Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Mục tiêu Nội dung
• Nắm khái niệm loại hệ
phương trình đại số tuyến tính
• Nắm phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình số ẩn theo phương pháp Cramer phương pháp Gauss
• Nắm phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng qt; hệ
phương trình
• Giải tốn hệ phương trình đại số tuyến tính, theo cách tự luận theo trắc nghiệm
Thời lượng
Bạn đọc nên để 15 giờđể nghiên cứu LT + làm tập
Hệ phương trình đại số tuyến tính vấn đề quan trọng Đại số
tuyến tính Các hệ số giá trị
của ẩn số số thực.Trong dạng tổng qt số phương trình số ẩn số hai loại số
không
Bài gồm nội dung sau:
• Dạng Hệ phương trình đại số
tuyến tính
• Giải hệ phương trình đại số tuyến tính
• Hệ phương trình
(2)Bài tốn mởđầu:Mơ hình cân
Trong mơ hình ma trận nói chương trước, ta có j xj lượng sản phẩm ngành i cung cấp
cho ngành j Tổng lượng sản phẩm ngành i coi chi phí để sản xuất sản phẩm cho n ngành là:
n ij j j
a x
=
∑
Lượng sản phẩm ngành i lại kí hiệu yi thường gọi sản phẩm cuối ngành i
Nếu mơ hình cân ta có
n ij j j
a x =
∑ + yi = xi , i = 1,2,…, n
Ta có hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình n ẩn số Ởđây xi, i = 1,2,…, n ẩn số
ai j yi sốđã biết
3.1. Dạng hệ phương trình đại số tuyến tính
Dạng tổng qt hệ phương trình đại số tuyến tính viết sau
( )
11 12 1n n
21 22 2n n
m1 m2 mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
3.1
a x a x a x b
+ + + = ⎧
⎪ + + + = ⎪
⎨ ⎪
⎪ + + + =
⎩
Hệ viết dạng ma trận
Ax b= (3.2)
ởđây A ma trận thành lập từ hệ số biến
( )ij m n
A= a ×
x: véc tơ cột biến
1
2
n x x x
x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
# (3.3)
b: véc tơ cột số hạng tự
1
2
m b b b
b ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
# (3.4)
Hệ phương trình đại số tuyến tính gọi là:
(3)• tương thích hệ có nghiệm, tức tồn giá trị
1 n
x , x , , x mà thay vào có đồng thức;
• khơng tương thích khơng có nghiệm nào;
• xác định hệ có nghiệm nhất;
• bất định tồn nghiệm
Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính trước hết phải xác định xem hệđã cho tương thích hay khơng tương thích Nếu hệ tương thích lại phải xem hệ xác định hay bất định Nếu hệ phương trình xác định ta tìm nghiệm
Ví dụ 1:
x 2y x 2y
− =
⎧
⎨ + = ⎩
là hệ hai phương trình ẩn
Ví dụ 2:
2x 3y z
x y z
3x y 2z
− + = − ⎧
⎪ + + = ⎨
⎪ + − = − ⎩
là hệ phương trình ẩn
Ví dụ 3:
2x 3y 4z 3x 2y 7z
− + =
⎧
⎨ + − = ⎩
là hệ hai phương trình ẩn
3.2. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính
Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính xảy hai trường hợp:
m n m n.= ≠
• Trường hợp m = n
Lúc ma trận A có dạng
11 12 1n
21 22 2n
n1 n nn
a a a
a a a
A
a a a
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
# # #
Định nghĩa: Hệ (3.2) gọi hệ Cramer det (A)≠0 (ma trận A khơng suy biến) Khi tồn ma trận nghịch đảo A −1
Định lí 3.1 (Cramer): Hệ Cramer có nghiệm tính cơng thức
i i
x = Δ i 1, 2, , n=
(4)Chứng minh
Ta nhân hai vế đẳng thức (3.2) với A−1 về bên trái, ta được:
1
A Ax A b− = −
Bởi A A E−1 = , mà nhân bất cứ ma trận với E sẽđược đúng ma trận đó, nên
x A b= − (3.5)
Sau A−1 bởi biểu thức của thay véc tơ cột x b, ta có:
1 11 21 n1 n
2 12 22 n n
n 1n 2n nn n
x A b A b A b
x A b A b A b
A
x A b A b A b
+ + +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ + + + ⎥
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ + +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
# # # #
Vì hai ma trận phần tử tương ứng chúng nên
( )
( )
( )
1 11 21 n1 n
i 1i 2i ni n
n 1n 2n nn n
1
x A b A b A b A
x A b A b A b A
x A b A b A b A
⎧
= + + +
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ = + + +
⎨ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ = + + +
⎪ ⎩
(3.6)
Theo định lí khai triển: Định thức tổng tích phần tử hàng cột với phần phụ đại số chúng Vì hàng biểu thức (3.6) thay định thức tương ứng với véc tơ b cột nó, chẳng hạn x si ẽ có
11 12 1,i 1 1,i 1n
21 22 2,i 2,i 2n
1i 2i ni n
n1 n n,i n n,i nn
a a a b a a
a a a b a a
A b A b A b
a a a b a a
− +
− +
− +
+ + + = (3.7)
Điều có nghĩa muốn tìm x phi ải chia định thức Δi thiết lập từđịnh thức
A = Δ cách thay cột i cột số hạng tự cho định thức Δ, tức
i i
x = Δ i 1, 2, , n=
Δ (3.8)
Vì vậy, phát biểu quy tắc Cramer: Nếu định thức gồm hệ số hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn khác hệ có nghiệm tính cơng thức (3.8)
Ví dụ: Giải hệ
x 0y 2z 3x 4y 6z 30 x 2y 3z
+ + = ⎧
⎪− + + = ⎨
(5)Giải: Ta có:
1
A
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟ ⎜− − ⎟
⎝ ⎠
,
b 30
8 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
1
6
A 30
8
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
, 2
1
A 30
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟ ⎜− ⎟
⎝ ⎠
, 3
1
A 30
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟ ⎜− − ⎟
⎝ ⎠
Ta tính det(A) = 44≠0; det(A1) = –40; det(A2) = 72; det(A3) = 152
Ta có nghiệm hệđã cho là: x1 = – 40
44 = 10 11
− ; x2 = 72 18
44 = 11, x3 =
152 38 44 = 11
• Trường hợp m n≠
Ta gọi A=( )aij m n× ma trận hệ Sau thêm cột số hạng tự b vào ma trận A, ta lập ma trận mở rộng B
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn m
a a a b
a a a b
B
a a a b
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Để giải trường hợp này, ta dựa vào định lí sau:
Định lí 3.2 (Croneker – Capeli): Điều kiện cần đủ để hệ (3.1) có nghiệm hạng ma trận A hạng ma trận mở rộng B Nếu r A( ) ( )=r B =n hệ
(3.1) có nghiệm Nếu r A( ) ( )=r B <n hệ (3.1) có vơ số nghiệm Chứng minh:
Cần: Giả sử hệ (3.1) có nghiệm Ta phải chứng minh r A( ) ( )=r B
Thật vậy, hệ (3.1) có nghiệm, tức có x1=c , x1 2 =c , , x2 n =cn
11 12 1n n
21 22 2n n
m1 m2 mn n m
a c a c a c b a c a c a c b a c a c a c b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
Hay
1 2 n n
b c A= +c A + + c A
1 1i
2 2i
i
m mi
b a
b a
V i b A i 1, 2, , n
b a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= = =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
# #
(6)Điều chứng tỏ cột cuối ma trận B tổ hợp tuyến tính n cột
đầu Theo tính chất hạng ma trận, ta bỏ cột cuối mà không làm
ảnh hưởng đến hạng ma trận B Vì vậy, r A( ) ( )=r B
Đủ: Giả sử r A( ) ( )=r B =k Ta phải chứng minh hệ (3.2) có nghiệm
Khơng giảm tính tổng qt, coi định thức cấp k khác A B nằm
góc trái Khi đó, k cột độc lập tuyến tính cột cịn lại biểu diễn qua k cột đầu Trong trường hợp riêng, cột b biểu diễn qua k cột đầu
1 2 k k
1 11 12 1k k
2 21 22 2k k
m m1 m2 mk k
b A A A b a a a b a a a b a a a
= λ + λ + + λ
= λ + λ + + λ
= λ + λ + + λ
= λ + λ + + λ
Thật vậy, lấy x1= λ1, , xk = λk, xk 1+ =xk 2+ = = xn =0 chúng tạo nên nghiệm hệ (3.1) Đó điều phải chứng minh
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
1
1
1
x 3x x x
2x 5x x 2x 22
3x 8x x x 24
+ + − = ⎧
⎪ + − + = ⎨
⎪ + + − = ⎩
Giải:
Ởđây m 3, n 4= =
1 1 1
B 22
3 1 24 2
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ − ⎥→⎢ − − ⎥
⎢ − ⎥ ⎢ − − ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1
0
0
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
→⎢ − − ⎥
⎢ − − ⎥
⎣ ⎦
Ta có r A( ) ( )=r B = < =3 n Vậy hệ có vơ số nghiệm Với ma trận cuối ta có:
1
2
3
x 3x x x
x 3x 4x
x 2x
+ + − = ⎧
⎪ − − + = ⎨
⎪ − = − ⎩
Đặt x4 =c, ta được:
1
2
3
x 3x x c
x 3x 4c
x 2c
+ + = + ⎧
⎪ − − = − ⎨
⎪ = − + ⎩
3
2
1
x 2c
x 4c 15 6c 2c
x c 21 6c 2c 5c
= − + ⎧
⎪
⇒⎨ = − + + − = − ⎪ = + − + + − = − + ⎩
(7)Vậy nghiệm có dạng
1
2
3
4
x 5c
x 2c
x 2c
x c
= − + ⎧
⎪ = − ⎪
⎨ = − + ⎪
⎪ = ⎩
với giá trị c ta có nghiệm
3.3. Hệ phương trình
Đây trường hợp riêng hệ (3.1), bi =0 v i m i i 1, 2, , ní ä = nên Định lí
Croneke – Capeli Nhưng với trường hợp này, ta ln có r A( ) ( )=r B nên hệ có nghiệm Chẳng hạn, ta thấy x1=0, x2 =0, , xn =0 nghiệm hệ, gọi nghiệm tầm thường
Vậy hệ có nghiệm khơng tầm thường?
Định lí 3.3: Nếu r A( )=n hệ có nghiệm tầm thường, r A( )<n
thì hệ có vơ số nghiệm, nghĩa ngồi nghiệm tầm thường phải có nghiệm khơng tầm thường
Chứng minh:
Nếu r A( )=n theo quy tắc Cramer, hệ có nghiệm nhất, nghiệm tầm thường Nếu r A( )<n ta chuy n n r AÓ − ( ) tự sang phải hệ có vơ số nghiệm Hệ quả:Đối với hệ n phương trình n ẩn số điều kiện cần đủđể hệ có nghiệm khơng tầm thường định thức Δ =0
Thật vậy, Δ =0 r A( ) ( )=r B <n Do đó, hệ có vơ số nghiệm, tức có nghiệm khơng tầm thường
Ta có định nghĩa tương tự cho hệ (3.2) nhưđối với hệ (3.1)
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1
1
1
x 2x 3x
2x x x
x 3x 4x
− + = ⎧
⎪ + − = ⎨
⎪ + − = ⎩
Giải : Ta có
1
2 1 18 16
1
−
Δ = − = − + + − − + = −
Hệ có vơ số nghiệm
Xét định thức cấp 2
−
= + = ≠
Bởi vậy, ta lấy phương trình đầu
1
1
x 2x 3x
2x x x
− + = ⎧