n − ⇔1 n − <1 n (luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức (*) suy a> >b Do
2
2 7
7 14
2
m m m
− + − = − − − <
nên hàm số f x( ) nghịch biến x>0 Vậy f a( )< f b( )
Câu
Tứ giác ABCD hình thoi nên AC đường trung trực BD và BD là đường trung trực AC Do gọi M, I ,K là giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I, K là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ADB, ABC
Từ ta có KB = r và IB = R Lấy điểm E đối xứng với điểm I qua M , ta có BEAI hình thoi (vì có hai đường chéo EI AB vng góc với cắt trung điểm đường )
a) Ta có BAI =EBA mà BAI+ ABO=900
90
EBA ABO
⇒ + =
I E
K M
D O
A C
(103)Xét ∆EBK có 90
EBK = ,đường cao BM Theo hệ thức tam giác vng ta có
2 2
1 1
BE + BK = BM
Mà BK = r; BE = BI = R, BM =
2
a
nên 12 12 42
R +r = a
b) Xét ∆AOB ∆AMI có 90
AOB= AMI = A chung
Do
2
AO AM AM AB AB
AOB AMI AO
AB AI AI R
∆ ∆ ⇒ = ⇒ = =
Chứng minh tương tự ta 2
BM AB AB
BO
BK r
= =
Ta có
4
AB
S AO OB
Rr
= =
Mà theo định lí Pythagore tam giác vng AOB ta có
2
2 2
2 2
1 1
4
R r
AB OA OB AB AB
R r R r
= + = + ⇒ =
+
Vậy 82 32 2
( )
R r S
R r
=
+ Câu
a) Ta có ICD 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O )
Tứ giác IHDC có IHD ICD 900 Do tứ giác IHDC nội tiếp đường tròn tâm M
2
IMH ICH
ICH IDH O
N P
J H
M D C B
A
(104)Mà BCA ICHIDH (hai góc chắn AB O )
Do BCA ICHIDH nên BCH 2ICH.Ta có BCH IMH2ICH Vậy tứ giác BCMH nội tiếp
b) Gọi T giao điểm PD đường tròn J ngoại tiếp tam giác HMD (với T
khác D)
Xét PHD PTM có:
HPD (chung)
PHD PTM (hai góc nội tiếp chắn MD J ) Do PHD PTM (g.g) PH PD PM PH PD PT
PT PM
Chứng minh tương tự có PM PH PC PB , nên PD PT PC PB Xét PBD PTC có PBD (chung), PD PB
PC PT (vì PD PT PC PB )
Suy PBD PTC (c.g.c) PBD PTC
Do tứ giác BCDT nội tiếp nên T thuộc đường tròn O hay T N Vậy ba điểm P D N, , thẳng hàng
Câu
Đặt x = 1,y = 2,z =
a b c Điều kiện toán thành:
>
≥
+ +
, ,
2 x 4y 7z x y z
xyz
Bài tốn quy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + +x y z
Từ 2xyz ≥2x +4y +7z suy ( )
≥
− ≥ + ⇒ + ≥
−
2 7 2 4
2
xy
z xy x y x y
z
xy
Khi đó: ≥ + + + = + + − + +
− −
14 2 11
2 2
x
x y x
x y x y
P
xy x x xy
≥ + 11 +2 1+ 72
2
x
x x ( bất đẳng thức AM - GM )
Dễ dàng chứng minh được: + 2 ≥ +
7
2
1
(105)Khi
7
11 2 .9 15
2 2 2
P x x x x
x x x
+
≥ + + = + + ≥ + = (do bất đẳng thức AM – GM ) Dấu “=” xảy ⇔ =3, = 5, =2
2
x y z hay = 1, = 4, =
3
a b c
Vậy = 15 ⇔ = 1, = 4, =
2
P a b c
Câu
Trong 1000 số tự nhiên 2015 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số chia hết cho 1000 Giả sử số A000 (với A∈*)
Khi ta có 28 số A000, 001, , 009, 019, , 099, 199, , 999A A A A A A thuộc
2015 số tự nhiên liên tiếp chọn ban đầu
Gọi SA tổng chữ số A, ta có tổng chữ số 28 số chọn S SA, A +1,SA+2, ,SA+27 28 số tự nhiên liên tiếp Do chắn tồn số 28 số chọn có tổng chữ số chia hết cho 28
===Hết===
Câu
a) Từ x= y− y2+ +1 y+ y2+1 suy 3
2 3
x = y− x⇔ x + x− y=
Khi 3
( ) ( ) 2019 2019
P=x x + x− y + y x + x− y + =
b) Đặt 2
p=c +d với c d, ∈
Ta có ( )( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
a b c d ad bc ac bd
a b
p p p
+ + + + −
+ = =
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 13
(106)2 2
ad bc ac bd ad bc ac bd
p p p p
+ − − + = + = +
Mặt khác, ta có
( )( ) 2 2 2( 2) 2( 2) 2( 2)
ac+bd ac bd− =a c −b d =a c +d −d a +b =a p−d a +b p Suy
|
p ac+bd p ac bd| −
Trường hợp 1: Nếu p ac| +bd
2
2
a b ac bd ad bc
p p p
+ = + + −
Vì a2 b2,ac bd
p p
+ +
∈ nên ad bc
p
− ∈ Do
2
a b
p
+
tổng hai số phương
Trường hợp 2: Nếu p ac bd| −
2
2
a b ad bc ac bd
p p p
+ = + + −
Vì a2 b2,ac bd
p p
+ − ∈
nên ad bc
p
+ ∈ Do a2 b2
p
+ tổng hai số phương Vậy ta hồn tất chứng minh
Câu
a) Điều kiện:
x≥ −
Phương trình cho tương đương với
( )2
2 11
4
3 x+ = x− − x− Đặt 3y− =4 4x+1 ;
3
y≥ Khi ta có hệ phương trình
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
2
2
2
2
3 4
3 2 4
9 22 9 22
3 4
3 4
x y
x x
x x y y x
x y
x y x y
y x
y x
=
− = + + − = + − = +
⇔ ⇔
+ − =
− + − =
− = +
− = +
(107)
14 61
x= + ; 12 53
9
x= −
b) Điều kiện: ( )
( )
1
1 0
1
1 0 12
xy
x x
y y
x
y
+ >
≤ ≤
≥
≤ ≤ ≥
− ⇔
−
Với điều kiện (*) ta có:
2
1
1 2x 2y xy
+ ≤
+
+ + Dấu "=" xảy ra⇔ =x y Chứng minh:
Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:
2
2
1 1
2
1 2
1 2x 2y x y
+ ≤ +
+ + + +
(1)
Dấu "=" xảy 2
1 2x 2y x y
⇔ + = + ⇔ = ( x y, ≥0) Lại có:
( ) ( )
( )( )( )
2
2 2
2
1
0
1 2 2 2
y x xy
x y xy x y xy
− −
+ − = ≤
+ + + + + + (
1 ,
2
x y
≤ ≤ ) Suy ra:
2
1
1 2+ x +1 2+ y ≤1 2+ xy (2)
Dấu "=" xảy ⇔ =x y
Từ (1) (2) ta thu bất đẳng thức cần phải chứng minh Dấu "=" xảy ra⇔ dấu "=" xảy đồng thời (1) (2) Hệ phương trình cho tương đương với:
( ) ( ) ( )
9 73 36
2
1 2 9 73
9
36
x y x y x y
x x y y y y
x y
−
= = = =
⇔ ⇔
− + − = − =
+
= =
(108)
9 73 73 73 73
; , ;
36 36 36 36
− − + +
Câu
Đường thẳng d qua I(0; 1)− với hệ số k nên có phương trình y=kx−1 Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d
2
1
x kx x kx
− = − ⇔ + − = (*)
Do
4 0,
k k
∆ = + > ∀ nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với k Điều
có nghĩa d ln cắt ( )P điểm phân biệt A B, với k
Do x x1 = −1 nên 1
1
1
2
x x x x
x x
= + = + ≥
− (do x1
1
x dấu)
Phương trình đường thẳng OA y= −x x1
Phương trình đường thẳng OB y= −x x2
Do (−x1).(−x2)=x x1 = −1 nên OA⊥OB hay OAB vuông O Câu
a) Xét ∆OEB ∆OMC có
Vì ABCD hình vng nên ta có OB=OC B 1=C1=450
BE=CM (giả thiết )
Suy ∆OEB = ∆OMC ( c – g – c )
OE OM
⇒ = O 1=O3
Lại có
2 90
O +O =BOC= (do tứ giác ABCD hình vng)
hay
2 90
O +O =EOM = Kết hợp với OE =OM ⇒∆OEM vuông cân O.
H'
1
2
E
N H M
O
D
(109)Do tứ giác ABCD hình vng nên AB = CD AB // CD Khi AB//CN AM BM
MN MC
⇒ = (theo định lí Ta-lét) (1) Mà BE=CM AE=BM , thay vào (1) ta AM AE
MN = EB Theo định lí đảo Ta-lét suy
ra ME//BN
b) Gọi H′ giao điểm OM BN
Từ ME // BN suy OME =OH E′ ( cặp góc so le trong)
Mà
45
OME= (do ∆OEM vuông cân O) nên
1 45
MH B′ = =C ⇒OMC =BMH′ (g – g) OM MH
OB MC
′ ⇒ = Kết hợp OMB =CMH′( hai góc đối đỉnh) ta đến
OMB= CMH′
(c – g – c)
45
OBM MH C′
⇒ = =
Do
90
BH C′ =BH M′ +MH C′ = ⇒CH′⊥BN
Mà CH ⊥BN (H∈BN) nên H ≡H′ hay điểm O M H, , thẳng hàng Câu
a) Do tứ giác AMBC nội tiếp nênGM GA =GB GC
Do tứ giác BEFC nội tiếp nên GB GC =GF GE Suy GF GE =GM GA Do tứ giác AMEF nội tiếp
b) Theo kết tứ giác AEFH nội tiếp suy M nằm đường tròn đường
kính AH Do HM ⊥MA Tia HM cắt lại đường trịn ( )O K, AMK =900 nên AK đường kính ( )O
E M
D N
H
F O
K G
C B
(110)Từ suy ra: KC⊥CA KB, ⊥BA⇒ KC/ /BH KB, / /CH ⇒ tứ giác BHCK hình bình
hành ⇒KH qua điểm N Khi M H N, , thẳng hàng Trong tam giác GAN có hai
đường cao AD NM, cắt H nên H trực tâm tam giác GAN
Vậy GH ⊥AN
Câu
Theo giả thiết ta có: 2
2≥x + y +z +xy+ yz+zx Khi đó:
2 2
2
2
2
1
2
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
1
( ) ( )
xy xy x y z xy yz zx
x y x y
x y z x y x z x z y
x y x y
+ + + + + + + ≥
+ +
+ + + + + +
= = +
+ +
hay 12 ( )( 2 )
( ) ( )
xy z x z y
x y x y
+ + +
≥ +
+ +
(1)
Tương tự ta có: 12 ( )( 2 )
( ) ( )
yz x y x z
y z y z
+ ≥ + + +
+ +
(2)
12 ( )( 2 )
( ) ( )
zx y z y x
z x z x
+ ≥ + + +
+ +
(3)
Cộng tương ứng ba bất đẳng thức (1), (2) (3) áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
2 2
2 2
1 1
2
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
3
( ) ( ) ( )
xy yz zx
x y y z z x
z x z y x y x z y z y x
x y y z z x
+ + +
+ +
+ + +
+ + + + + +
≥ + + +
+ + +
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3
( ) ( ) ( )
z x z y x y x z y z y x
x y y z z x
+ + + + + +
≥ + = + =
+ + +
Khi đó: 12 12 12
( ) ( ) ( )
xy yz zx
x y y z z x
+ + + + + ≥
+ + +
Dấu xảy
x= = =y z
Câu
Xét tập khác rỗng khác A A Có tất 26− =2 62 tập Gọi X
(111)Ta có 0≤S X( ) 10 1≤ + +1 12 13 14+ + =60
Theo ngun lí Dirichlet, có hai tổng S S′ nhận giá trị Vậy tồn hai tập
con B C, A cho S B( )=S C( )
===Hết===
Câu
a) Với k∈∗, ta có:
( )
2
1 1
1
k
k k
k k k k k k
k k
= = = −
+ + +
+
1 1
1
k
k k k k
= + −
+ +
1 1
1
1 1
k
k k k k k
= + − < −
+ + +
Khi
3 3
1 1
1 + 1+ + + + + + n + n
1 1 1
2 2
2 n n n
< − + − + + − = − <
+ +
b) Đặt 2 2
2 , , 2
a=x − xy−y b=xy− y −x c= x + y + x+y
Ta có a− =b (x−y x)( −2y+1)
Do a b chia hết a b− chia hết cho
Suy x−y5 x−2y+1 5
Trường hợp 1: Nếu x− y5 x≡ y(mod 5) Khi
2 2
2 ( )(mod 5)
a≡x − x − = −x x +x ;
2 2
2 3( )(mod 5)
c≡ x +x + x+ =x x +x
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 14
(112)Do a5 nên x2+x5 hay c5
Trường hợp 2: Nếu x−2y+1 5 x≡2y−1(mod 5) Khi
(2 1) 2(2 1) 1(mod 5)
a≡ y− − y− y− = −y y+ ;
2 2
2(2 1) 2(2 1) 3 (3 1)(mod 5)
c≡ y− +y + y− + ≡y y − y≡ y y−
Do a5 nên 3y−1 5 hay c5
Câu a) Đặt y = 2x x− = 1−(x −1 )2 Suy ra:
( )
− = −
≤ ≤
2 2
0
1 1
x y
y
Ta được: 1+ +y 1− =y 2 1( −y2) (2 1 2− y2) (1)
Mặt khác: 1+ +y 1−y ≥ +1 1−y2 ≥ −2 y2 (2)
Từ (1) (2) suy ra: 2 1( −y2) (2 1 2− y2)≥ −2 y2
Đặt t =y2 ta được: 0≤ ≤t 1
( ) (− − ) ≥ − ⇔2 (4 − + ) ≤ ⇔ ≤
2 t 2t t t t 10t t
Do đó: t = Suy ra: y =0 hay − = ⇔ − = ⇔ ==
2
2
2
x
x x x x
x
Vậy tập nghiệm phương trình cho S ={0;1} b) Điều kiện
0
x y
x y
+ ≥
− ≥
Đặt ,
2
x y x y
u= + v= − ; u v, ≥0 Suy ra: 2 2 ,
x=u +v y=u −v
Hệ phương trình cho thành:
( 2)( 2) ( 2) 2 3
2
14
u v u v u v u v
u v
u v
+ − + −
= +
+ =
( )( 3 )
3 3
7 0
9
u v u v u v
u v
u v
+ − − = + =
⇔ ⇔
+ =
+ =
3
3
u v
u v
− =
+ =
Hệ phương trình 3 30
u v
u v
+ =
+ =
(113)
3 3
3 3
7
1
9
u v u u
v
u v v
− = = =
⇔ ⇔
=
+ = =
Khi
2
8
2
2
1
x y
x y x
x y y
x y
+ =
+ = =
⇔ ⇔
− = =
−
=
Vậy phương trình cho có nghiệm (5;3) Câu Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d
2
2x = −2mx+ + ⇔m 2x +2mx− − =m (*) Ta có
2 0,
m m m
′
∆ = + + > ∀ Suy phương trình (*) ln có nghiệm phân biệt với m Điều có nghĩa d cắt ( )P điểm phân biệt với m
Theo định lí Vi-ét ta có 2
1 ;
2
m x +x = −m x x = − +
Khi
]
2
1 2
2 2
1 1 2 1 2
1 4( ) 4( )
(2 1) (2 1) 4 2( ) 1
x x x x x x
P
x x x x x x
+ − − + +
= − − = −
− − − + +
=−4m2−8m−6=−(2m+1)2−2≤−2
Vậy maxP= −2
m= −
Câu
O
F
E
K H
C
A
D B
(114)Chứng minh BEO=DFO (g – c – g ) Suy BE=DF
Do tứ giác BEDF hình bình hành Ta có ABC= ADC⇒HBC =KDC
Chứng minh : CBH CDK (g – g) CH CK CH CD CK CB
CB CD
⇒ = ⇒ =
b) Chứng minh : AFDAKC (g – g) AF AK AD AK AF AC
AD AC
⇒ = ⇒ =
Chứng minh : CFDAHC (g – g) CF AH
CD AC
⇒ = Mà CD=AB nên CF AH AB AH CF AC
AB = AC ⇒ =
Do ( )
AB AH +AB AH =CF AC+AF AC= CF +AF AC=AC
Câu
a) Ta có tam giác NAB cân N (ONlà trung trực AB)
NAB NBA
⇒ = (1)
Lại có OM =OB= ⇒R NBA=BOM (2)
Do H I, trung điểm OA AM, nên HI đường trung bình củaAOM
Suy HI//OM ⇒BMO =KHB (3)
Từ (1),(2) (3) suy ra: NAB=HKB
N
K C
H O B
(115)Do tứ giác AHKN nội tiếp hay điểmA H K N, , , thuộc đường trịn b) Ta có
2
AO R
AH =HO= =
KH //OM
2
KH OH R
MB OB R
⇒ = = =
Đặt
2
x MB= > ⇒x MK =
Áp dụng định lý Pythagore tam giác vng AKM AMB, ta có:
2
2 2 2 10 2
4
2
R x
AK −KM = AM =AB −BM ⇔ − = R −x ⇔ =x R
2
sin 45
2
MB R
MAB MAB
AB R
⇒ = = = ⇒ =
Mặt khác
s s 45
2
CAB= đ BC = đ AB= ⇒MAB CAB= ⇒M C≡
Vậy M ≡C 10
2
R
AK =
Câu Ta có
1
6b ab bc ca 6b b bc c 6b 7b c bc
a a a a
+ +
+ = + = + + + = + +
Tương tự
1
6c 7c a ca b+ = + + b ;
1
6a 7a b ab c + = + + c Do P 6b 6c 6a 8(a b c) bc ca ab
a b c a b c
= + + + + + = + + + + +
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2
bc ca c
a + b ≥ ; 2
ca ab a
b + c ≥ ; 2
ab bc b c + a ≥ Suy
bc ca ab
a b c
a b c
(116)Suy
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
8
6
6 3
bc ca ab bc ca ab
P a b c a b c a b c
a b c a b c
bc ca ab bc ca ab
a b c
a b c a b c
bc ca ab bc ca ab
a b c a b c
a b c a b c
= + + + + + = + + + + + + + + ≤ + + + + + + + + = + + + + + = + + + + + ( ) ( ) 2 2 2
2
3 a b c abc b c c a a b ab bc ca
abc abc abc
+ + + + + + +
= = =
Do đó:
1 1 1
6 6 6
1 3
b c a
a b c
abc
+ + + + +
≤ (1)
Mặt khác
3
3 6 6 6 6
3
b c a
b c a
a b c
a b c
+ + + + + + + + + + ≤ 3 6
1
b c a
a b c
abc + + + + + ⇒ ≤
⇒ 3
3
1 1
6b 6c 6a
a+ + b + + c+ ≤ abc (2)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
3 ( )2
3
3
ab bc ca
ab bc ca ≤ + + = ⇒ abc ≤
Vì thế, ( )
( ) ( ) 2 3 3 3
3 abc abc
abc abc
abc = abc = ≤ (3)
Từ (2) (3) suy 6b 6c 6a
(117)Câu
Giả sử A có n số xếp chúng theo thứ tự 1= <x1 x2 < < xn Suy với k∈{1;2;3; ; }n ta có
1
i i j xk xk xk
x+ = +x x ≤ + = với 1≤i j, ≤k
Áp dụng kết ta thu
6
2 1 2,x3 2 4,x4 8,x5 16, 32, 64
x ≤ + = ≤ + = ≤ ≤ x ≤ x ≤
Suy tập A phải có phần tử
Giả sử n=8 suy x8 =100
Vì x6+x7 ≤32 64+ =96 nên x8 =2x7 ⇒x7 =50 Vì x5+x6 ≤16 32+ =48 nên x7 =2x6⇒x6=50 Vì x4+x5 ≤ +8 16=24 nên 6 5 5 25
2
x = x ⇒ x = (mâu thuẫn)
Giả sử n=9 ta có tập {1;2;3;5;10;20;25;50;100} thỏa mãn yêu cầu toán
===Hết===
Câu a) Cách
*
k
∀ ∈ ta có
( ) ( )
2
1 1
1
2 k k k k
k k k k k k k
= = −
+ +
+ + + +
( ) ( )2
2
1 1
2k k 2k k k 2k k k k
= − < −
+ + + + + +
Khi
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 15
(118)( )
2 2
1 1
1 +2 +3 + + n n+2 n+1
( )2 ( )2
2
1 1 1
2 2 2 2 2
n
k= k k k k n n
< − = − <
+ + + + +
∑
Cách
Ta có: 2 2
2k =k +k ≥k + với k∈* Suy ra:
( )( ) ( ) ( )( )
2
1 1
1
2 1
( 2)
2 k
k k k k k k k
k k k
k ≥ + ⇒ ≤ = −
+ + + + +
+ + Khi
( )
2 2
1 1
1 +2 +3 + + n n+2 n+1
( ) ( )( ) ( )( )
1
2 1 1 1
2 1 2 2 2
n
k= k k k k n n
≤ − = − <
+ + + + +
∑
b) Ta có: 3 ( ) ( ) ( )
4 mod mod
m +n − ≡ p ⇔ −mn m+n − ≡ p
⇔3mn m( +n)+12≡0 mod( p)
Kết hợp với 3 ( )
4 mod
m +n − ≡ p suy ra:
( )3 ( )
8 mod
m+n + ≡ p ⇔(m+ +n 2)m2+n2+2nm−2(m+n)+4 ≡0 mod( p)
Do p số nguyên tố nên ta có khả năng:
Trường hợp 1: Nếu ( 2)
m+ +n m +n
( ) ( )
2
1
2 1 2,
1,
m n
m n m n m m n n m n
m n
= =
+ ≤ + + ⇔ − + − ≤ ⇔ = = = =
Thử lại ta thấy: số (m n, ) ( ) ( ) ( )1;1 , 2;1 , 1;2 thỏa toán
Trường hợp 2: Nếu 2 ( ) ( 2)
2
m +n + nm− m+n + m +n
( ) ( 2)
2nm−2 m+n +4 m +n
Do ( ) ( )( ) ( ) 2
2nm−2 m+n + =4 2 m−1 n− + > ⇒1 1 2nm−2 m+n + ≥4 m +n
(119)Câu
a) Điều kiện: x≠ ± 3,x≠1
Phương trình cho viết lại sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 1
3
1
x
x x x
x x − + − + = − + − − −
Đặt ( )2
u= x− > ;
v=x −
Phương trình cho trở thành:
1
2
u
v u v
v + + = +u (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swachz ta có:
( ) ( )2
2 2 1 u v u
v v u
v u
+ + + +
≥ + +
2
1
u v
v u ≥ +u v + ≥u v
⇒ + + + (2)
Từ (1) (2) suy ra:
2 1 u v u v v u v = = ⇔ = = =
Khi đó: ( ) 2 1 x x x − = ⇔ = − =
Vậy phương trình cho có nghiệm x=2 b) Điều kiện: 3x−y≥0 ; 3x+ 3x− ≥y ;y≠0
Ta có: 6x 3x y 3y 3( x y) 3y 3x y 3( x2 y) 3x y
y y y y
− − −
− = − + ⇔ − = − ⇔ − =
Đặt t 3x y y
−
= Khi đó:
1
2 3
2 t t t t = − − − = ⇔ =
Với t = −1 ta có:
2
0
3
3
y y
x y y
x y y x y y
< <
− = − ⇔ ⇔
− = = +
Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:
2 2
(120)2
4
2 1
0 y x y y y = − ⇒ = ⇔ + − = ⇔
= >
Với
2
t = ta có:
2 3 9 y
x y y
x y y
> − = ⇔ = +
Thay vào phương trình thứ hai ta được: 9
2
4y +2y = 2y + y−
Đặt
4
u= y + y , u>0 Ta có: 2 u u u u = − − = ⇔
= − <
Với u=2 suy ra:
8
9 10 16 9
2 y x y y y = ⇒ = + − = ⇔
= − <
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (4; ,) 8; 9 − Câu ( ) ( A; A)
A∈ P ⇒ A x x ; B∈( )P ⇒B x x( B; B2) (với xA <0,xB >0)
OAB
2 2
2
2 2 2 2
( ) ( )
A A B B
A A B A B A
x x x x
OA OB
OA AB x x x x x x
= + = + ⇔ ⇔ = + = − + −
2 2
2
2 2 2
( )( 1)
(2 )
( ) ( )
B A
A B A B
A A A
A A B A B A
x x
x x x x
x x x
x x x x x x
= − − + + = ⇔ ⇔ + = + = − + − 3 A B x x = − ⇔ =
(do xA <0 xB >0) Vậy A(− 3;3 ,) ( )B 3;3
(121)I F
K E
D C
B A
a) Tứ giác ABCK có:
AB // CK (AB // CD, K∈ CD) AK // BC (giả thiết)
⇒ ABCK hình bình hành ⇒ CK = AB
⇒ DK = CD – CK = CD – AB (1) Chứng minh tương tự, ta có DI = AB
⇒ IC = CD – DI = CD – AB (2) Từ (1) (2) suy ra: DK = IC
∆DEK có AB // DK, theo hệ định lý Ta-let ta có: AE AB
EK = DK (3)
∆FIC có AB // IC, theo hệ định lý Ta-let ta có: AF AB
FC = IC (4)
Do DK =IC nên từ (3) (4) suy AE AF EK = FC
Do EF//KC hay EF//CD
b) Do AB=CK nên AB CK
CD = CD (5) BCD
có EK//BC nên CK BE
CD = BD (6) BDI
(122)Mà DI =AB nên BE EF
BD = AB (7)
Từ (5), (6) (7) suy ra: AB CK BE EF
CD =CD = BD = AB hay
2
AB =CD EF
Câu
K I
M
P
N
O H
C B
A
a) Gọi I giao điểm CH AB , K giao điểm AH với BC
Dễ thấy
180
BIK +AHC= (1)
Mặt khác, IBK = AMC AMC; = APC Do IBK = APC (2)
Từ (1) (2) suy ra: APC AHC 180 + =
Do tứ giác AHPC nội tiếp ⇒ AHP= ACP
Mà ACP= AMP nên AHP= ACM
Mặt khác,
180
ACM =ABM = nên AHP= ABM =1800
Mà AMB= ABN nên AHP= ABN =1800 (3)
Tương tự, ABN = AHN (4)
Từ (3) (4) suy ra: 180
AHB+AHN =
Vậy N H P, , thẳng hàng b) Ta cóMAN=2BAM MAP ; 2= MAC
Khi NAP=2( BAM +MAC)=2BAC (khơng đổi)
Ta cóNP=2AP.sinBAC =2AM.sinBAC
NP lớn AM lớn nhất, tức AM đường kính đường trịn ( )O
(123)Câu
Đặt a 1;b 1;c a b c, ,
x y z
= = = ⇒ > a+ + =b c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
1
a+bc+ b+ac + c+ab ≥ ab + bc + ca +
2
( ) ( )
a+bc = a a+ + +b c bc = a +a b+ +c bc ≥ a + a bc+bc
( )2
a bc a bc a bc
⇒ + ≥ + = + (1)
Tương tự ta có: b+ac ≥ +b ac (2)
c+ab ≥ +c ab (3)
Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta có:
a+bc+ b+ac+ c+ab≥ ab+ bc + ca + + +a b c
1
a bc b ac c ab ab bc ca
⇔ + + + + + ≥ + + + Dấu đẳng thức xảy
3
a b c
⇔ = = = hay x= = =y z
Câu
Sắp xếp số cho theo thứ tự tăng dần: 1≤ <a1 a2<a3< < a700 Bổ sung thêm số a2+3,ai +9 (i=1, 2, ,700) lập bảng sau:
Cột
Dòng … 674 675
1 a1 a2 a3 … a674 a675
2 a1+3 a2+3 a3+3 … a674+3 a675+3 a1+9 a2+9 a3+9 … a674+9 a675+9
Bảng gồm 675 cột, dòng nên gồm 2025 số tự nhiên, xi bảng thỏa mãn 1< <xi 2017 9+ =2026 (i =1, 2,3, , 2100)
Do xi nhận tối đa 2024 giá trị nên có số
(124)∃ hai số ai + =x aj +y với x y, ∈{0;3;9}, i ≠ ∈j {1;2; ;675} {3;6;9}
i j i j
a a y x a a y x
⇔ − = − ⇔ − = − ∈ Vậy ta hoàn tất việc chứng minh
===Hết===
Câu a) Ta có
( )2
6 2− = 2− = −2 2; 20 14 2+ =3(2+ 2)3 = +2 2;
( )3
3 (a+3) a−3a− =1 a a−3a+3 a− =1 a−1 = a−1 Khi
( )( ) ( ) (( 1)2)
2 2 : 2
2
a
P a
a
−
= − + + − = − + =
−
b) Gọi l l1, , ,2 ls ước lẻ n
m lũy thừa lớn khai triển
n (s≥1,m≥0)
Từ ước n l l1, , , , , , , , , 22 ls l1 l2 ls ml1, 2ml2, , 2mls
Theo đề ta có:
( )
1 21 22 2 2
m m m
s s s
l + + + +l l l + l + + l + + l + l + + l + m+ s= n+
( )( ) ( )
1 2 2
m s
l l l m s n
⇔ + + + + + + + + + = +
( )( ) ( )
1 1
m s
l l l + m s n
⇔ + + + − + + = + (*)
Nếu s chẵn vế trái (*) chẵn, vô lý Suy slẻ
Nếu s lẻ mà m chẵn vế trái (*) chẵn, vơ lý Do m lẻ tứcm=2t+1 Suy
2m
n
có số ước lẻ
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 16
(125)Số
1
2
m
k k k
m m
n
p p p
= có số ước (k1+1)(k2+1 ) (km+1) suy ki chẵn (i=1, )m
2m
n
⇒ số phương 2
2 (2 )
2
t n t
n + r r
⇒ = ⇒ = vớit r, ∈
Câu a) Điều kiện:
9
x≥ −
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với:
( )2 ( )
4 9
2
3
x+ x+
+ = +
Đặty=9x+4 (y≥0)
Khi
2
4 3
2 4
3
y y y y
y
+ = + ⇔ + = + +
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: 6
y≤ y+
Suy 2 ( )2
2 4
4
9
3
y
y y y x
y
y
≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ − ≤ ⇔ ⇒ =
+ =
Vậy phương trình cho có nghiệm
9
x=
b) Từ phương trình thứ hai hệ ta suy ra:
2
0
8
3
0
3
x x y
y y
x y
x y
+ + ≥ >
⇔
+ ≥
+ ≥
Ta có 2 8
16 ( ) 16
xy xy
x y x y xy
x y x y
+ + = ⇔ + − − + =
+ +
( )
4 ( ) 4( )
x y x y x y xy
⇔ + − + + + − =
( ) 2
4 4( )
x y x y x y
⇔ + − + + + = (*)
Do (*)
4
x+ > +y x y≥ ⇒ ⇔ + =x y thay vào phương trình thứ hệ ta có
Mặt khác, 2
3
x y
x y
+ = + >
(126)2
2
2
8 3
x x y x x y x x
y y y
+ + ≥ + = +
Suy phương trình thứ hai hệ 2
8
x x y
y
⇔ = +
Do hệ cho
2
4 4
4
2
6 ,
3 16 12
8 3
x y x y
x y
x x y
x y x y
x xy y
y
+ =
+ = + =
⇔ ⇔ ⇔
= + − − = = = −
24 7
x y
= ⇔
=
12
x y
= −
=
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 24 4; , ( 8;12) 7
−
Câu Ta có d Ox A b;0
a
∩ = −
; d∩Oy=B(0; )b Vì d qua M(2;7) nên 2a b+ =7 Suy b
a a
− = − Do a| 7, b
a
− số nguyên âm b số nguyên dương nên a số nguyên dương Suy
{1;7}
a∈
Với a=1 b=5 (thỏa mãn)
Với a=7 b= −7 (loại) Vậy
5
a b
= =
thỏa mãn yêu cầu toán Câu
I P
Q
H E
D
A
B C
(127)a) Chứng minh EBDECA (g – g) EB ED EA EB ED EC
EC EA
⇒ = ⇒ =
Kẻ MI ⊥BC (I∈BC)
Ta có BIM BDC (g – g) BM BI BM BD BI BC
BC BD
⇒ = ⇒ = (1)
Tương tự, ACBICM(g – g) CM CI CM CA CI BC
BC CA
⇒ = ⇒ = (2)
Từ (1) (2) suy
.( )
BM BD+CM CA=BI BC+CI BC=BC BI+CI =BC
Do tổng BM BD CM CA + có giá trị khơng đổi
b) Chứng minh BHDDHC (g – g)
2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC
⇒ = ⇒ = ⇒ =
Chứng minh DPBCQD (c – g – c) ⇒ BDP=DCQ
Mà BDP +PDC=90o nên DCQ+PDC =90o⇒CQ⊥PD
Câu
a) Vì ( )O ( )C tiếp xúc A nên A C O, , thẳng hàng Vì ( )O ( )C tiếp xúc B nên B D O, , thẳng hàng Xét ( )C có 1
2
ANP= ACP
Do tam giác ACP cân C tam giác AOB cân O nên
( )
APC= ABO =CPA ⇒CP//OB 1
2
ACP AOB ANP AOB
⇒ = ⇒ = (1)
Tương tự, ta có DP//OA 1
2
BDP AOB BNP AOB
⇒ = ⇒ = (2)
Từ (1) (2) suy ANP=BNP
Gọi H giao điểm NP CD; I giao điểm OP CD
Theo chứng minh ta cóCP//OB, DP//OC Suy tứ giác CPDO hình bình hành
Do IO=IP, ( )C ( )D cắt P N suy CD⊥NP (3)
DoHN =HPnên HI đường trung bình tam giác PNO⇒HI //NO
hay CD//NO (4)
Từ (3) (4), suy
90
(128)N
P H I
D O
C
B A
b) Theo chứng minh ta có: ANB=ANP+PNB⇒ ANB= AOB (5)
Dễ thấy N O, thuộc nửa mặt phẳng bờ AB (6)
Từ (5) (6) suy điểm N thuộc cung tròn AOB đường tròn ngoại tiếp tam giác
AOB Do A B O, , cố định nên N thuộc cung tròn cố định
Câu
Ta có 2 2 2 ( )2 2 2 2
4
a +b + +c a+ +b c ≤ ⇔ a +b + +c ab bc+ +ca≤
Ta chứng minh
( ) (2 ) (2 )2
2 2 2
6
ab bc ca
a b b c c a
+ + + + + ≥
+ + +
Thật vậy, 2
2≥a +b +c +ab+bc+ca nên ta có
Suy
( )2 ( ( )( )2 )
2
1 c a c b
ab
a b a b
+ + + ≥ +
+ + (1)
Tương tự ta có
( )2 ( ( )( )2 )
2
1 a b c a
bc
b c b c
+ + + ≥ +
+ + (2)
( )2 ( ( )( )2 )
2
1 a b b c
ca
c a c a
+ + + ≥ +
+ + (3)
Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta
( ) (2 ) (2 )2 ( ( )( )2 ) ( ( )( )2 ) ( ( )( )2 )
2 2 2
3 c a b c a b c a b c a b
ab bc ca
a b b c c a a b b c c a
+ + + + + +
+ + +
+ + ≥ + + +
+ + + + + +
(129)( )( )
( )2 ( ( )( )2 ) ( ( )( )2 )
c a b c a b c a b c a b
a b b c c a
+ + + + + +
+ + ≥
+ + +
Suy điều phải chứng minh
Dấu “=” xảy 3
a= = =b c
Câu
Xét hình thoi ABCD cạnh cm có A=600
Ta có ABD đều, AB=BC =CD=DA=BD=1 cm
Bồn điểm A B C D, , , tô màu nên tồn hai điểm màu
Nếu năm đoạn thẳng AB BC CD DA BD, , , , có hai đầu màu tốn chứng minh Khơng xảy điều đoạn thẳng AC có hai đầu màu
Xét hình thoi ABCD, A cố định Nếu khơng có đoạn thẳng năm đoạn thẳng
, , , ,
AB BC CD DA BD có hai đầu màu C màu với A Ta có điểm
đường trịn tâm A, bán kính AC= cm tơ màu
Dây cung MN =1 cm đường trịn ( ; cm)A có M N, màu
===Hết===
Câu
a) Đặt 3
ax =by =cz =k Khi
3 3
2 2
3 ax by cz 3 ax by cz 3 k 1 k
x y z x y z
+ + = + + = + + =
(1)
3 3 3 3 3
3
3 3
1 1
k k k
a b c k k
x y z x y z
+ + = + + = + + =
(2)
Từ (1) (2) suy A
C
B D
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 17
(130)2 2 3 3 ax +by +cz = a+ b+ c
b) Giả sử a b c, , số nguyên n số nguyên dương cho 2019
( )( )( ) 2.2018 n
a−b b−c c−a + =
Đặt a b− = −x; b− = −c y ta viết lại phương trình sau
2019 ( ) 2.2018 n
xy x+y + = (1)
Nếu n≥1 vế phải (1) chia hết cho 7, ta có xy x( +y)+4≡0 (mod 7) Suy
3xy x( +y)≡2 (mod 7) (2) hay
3
2 (mod ) (x+y) −x −y ≡ Để ý với số nguyên k, ta có
1;0;1 (mod 7)
k ≡ −
Từ (1) suy số 3
(x+y) ,x y3 phải có số chia hết cho Do số nguyên tố nên số x+ y x y, , phải có số chia hết cho Suy xy x( +y) chia hết cho Đây điều mâu thuẫn với (2)
Vì vậy, n=0 Khi
( ) ( ) ( ) 1.( 2) ( 2).1 ( 1).2 2.( 1)
xy x+y + = ⇔ xy x+ y = − ⇔xy x+y = − = − = − = −
Xét trường hợp sau:
1
2
xy
x y
x y
=
⇔ = = −
+ = −
2
1
xy x
x y y
= − =
⇔
+ = = −
1
x y
= − =
2
xy
x y
= −
+ =
(khơng có nghiệm ngun)
1
xy
x y
=
+ = −
(vô nghiệm)
Vậy ba số thỏa mãn yêu cầu toán ( , , )a b c =(k+2,k+1, )k (với k∈)
hoán vị
(131)a) Điều kiện: x − ≤ ≤
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với
( ) ( )
6 2− x+7 + − + −2x =x −1
2
4 4
1
3
x x
x
x x
− −
⇔ + = −
+ + − + +
( )
1
4
1
3
x
x
x x
=
⇔ + = − −
+ + − + +
( ) 4
1 1
3 2x 2x x
⇔ − + − = − −
+ + − + +
( 2)( ) ( 2)( )
3 7 3
x x
x
x x x x
− − +
⇔ + = − −
+ + + + − + + − + +
( )( ) ( )( ) ( )
3
2 2
1
3 7 3
x
x x x x
= −
−
⇔ + = −
+ + + + − + + − + +
(2) vơ nghiệm
( )(2 )
(2) (2)
3
3 7
VT VP
x x
−
> ≥ − >
+ + + +
Vậy tập nghiệm phương trình cho S ={1; 3}− b) Điều kiện: x y
y
− ≥
≥
2
0
Từ phương trình thứ hai hệ có:
2 2
x+ x− +y y = + ⇔y x− +y x− + = −y y y+
( ) (2 )2
2
2
x y y
x y y
x y y
− + − = ⇔ − + = − ⇔
− + =
Từ phương trình đầu hệ suy
2
(132)2 2
2
4
3 64 64
2 16
2 3
y y
x y y
⇒ − + ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ <
Do hệ cho có nghiệm ( ; )x y 2x− + −y y >0 Xét trường hợp 2x− +y y =2, ta có:
( )2
2
2x− +y y = ⇔4 2x+2 2xy−y = ⇔4 2xy− y = −2 x
( )2 ( )2
2
2
2 4
x x
xy y x x y x
≤ ≤
⇔ ⇔
− = − − = −
(1)
Mặt khác, thay
2xy−y = −2 x vào phương trình thứ hai hệ có
( )
2
2
2
2
4
4
x
x xy y x
x xy y x
≥ − − + = + ⇔
− + = +
( )2
2
3 4
x
x y x
≥ − ⇔
− = +
(2)
Kết hợp (1) (2) ta có
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2, 0
4
2, 4
3 4
x
x x y
x y x
x y
x y
x y x
− ≤ ≤
=
= =
− = − ⇔ ⇔
= =
− =
− = +
Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( )x y; ( ) ( )2 0; , 4;
Câu
d qua điểm cố định A(1;3) với m
Kẻ OH ⊥d H Ta có OH ≤OA (OA khơng đổi)
Dấu đẳng thức xảy H ≡A
Phương trình đường thẳng OA có dạng y=ax
(1;3) O 3
A ∈ A⇔ =a ⇔ =a Suy y=3x
5 3.( 2)
3
OA⊥ ⇔d m− = − ⇔ =m
Vậy
m= thỏa mãn yêu cầu toán
(133)a) Trên cạnh BI lấy điểm H cho BH = BA = a
ΔABM ΔHBM
⇒ = ΔHBN ΔCBN=
Suy BHM =BAM =90 ;0 BHN =BCN =900
Suy ra M; H; N thẳng hàng, MN = MH + HN = AM + NC
b) Đặt
4
NC = ⇒x MN =AM +NC= a+x; DN = −a x
Theo định lí Pitago
( )
2
2
2 2
4 16
a
MN =MD +DN ⇒ a+x = + a−x
Giải
và tìm
a x=
Diện tích tam giác BMN bằng 1 25
2 56
a
BH MN = a a+ = a
Câu
J
K
I M
N
F
A
B
C E
O H
a) Do điểm A B K O C, , , , nằm đường tròn nên CKO =OBC
Mà
90
EKC = −CKO suy EKC =900−OBC =BMJ =EMC hay tứ giác EMKC nội tiếp
b) Kéo dài FM cắt AB I
Ta chứng minh I trung điểm AB Do tứ giác EMKC nội tiếp nên EKM =ECM
Mà ECM =EFB suy EKM =EFB⇔ MK / /FB
H A
D C
B
M
(134)Suy M trung điểm EN
Áp dụng định lý Thales ta có: ME MN FM
AI = BI = FI
Mà ME=MN nên AI =BI
Vậy đường thẳng FM qua trung điểm AB Câu
Ta có 8(a+b b)( +c c)( +a) ≤( a+ b+ c) 8(a+b b)( +c c)( +a)
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
4 4
4
ab ac a b a c ab bc b a b c
ac bc c a c b
= + + + + + + + + + + + Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:
( ) ( )( ) ( )( )
4 4
2
ab+ ac a+b a+ ≤ c ab+ ac+ a+b a+ c
Cộng vế theo vế với bất đẳng thức tương tự ta
( )( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
1
8 4
2
4
2
4
2
a b b c c a ab ac a b a c
ab bc b a b c
ac bc c a c b
+ + + ≤ + + + + + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
7
ab bc ca a ab ac bc b bc ab ac c ac bc ab
a b c ab bc ca
= + + + + + + + + + + + + + + = + + + + +
Dấu đẳng thức xảy
a= = =b c
Câu
Chọn hai điểm A B, thuộc đường gấp khúc khép kín ( )T cho, AB chia ( )T thành hai phần có độ dài
2 Gọi O trung điểm AB Dựng đường tròn ;1
4
O
Giả sử có điểm M thuộc ( )T ngồi hình trịn
1 ;
4
O
Gọi N điểm đối xứng M qua O Tứ giác AMBN hình bình hành nên AM =BN
Do
2
AM +BM =BN +BM >MN = OM > (1)
M
O
A B
(135)Mà
AM +BM ≤ (nửa độ dài đường gấp khúc cho
2) (2) Từ (1) (2) dẫn đến mâu thuẫn Điều giả sử sai
Vậy ta hoàn tất chứng minh
===Hết===
Câu a) Ta có
2
1+x =xy+ + +x y x =(x+y x)( +1)
2
1+ y =xy+ + +x y y =(x+y y)( +1) ( 1)( 1)
x+ +y xy= ⇔ x+ y+ =
Khi
1
2 ( ) ( 1)( 1)
1
y x
P x y x y x y
x y
+ +
= + + + + +
+ +
( 1) ( 1) 2( )
2
x y y x
x y
+ +
= + + +
= 2[x y( + +1) y x( + + +1) x y]
=2 2(xy+ +x y)=2
b) Gọi ( ,x y0 0) nghiệm nguyên dương phương trình cho cho x0+y0 đạt giá trị nhỏ
Khơng tính tổng qt, giả sử x0≥ y0≥1 Xét phương trình bậc hai ẩn x:
2 2
0 0 (1 0) 0
x +y + +x y =kxy ⇔ x + −ky x+y +y =
Rõ ràng phương trình có nghiệm x0 Gọi nghiệm lại x1 Theo định lý Viete ta có
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 18
(136)0 0
1
x x ky
x x y y
+ = −
= +
Do x k y0, , +
∈ nên x1=ky0− − ∈1 x0 Lại
0 0
y +y > nên x1∈+
Điều có nghĩa ( ,x y1 0) nghiệm thỏa mãn phương trình Mặt khác, x0+y0 nhỏ nên x0+ y0 ≤ +x1 y0, tức x1≥x0 Khi
0
0 0
0 0
2
1
1
ky x x ky x x k
y y
− − ≥ ⇔ − ≥ ⇒ + ≤ Từ 2
0 0
x + y + +x y =kxy , ta cô lập k thu
0 0
0 0 0 0 0
1 1 1
1
2 2
2
x y x y
k
y x x y y x y
k
k
y x
≤ + + +
= + + + = + + + + = +
Suy k≤ ⇒ ∈5 k {1;2;3;4;5} Xét trường hợp k:
Với k=1, ta có x2+ y2+ + =x y xy Phương trình vơ nghiệm + ta
dựa đánh giá sau 2
2xy x y xy, x y,
x +y + + ≥x y + + > ∀ ∈+
Với k=2, ta có x2+ y2+ + =x y 2xy⇔(x−y)2+ + =x y 0, vô lý
(x−y) + + > ∀x y 0, x y, ∈+
Với k=3, ta có x2+ y2+ + =x y 3xy Phương trình có nghiệm ngun dương (2, 2) Với k=4, ta có x2+ y2+ + =x y 4xy Phương trình có nghiệm ngun dương (1,1) Với k=5, dấu “=” phải đồng thời xảy điểm
1 1
, 1, 1,
2 2
x k y
y+ y = = x = y = x =
Dễ dàng không tồn cặp số nguyên dương x y, thỏa mãn điều kiện nêu
trên Trường hợp bị loại
Vậy k∈{3, 4} thỏa mãn yêu cầu toán Câu
a) Điều kiện: 2
2 2
x x
≤ ≤ − ≤ ≤ −
(137)2 2 2 2 2 2
8 (8 ).4
2
2
2
1 12
2
2
2 4
x x x x x x x x x x x − ≤ = − − ≤ + = − − = − − − = Khi 2 2 2 15
4 x x x x x ≤ − − − − +
Dấu đẳng thức xảy dấu đẳng thức đồng thời hai bất đẳng thức x= ±2
Mặt khác
2 2
2
15 1
1
5
4 2
x x x x x x ≥ − − ⇔ − + − ≥ − +
Dấu đẳng thức xảy x=2
Vậy phương trình cho có nghiệm x=2
b) Đặt
1
t = +x +x > +x x ≥ Suy
2 t x t − =
Từ phương trình thứ hai hệ, ta rút 16
8
t
y y y
t t
− + + = ⇒ =
Do 16 12
2 8
t t t
x y t
t t t t
− − +
+ = + = = + ≥
2 21 ( ) 21
8 2
x y
x + y + + =x y ⇒ + + + ≤x y ⇒ − ≤ + ≤x y
Từ suy
4
x= =y
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( ; ) 3; 4
x y =
Câu
Ta có mx− + = ⇔ =y y mx+1
(138)2
1 2
2x =mx+ ⇔ x − mx− = (*) Do c
a = − < nên phương trình (*) có nghiệm trái dấu Điều có nghĩa d ln cắt
( )P hai điểm phân biệt A B, với m
Gọi x x1, 2 hoành độ hai điểm A B, Do x x1 2 <0 nên khơng tính tổng qt, giả sử x1>0 x2 <0
Theo định lí Vi-ét ta có x1+x2 =2m x x1 = −2 (0;1)
d∩Oy=C C nằm A B
Khi
1
1
3 1 3
2 2 2 2
AOB AOC BOC
x x
S = ⇔S +S = ⇔ x OC+ x OC= ⇔ − =
2 2
1 2
1
( ) ( ) 9
2
x x x x x x m m
⇔ − = ⇔ + − = ⇔ + = ⇔ = ±
Vậy
2
m= ± thỏa mãn yêu cầu toán
Câu
a) Giả sử góc A góc lớn ABC Khi
,
B C góc nhọn Suy chân đường cao hạ
từ A xuống BC điểm H thuộc cạnh BC
Ta có: BC=BH +HC Áp dụng định lý Pythagore
trong tam giác vng AHB AHC, ta có
2 2 2
;
AB = AH +HB AC = AH +HC
Từ hai đẳng thức suy
( )( ) ( )
2 2
c −b =HB −HC = HB+HC HB−HC =a HB−HC
2
c b
HB HC
a
−
⇒ − =
Lại có 2
2
a c b
HB HC a BH
a
+ −
+ = ⇒ =
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vng AHB ta có
2
2 2 2 2 2
2
2 2
a c b a c b a c b
AH c c c
a a a
+ − + − + −
= − = − +
H
C B
(139)( ) ( ) ( )( )( )( )
2 2 2
2
2
a c b b a c a b c a c b b a c b c a
a a a
+ − − − + + + − + − + −
= =
Đặt 2p= + +a b c chu vi tam giác ABC Khi
( )( )( ) ( )( )( )
2
2 16
2
p p a p b p c
p p a p b p c
AH AH
a a
− − −
− − −
= ⇒ =
Vậy ( )( )( )
2
S= BC AH = p p−a p−b p−c
b) Từ câu a) ta có S = p p( −a)(p−b)(p−c)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ( )( )( )
3 3
3 27
p a p b p c p
p−a p−b p− ≤c − + − + − =
Suy
27 3
p p
S ≤ p = hay ( )
2
12
a b c
S ≤ + +
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc ( )2 ( 2 2 2)
a+ +b c ≤ a +b +c
Suy ( )
2 2
2 2
4 12
a b c
S ≤ + + ⇔ a +b +c ≥ S
Dấu đẳng thức xảy tam giác ABC
Câu
x
Q P
N
F
E
D M
F
E
D M O
O
A
B
C
A
B C
a) Do tứ giác MECD MBFD, nội tiếp nên DEC=DMC=DFB (1)
Tứ giác ABDC nội tiếp nên DCE =DCA=DBF (2)
(140)Từ ∆BDF ∆CDE⇒EDC =BDF Mà EMC=EDC BMF =BDF
Suy EMC =BMF Vậy E M F, , thẳng hàng
Từ hai tứ giác MECD MBFD, nội tiếp nên AB AF = AM AD =AE AC , suy tứ giác
BECF nội tiếp Do AFE= ACB
Vẽ tiếp tuyến Ax ( )O ACB=BAx Do BAx=AFE, suy Ax EF|| Vậy OA⊥EF.
b) Ta có BDF CDE nên
2 BDF
CDE
S BF
S =CE
Ta có 22
CDE
DAB DAB BDF DAC BDF CDE DAC
S
MB S S S AB BF CE AB BF
MC S S S S BF CE AC CE AC
= = = = =
Từ BF AC AF NF EN FN
CE = AB = AE = NE ⇒ EC = FB
Theo tính chất phân giác ta có PN EN
PC = EC
QN FN
QB = FB (4)
Từ (3) (4) suy PN QN
PC = QB Do PQ//BC
Câu
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
( )
2 a+ +b b+ +c c+a
2 2 2
2 2
2 a b ab b c bc c a ac
a b b c c a
+ + + + + +
= + +
+ + +
2 2 2
2 2
a b b c c a ab bc ca
a b b c c a a b b c c a
+ + +
≥ + + + + +
+ + + + + +
2 2 2
2 2
1 1 1
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
= + + + + +
+ + +
+ + +
2 2 2
9
1 1 1
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
≥ + + +
+ + +
(141)2 2 2
9 1
a b b c c a
a b b c c a
a b c
+ + +
≥ + + +
+ + +
+ +
Theo giả thiết ab+bc+ca≤3abc nên 1
a + + ≤b c ,
9 18 1
6
a b c
≥ =
+ +
Vậy 2( a b b c c a) a2 b2 b2 c2 c2 a2
a b b c c a
+ + +
+ + + + + ≥ + + +
+ + +
Dấu đẳng thức xảy a= = =b c Câu
Mỗi “trạng thái đảo gồm a tắc kè xanh, b tắc kè đỏ c tắc kè vàng với
45
a+ + =b c
Phép biến đổi màu chuyển trạng thái ( , , )a b c sang ba trạng thái
(a−1,b−1,c+2),(a−1,b+2,c−1) (a+2,b−1,c−1)
Dễ thấy (a− − − ≡1) (b 1) (a− − +1) (b 2)≡(a+ − − ≡ −2) (b 1) a b(mod 3)
Bất biến X = sai khác số tắc kè xanh số tắc kè đỏ theo modulo Khi
2(mod 3)
X ≡ tất tắc kè màu X ≡0(mod 3) Vậy tình tất tắc kè màu xảy
Câu
a) Chú ý đến kết sau: “Nếu a b c, , là sốthực thỏa mãn điều kiện a+ + =b c 0” Sử dụng kết cho toán ta có
3 3 3
(y−z) (1−x )+ −(z x) (1−y )+(x− y) (1−z )
3 3
3
3(x y y)( z z)( x) (1 x )(1 y )(1 z )
= − − − − − − (*)
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 19
(142)Đặt 3
( ) ( ) ( )
P= y−z + −z x + x−y ; 3
( ) ( ) ( )
Q= xy−zx + yz−xy + zx−yz
Khi
3( )( )( )
P= x−y y−z z−x (do (x−y)+(y− + −z) (z x)=0)
3( )( )( ) ( )( )( )
Q= xy−zx yz−xy zx−yz = xyz x−y y−z z−x
Suy P− =Q 3(x−y y)( −z z)( −x)(1−xyz) Mà VT(*) P Q−
3 3
3
1−xyz= (1−x )(1−y )(1−z )
Vậy 3 3
(1−x )(1−y )(1−z )= −(1 xyz)
b) Đặgcd( , )x y =d Khi x=da y, =db với gcd( , ) 1a b =
Thay x=da y, =db vào phương trình cho ta thu
2 2
3 3
2 2
8
d a db db da b b
da ab ab db da db ab
da d b da a db a
− = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ + =
− − (1)
Ta có
3 |
| |
|
a ab
a db a d
a da
⇒ ⇒
(dogcd( , ) 1a b = ) Tương tự b d|
Suy d =kab = với *
k∈ Thay vào (1) ta
3 3
( ) ( )
kab a +b = ab⇔k a +b =
Do 3
a +b ≥ nên a3+b3 Chắc chắn a3+b3 =3 khơng có nghiệm, 3
9 2,
a +b = ⇒ =a b= a=1,b=2 Lúc k =1,d =2 Do ta có nghiệm (4, 2),(2, 4)
8x−y ≠0 nên cặp (2, 4) bị loại Vậy phương trình cho có nghiệm (4;2)
Câu a) Cách Điều kiện: 2
4 0
0
0 2 3
x x
x x
x
≥ ≥ +
≥ ≤ ≤ −
⇔ − +
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với:
2 2
4
5
x x
x x + + x
− + − + − =
(143)( ) ( )
2
4 x 4x x 2x x
⇔ − + − + + + − = ( ) ( )2 ( )2
2
25 1 2 25
3
2
5 1
x x x x x
x x
x x x
− + − + + −
⇔ + =
+ +
− + + +
( ) ( )
2
6 17 4 17 2
5 1
x x x x
x x
x x x
− + − +
⇔ + =
+ +
− + + +
( )
2
0
2
3 17
2
5 1
x x
x x
x x x
> ⇔ − + + = + + − + + +
4 17 1
4 x x x x = ⇔ − + = ⇔ =
(thỏa điều kiện)
Vậy phương trình cho có nghiệm 4;
x= x=
Cách
Điều kiện: 2
4 0
0
0 2 3
x x x x x ≥ ≥ + ≥ ≤ ≤ − ⇔ − +
Nếu x=0 phương trình cho thành 2=0, vơ lý Do x=0 khơng phải nghiệm phương trình cho
Chia hai vế phương trình cho x>0 ta được:
1 x x x x + + + − = (*)
Đặt t x
x
= + ≥ (theo bất đẳng thức AM – GM )
Suy 1
2
t x x t
x x
= + + ⇒ + = − Phương trình (*) thành:
2
2
2 5
6
2
3
t t t t
(144)Với
t = ta có ( )
2
1
2 1 1
2
4
x x
x x x
x x x = = + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = =
Vậy phương trình cho có nghiệm 4;
x= x=
b) Điều kiện x≤2, 1y≥
Trừ vế theo vế hai phương trình hệ cho ta được:
( )( )
2 2
2 2
2
x y
x y xy x y x y x y
x y = − = + − ⇔ − + − = ⇔ + =
+ Với x=2y 2≥ =x 2y≥2 nên x=2;y=1 (không thỏa hệ) + Với 2x+ =y thay vào phương trình ban đầu ta được:
2
6x −3x−34+ 2− + −x 2x =0 (Điều kiện x<0)
( )( ) 2( 2)
3 2
2 2
x x x x x x + + ⇔ + − − − = − + − +
( ) ( )
2
2 2
x x x x ⇔ + − − − = − + − +
Vì x<0 nên 2( 5)
2 2
x
x x
− − − <
− + − + Do phương trình có nghiệm x= −2 Suy y=5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là(−2;5) Câu
Phương trình hồnh độ giao điểm ( )C d
1
2
1 x x m x m
x x m x x m
m
x x m x
m + = + − = + ⇔ − = + ⇔ − − = − − = ≥ ≥ −
Nếu x= +m
2
(145) Nếu
3
m
x= − 1
2
3 m m
m
≥ − ⇔ ≥ −
− Ta có
3
m y= + =x m +
hay ;2
3
m m
B − +
Khi
2
1
4
3
m m
AB= ⇔ m+ − − + m+ − + =
2
4 17
2
m m m − ±
⇔ + − = ⇔ =
So điều kiện chọn 2
m= − +
Vậy 2
m=− + thỏa mãn yêu cầu toán
Câu
j I
P
B C
A
H
D
Q K
N
M
(146)Tam giác ABC có hai đường cao AH BD, Vậy I trực tâm ABC
b) Xét tứ giác HMKN có M =N =K =900 Do tứ giác HMKN hình chữ nhật
Dễ dàng chứng minh MIH =NBH Suy HM =HN
Vậy tứ giác HMKN hình vng
Do HMKN hình vng nên M N, thuộc trung trực đoạn thẳng KH
Xét hai tam giác vng AHC AKC có
2
HQ=KQ = AC
nên Q thuộc trung trực
KH
Chứng minh tương tự, P thuộc trung trực KH
Vậy bốn điểm N P M Q, , , thẳng hàng
Câu
a) Do M điểm AC nên MA =MC
Suy BM đường phân giác ABN ABM Mặt khác
90
BMA= (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BAN
có BM vừa đường cao vừa đường phân giác BAN
⇒ cân B⇒BAN =BNA
Ta lại có BAN =MCN (vì bù BCM)
Do BNA=MCN ⇒CMN cân tạiM
b) Do MB=MQ nên BMQ cân M ⇒MBQ =MQB
MCB=MNQ (vì bù với hai góc nhau)
Do BCM QNM (g.g) BC CM
QN MN
⇒ = = hay QN =BC
Xét BAQ vng A, AC ⊥BQ có:
( ) ( )
2
AB =BC BQ=BC BN+NQ =BC AB+BC (*)
Đặt BC= >x ThayAB=2R vào (*) ta
( ) 2 4R =x 2R+x ⇔ x +2Rx−4R =0 Giải phương trình ta thu BC=( 1− )R
Câu
Do tính đối xứng bất đẳng thức nên không tổng quát giả sử a≥ ≥ ≥b c A
B
C
M N Q
(147)Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
( )
3 3 3
3
a +b + +c abc≥a +b ≥ ab ab
và
( )2 2 2 2 ( )
2 2 2
a+ +b c =a +b +c + ab+ bc+ ca≥ + ab≥ ab
Từ (1) (2) suy
( 3 )( )2 2 { 2 2 2}
3 8max ; ;
a +b + +c abc a+ +b c ≥ a b ≥ a b b c c a
Hay
{ }
( )
2 2 2 3
2 8max ; ;
3 a b b c c a
a b c abc
a b c
+ + + ≥
+ +
Dấu đẳng thức xảy a= =b 1;c=0 hoán vị Câu
Gọi a b c, , số sỏi đống ban đầu s số tiền mà Sisyphus nhận thời
điểm
Ta chứng minh tổng ( 1) ( 1) ( 1)
2 2
a a b b c c
s
− + − + − +
bất biến
Thật vậy, ta di chuyển viên sỏi từ đống có a viên sỏi sang đống có b viên sỏi Khi số
tiền Sisyphus nhận (hoặc đi) a b−
Ta có
( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2 2 2
a a b b c c a a b b c c
s a b s
− − + + + − + + − = − + − + − +
Do đến số sỏi trở ban đầu số tiền Sisyphus nhận số tiền ban đầu Mà ban đầu Sisyphus khơng có tiền đến thời điểm Sisyphus khơng có tiền
(148)Câu a)Ta có
( 10 )(2 ) ( 5 ).6 6
5 5
x x x x x
P x x x
x
x x x
+ − + − − +
= − + −
−
+ + −
( ) ( )
( )
2
1
5 5
x x
x x x
−
= − =
− − −
Theo đề, 3( 1) 3( 1)
2 2 2
x x x
P
x x x
− − −
> ⇔ > ⇔ − > ⇔ >
− − −
8
5 4 64
2
5
8
5
x x
x x
x x
− >
− >
⇔ ⇔ < < ⇔ < < − <
− <
Do x≥11 x∈ nên x∈{11;12}
b) Biến đổi phương trình dạng 4x −4x + =1 (2y−1) Để ý
4 2
2 2
4 (2 )
(2 1) ( 1)
x x x x x
x x x x
− + = − + −
= − − + − + −
Nếu
x > 2 2
(2x − −x 1) <4x −4x + <1 (2x −x) (mâu thuẫn) Do
1
x ≤ hay x∈{ 1;0;1}−
Với x= −1, suy y∈ −{ 1;2}
Với x=0, suy y∈{0;1}
Với x=1 , suy y∈{0;1}
Vậy ( , ) {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),( 1, 2),( 1, 1)}.x y ∈ − − −
Câu a) Điều kiện: x≥ −1
Phương trình cho tương đương với
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 20
(149)3
3 4
x + x x+ − x x+ − x+ =
( )
3 2 2
4 1 4 1
x x x x x x x x x x x x
⇔ + + + + − + + + + + + + =
( ) ( )
4 1 1
x x x x x x x x x x
⇔ + + + + − + + + + + =
( )( )
1 1
x x x x x x
⇔ − + + + + + =
( )( )2
1
x x x x
⇔ − + + + =
1 (1) (2)
x x
x x
− + = ⇔
+ + =
(1) 2
2
0
x
x x x
x x
+
⇔ + = ⇔ ⇔ =
− − =
≥
(2) 2 2
4 0
x
x x x
x x
⇔ + = − ⇔ ⇔ = −
− − =
≤
Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho
1
;2 2
S= + −
b) Điều kiện: y≥1
Từphương trình thứ hai hệ suy 3
0
1 x 1 x
x− + − = y− ≥ ⇒ ≥
Do x≥1,y≥1 nên 4 2 4
, ,
x y x x y
x y ≥ ≥ y ≥
Khi
4 4 4
(x +1)(y + −1) 4xy=x y +x +y + −1 4xy
2 2 2
2 ( 1) ( )
x y xy x xy y xy x y
≥ − + + − + = − + − ≥ Dấu “=” xảy
1
1
x y
xy x y
x y
= =
= ⇔ = =
=
Vậy hệphương trình cho có nghiệm (1;1) Câu Phương trình hoành độgiao điểm ( )P d
( ) ( )
2 2
1
1 2 (1)
(150)Để d cắt ( )P hai điểm A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) phương trình (1) có hai nghiệm
( )2 2 2
0 m 2m 2m m 0 m ′
∆ ≥ ⇔ + − − = − ≥ ⇔ ≤ ≤ Vậy với 0≤ ≤m đường thẳng d cắt parabol ( )P hai điểm
A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)
Khi theo định lí Vi-ét ( )
1
2
2
x x m
x x m
+ = +
= +
Ta có
2
1
2
1
1 ( 1)
2 ( 1)
2
y m x m
y m x m
= + − −
= + − −
( )( )
( ) ( )
2
1 2 2
2 2 2
1
2 2 , :
T y y x x m x x m x x
m m m m m m m
= + − = + + − − −
= + − − =− + = − − ∀ ≤ ≤ Đặt t = −m Do 0≤ ≤m nên − ≤ ≤1 t Suy 0≤ ≤t2
Suy ( )2 2 2 2
T = − m− = − t ≥
Vậy minT =0⇔ t2 =1 hay (m−1)2 = ⇔ =1 m 0;m=2 Câu
a) Gọi I trung điểm AB,E =IK ∩CD R, =IM ∩CD
Xét hai tam giác KIB KED có
ABD=BDC
KB=KD (K trung điểm BD)
IKB=EKD
Do
A I B
K
M
D E H R C
(151)Suy KIB=KED⇒IK =KE
Tương tự, MIA=MRC⇒MI =MR
Trong tam giác IER có IK =KE MI =MR nên KM đường trung bình
KM
⇒ // CD
Do CD//AB (gt) nên KM // AB
b) Ta có IA=IB KB, =KD (gt)⇒ IKlà đường trung bình củaADB
Suy IK//AD hay IE//AD
Tương tự, ABC có IM //BC hay IR//BC
Có QK ⊥AD (gt), IE//AD (chứng minh trên) ⇒QK ⊥IE
Tương tự có QM ⊥IR
Từ có IK =KE QK, ⊥IE⇒QKlà trung trực ứng với cạnh IE IER
Tương tự QM trung trực thứ hai IER
Hạ QH ⊥CD suy QH trung trực thứ ba IER hay Q nằm trung trực
của đoạn CD ⇒ Q cách C D hay QC =QD
Câu
K H
N
O
I
J
B A
D C
M
a) Ta có MNB =MBC( Cùng chắn cung BM )
MND=MDC( Cùng chắn cung DM )
90
(152)Do điểm A B C D M, , , , thuộc đường tròn
Suy NC phân giác góc BND (do sđBC= sđBD)
Mặt khác, theo chứng minh ta có NM phân giác góc BND
nên C M N, , thẳng hàng
b) Gọi H K, hình chiếu N AC BD Suy NHOK hình
chữ nhật
Ta có : NA NC =NH AC =NH a ; NB ND =NK BD =NK a
Suy 2 2 2
2
NH NK a
NA NB NC ND= a NH NK ≤ a + =a NO =
Dấu xảy (2 2)
2
a a
NH =NK = ⇔OM = −
Câu
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
( )
( )
( )
2 2
2
1
2
1 xy yz zx
xyz y z z x
yz y z
xyz y z
x y z x y
+ + ≥ + + + = + + + + ∑ ∑
( )2 ( )
3
2 3
1
xyz x y z
xyz x y
xy yz zx
xyz x y z z
+ + ≥ ≥ + + + + + +
( ) 1( )
1
2 x y z x y z
= + + ≥ + + =
Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
( ) ( ) 2 2 x x y z x y
x y z
x y z y z
z x z x y
+ = + + ≥ + + + + + + ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2
x y z x y z
xy yz zx
x y z x y z y z x z x y
+ + + +
≥ =
+ + + + + + + + +
( ) (.3 ) ( ) ( )
1 1
3
2 2
x y z xy yz zx
x y z x y z
xy yz zx
+ + + +
≥ = + + ≥ + + =
+ +
(153)Dấu “=” xảy
9
x y z
⇔ = = =
Câu
Sau bước, tổng thứ tự hàng cột chứa quân cờ giảm tăng
lên
Do đó, xét theo modulo tổng tăng bước Vì có
1
n − bước, kết thúc ô kề bên phải xuất phát tổng tăng đơn
vị Vậy
2
n − chia hết cho 3, mâu thuẫn
Tóm lại, câu trả lời
Câu
a) Với n nguyên dương ta có
( )2
2
2n +2n+ +1 2n −2n+1
2 2
2n 2n (2n 2n 1)(2n 2n 1) 2n 2n = + + + + + − + + − +
2 2
4n 2 (2n 1) (2 )n
= + + + −
2
4n 2 4n = + + + Khi
( 2 )
2 2 2
P= n + n+ + n − n+ n + − n +
4
4n 2 4n 4n 2 4n
= + + + + − +
2
(4n 2) 4(4n 1)
= + − +
16n 4n
= =
Vậy P nhận giá trị nguyên dương với giá trị nguyên dương n BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 21
(154)b) Do x số tự nhiên x/3 nên x2 ≡1(mod 3) Suy 2x.x2 ≡ −( 1) (modx 3) Mặt khác,
9y +6y+16 1(mod 3)≡ nên (−1)x ≡1(mod 3) Do x chẵn, tức x=2k (với k∈) Ta có
2
(2 )k k =(3y+1) +15⇔(2 2k k−3y−1)(2 2k k+3y+ =1) 15 Xét trường hợp sau:
Trường hợp 1: 2 1 2 15
k k
k
k y k
y
k y
− − = =
⇔
= + + =
(khơng có k thỏa mãn)
Trường hợp 2: 2 3
0 2
2
k k
k
k y k k
y y
k y
− − = = =
⇔ ⇔
=
+ = + + =
Vậy ( ; )x y cần tìm (2;0) Câu
a) Điều kiện: 2
2
0
2
x
x x
+ ≥
≤ ≤ ≥ ⇔ −
−
Bình phương hai vế phương trình cho ta được: ( )
( ) ( 2) 2
4 2x+ + −4 4x+4 4−x =9x +16⇔4 2− x +16 2− x −x −8x=0
Đặt
0 ,
t = − x t≥
Phương trình cho trở thành: 2
8
t + −t x − x= (*)
Ta có: ( )2 x
′
∆ = + ≥ nên phương trình (*) có hai nghiệm t =x t; = − −x
Với t =x
2
0 4 2
2
3 32
x
x x x
x x
− = ⇔ ⇔ =
− =
≤ ≤
Với t = − −x 2− x2 = − −x Phương trình vơ nghiệm − ≤ ≤2 x Vậy phương trình cho có nghiệm
3
x=
b) Ta có: ( )2019( 4 4) 2019 2023 2023 2019
2021
0
3
xy x +y =x y +x y = > ⇒ xy>
Từ phương trình thứ hệ phương trình ta có: ( 4)
(155)1
xy
⇒ ≤ ( ) 4
2
xy
x +y = −
Lại có: ( ) ( ) ( ) ( )
2
2019 2019
2019 2023 2023 2019 4
2
xy
x y +x y = xy x + y = xy −
( ) ( )2018 ( )2018
3 2021
1 1
2
2 3
xy xy
xy xy − − xy
= ≤ ≤
Dấu “=” xảy
4
2
1
3
xy xy
xy x y
x y
− =
⇔ = ⇔ = = ±
=
Vậy tập hợp nghiệm hệ phương trình cho là:
1 1
; , ;
3 3
S= − −
Câu
Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d
2
2 4
x = − mx− m⇔ x + mx+ m= (*)
d cắt ( )P hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
2
0
4
m
m m
m
< ′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ > Theo định lí Vi-ét ta có
1
2
x x m
x x m
+ = −
=
Ta có 2
1 2 ( 2) 2 2
x + x = ⇔ x +x + x x = ⇔ x +x − x x + x x =
2
( )m 8m 8m 4m 8m 8m ⇔ − − + = ⇔ − + − =
Nếu m>4
m − = ⇔ = ±m (loại)
Nếu m<0
1 16
9
m
m m
m
= − − − = ⇔
=
So điều kiện chọn
(156)Vậy
m= − thỏa mãn yêu cầu toán
Câu
a) Ta có
HE BH
CD = BD ( HE// CD)
HE AB22
a BD
⇔ = (do HB AB2
BD
= ) Do HE 2a3 2
a b
=
+ b) Hồn tồn tương tự ta có HF 2b3 2
a b
=
+
Ta có CF =HF mà HF//AD , theo định lý Thales
3
CF HF CD HF b
DM
CD = DM ⇔ = CF =a
Theo định lý Pythagore, ta có 2 2 6
4
b a b
CM CD DM a
a a
+
= + = + =
Vậy CM a6 2 b6 a
+
=
Câu
K
F E
O'
H I C
D
B O
A
M
a) Ta có CA=CM ; DB=DM B
M
F
E H
A
(157)Suy CD=CA+DB
Gọi O′ trung điểm CD ta chứng minh OO′ đường trung bình hình thang
ACDB nên 1( )
2
OO′ = AC+BD =CD
Suy đường tròn đường kính CD qua O
Lại có OO′ ⊥ AB (do OO′//AC AC⊥ AB)
Vây AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD
b) Ta có ICA IBD IC CA CM MI
IB BD DM
⇒ = = ⇒
//BD⇒MI ⊥ AB
Gọi H giao điểm MI AB⇒MH//BD
Ta có MI CI AI IH MI IH
BD =CB = AD = BD ⇒ = hay I trung điểm MH
Gọi I′ giao điểm MH EF
Đặt h=MH gọi R bán kính đường trịn ( )O
Ta có MHO OMO MH OM OO R2
OM OO h
′⇒ = ⇒ ′= ′
Gọi x=I H′ K giao điểm OO′ với EF
Ta có
OO′ ⊥EF( đoạn nối tâm vng góc dây chung) OK =I H′ =x
2
R
O E OO
h
′ = ′=
Theo định lý Pythagore cho O KE′ ta có
2 2
KE =O E′ −O K′ O K′ =O O OK′ −
2
2 2
2 R R 2R x
KE x x
h h h
= − − = −
(1)
Trong tam giác vng EKO ta có
2 2 2
KE =OE −OK =R −x (2)
Từ (1) (2) ta có 2 2
2
R x h
x R x x
(158)Vậy I ≡I′ hay điểm E I F, , thẳng hàng Câu
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
2
2
(1 5)
5 (
3 a b c)
b c
a
+ + + + ≥ + +
Suy
2 2
2
3
( )
3 a b c
b c
a + + ≥ + +
Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
2 2
1 25 (1 5)
a+ +b c = a + b + c a b c
+ + ≥
+ + Suy
1 25
3
a + +b c ≥ a+ +b c
Đặt t = + +a b c, ta có
3
2 27 27 27 27 27
3 15
3 2 2
t t t
t
t t t t
Q
t
≥ + = + + + ≥ + =
Vậy minQ=15⇔ =a 1,b=3,c=5 Câu
Xét 17 số: 3; 9; 15; 21;…;87; 93; 99 Hai số dãy có tổng chia hết cho Giả sử ta tìm n=18 số a a1; 2; ;an thỏa mãn điều kiện đề
Ta có a2 ≡ −a1(mod 6); a3≡ −a1(mod 6);…;an ≡ −a1(mod 6) Suy a2 ≡a3 ≡ ≡ an(mod 6)
Tương tự a1≡a3 ≡ = an(mod 6) Do a1≡a2≡a3≡ = an(mod 6)
Mà
1 1
2 a (mod 6) a a(mod 6)
(159)2
1 a an 0(mod 6)
a ≡ ≡ ≡ ≡ a1≡a2 ≡ ≡ an ≡3(mod 6)
Giả sử n≥18 số thỏa mãn đề tốn có 18 số chia hết cho khoảng [1;100] 18 số chia cho dư khoảng [1;100], vơ lí lấy tất số chia hết cho khoảng [1;100] 16 số, lấy tất số chia dư khoảng [1;100] 17 số Mà
17
n= thỏa mãn Vậy n=17 số lớn thỏa mãn đề toán ===Hết===
Câu
a) Để ý
a =b = 1
1
a
a
+ =
− Ta có
2 2 2
1 ( 1)( )
1
a b a b ab a b ab a a b ab a
a b
b a b ab ab
+ + + + + + + +
+ + + + + = =
2 2
2
(a 1)(ab a b a ) (a 1)(ab b b ) (a 1)(a b b)
a b b b
+ + + + + + + + +
= = =
2 2 2
2 3 3
1 ( 1) ( 1)
a b b b b ab a b ab a b ab
b a b a ab b a b a b
+ + + + + + + +
= = = = =
− − − − −
Vậy 1 a b a b
a−b− = + + + +b b a
b) Đặt N =ab+bc+ca−1 Để ý N chia hết cho a b c, , Do a b c, , đôi nguyên tố nên N abc , tức ab+bc+ca− =1 kabc (với k∈*) Vì a< <b c nên
2
3
kabc< bc⇒ka< ⇒ka≤ Mà a nguyên tố nên a=2 k=1
Khi 2b+bc+2c− =1 bc⇔(b−2)(c−2)=3 Do b< ⇔ − < −c b c nên
2
2
b b
c c
− = =
⇔ − = =
Vậy ( ; ; )a b c =(2;3;5) thỏa mãn yêu cầu toán Câu
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 22
(160)a) Đặt
5
a= x + x+ b=4x (a>0) Phương trình cho thành
3
3 3 2
2 ( ) ( ) ( )( 1)
1
b b
a a a b b a b a b a b a ab b
a
+
= ⇔ + = + ⇔ − + − = ⇔ − + + + =
+ Do
2 2
2
1 0, ,
2
b b
a +ab+b + =a+ + + > ∀a b
nên a− = ⇔ =b a b
Khi
2
5
5 16
x
x x x
x x x
≥ + + = ⇔
+ + =
2 1
11
1 0
5
x
x x
x
x x
x
=
⇔ ⇔ ⇔ =
− − =
≥
= − ≥
Vậy x=1 nghiệm phương trình cho b) Hệ phương trình cho tương đương với
2
2 2 2
( 2) ( 2)
(2 ) (2 ) ( 2)
x y x y
x y y x y x
− = − + − = − +
⇔
− − + = − + − =
Do 2
(2x−y ) ≥0 (x−2)2 ≥0 nên (2x−y2 2) +(x−2)2 ≥0 Dấu “=” xảy 2
2
x
x y
y x
= − =
⇔
= ±
− =
Thay vào phương trình cịn lại
trong hệ, thấy ( ; )x y =(2;2) thỏa mãn
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (2;2) Câu
Phương trình hoành độ giao điểm ( )P d x2= ⇔ = ±m x m
Do A(− m m B; ) (, m m; )
Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d′ x2=m2 ⇔ = ±x m
Do ( 2) ( 2)
; , ;
C m m D −m m
Ta có
OCD
S =m SABCD =(m−m2)( m+m)
Theo đề ( )
9 ( ) 10
ABCD OCD
(161)Đặt t = m (với 0< <t 1) Khi 10t3+ − − = ⇔t2 t (2t−1)(5t2+ + =3t 1) Do 0< <t nên 5t2+ + >3t Do
2
t = hay 1
2
m = ⇔ =m
Vậy
m= thỏa mãn yêu cầu toán
Câu
I
G
M
P
O
Q
N
H
K
F E
D C
B A
a) Dễ thấy BK MF
AK = ME
Theo hệ định lí Thales ta có MF BF BF
ME = DE = FC
Suy BK BF
AK = FC hay KF//AC
Tương tự, EH//AC
Do KF//EH
Gọi O=BD∩KF Q, =BD∩HE N, =AC∩BD
Ta chứng minh OK QE
OF =QH =
Gọi P=EK∩HF P, ′=EK∩DB
Chứng minh P≡P′ ta đến kết luận EK HF BD, , đồng quy b) Kẻ EG FI vng góc với HK; I G thuộc HK
Ta có SMKAE =MK EG SMHCF =MH FI Chứng minh MK KB
(162)Suy MK MF
MH = ME
Chứng minh MF FI
ME = EG
Suy MK FI
MH = EG hay MK EG =MH FI
Vậy SMKAE =SMHCF Câu
Q
N
F
E K
C
M
A
O
B
a) Ta có EC tiếp tuyến đường trịn ( )O ⇒ECO =900, mà ,
EF C∈K
90
ECF
⇒ = hay O C F, , thẳng hàng
Mà EC EA, hai tiếp tuyến ( )O ⇒ AOE=EOF
Mặt khác FE⊥d AB, ⊥ ⇒d EF / /AB⇒ AOE=OEF
EOF OEF EFO
⇒ = ⇒ cân F
Mà M trung điểm EO⇒FM ⊥EO
90 ( )
FME M K
⇒ = ⇒ ∈
b) Gọi N trung điểm AO, Q giao điểm BE FN MN
⇒ đường trung bình tam giác EAO ⇒MN//AE
90 180
MN ⊥ AO⇒NMO= −MON ⇒NMF = −MON =EOB
(163)MF MO EO NM = NO = AO mà
MF EO
AO BO
NM BO
= ⇒ =
⇒ tam giác MFN đồng dạng với tam giác OEB (c – g – c )
hay
OEB MFN MEQ MFQ
⇒ = = => tứ giácMEFQ nội tiếp đường tròn ( )K
90
EQF NF BE
⇒ = ⇒ ⊥
Vậy E thay đổi d đường thẳng qua F vng góc với BE ln qua
điểm cố định trung điểm OA
Câu
Đặt 2x+ =y a x, +2y=b Khi a b, >0 biểu thức P trở thành
3
2
4
1 1
ab P
a b
a b
= + + −
+
+ − + −
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
2
2
4 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
ab P
a b
a a a b b b
= + + −
+
+ − + − + − + −
22 22
1 1
1
2
ab
a a a b b b ab
≥ + + −
+ + − + − + + − + 42 42
4
ab
a b ab
= + + −
4
ab
ab ab
≥ + − Đặt t = ab>0 Khi
2
2 2
8
1 ( 2) ( 8)
t
t t
P t
t t
≥ + − ≥ ⇔ − + + ≥
Vậy
3
P= ⇔ = =x y
Câu
Muốn xuất số 2016 bảng phải có hai số a b, thỏa mãn a+ +b ab=2016 với *
,
a b∈
(164)Do 2017 số nguyên tố nên 1
1
a a
b b
+ = =
⇔ + = =
(vơ lí
* ,
a b∈ )
Vậy xuất số 2016 bảng
===Hết===
Câu a) Ta có
( ) ( )( )
2 2
2 a b b a b a b a b
a b a b
− − −
− − =
+ +
( ) ( )( )
3 6
2 2
b b
a b a ab a b a b a b a b
+ +
+ = +
− − + − − − −
( )(32 )
a b
a b a b
+ + =
− −
Do P a b 4
a b a b
+ +
= = +
+ +
P đạt giá trị lớn nhất⇔ a+ b đạt giá trị nhỏ
⇔ =a 1,b=2 a=2,b=1 Vậy n=12 n=21 max 4
1
P= + = −
+
b) Do 2n+1 3n+1 số nguyên tố nên
2 2
2 2
2
3
n a n b a
n b a b
+ = = −
⇒
+ = − =
Khi
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 23
(165)2 2
2n+ =9 2(b −a )+9(3a −2b )⇔2n+ =9 (5a−4 )(5b a+4 )b
Do 2b+9 số nguyên tố 5a+4b≥5a−4b nên
5
5 4
a b n a
b
a b
+ = +
⇒ = −
− =
Thay
4
a
b= − vào đẳng thức 3a2−2b2 =1 ta
2
3 10
9
a a
a a a
a
= −
− = ⇔ − + = ⇔ =
Với a=1, suy b=1 Do n=0 (loại 2n+ =9 khơng phải số ngun tố)
Với a=9, suy b=11 Do n=40 (thỏa 2n+ =9 89 số nguyên tố) Vậy n=40 thỏa mãn yêu cầu toán
Câu
a) Điều kiện:
7
x
≤ ≤
Do 2
9x −36x+38=9(x−2) + >2 nên phương trình cho tương đương với
2 2
3x− + −5 3x+2 −9x +36x−35 =(9x −36x+38)
2 2
2 9x 36x 35 (9x 36x 38)
⇔ + − + − = − + (*)
Đặt 2
9 36 35 9( 2)
t = − x + x− = − x− ≤ Suy 0< ≤t Phương trình (*) trở thành
2
2+2t = − +( t 3) ⇔ −t 6t − + =2t
4 3 2
(t t ) (t t ) (5t ) (7t t 7) ⇔ − + − − − − − =
3
(t 1)(t t 5t 7) ⇔ − + − − =
Do 0< ≤t nên t3+ − − ≤ + −t2 5t 13 12 5.0 7− <0 nên t− = ⇔ =1 t Với t =1 ta có −9x2+36x−35= ⇔1 9(x−2)2 = ⇔ =0 x
Vậy phương trình cho có nghiệm x=2
b) Đặt 2 2
2 2
1 1
4 16
P x y x y
y x x y
= + + = + +
(166)2
2
2
2 2
1
2
256
256 x y x y
x y
x y ≥ =
+
Lại có
4 1=x+ ≥y xy ⇒xy≤
Từ suy 2
2
2 2
1 15 1 15 25
256 256 16
256
P x y
x y x y ≥ +
= =
+ + +
Dấu “=” xảy
2
2 256
1
x y
x y
x y x y
x y
=
⇔ = ⇔ = =
+ =
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 1; 2 Câu
Đường thẳng d qua I(0;1) với hệ số góc k nên có dạng y=kx+1 Phương trình hồnh độ giao điểm d ( )P
2
1
1 4
4x =kx+ ⇔ x − kx− = (*)
Do ac= − <4 nên d cắt ( )P điểm phân biệt A B, Gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình (*) giả sử x1< <0 x2 Khi A x kx( ;1 1+1), ( ;B x kx2 2+1)
Theo định lí Vi-et ta có x1+x2 =4k ; x x1 = −4
2 2 2
1 2
1 1
IA+IB = x +k x + x +k x
2
1
1
1
x k x k
= +
− + +
2
4
x x
k k
= −
+ +
2
1 2
( )
4
x x x x
k
+ − =
(167)2 16 16
1
k k
+
= =
+ Do
1 2
1 1
1
IA +IB = IA +IB =
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
1 2
1 2 2
1 1
2
1 1
2
2
IA IA IB IB
IA IB IA IB IA IA IB IB IA
IA IA IB IB
IA IB IB
+ +
= + + + = + ≥ +
Suy
1 2
1
IA IA + IB IB ≤
Câu
a) Do BC//AD AB//DC (tính chất hình thoi) nên
MBC= =A CDN (các cặp góc đồng vị)
BCM =DNC (cặp góc đồng vị)
Suy MBCCDN (g – g) BM BC
DC DN
⇒ =
BM DN BC DC a
⇒ = = (không đổi)
b) BCD (do BC=CD C=600)
BD DC BC
⇒ = =
Theo chứng minh câu a) BM BC
DC = DN suy
BM DB
BD = DN
Lại có
120
MBD=BDN = (kề bù với góc ABD đều)
Suy BMDDBN (c – g – c)⇒ AMD=DBN
Do BKD MBD có AMD=DBN ; BDM chung nên BKDMBD (g – g)
120
BKD MBD
⇒ = =
Câu
a
K D
A C
B
M
(168)K
I O H D
F
E
N M
C B
A
a) Xét ABC HAC có BAC=AHC =900; C chung
3
AB AC AB AH
ABC HAC
AH HC AC HC
⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = =
Mà 2
AB +AC =BC nên
2 2 2
20 16
9 16 25 25
AB = AC = AB +AC = =
2
16.9; 16.16
AB AC
⇒ = =
Vậy AB=12cm vàAC =16cm
b) Gọi F tâm đường trịn đường kính AH Ta cóDAE=900 Do DE đường
kính đường trịn ( )F Suy D E F, , thẳng hàng
Mặt khác ( )O ( )F cắt A N nên OF trung trực AM ⇒OF ⊥ AM
(1)
Gọi N giao điểm OA DE Ta có OA=OC=R Do OAC tam giác cân O Suy OAC =OCA ; FA=EF = ⇒r FAE cân F ⇒FEA =FAE
Mà
90
OCA+FAE= nên OAC +FEA=900⇒ ANE =900⇒KN ⊥OA
Ta có F trực tâm tam giác KAO nên OF ⊥KA (2)
Từ (1) (2) suy A M K, , thẳng hàng
Gọi I giao điểm hai trung trực DE BC
Ta có: AF BC AF
OI BC
⊥
⇒ ⊥
//OI ;
IF OA
IF
OA DE
⊥
⇒ ⊥
//OA
Do FAOI hình bình hành Suy IF =OA FA; =OI⇒IF =OC FE; =OI Mà
IFE =IOC nên IFE=COI Suy IE =IC Mà IE =ID IB; =IC nên IB=ID=IE=IC
(169)O 1 H
Câu
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( 3 3) ( ) ( ) ( )
2 a + +b c ≥ 2a bc b+c + 2b ca c+a + c ab a+b (1)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
( 2) ( 2) ( 2)
1 1
(1) 2
2 2
VP ≤ a +b c+bc + b +c a+ca + c +a b+ab
Lại có 3 3 2 2 ( )( )2 2 2 3 3
0
b + −c b c bc− = b+c b c− ≥ ⇒b c+bc ≤b +c
Tương tự, 2 3 2 3
;
c a+ca ≤c +a a b+ab ≤a +b
Suy 2 2 2 ( 3 3)
2
b c+bc +c a+ca +a b+ab ≤ a +b +c
Câu
Với bìa hình vng có cạnh 1, ta vẽ thêm hình vng nhỏ có cạnh hình quạt trịn bán kính phía ngồi bìa thu hình Hk(1≤ ≤k 2018) (hình vẽ bên) Tổng diện tích 2018 hình Hk S1=2018 5( +π)
Ta thu nhỏ hình vng lớn, phía co lại đơn vị hình vng A (cạnh 129)
Diện tích hình vng A
2 129 16641
S = = >S Suy 2018 hình Hk khơng thể phủ
hết hình vng A
Như ta ln tìm điểm O nằm hình vng A O khơng nằm hình Hk Khi hình trịn ( ;1)O thỏa mãn tốn
Câu
a) Đặt a= 2+ 2+ b= 2− +
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 24
(170)Ta có 2
8 2
a +b = − + ab= 3−
Từ x0 = −a b suy x02 =a2+b2−2ab= −8 2+ −2 3− Khi
2 2+ +2 3− = −8 x
( ) ( )
2
2
2 2 3 (
8
3 )
x
x
⇔
+ + − + = −
≤
2
2 0 2(2 3) 4(6 3) 64 16
8
x
x x
⇔
+ + − + = − +
≤
2
4
0 16 32
0
x
x x
⇔
− + ≤
=
Vậy x0 nghiệm phương trình x4−16x2+32=0 b)
1 2
D
A
B C
ABC
có A> ⇒B BC> AC
Trên cạnh CB lấy điểm D cho CA=CD
Ta có A=A1+A2 =A1+ADC= A1+A1+ = +B B 2A1
Mà A= +B 2C nên C =A1
Gọi a b c, , ∈ độ dài ba cạnh BC CA AB, , ABC
Xét ABC DBA có:
C =A (chứng minh trên)
(171)Do ABC DBA (g – g) AB BC c a c2 a a( b)
DB BA a b c
⇒ = ⇒ = ⇒ = −
− (*)
Do độ dài cạnh ABC số tự nhiên liên tiếp a>b nên a− =b
a− =b
Nếu a− =b a− =c hay a= +c Thay vào (*) ta
2 ( 1) 2
c = + ⇔c c c− = ⇔ =c Suy a=4,b=3 Ba số 2; 3; thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
Nếu a− =b a− =c hay a= +c Thay vào (*) ta
2 2
( 1).2 2 ( 1)
c = +c ⇔c − c− = ⇔ −c = (vơ lý khơng phải số phương)
Vậy AB=2,AC=3,BC=4 Câu
a) Điều kiện: x≥0
Phương trình cho tương đương với
4
0
2
4 10
x x
x x x x
− + − =
− + − +
4 16 16
0 2(4 7) 2(4 10 7)
x x x x
x x x x
− + − − + −
⇔ + =
− + − +
1
( 16 7)
4 10
x x
x x x x
⇔ − + − + =
− + − +
(*)
Do 4x−8 x+ =7 4( x−1)2+ >3 ;
2
5
4 10
4
x− x+ = x− + >
nên
7 49
2
(*) 16
1
2
x x
x x
x x
= =
⇔ − + + = ⇔ ⇔ = =
b) Điều kiện: 2 2 0
xy
x + y >
≥
Nếu x≤0;y≤0 ( ) ( ) 3
2
2
6
2
x y
x x y
x xy y
+
+ − + < <
+ + Điều dẫn đến hệ vô
(172)( )2
3 3
2 2 2
x y x y
xy x xy xy x xy x y
+ = + ⇔ + = − + + ⇔ + = − +
Suy ra: x+2 xy ≥3 Đẳng thức xảy x= =y
Ta chứng minh: 2 3 2
x y
x xy
x y
y
+ +
+ ≥
+ (*)
Thật vậy, ( ) ( )( )
2
2
*
3
x y x xy y x y
x xy y
+ − + +
⇔ ≥
+ +
22 22
x xy y
x xy y
− + ⇔
+ + ≥ ( x+ >y )
( 2) 2 ( )2 x xy y ≥x +xy+y ⇔ x−y
⇔ − + ≥ (luôn đúng)
Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
2 2
2 2
6
2
x y
x x y x x y x y
x xy y
+
+ − +
+ + ≥ + + − +
Mặt khác, ta có: ( ) ( 2) ( ) ( 2)
2 x+ y − x +y ≥2 xy ⇔2 x+y − xy≥ x +y
( 2 ) ( 2)
4 x y xy 2x xy 2y xy 2xy x y
⇔ + + − − + ≥ +
( )
2
2
6 4 0
x y xy− x xy− y xy ≥ ⇔ x− y
⇔ + + ≥ (ln đúng)
Khi đó: ( ) ( )
3
2
2 2
6 x y
x x y
x xy y x xy
+
+ − + ≥ +
+ + ≥
Đẳng thức xảy x= =y
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1 Câu
Vì BC⊥d d tạo với Ox góc CDB =450 nên BD⊥Ox BD//Ox Khơng tính tổng qt, giả sử BD⊥Ox (vì BD//Ox cần đổi vị trí A B có BD⊥Ox)
Gọi A a a( ; + ∈8) d ; B b b( ; + ∈8) d; C c c( ; 2)∈( )P ;
2
( ; ) ( )
D d d ∈ P , a+ =8 c2
2
a c
b= =d +
(173)2
ID= b −c IC = −b c
Do IB=IC nên b2 −c2 = −b c 2
b −c = −c b
Xét 2
b −c = −b c Vì b≠c nên b+ =c Khi
2
2b= + = +a c c c − = − + −8 (1 b) (1 b) −8 hay 2,
5
6 5, 17
b c a
b b
b c a
= − ⇒ = = −
− − = ⇔
= ⇒ = − =
Do A( 4;4), ( 1;7), (2;4), ( 1;1)− B − C D − AB=3 A(17;25), (6;14), ( 5;25), (6;36)B C − D AB=11
Xét 2
b −c = −c b Vì b≠c nên b+ = −c Khi
2
2b= + = +c a c (c − = − − + +8) ( b) (1 b) −8 hay
8
b = +b (vơ lý B≡D)
Câu
a) Gọi I J K, , trung điểm QN MN PQ, , Khi
2
BJ = MN (trung tuyến tam giác vuông MBN )
Tương tự
2
DK = PQ
1
IJ = QM (do IJ đường trung bình MNQ)
Tương tự
IK = PN
Vì BD≤BJ+JI +IK +KD nên
( ) ( )
2
ABCD
AC AC AC
S = BD≤ BJ +JI +IK +KD = MN +NP+PQ+QM
b) Chu vi tứ giác MNPQ là:
2 2
MN +NP+PQ QM+ = BJ + IK + DK + IJ
= 2(BJ +JI +IK +KD)≥2BD
Dấu đẳng thức xảy đường gấp khúc trùng với BD, tức MQ//NP, MN// PQ, MN =PQ(vì cạnh huyền tam giác vng cân nhau), lúc MNPQ
hình chữ nhật
A B
D C
M
N
P Q
I J
(174)Câu
P
D A
B C
H E F
M O
a) Điểm P toán điểm Miquel tam giác ABC
Ta dễ thấy điểm A F H E, , , nằm đường trịn đường kính AH
Bây ta chứng minh AFPE tứ giác nội tiếp
Thật ta có
360
FPE= −FPO−EPO
( ) ( )
0 0
360 180 B 180 C B C
= − − − − = + suy
180
EPF+ =A
AEPF
⇒ tứ giác nội tiếp hay điểm A E P F H, , , , nằm đường trịn đường kính AH ⇒ EFPH tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BPHC ta có:
180
BPH =BPE−HPE=BPO+OPE−HFE=BFO+ − −C HBC
( 0)
180 90 90
B C C B
= + − − − = +
Mặt khác,
90 180
HCB= − ⇒B HCB+BPH = hay BCHP tứ giác nội tiếp
Ta có:
180 , ,
FPA=FEA=FBC⇒FPA+FPO = ⇒ A P O thẳng hàng
( )
2
FEP =FAP= sđ BO FP− , ( )
2
PBM =PFO= sđ PO= sđ FO FP−
Lại có: OB=OF⇒sđOB sđOF = suy FEP=PBM ⇔ MEPB tứ giác nội tiếp b) Theo câu a) ta có MEPB nội tiếp nên BPM =BEM ⇔ BPO+OPM =BEC+CEM
BPO OPM BEC AEF
⇔ + = + mà
90
AEF =FBO=BFO=BPO⇒OPM =BEC=
hay OPM tam giác vuông P Câu
Bất đẳng thức cho tương đương với
2 2 2
2 2 2 2 2
4 ( ) ( ) ( )
6
2 2
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ − + − + −
− + +
+ + + + +
+ ≤
2 2 2
2 2 2 2 2
4 ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ − + − + −
⇔ − + − + −
+ + + + + +
(175)2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
3 (
2 2 *)
b c c a a b
a b c b c a c a b
+ + +
⇔ + +
+ + + + + + ≤
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có
2
2
2
2
2 2
( ) ;
b c
a b c
b c
b +a +c a +
+ ≥
+ +
2
2
2
2
2 2
( ) ;
c a
b c a
c a
c +b +a b +
+ ≥
+ +
2
2
2
2
2 2
( )
a b
c a b
a b
a +c +b c +
+ ≥
+ +
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức (*).
Câu
Ta xét hàng có ghi số cột có ghi số 121, hiệu hai số ghi hai ô 120
Số ô vuông cách từ ô ghi số đến ô ghi số 121 nhiều 20 cặp ô vuông (10 cặp theo hàng, 10 cặp theo cột) Ví dụ bảng ô ghi số ô ghi số 121 cách cặp ô vuông ( ) (1;a1 , a a1; 2)(a a2; 3) (, a3;121)
1 a1 a2
3 a 121
Nếu hiệu hai số hai kề qua 20 cặp ta có chênh lệch 20.5 100= Như 100+ =101 121< Do có hai kề cho hiệu hai số viết hai ô lớn
(176)Câu
a) Với x≠ −1 ta có
2
( 1)
1
a a
P a a
a a
= + + − +
+ +
2
2 ( 1) 2( 1)
1 ( 1)
a a a
a a
a a a
= + + − + +
+ + +
2 ( 1)
1
a a
a
a a
= + + − + +
( 1)
1
a a
a
a a
= + + −
+ +
Để ý
2
1 ( 1)
1
a a a
a
a a
+ + + − =
+ + dương a> −1 âm a< −1 (do
1 0,
a + + > ∀a a)
Suy
Nếu a> −1 ( 1)
1
a a
P a a
a a
= + + − = +
+ +
Nếu a< −1
2 ( 1)
1 1
a a a
P a
a a a
+ = + − + = −
+ + +
Nếu a=2020 P= + =a 2021 b) Cách
Viết lại phương trình cho sau
2qn p( + =1) (n+2)(2pq+ + +p q 1) (*)
Do vế trái số chẵn nên n+2 chẵn p+ +q chẵn Suy p=2 q=2 n chẵn
Nếu p=2 6qn=(n+2)(5q+ ⇔3) 6qn=5qn+3n+10q+6 ⇔qn−3n−(10q−30)=36⇔(q−3)(n−10)=36
BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 25
(177)Xét ước 36 để ý q số nguyên tố, ta tìm ( , , )p q n thỏa mãn yêu
cầu (2,5, 28),(2,7,19)
Nếu q=2 (n p+ =1) (n+2)(5p+ ⇔ =3) n pn+10p+6 điều mâu thuẫn
n< pn
Cuối cùng, giả sử n=2k Ta giả sử p q số nguyên tố lẻ Phương
trình (*) trở thành 2kq p( + =1) (k+1)(2pq+ + +p q 1) Vế trái số chẵn 2pq+ + +p q số lẻ nên k+1 số chẵn, k= +2l số lẻ Bây ta có
( 1)(2 1) ( 1)(2 1) ( 1) ( 1)( 1)
q p+ l+ = +l pq+ + + ⇔p q lq p+ = +l pq+ +p
Để ý q pq| + +p q p| +1 Hơn nữa, gcd( ,p p+ =1) q số
nguyên tố nên gcd(p+1,pq+ + =p 1) (p+1,pq)=(p+1, ) 1q > q p| +1
Từ gcd( ,l l+ =1) 1, ta thấy q|/ p+1 l = pq+ +p l+ =1 q p( +1) Do
q= +p (và ( ,p p+2, 2p2+6p+3) thỏa mãn phương trình cho)
Trong trường hợp ngược lại, giả sử p+ =1 rq, ta có l p( + = +1) (l 1)(p+r) điều mâu thuẫn l < +l p+ ≤ +1 p r
Như giá trị dương q− p 2;
Cách
Trừ nhân −1 vế theo vế ta được, điều kiện toán tương đương với
1
1
p+ − =q n+ (*)
Do q> +p Viết lại điều kiện (*) sau
4( 1)
2
p q
q p
n
+ − − =
+
Biểu thức vế phải số nguyên dương q phải khử n+2 không q chia hết
cho p+ <1 q
Đặt n u q
+ =
số nguyên dương
Bây q p 4(p 1) uq u p( 1) 4(p 1)
u
+
− − = ⇔ − + = +
Suy p+1|uq Hơn nữa, q số nguyên tố p+ <1 q, p+1|u
Đặt
1
u v
p
=
(178)Bây q p {2;3;5}
v∈
− = +
Các trường hợp xảy ( , , )p q n (3,5,7),(2,5, 28) (2,7,19)
Để ý tất cặp nguyên tố sinh đôi q= +p cho ta nghiệm ( ,p p+2, 2(2p2+6p+3))
Cách
Trừ hai vế cho ta
1
1
p+ − =q n+ (*)
Từ đây, n số dương, ta có q> +p Do q p+1 nguyên tố (do q
nguyên tố)
Điều kiện (*) viết lại sau
1
( 1)
q p
q p n
− − =
+ +
Bây gcd( ,q q− − =p 1) gcd( ,q p+ = =1) gcd(p+1, ) 1q = nên phân số vế trái tối giản
Do q− −p 1| Vì q− −p dương nên q− − ∈p {1;2;4} hay q− p∈{2;3;5} Tất số có
( , , ) {(3,5,78),(2,5, 28),(2,7,19)}p q n ∈
Câu
a) Điều kiện:
7
x
≤ ≤
Do 2
9x −36x+38=9(x−2) + >2 nên phương trình cho tương đương với
2 2
3x− + −5 3x+2 −9x +36x−35 =(9x −36x+38)
2 2
2 9x 36x 35 (9x 36x 38)
⇔ + − + − = − + (*)
Đặt 2
9 36 35 9( 2)
t = − x + x− = − x− ≤ Suy 0< ≤t Phương trình (*) trở thành
2
2+2t = − +( t 3) ⇔ −t 6t − + =2t
4 3 2
(t t ) (t t ) (5t ) (7t t 7) ⇔ − + − − − − − =
3
(179)Do 0< ≤t nên t3+ − − ≤ + −t2 5t 13 12 5.0 7− <0 nên t− = ⇔ =1 t Với t =1 ta có −9x2+36x−35= ⇔1 9(x−2)2 = ⇔ =0 x
Vậy phương trình cho có nghiệm x=2 b) Lời giải
Ta có
2 2
2 2
3 4 (1) 2 (2)
x y xy x y x y xy x y
x y x y x y x y
+ − + + − = + − + + − =
⇔
− + + − = − + + − =
Lấy phương trình thứ trừ phương trình thứ hai vế theo vế ta
( )2
2 3( )
x− y − x− y + =
(x 2y 1)(x 2y 2) ⇔ − − − − =
2 2
x y
x y
= +
⇔ = +
Với x=2y+1, thay vào phương trình x2 −y2 +2x+y−3=0 ta
2 2
(2 1) 2(2 1) 3
3
y x
y y y y y y
y x
= ⇒ =
+ − + + + − = ⇔ + = ⇔
= − ⇒ = −
Với x=2y+2, giải tương tự ta thu nghiệm 109 13 109 109 13 109
; ; ;
3 6
− + − + − − − −
Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho
( ) ( ) 109 13 109 109 13 109
1;0 ; ; ; ; ;
3 6
S = − − − + − + − − − −
Câu
Hệ số góc đường thẳng A A1
2 2
2
a a
a a
a a
− = +
−
Hệ số góc đường thẳng A A4
2
5
a a
a a
a a
− = +
−
(180)Tương tự, (a2+a3)(a5+a6)= −1
Nếu A A3 ⊥ A A6 (a3+a4)(a6+a1)= −1
Khi (a1+a2)(a2+a3)(a3+a4)(a4+a5)(a5+a6)(a6+a1)=−1
Vậy (a1+a2)(a2+a3)(a3+a4)(a4+a5)(a5+a6)(a6+a1)≠ −1 A A3 A A6 khơng thể vng góc với
Câu
a) Xét DPC BMC có
CD=BC; PC=CM ; DCB=BCN =900 Do DPC =BMC (c – g – c)
Suy PDC=MBC Điều dẫn đến MBC +BPH =PDC+CPD=900
Vậy
90
BHP=
Dễ thấy P trực tâm BDM , suy MP⊥BD
Ta có
1
PDM BDM
DM PC
PC S
BC = DM BC = S
Tương tự,
1
PBM BDM
DB KP
PH S
DH = DB MK = S ;
1
PBD BDM
DB KP
PH S
DH = DB MK = S
Vậy PDM PBM PBD
BDM
PC PH KP S S S
BC DH MK S
+ +
+ + = =
b) Ta có
K
H
P N
M C
B A
(181)MCP MKD
( g – g) MP MC MP MK MC MD
MD MK
⇒ = ⇒ = (1)
DCB DKM
(g – g) DC DB DK DB DC DM
DK DM
⇒ = ⇒ = (2)
Cộng vế theo vế (1) (2) ta
MP MK +DK BD=DM
Câu
F
I O
A
B H (d)
M C
D
E
S
N K
Dựng đường thẳng qua D song song với đường thẳng ( )d cắt HC BM, I F, Khi ta dễ chứng minh I trung điểm DF theo định lý Thales
Từ suy IN đường trung bình tam giác IEF
Để chứng minh tứ giác HNCS nội tiếp ta chứng minh NCH =HSN
Mặt khác ta có IDN =NSH so le
Như ta cần chứng minh NCH =IDN hay chứng minh ICDN nội tiếp Thật INE=NEM ( so le trong) mà MEN ≡MED=MCD suy
INE =MCD hay ICDN tứ giác nội tiếp b) Do tứ giác HNCS nên SNH =SCH
Do tứ giác ONHS nội tiếp nên SNH =SOH suy SCH =SOH
(182)Nhưng
90 90
OHS = ⇒OCS = ⇒SC tiếp tuyến ( )O Mà KC tiếp tuyến ( )O nên ta suy S K C, , thẳng hàng
Câu
Bình phương hai vế bất đẳng thức cần chứng minh ta bất đẳng thức tương đương:
2 2 2
3
2 2 cyc 2
x+ y y+z x+z x+y y+z
− − − + − − ≥
∑
2
7
1
2 4
cyc
x+y y+z xy+ yz+zx
⇔ − − ≥ +
∑ (*)
Ta có
2 2 2 2 2 2
( 1) ( )
1
2 2
x+y x + y + z + x+y x−y z +
− = − = +
Tương tự
2 2 2
( )
1
2
y+z y−z x +
− = +
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwart ta được:
2 2 2 2 2
2
2
( ) ( )
1
2 4
( 1)( 1)
( )( ) ( )( )
4
1
4
x y y z x y z y z x
x z
x y z y x y z y xz
y xz yz xy xz
+ + − + − +
− − = + +
+ +
− − − − +
≥ + ≥ +
+ − − +
= +
Cộng theo vế BĐT tương tự ta được:
2 2 2 2
( )
1
2
cyc
x+y y+z x + y +z − xy+yz+zx xy+yz+zx+
− − ≥ +
∑ hay
2
7 ( )
1
2 4
cyc
x+y y+z xy+yz+zx
− − ≥ +
∑
Vậy (*) chứng minh
Đẳng thức xảy
3
x= = =y z Câu
(183)1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5,
A B C A B C A B C A B C A B C
Khi ta có ngũ giác rời
A A A A A ; B B B B B1 2 3 4 5; C C C C C1 2 3 4 5
Theo nguyên lí Dirichlet đỉnh chọn có đỉnh đỉnh ngũ giác ngũ giác