Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp hai và một dạng phương trình sai phân phân thức cấp bốn. Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm chứa hàm logarit tự nhiên của một dạng phương trình sai phân phân thức cấp ba. Phân tích sự ổn định của điểm cân bằng dương của hai dạng hệ phương trình sai phân phân thức.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Hồng Thái SỰ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62.46.01.02 (DỰ THẢO) TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 Cơng trình hồn thành tại: Bộ mơn Giải tích, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Vũ Văn Khương Đại học Giao thơng vận tải TS Lê Đình Định ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội Phản biện: Phản biện: Phản biện: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Phương trình sai phân xuất nhiều lĩnh vực đời sống xã hội: kinh tế, sinh học, y học, tốn học, Thí dụ, để dự báo dân số tỉnh đó, theo dân số năm 2018 A, tốc độ tăng dân số a%, ta làm sau: Gọi năm 2018 0, năm 2019 1, năm 2020 2, Gọi dân số năm thứ n a yn ta yn , dân số năm thứ (n+1) yn+1 = yn + a%.yn = + 100 đưa việc dự báo dân số việc giải phương trình sai phân yn+1 = + a yn , 100 y = A Thí dụ khác, để tìm nghiệm phương trình đại số siêu việt f (x) = (1) (a; b), f (x) f (x) không đổi dấu f (a).f (b) < 0, ta dùng phương pháp Niutơn theo công thức xn+1 = xn − f (xn ) , f (xn ) x0 = c (2) có nghĩa thay phương trình (1) phương trình sai phân (2) để tìm nghiệm gần xn phương trình (1) Phương trình sai phân xuất dạng tuyến tính phi tuyến Đối với phương trình tuyến tính có phương pháp giải để tìm nghiệm tường minh Đối với phương trình phi tuyến chưa có phương pháp chung để giải đa dạng kiểu phương trình Nghiên cứu phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến lâu phát triển mạnh từ cuối kỷ XX thập kỷ đầu kỷ XXI Việc nghiên cứu thu hút nhiều nhà tốn học ngồi nước Ở nước ngồi, kể đến tên tuổi lớn R P Agarwal, L Berg, G Ladas, gần kể đến nghiên cứu Q Din, G Papaschinopoulos, M A Radin, C J Schinas, G Stefanidou nhà toán học khác K Berenhaut, E Camouzis, S Elaydi, E A Grove, M R S Kulenovi´c, O Merino, M Nurkanovi´c, Z Nurkanovi´c, X Li, D Zhu, S Stevi´c, Ở nước, xem nghiên cứu Phạm Kỳ Anh, Đặng Vũ Giang, Đinh Công Hướng, Vũ Văn Khương Phương trình sai phân phi tuyến cấp lớn có vai trị quan trọng ứng dụng mà hệ thứ (n+1) hệ phụ thuộc vào n hệ trước đó, đặc biệt phương trình sai phân phi tuyến dạng phân thức Các phương trình xuất cách tự nhiên rời rạc hay nghiệm số phương trình vi phân vi phân có trễ mơ tả tượng khác lĩnh vực: sinh học, sinh thái học, sinh lý học, vật lý, kỹ thuật kinh tế ví dụ mơ hình sau: • Mơ hình sản sinh tế bào máu Mackey Glass đề xuất: xn+1 = αxn + β , n = 0, 1, 2, + xpn−k (3) α ∈ [0; 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ giá trị ban đầu x−k , , x0 ∈ [0, ∞) • Mơ hình loại hàng năm: xn+1 = λxn , n = 0, 1, 2, (1 + axn )p + bλxn (4) a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) giá trị ban đầu x0 số thực dương • Mơ hình mô tả mối quan hệ vật chủ ký sinh R M May đề xuất: αxn , + βyn n = 0, 1, 2, (5) βxn yn yn+1 = , + βyn α, β ∈ (0, ∞) giá trị ban đầu x0 , y0 số dương tùy ý xn+1 = • Mơ hình tương tác sâu đục cành nho đồng Texas: αxn xn+1 = , eyn + βyn n = 0, 1, 2, (6) yn+1 = γ(xn + 1)yn , α ∈ (1, ∞), β ∈ (0, ∞), γ ∈ (0; 1) giá trị ban đầu x0 , y0 số dương tùy ý Trong chuyên khảo "Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures" năm 2002, M R S Kulenovíc G Ladas tổng hợp kết nghiên cứu tính giới nội, tính ổn định tồn cục tính tuần hồn lớp phương trình sai phân phân thức cấp hai có dạng: α + βxn + γxn−1 , n = 0, 1, 2, (7) A + Bxn + Cxn−1 tham số α, β, γ, A, B, C giá trị ban đầu x−1 , x0 số xn+1 = thực không âm cho A + Bxn + Cxn−1 > với n ≥ Đến năm 2008, E Camouzis G Ladas chuyên khảo "Dynamics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures" trình bày kết tính giới nội, tính tuần hồn nghiệm tính ổn định điểm cân lớp phương trình sai phân phân thức cấp ba có dạng: xn+1 = α + βxn + γxn−1 + δxn−2 , n = 0, 1, 2, A + Bxn + Cxn−1 + Dxn−2 (8) tham số α, β, γ, δ, A, B, C, D giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 số thực không âm cho mẫu số dương Những năm gần đâu, nghiên cứu dạng phương trình thuộc lớp phương trình sai phân phân thức (7) (8) cịn có nhiều nghiên cứu dạng khác phương trình sai phân phân thức, kể đến nghiên cứu L Berg, S Stevíc, K Berenhaut, V V Khương, X Li , Tiếp tục nghiên cứu phương trình hệ phương trình sai phân phân thức thời gian vừa qua, luận án đề xuất nghiên cứu dạng phương trình hệ phương trình có tính chất tổng qt hơn, dạng góp phần làm phong phú thêm kết mặt lý thuyết định tính dạng phương trình sai phân Với lý đó, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: "Dáng điệu tiệm cận tính ổn định điểm cân số phương trình hệ phương trình sai phân phân thức" cho luận án Cụ thể, tập trung nghiên cứu số vấn đề sau: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp bốn Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm chứa hàm logarit tự nhiên dạng phương trình sai phân phân thức cấp ba Phân tích ổn định điểm cân dương hai dạng hệ phương trình sai phân phân thức Cấu trúc luận án: phần Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mở đầu, Kết luận, Danh mục ký hiệu chữ viết tắt, Danh mục hình vẽ, đồ thị, Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo, luận án trình bày ba chương: Chương trình bày số định nghĩa vài kết nghiệm phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến dùng chương luận án Chương nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp bốn đồng thời xây dựng dạng tiệm cận nghiệm dạng phương trình sai phân phân thức cấp ba Chương nghiên cứu ổn định điểm cân dương hai dạng hệ phương trình sai phân phân thức Phần cuối mục 2.3 Chương Chương chúng tơi đưa vài ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết dùng phần mền MATLAB để vẽ đồ thị Các kết luận án công bố cơng trình [1-6] tác giả thầy hướng dẫn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số khái niệm kết chứng minh để sử dụng cho chương sau luận án 1.1 1.1.1 Phương trình sai phân cấp cao Các định nghĩa Phương trình sai phân cấp (k + 1) phương trình có dạng: xn+1 = F (xn , xn−1 , , xn−k ), n = 0, 1, 2, , (1.1) F hàm số liên tục từ J k+1 vào J Tập J thường khoảng tập số thực, hợp khoảng, tập rời rạc tập số nguyên Z Nghiệm phương trình (1.1) dãy {xn }∞ n=−k thỏa mãn phương trình (1.1) với n ≥ Nếu ta cho tập (k + 1) giá trị ban đầu: x−k , x−k+1 , , x0 ∈ J nghiệm phương trình (1.1) tồn xác định (k + 1) giá trị ban đầu Một nghiệm phương trình (1.1) số với n ≥ −k gọi nghiệm cân Nếu xn = x¯ với n ≥ −k nghiệm cân phương trình (1.1) x¯ gọi điểm cân phương trình (1.1) Định nghĩa 1.1 i) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi ổn định địa phương với > 0, tồn δ > cho {xn }∞ n=−k nghiệm phương trình (1.1) với |x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + + |x0 − x¯| < δ, |xn − x¯| < , với n ≥ −k ii) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi hút địa phương tồn γ > cho {xn }∞ n=−k nghiệm phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện |x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + + |x0 − x¯| < γ, lim xn = x¯ n→∞ iii) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận địa phương x¯ ổn định địa phương hút địa phương iv) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi hút tồn cục nghiệm {xn }∞ n=−k phương trình (1.1) ta có lim xn = x¯ n→∞ v) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận toàn cục x¯ ổn định địa phương hút toàn cục vi) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi khơng ổn định x¯ không ổn định địa phương 1.1.2 Ổn định tuyến tính hóa Giả sử hàm số F khả vi liên tục lân cận mở điểm cân x¯ Đặt qi = ∂F (¯ x, x¯, , x¯), với i = 0, 1, , k ∂ui Khi phương trình: yn+1 = q0 yn + q1 yn−1 + + qk yn−k , n = 0, 1, 2, , (1.2) gọi phương trình tuyến tính hóa phương trình (1.1) xung quanh điểm cân x¯ phương trình λk+1 − q0 λk − q1 λk−1 − − qk−1 λ − qk = 0, (1.3) gọi phương trình đặc trưng phương trình (1.2) xung quanh điểm cân x¯ Định lý 1.1 (Định lý ổn định tuyến tính hóa) Giả sử hàm số F khả vi liên tục xác định lân cận mở x¯ Khi phát biểu sau đúng: i) Nếu tất nghiệm phương trình (1.3) có mơđun bé điểm cân x¯ phương trình (1.1) ổn định tiệm cận địa phương ii) Nếu có nghiệm phương trình (1.3) có mơđun lớn điểm cân x¯ phương trình (1.1) không ổn định Định lý sau cho ta điều kiện đủ để tất nghiệm phương trình đặc trưng với bậc tùy ý nằm hình trịn đơn vị Định lý 1.2 Giả sử q0 , q1 , q2 , , qk số thực cho: |q0 | + |q1 | + + |qk | < 1, nghiệm phương trình (1.3) nằm hình trịn đơn vị 1.1.3 Kết so sánh Định lý 1.3 Cho I khoảng tập số thực, k số nguyên dương hàm F : I k+1 → I ∞ ∞ hàm tăng theo tất biến Giả sử {xn }∞ n=−k , {yn }n=−k {zn }n=−k dãy số thực cho x n+1 yn+1 z n+1 ≤ F (xn , xn−1 , , xn−k ), n = 0, 1, = F (yn , yn−1 , , yn−k ), n = 0, 1, ≥ F (zn , zn−1 , , zn−k ), n = 0, 1, xn ≤ yn ≤ zn , với − k ≤ n ≤ Khi đó, ta có xn ≤ yn ≤ zn , với n > 1.1.4 Định lý hội tụ Định lý 1.4 Cho g : [a, b]k+1 → [a, b] hàm liên tục, k số nguyên dương [a, b] khoảng số thực Xét phương trình sai phân sau xn+1 = g(xn , xn−1 , , xn−k ), n = 0, 1, 2, (1.4) Giả sử hàm g thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với số nguyên i cho ≤ i ≤ k + 1, hàm g(z1 , z2 , , zk+1 ) hàm đơn điệu theo biến zi với biến z1 , z2 , zi−1 , zi+1 , , zk+1 cố định; (2) Nếu m, M nghiệm hệ m = g(m1 , m2 , , mk+1 ) M = g(M1 , M2 , , Mk+1 ) m = M , với i = 1, 2, , k + ta đặt m g hàm không giảm theo biến zi mi = M g hàm không tăng theo biến z i M Mi = m g hàm không giảm theo biến zi g hàm không tăng theo biến zi Khi đó, tồn điểm cân x phương trình (1.4) nghiệm phương trình (1.4) hội tụ đến x n → ∞ f : I × J → I g : I × J → J hàm khả vi liên tục với I, J khoảng tập số thực Khi đó, với giá trị ban đầu (xi , yi ) ∈ I × J, i ∈ {−1, 0} hệ phương trình (1.7) có nghiệm {xn , yn }∞ n=−1 Cùng với hệ phương trình (1.7), ta xét ánh xạ véctơ tương ứng F : I × J → I × J xác định F (xn , xn−1 , yn , yn−1 ) = (f, xn , g, yn ) Điểm cân hệ phương trình (1.7) điểm (x, y) thỏa mãn hệ x = f (x, x, y, y), y = g(x, x, y, y) Điểm (x, y) gọi điểm bất động ánh xạ véctơ F Định nghĩa 1.4 Giả sử (x, y) điểm bất động ánh xạ véctơ F = (f, xn , g, yn ) f g hàm khả vi liên tục điểm (x, y) Hệ tuyến tính hóa hệ phương trình (1.7) xung quanh điểm cân (x, y) Xn+1 = JF Xn , xn xn−1 Xn = y JF ma trận Jacobi ánh xạ F lấy giá trị n yn−1 điểm cân (x, y), xác định bởi: ∂f ∂f ∂f ∂f ∂x (x, y) ∂x (x, y) ∂y (x, y) ∂y (x, y) n−1 n n−1 n 0 JF (x, y) = ∂g ∂g ∂g ∂g (x, y) (x, y) (x, y) (x, y) ∂xn−1 ∂yn ∂yn−1 ∂xn 0 Bổ đề sau sử dụng phần sau luận án Bổ đề 1.1 Giả sử Xn+1 = F (Xn ), n = 0, 1, hệ phương trình sai phân cho X điểm bất động ánh xạ F Nếu tất giá trị riêng ma trận Jacobi JF xung quanh điểm bất động X nằm hình trịn đơn vị |λ| < điểm X ổn định tiệm cận địa phương Nếu giá trị riêng ma trận Jacobi JF có mơđun lớn điểm X khơng ổn định 11 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm số dạng phương trình sai phân phân thức cấp cao 2.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân phân thức cấp hai Trong phần này, nghiên cứu ổn định tiệm cận điểm cân hai dạng phương trình sai phân: xn+1 bx2n + cx2n−1 = axn−1 − , n = 0, 1, 2, − dxn + exn−1 (2.1) a, b, c, d, e tham số dương, giá trị ban đầu x−1 , x0 số thực dương xn+1 = αxn−1 xn−1 + , n = 0, 1, 2, βxn + xn−1 xn (2.2) α, β > giá trị ban đầu x−1 , x0 số thực dương Kết phần viết sở phần kết báo [3] cơng bố tạp chí Acta Mathematica Vietnamica phần 12 kết báo [4] cơng bố tạp chí Southeast Asian Bulletin of Mathematics 2.1.1 Sự ổn định tiệm cận điểm cân phương trình (2.1) Điểm cân phương trình (2.1) nghiệm phương trình bx2 + cx2 x = ax − − dx + ex Từ đó, ta có hai điểm cân x = x = Điểm x = a−1 b+c−(e−d)(a−1) a−1 b+c−(e−d)(a−1) điểm cân dương thỏa mãn điều kiện a > 1, e < b+c a−1 (2.9) Kết mục phát biểu định lý sau b+c , điểm cân Định lý 2.2 Với a ≥ 2, c ≤ min(ae, 3b + d) e < a−1 dương phương trình (2.1) khơng ổn định Định lý 2.3 Khi a < 1, điểm cân khơng phương trình (2.1) ổn định tiệm cận địa phương 2.1.2 Sự ổn định tiệm cận điểm cân phương trình (2.2) Điểm cân phương trình (2.2) nghiệm phương trình x= αx α +1= + (β + 1)x β+1 Kết mục phát biểu định lý sau Định lý 2.4 Giả sử < β < Khi đó, phát biểu sau đúng: i) Điểm cân x phương trình (2.2) ổn định tiệm cận địa phương (β + 1)2 α> 1−β 13 (2.19) ii) Điểm cân x phương trình (2.2) khơng ổn định điểm yên ngựa (β + 1)2 α< 1−β 2.2 (2.20) Dạng tiệm cận nghiệm phương trình sai phân phân thức cấp ba 2.2.1 Đặt vấn đề khái niệm mở đầu Năm 2008, L Berg nghiên cứu phương trình sai phân xn = xn−3 , n = 0, 1, 2, + xn−1 xn−2 (2.23) giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 ∈ (0, ∞) Tác giả tồn nghiệm phương trình (2.23) hội tụ khơng n → ∞ xác định dáng điệu tiệm cận Dựa phương pháp tiệm cận L Berg, phần chúng tơi nghiên cứu phương trình sai phân phân thức cấp ba sau đây: xn−3 − (xn + xn−1 )3 xn = , n = 0, 1, + xn xn−1 + xn xn−2 + xn−1 xn−2 (2.24) giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 ∈ (0, ∞) Điểm cân phương trình (2.24) x = Chúng dạng tiệm cận nghiệm phương trình (2.24) hội tụ điểm cân x n → ∞ Kết phần viết sở kết báo [1] cơng bố tạp chí Communications in Applied Analysis 2.2.2 Dạng tiệm cận nghiệm phương trình (2.24) Kết mục phát biểu định lý sau Định lý 2.2 Phương trình (2.24) có nghiệm hội tụ khơng n → ∞ Hơn nữa, nghiệm biểu diễn dạng tiệm cận b ln n + c d ln2 n + e ln n a+ ϕn = √ + n n2 n 14 hệ số xác định √ √ √ √ √ 63 66 63 66 3.632 66 632 66 66 a= , b= , c= , d= , e= 22 4.222 3.222 32.223 8.223 2.3 (2.31) Dáng điệu tồn cục nghiệm phương trình sai phân phân thức cấp bốn 2.3.1 Đặt toán Năm 1998, G Ladas đề xuất nghiên cứu tính ổn định tiệm cận tồn cục phương trình sai phân phân thức xn + xn−1 xn−2 , n = 0, 1, 2, xn+1 = xn xn−1 + xn−2 (2.34) với giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Năm 2002, X Li, D Zhu nghiên cứu phương trình xn + xn−1 xn−2 + a xn+1 = , n = 0, 1, 2, xn xn−1 + xn−2 + a (2.35) với a ∈ [0, ∞) giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Tác giả chứng minh điểm cân dương phương trình (2.35) ổn định tiệm cận tồn cục Phương trình (2.34) trường hợp đặc biệt phương trình (2.35) a = Năm 2005, X Li nghiên cứu dáng điệu tồn cục phương trình sai phân phân thức cấp bốn xn xn−1 xn−3 + xn + xn−1 + xn−3 + a xn+1 = , n = 0, 1, 2, xn xn−1 + xn xn−3 + xn−1 xn−3 + + a (2.36) với a ∈ [0, ∞) giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Tác giả chứng minh điểm cân dương phương trình (2.36) ổn định tiệm cận toàn cục Năm 2007, X Li, R P Agarwal chứng minh điểm cân dương phương trình xn+1 xbn + xn−2 xbn−3 + a = b , n = 0, 1, 2, xn xn−2 + xbn−3 + a 15 với a, b ∈ [0, ∞) giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) ổn định tiệm cận toàn cục Dựa nghiên cứu đó, phần chúng tơi nghiên cứu ổn định tiệm cận toàn cục điểm cân phương trình sai phân phân thức cấp bốn xn+1 g(xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 )xα+1 n−3 + f (xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 ) , = g(xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 )xαn−3 + f (xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 ) (2.37) n = 0, 1, 2, f, g : (0, ∞)4 → (0, ∞) hàm khả vi vô hạn, α ≥ giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Điểm cân dương x¯ phương trình (2.37) thỏa mãn phương trình g(¯ x, x¯, x¯, x¯)¯ xα+1 + f (¯ x, x¯, x¯, x¯) x¯ = g(¯ x, x¯, x¯, x¯)¯ xα + f (¯ x, x¯, x¯, x¯) Từ đó, phương trình (2.37) có điểm cân dương x¯ = Kết phần viết sở phần kết báo [2] cơng bố tạp chí International Journal of Mathematical Analysis 2.3.2 Sự ổn định tiệm cận toàn cục điểm cân dương Để chứng minh kết phần ta phát biểu bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử {xn }∞ n=−3 nghiệm dương phương trình (2.37) Khi đó, khẳng định sau với n ≥ 0: (a) (xn+1 − 1)(xn−3 − 1) ≥ (b) (xn+1 − xn−3 )(xn−3 − 1) ≤ Định lý kết phần Định lý 2.8 Giả sử α ∈ [0, ∞), f, g : (0, ∞)4 → (0, ∞) hai hàm dương khả vi vơ hạn Khi đó, điểm cân dương phương trình (2.37) ổn định tiệm cận tồn cục 16 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm số hệ phương trình sai phân phân thức 3.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình sai phân phân thức cấp 3.1.1 Đặt toán Năm 2001, El-Metwally, E A Grove, G Ladas, R Levins, M Radin nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận, tính tuần hồn nghiệm dương ổn định điểm cân phương trình sai phân: xn+1 = α + βxn−1 e−xn (3.1) α, β số dương giá trị ban đầu x−1 , x0 số dương Thực tế, mơ hình đề xuất nhóm nghiên cứu trường Y tế công cộng thuộc Đại học Harvard nghiên cứu biến động dân số lồi có số lượng thời điểm n xn , α tỷ lệ di cư β tỷ lệ tăng trưởng dân số Năm 2001, Aboutaleb, M A El-Sayed, A E Hamza nghiên cứu ổn 17 định tiệm cận toàn cục phương trình sai phân: xn+1 = α − βxn γ + xn−1 (3.2) hệ số α, β, γ không âm giá trị ban đầu x−1 , x0 tùy ý Năm 206, xuất phát từ kết dạng phương trình (3.1) (3.2), Ozturk, F Bozkurt, S Ozen nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận, tính tuần hoàn ổn định nghiệm dương phương trình sai phân: yn+1 α + βe−yn , = γ + yn−1 α, β, γ số dương giá trị ban đầu y−1 , y0 số dương Dựa nghiên cứu đó, phần nghiên cứu tính bị chặn, tính bền vững dáng điệu tiệm cận nghiệm dương hệ phương trình sai phân phân thức sau: xn+1 = α2 + β2 e−xn α1 + β1 e−yn , yn+1 = , a1 + b x n a2 + b y n (3.3) tham số αi , βi , , bi với i ∈ {1, 2} giá trị ban đầu x0 , y0 số thực dương Kết phần viết sở kết báo [5] công bố tạp chí International Journal of Difference Equations 3.1.2 Tính bị chặn nghiệm Trong mục này, ta tính bị chặn tập bất biến nghiệm dương hệ phương trình (3.3) Bổ đề 3.1 Mọi nghiệm dương {(xn , yn )} hệ phương trình (3.3) bị chặn Bổ đề 3.2 Giả sử {(xn , yn )} nghiệm dương hệ phương trình (3.3) Khi đó, [L1 , U1 ] × [L2 , U2 ] tập bất biến hệ phương trình (3.3) 3.1.3 Phân tích ổn định nghiệm Định lý sau dùng để nghiên cứu dáng điệu điểm cân dương hệ phương trình (3.3) 18 Định lý 3.1 Giả sử f : (0, ∞)×(0, ∞) → (0, ∞), g : (0, ∞)×(0, ∞) → (0, ∞) hàm số liên tục a, b, c, d số thực dương với a < b, c < d Hơn nữa, giả sử f : [a, b] × [c, d] → [a, b] g : [a, b] × [c, d] → [c, d] hàm thỏa mãn điều kiện sau: (i) f (x, y), g(x, y) hàm giảm theo biến x với y ∈ [c, d] giảm theo biến y với x ∈ [a, b] (ii) Nếu m1 , M1 , m2 , M2 số thực cho m1 = f (M1 , M2 ), M1 = f (m1 , m2 ), (3.6) m2 = g(M1 , M2 ), M2 = g(m1 , m2 ) m1 = M1 m2 = M2 Khi đó, hệ phương trình sai phân xn+1 = f (xn , yn ), yn+1 = g(xn , yn ), n = 0, 1, (3.7) có điểm cân dương (x, y) nghiệm (xn , yn ) hệ phương trình (3.7) với (x0 , y0 ) ∈ [a, b] × [c, d] hội tụ tới điểm cân dương (¯ x, y¯) Dáng điệu tiệm cận nghiệm dương hệ phương trình (3.3) phát biểu định lý sau Định lý 3.2 Giả sử β1 β2 < a1 a2 (3.9) Khi đó, hệ phương trình (3.3) có điểm cân dương (x, y) nghiệm dương hệ phương trình (3.3) tiến đến điểm cân dương n → ∞ Định lý phần này, nghiên cứu ổn định tiệm cận toàn cục điểm cân dương hệ phương trình (3.3) Định lý 3.3 Xét hệ phương trình (3.3) với giả thiết (3.9) Giả sử thêm b1 U1 b2 U2 b1 b2 U1 U2 + β1 β2 e−L1 −L2 + + < p= a1 + b1 L1 a2 + b2 L2 (a1 + b1 L1 )(a2 + b2 L2 ) 19 (3.14) Khi đó, điểm cân dương (x, y) hệ phương trình (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục Hơn nữa, với giá trị ban đầu x0 , y0 thỏa mãn điều kiện |x0 − x| < δ, |y0 − y| < δ, δ > cho p + δ < |xn − x| < (1 − δ)n δ, |yn − y| < (1 − δ)n δ, 3.1.4 ∀n ≥ (3.15) Tính tốn Matlab Trong mục này, chúng tơi đưa ví dụ số biểu diễn dạng khác dáng điệu tiệm cận điểm cân dương hệ phương trình (3.3) Ví dụ 3.1 Cho α1 = 0.1, β1 = 90, a1 = 45, b1 = 9, α2 = 0.1, β2 = 2, a2 = b2 = Khi đó, hệ phương trình (3.3) có dạng xn+1 = 0.1 + 90e−yn 0.1 + 2e−xn , yn+1 = 45 + 9xn + 2yn (3.19) Ví dụ 3.2 Cho α1 = 66, β1 = 35, a1 = 1.7, b1 = 80, α2 = 23.8, β2 = 350, a2 = 55 b2 = 14 Khi đó, hệ phương trình (3.3) có dạng xn+1 23.8 + 350e−xn 66 + 35e−yn = , yn+1 = 1.7 + 80xn 55 + 14yn (3.20) với giá trị ban đầu x0 = 1.3 y0 = 0.6 3.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình sai phân phân thức cấp hai 3.2.1 Đặt toán Năm 2000, Gibbons, M R S Kulenovi´c, G Ladas nghiên cứu dáng điệu định tính phương trình sai phân phân thức cấp hai sau: xn+1 = α + βxn−1 , γ + xn α, β, γ số dương giá trị ban đầu x−1 , x0 số dương 20 Xuất phát từ nghiên cứu trên, phần nghiên cứu tính bị chặn, tính bền vững dáng điệu tiệm cận nghiệm dương hệ phương trình sai phân phân thức sau: xn+1 = α1 + β1 yn α2 + β2 xn , yn+1 = , a1 + b1 yn−1 a2 + b2 xn−1 (3.21) tham số αi , βi , , bi với i ∈ {1, 2} giá trị ban đầu x−1 , x0 , y−1 , y0 số thực dương Kết phần viết sở kết báo [6] cơng bố tạp chí Mathematical Methods in the Applied Sciences 3.2.2 Tính bị chặn nghiệm Trong mục này, ta tính bị chặn tập bất biến nghiệm dương hệ phương trình (3.21) Định lý 3.4 Giả sử β1 < a1 , β2 < a2 Khi đó, nghiệm dương {(xn , yn )} hệ (3.21) bị chặn Bổ đề 3.3 Giả sử {(xn , yn )} nghiệm dương hệ phương trình (3.21) Khi đó, [L1 , U1 ] × [L2 , U2 ] tập bất biến hệ phương trình (3.21) 3.2.3 Phân tích ổn định nghiệm Bổ đề sau dùng để nghiên cứu dáng điệu điểm cân dương hệ phương trình (3.21) Bổ đề 3.4 Giả sử f : (0, ∞) × (0, ∞) → (0, ∞), g : (0, ∞) × (0, ∞) → (0, ∞) hàm liên tục a, b, c, d số thực dương với a < b, c < d Hơn nữa, giả sử f : [c, d] × [c, d] → [a, b] g : [a, b] × [a, b] → [c, d] hàm thỏa mãn điều kiện sau: (i) f (x, y), g(x, y) hàm tăng theo biến x với y cố định giảm theo biến y với x cố định (ii) Nếu m1 , M1 , m2 , M2 số thực cho m1 = f (m2 , M2 ), M1 = f (M2 , m2 ), m2 = g(m1 , M1 ), M2 = g(M1 , m1 ) 21 (3.27) m1 = M1 m2 = M2 Khi đó, hệ phương trình sai phân xn+1 = f (yn , yn−1 ), yn+1 = g(xn , xn−1 ) (3.28) có điểm cân dương (x, y) cho limn→∞ (xn , yn ) = (x, y) Định lý nghiên cứu dáng điệu tiệm cận điểm cân dương hệ phương trình (3.21) Định lý 3.5 Giả sử (a1 + b1 L2 )2 (a2 + b2 L1 )2 > (3.31) (α1 b1 + β1 a1 + 2β1 b1 U2 )(α2 b2 + β2 a2 + 2β2 b2 U1 ) Khi đó, hệ phương trình (3.21) có điểm cân dương (x, y) nghiệm hệ phương trình (3.21) tiến đến điểm cân dương n → ∞ Cuối cùng, nghiên cứu ổn định tiệm cận toàn cục điểm cân dương hệ phương trình (3.21) Định lý 3.6 Xét hệ phương trình (3.21) với giả thiết (3.31) Giả sử thêm β1 β2 + b1 b2 U1 U2 + β1 b2 U2 + β2 b1 U1 < (a1 + b1 L2 )(a2 + b2 L1 ) (3.42) Khi đó, điểm cân dương (x, y) hệ phương trình (3.21) ổn định tiệm cận tồn cục 3.2.4 Tính tốn Matlab Trong mục này, chúng tơi đưa ví dụ số biểu diễn dạng khác dáng điệu tiệm cận điểm cân dương hệ phương trình (3.21) Ví dụ 3.3 Cho α1 = 1, β1 = 4, a1 = 4.5, b1 = 0.002, α2 = 1, β2 = 5, a2 = 5.1 b2 = 0.01 Khi đó, hệ phương trình (3.21) có dạng xn+1 = + 4yn + 5xn , yn+1 = 4.5 + 0.002yn−1 5.1 + 0.01xn−1 22 (3.44) Ví dụ 3.4 Cho α1 = 2, β1 = 2015, a1 = 2015, b1 = 2, α2 = 1945, β2 = 9, a2 = 10 b2 = 90 Khi đó, hệ phương trình (3.21) có dạng xn+1 = + 2015yn 1945 + 9xn , yn+1 = 2015 + 2yn−1 10 + 90xn−1 (3.45) với giá trị ban đầu x−1 = x0 = y−1 = y0 = Ví dụ 3.5 Cho α1 = 0.5, β1 = 19.1, a1 = 22, b1 = 0.003, α2 = 1.5, β2 = 21.9, a2 = 20 b2 = 0.002 Khi đó, hệ phương trình (3.21) có dạng xn+1 = 1.5 + 21.9xn 0.5 + 19.1yn , yn+1 = 22 + 0.003yn−1 20 + 0.002xn−1 23 (3.46) KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án bao gồm: Xét tính ổn định tiệm cận địa phương điểm cân hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp hai Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm chứa hàm logarit tự nhiên dạng phương trình sai phân phân thức cấp ba Chứng minh điểm cân dương dạng phương trình sai phân phân thức cấp bốn ổn định tiệm cận toàn cục Đưa số điều kiện đủ để hai dạng hệ phương trình sai phân phân thức có điểm cân dương phân tích ổn định điểm cân dương Đưa số ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết với đồ thị chúng vẽ phần mềm Matlab Tiếp theo kết luận án, tác giả thấy số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm dạng phương trình sai phân phân thức ứng dụng sinh học Nghiên cứu ổn định điểm cân hệ phương trình sai phân phân thức ứng dụng sinh học, kinh tế 24 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN V V Khuong, T H Thai (2010), "On the asymptotics of the difference xn−3 − (xn + xn−1 )3 ", Commun Appl Anal equation xn = + xn xn−1 + xn−1 xn−2 + xn xn−2 14(4), pp 443–446 V V Khuong, T H Thai (2010), "A note on global behaviour of solutions and positive nonoscillatory solutions of rational difference equation", Int J Math Anal 4(40), pp 1975–1984 V V Khuong, T H Thai (2014), "Qualitative behavior of difference equation of order two and positive nonoscillatory solutions", Acta Math Vietnam 39(2), pp 111–119 (Scopus) V V Khuong, T H Thai (2017), "On the recursive sequence xn+1 = αxn xn−1 + ", Southeast Asian Bull Math 41, pp 37–44 βxn + xn−1 xn T H Thai (2018), Asymptotic behavior of the solution of a system of difference equations, Int J Difference Equ 13(2), pp 157–171 T H Thai, V V Khuong (2016), "Stability analysis of a system of secondorder difference equations", Math Methods Appl Sci 39, pp 3691–3700 (SCIE ) CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI Seminar Bộ mơn Tốn, khoa Khoa học bản, trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên Seminar Bộ môn Giải tích, khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Seminar Giải tích - Đại số, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 25 ... điểm cân dương phương trình (2.37) ổn định tiệm cận toàn cục 16 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm số hệ phương trình sai phân phân thức 3.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình sai phân phân... nghiên cứu: "Dáng điệu tiệm cận tính ổn định điểm cân số phương trình hệ phương trình sai phân phân thức" cho luận án Cụ thể, tập trung nghiên cứu số vấn đề sau: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm... dạng phương trình sai phân phân thức cấp bốn ổn định tiệm cận toàn cục Đưa số điều kiện đủ để hai dạng hệ phương trình sai phân phân thức có điểm cân dương phân tích ổn định điểm cân dương Đưa số