Tuyển tập chuyên đề toán hsg bậc THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 1 Chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong số trước chúng ta đề cập đến ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phương trình.Kì này, chúng ta sẽ tiếp tục với dụng của bất đẳng thức trong hệ phương trình. Ưng dụng của bất đẳng thức trong giải hệ phương trình. Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 3 16 3 8 x y x y Lời giải: Từ phương trình thứ nhất, ta nhận thấy x, y cùng dấu, kết hợp phương trình thứ hai suy ra x, y cùng dương.Ap dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta có 4 4 3 4 3 8 16 16 4 4 x y x y xxxy Đẳng thức xảy ra x = y = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;2) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 2 4 4 32 3 32 6 24 x x y x x y Lời giải: Cộng theo từng vế hai phương trình của hệ ta được 2 4 4 ( 32 ) ( 32 ) 6 21 x x x x y y (*) Theo bất đẳng thưc Bu- nhi-a-cốp-ski ta có 4 4 32 (1 1)( 32 ) 8; 32 (1 1)( 32 ) 2 (1 1)( 32 ) 4 x x x x x x x x x x Suy ra 4 4 ( 32 ) ( 32 ) 12 x x x x Mặt khác 2 2 6 21 ( 3) 12 12 y y y Suy ra (*) 4 4 32 16 32 3 3 0 x x x x x y y Thử lại ta thấy (x;y) = (16;3) nghiệm đúng hệ phương trình, vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) =( 16; 3) Tuyển tập chuyên đề toán hsg bậc THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 2 Ví dụ 7: Tìm các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình 3x y z x y z xy yz zx Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta có 2 2 2 3 2 3 3 x x x x x x x x x Suy ra 2 2 3 x x x Tương tự 2 2 2 3 ; 2 3 y y y z z z Mặt khác, vì x + y + z =3 nên cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta có 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3( ) ( ) 2( ) x y z x y z x y z x y z x y z xy yz zx Suy ra x y z xy yz zx Đẳng thức xảy ra 2 2 2 ; ; ; 3 1 x x y y z z x y z x y z Vậy bộ số thực dương (x; y; z)duy nhất thỏa mãn hệ phương trình là (1; 1; 1 ) Ví dụ 8: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3( ) 1 ( ) x y z x y y z z x xyz x y z (Phần Lan – 1997) Lời giải: Ta có các bất đẳng thức quen thuộc: 2 2 2 2 3( ) ( ) x y z x y z Suy ra 2 1 ( ) ; x y z (1) 2 2 2 2 2 2 2 3( ) ( ) x y y z x z xy yz xz Suy ra 2 2 2 2 2 2 x y y z x z 2 2 2 x yz y xz z xy Suy ra 1( 2 2 2 2 2 2 x y y z x z ) 2 ( ) x y z 2 2 2 3 ( ) ( ) x yz y zx z xy xyz x y z 2 2 2 2 2 2 3 ( ) x y y z z x xyz x y z (2) Đẳng thức xảy ra ở (2) đẳng thức xảy ra ở (1) 1 3 x y z đều nghiệm đúng hệ phương trình .Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y; z) là 1 1 1 ( ; ; ) 3 3 3 và Tuyển tập chuyên đề toán hsg bậc THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 3 1 1 1 ( ; ; ) 3 3 3 Bài tập luyện tập Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) 2 2 4 6 11 x x x x ; 2) 2 6 4 10 27 x x x x ; 3) 2 2 2 5 2 10 29 x x x x ; 4) 2 2 2 17 8 2 4 12 3 4 13 x x x x x x ; 5) 4 2 4 2 3 3 x x x ; Bài 2: Giải các hệ phương trình: 1) 2 2 2 2 3 3 3 ( 3 4 ) 26( ) 92 x y z x y z x y z 2) 2006 2005 2 2 2005 2006 1 0 3 ( ); 2 x y x xy y x y 3) 4 4 4 1x y z x y z xyz 4) 2 2 1 2 x y x y Bài 3: Tìm các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình 12 2 xy yz zx xyz x y z (Đài Loan – 1998) Bài 4: Tìm các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn hệ phương trình 12 27 x y z t xyzt xy xz xt yz yt zt (Anh – 1996) . PHƯƠNG TRÌNH Trong số trước chúng ta đề cập đến ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phương trình. Kì này, chúng ta sẽ tiếp tục với dụng của bất đẳng thức trong hệ phương trình. Ưng dụng của bất. tập chuyên đề toán hsg bậc THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 1 Chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG. bất đẳng thức trong giải hệ phương trình. Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 3 16 3 8 x y x y Lời giải: Từ phương trình thứ nhất, ta nhận thấy x, y cùng dấu, kết hợp phương trình