Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút ngẫu nhiên, bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên xuất hiện trong các quá trình khuếch tán, truyền nhiệt và trong cơ học chất lỏng.

✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❚❍⑨◆❍ ❉⑩◆● ✣■➏❯ ❚■➏▼ ❈❾◆ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ▼❐❚ ❙➮ ▲❰P P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ✣❸❖ ❍⑨▼ ❘■➊◆● ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ❉Ü ❚❍❷❖ ❚➶▼ ❚➁❚ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ▼➣ sè✿ ✻✷✹✻✵✶✵✸ ❍⑨ ◆❐■✱ ✷✵✶✽ ❈ỉ♥❣ tr➻♥❤ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐✿ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❚ü ♥❤✐➯♥✱ ố ữớ ữợ ✿ P●❙✳ ❚❙ ❈✉♥❣ ❚❤➳ ❆♥❤ P❤↔♥ ❜✐➺♥✿ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ P❤↔♥ ❜✐➺♥✿ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ P❤↔♥ ❜✐➺♥✿ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ▲✉➟♥ →♥ s ữủ t ỗ rữớ ❧✉➟♥ →♥ t✐➳♥ s➽ ❤å♣ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❚ü ố ỗ ✳ ❣✐í ✳ ✳ ✳ ♥❣➔②✳ ✳ ✳ t❤→♥❣ ✳ ✳ ✳ ♥➠♠ ✷✵✶✽✳ ❈â t❤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ❧✉➟♥ →♥ t↕✐✿ ✲ ❚❤÷ ✈✐➺♥ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❱✐➺t ◆❛♠ ✲ ❚❤÷ ✈✐➺♥ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❚ü ♥❤✐➯♥ ▼Ð ✣❺❯ ✶✳ ▲à❝❤ sû ✈➜♥ ✤➲ ✈➔ ❧➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr q tr t ỵ õ ✈➔ s✐♥❤ ❤å❝✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ q✉→ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ✈➔ ❦❤✉➳❝❤ t→♥✱ q✉→ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ sâ♥❣ tr♦♥❣ ❝ì ❤å❝ ❝❤➜t ❧ä♥❣✱ ❝→❝ ♠æ ❤➻♥❤ q✉➛♥ t❤➸ tr♦♥❣ s✐♥❤ ❤å❝ ❦❤✐ ♠➔ sü t→❝ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♥❣♦↕✐ ❧ü❝ ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ự ỳ ợ ữỡ tr õ ỵ q trồ tr ❝ỉ♥❣ ♥❣❤➺✳ ◆❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ✤à♥❤ t➼♥❤ ❝ì ❜↔♥ ✤➦t r❛ ❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✿ • ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞→♥❣ ✤✐➺✉ t✐➺♠ ❝➟♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ư♥❣ ❧➼ t❤✉②➳t t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ì tt ự sỹ tỗ t↕✐ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ t➼♥❤ trì♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót✳ • ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sỹ tỗ t t ❤â❛ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ❤➺ t➜t ✤à♥❤ ✈➔ ❤➺ tữỡ ự ự sỹ tỗ t t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❚✃◆● ◗❯❆◆ ❱❻◆ ✣➋ ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯ ▼ët tr ữợ t tr ợ ữỡ tr r ợ ữỡ tr r s rs ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙② ❝â ❞↕♥❣ du + [−❞✐✈(σ(x)∇u) + f (u) + λu]dt = gdt + h(x, t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0, u|∂O = 0, t > 0, ✭✶✮ u|t=0 = u0 ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t➜t ✤à♥❤ (h(x, t, u) 0) ợ ữỡ tr ữủ ữ r❛ ❜ð✐ ❈❛❧❞✐r♦❧✐✲▼✉s✐♥❛ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❝õ❛ P✳ ❈❛❧❞✐r♦❧✐ ❛♥❞ ❘✳ ▼✉s✐♥❛ ✭✷✵✵✵✮ ✶ ❦❤✐ ♠✐➲♥ O ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❤➺ sè ❦❤✉➳❝❤ t→♥ σ ❧➔ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ➙♠✱ ✤♦ ✤÷đ❝ ✈➔ ❝â t❤➸ ❜➡♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t↕✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ✤✐➸♠✳ ▼ët ✈➼ ❞ö ✤✐➸♥ ❤➻♥❤ ❧➔ σ(x) ∼ |x|α , α ∈ (0, 2) tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝â t❤➸ ①❡♠ ❧➔ ♠ỉ ❤➻♥❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ❦❤✉➳❝❤ t→♥ ♥ìtr♦♥ ✭✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ♣❤↔♥ ỗ ự t tr ❏✳▲✳ ▲✐♦♥s ✭✶✾✽✺✮✮✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② σ u ✈➔ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝❤➾ sü ❝❤↔② ♥ìtr♦♥ ✈➔ sü ❦❤✉➳❝❤ t→♥ ỡtr ự ợ ữỡ tr r ▼✉s✐♥❛ ✤➣ ①➨t ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ tü ♥❤✐➯♥ D01 (O, σ) ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❜ê s✉♥❣ ✤õ ❝õ❛ C0∞ (O) ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ 1/2 u D01 (O,σ) := σ(x)|∇u| dx O ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ✤à♥❤ ❧➼ ♥❤ó♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❉ü❛ tr➯♥ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔②✱ t q ự ợ ữỡ tr ữ s ã ự sỹ tỗ t ❝õ❛ t➟♣ ❤ót ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ❤ót✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ◆✳■✳ ❑❛r❛❝❤❛❧✐♦s ✈➔ ◆✳❇✳ ❩♦❣r❛♣❤♦♣♦✉❧♦s ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ự sỹ tỗ t t t rt ố ợ ợ ữỡ tr tr tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t 2−α ), g(x) = N −2+α f (u) = −λu + |u|2γ u(0 ≤ γ ≤ ✭①❡♠ ◆✳■✳ ❑❛r❛❝❤❛❧✐♦s ❛♥❞ ◆✳❇✳ ❩♦❣r❛♣❤♦♣♦✉❧♦s ✭✷✵✵✺✮✱ ✭✷✵✵✻✮✮✳ • ❚r♦♥❣ ❝→❝ ♥➠♠ tø ✷✵✶✵ ✤➳♥ ✷✵✶✷✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❈✳❚✳ ❆♥❤✱ ◆✳ ❉✳ ❇➻♥❤✱ ❚✳ ◗✳ ❇↔♦ ✈➔ ú ự ữủ sỹ tỗ t t út t♦➔♥ ❝ö❝ tr♦♥❣ L2 (O) ✈➔ L2 (RN ) ✈➔ t➼♥❤ trì♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝ ✈➔ sü ♣❤ư t❤✉ë❝ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ sè ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥ ởt số ợ ữỡ tr r s ỷ t✉②➳♥ t➼♥❤ ætæ♥æ♠ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈ỵ✐ sè ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥ t✐➯✉ ❤❛♦ ✈➔ t➠♥❣ tr÷ð♥❣ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ✭①❡♠ ❈✳❚✳ ❆♥❤✱ ◆✳❉✳ ❇✐♥❤ ❛♥❞ ▲✳❚✳ ❚❤✉② ✭✷✵✶✵✮✱ ❈✳❚✳ ❆♥❤ ❛♥❞ ▲✳❚✳ ❚❤✉② ✭✷✵✶✷✮✱ ❈✳❚✳ ❆♥❤✱ ❚✳◗✳ ❇❛♦ ❛♥❞ ▲✳❚✳❚❤✉② ✭✷✵✶✸✮✮✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❣➝✉ h(x, t, u) = ợ ữỡ tr ♣❛r❛❜♦❧✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❞↕♥❣ m du + [− div(σ(x)∇u) + λu]dt = [f (x, u) + g(x)]dt + hj (x)dWj (t), j=1 ✷ ✭✷✮ ♥➠♠ ✷✵✶✶✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ▼✳ ❨❛♥❣ ✈➔ P✳❊✳ ❑❧♦❡❞❡♥ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ sỹ tỗ t t út tr L2 (O) ✈ỵ✐ O ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✭①❡♠ ▼✳ ❨❛♥❣ P t ởt ợ ữỡ tr ❞↕♥❣ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤✐➲✉ tr ỳ ợ ữỡ tr r ❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ❝â ❞↕♥❣ d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p]dt = f (x, t)dt + h(x, t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0, ∇ · u = 0, u(x, t) = 0, x ∈ O, t > 0, x ∈ ∂O, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), tr♦♥❣ ✤â O ✭✸✮ x ∈ O, ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈ỵ✐ ❜✐➯♥ ∂O trì♥✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t➜t ✤à♥❤ (h(x, t, u) 0) ợ ữỡ tr ữủ ợ t ❆✳P✳ ❖s❦♦❧❦♦✈ ✭✶✾✼✸✮ ✈ỵ✐ ♠ỉ ❤➻♥❤ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ❝õ❛ ♠ët t ọ t ổ ữủ ợt ỗ ợ t số trữ t ỗ ú ỵ r rts = 0, ν =0 ❤➺ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t trð t❤➔♥❤ ❤➺ t❛ ✤÷đ❝ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❇❛r❞✐♥❛ ❞↕♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ♠ỉ t↔ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❝❤➜t ❧ä♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤ỵt✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❤➺ ✭✸✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t➜t ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ❊✳❙✳ ❚✐t✐ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü sû ❞ö♥❣ ✤➸ ❝❤➼♥❤ q✉② ❤â❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✱ tø ✤â ①➜♣ ①➾ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉ ❦❤✐ α ♥❤ä✱ ❣✐ó♣ ♠ỉ ♣❤ä♥❣ trü❝ t✐➳♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s tr♦♥❣ ❝↔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ t✉➛♥ ❤♦➔♥ ✈➔ ❜✐➯♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✭①❡♠ ❨✳ ❈❛♦✱ ❊✳▼✳ ▲✉♥❛s✐♥ ❛♥❞ ❊✳❙✳ ❚✐t✐ ✭✷✵✵✻✮✮✳ ❚❤ü❝ t➳✱ ♠ỉ ❤➻♥❤ ♥➔② ❝á♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ α− ♠ỉ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❝ì ❤å❝ ❝❤➜t ❧ä♥❣ ✭①❡♠ ▼✳ ❍♦❧st✱ ❊✳ ▲✉♥❛s✐♥ ❛♥❞ ●✳ ❚s♦❣t❣❡r❡❧ ✭✷✵✶✵✮✮✳ ❑❤✐ ♥❣♦↕✐ ❧ü❝ f ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❜✐➳♥ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ sü tỗ t t t ữủ ự ✤➛✉ t✐➯♥ ❜ð✐ ❆✳P✳ ❖s❦♦❧❦♦✈ ✭✶✾✼✸✮✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❱✳ ❑✳ tr ự sỹ tỗ t sè ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ♥û❛ ♥❤â♠ s✐♥❤ ❜ð✐ ❤➺ ♥➔② ✭①❡♠ ❱✳❑✳ ❑❛❧❛♥t❛r♦✈ ✭✶✾✽✻✮✮✳ ●➛♥ ✤➙②✱ ✸ tr♦♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❱✳❑✳ ❑❛❧❛♥t❛r♦✈ ❛♥❞ ❊✳❙✳ ❚✐t✐ ✭✷✵✵✾✮ ✤➣ ♣❤→t tr✐➸♥ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ ♠♦❞❡s ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉② ●❡✈r❡② ❝õ❛ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝✳ ◆➠♠ ✷✵✶✸✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❈✳❚✳ ❆♥❤ ✈➔ P r ự sỹ tỗ t t t ỗ tớ ự sỹ tỗ t↕✐ t➟♣ ❤ót ❧ị✐ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❣♦↕✐ ❧ü❝ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✭①❡♠ ❈✳❚✳ ❆♥❤ ❛♥❞ P✳❚✳ ❚r❛♥❣ ✭✷✵✶✸✮✮✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✭h(x, t, u) = 0✮✱ ♥➠♠ ✷✵✶✷✱ ❍✳ ●❛♦ ✈➔ ❈✳ ❙✉♥ ✤➣ ự sỹ tỗ t t út ✤→♥❤ ❣✐→ sè ❝❤✐➲✉ ❍❛✉s❞♦r❢❢ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ✈ỵ✐ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ dW (t) ✭①❡♠ ❍✳ ●❛♦ ❛♥❞ ❈✳ ❙✉♥ ✭✷✵✶✷✮✮✳ ◆➠♠ ✷✵✶✸✱ ❚✳ ◗✳ ❇↔♦ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ trì♥ ✈➔ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót ✈ỵ✐ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ h(x)dW (t) ✭①❡♠ ❚✳ ◗✳ ❇❛♦ ✭✷✵✶✸✮✮✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ♠➔ ❤✐➺♥ ♥❛② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔✿ • ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❜➡♥❣ ❝→❝ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❤♦➦❝ ỗ õ tr ũ ủ ã ỹ tỗ t t t t ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ợ ữỡ tr r s ởt ữợ t tr t ữỡ tr rtst tr ợ ữỡ tr trrr O ⊂ R3 ✈➔ ❜✐➯♥ trì♥ ✈ỵ✐ ∂O✳ d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + f (x, u) + ∇p]dt = g(x)dt + h(x, t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0, ∇ · u = 0, x ∈ O, t > 0, x ∈ ∂O, t > 0, u(x, t) = 0, u(x, 0) = u0 (x), ✈ỵ✐ u = (u1 , u2 , u3 ) ν > ❧ä♥❣✱ u0 x ∈ O, ❧➔ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➟♥ tè❝✱ ❧➔ ❤➺ sè ♥❤ỵt✱ α > ❧➔ ✈➟♥ tè❝ ❜❛♥ ✤➛✉✱ ✭✹✮ p = p(x, t) ❧➔ ❤➔♠ →♣ s✉➜t ❝➛♥ t➻♠✱ ❧➔ t❤❛♠ số trữ t ỗ t f (x, u) ❧➔ ❤➔♠ ♣❤✐ t✉②➳♥ ✈➔ h(x, t, u)W (t) ❧➔ ♥❤✐➵✉ ✹ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H✳ ú ỵ r ợ rtst tữỡ ự ợ f =0 t õ ữỡ tr t ❝â ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❇r✐♥❦♠❛♥✲❋♦r❝❤❤❡✐♠❡r ✭①❡♠ ❱✳ ❑✳ ❑❛❧❛♥t❛r♦✈ ❛♥❞ ❙✳ ❩❡❧✐❦ ✭✷✵✶✷✮✮✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t➜t ✤à♥❤ ✭✈ỵ✐ h(x, t, u) ≡ 0✮✱ ❜➔✐ ❜→♦ ❝õ❛ ❈✳ ❚✳ ❆♥❤ ✈➔ P✳ ❚✳ ❚r❛♥❣ ✭①❡♠ ❈✳❚✳ ❆♥❤ ❛♥❞ P✳❚✳ ❚r❛♥❣ ✭✷✵✶✸✮✮ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➛✉ t✐➯♥ t sỹ tỗ t t t sỹ tỗ t t út ũ ✈➔ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♠ô ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ♠➔ ❤✐➺♥ ♥❛② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤❛♥❣ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔✿ • ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤✳ • ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧➯♥ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤✳ ▼Ư❈ ✣➑❈❍✱ ✣➮■ ❚×Đ◆● ❱⑨ P❍❸▼ ❱■ ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯ ã ự sỹ tỗ t ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët sè ợ ữỡ tr r t tr♦♥❣ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ ❦❤✉➳❝❤ t→♥✱ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ✈➔ tr♦♥❣ ỡ t ọ ã ố tữủ ự t ởt ợ ữỡ tr r s ợ sỹ tỗ t t ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠✱ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉❀ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❑❡❧✈✐♥✲ ❱♦✐❣t✲❇r✐♥❦♠❛♥✲❋♦r❝❤❤❡✐♠❡r ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉✳ • P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞→♥❣ t t út sỹ tỗ t t t sỹ tỗ t t ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ứ ã Pữỡ tr r s ỹ tỗ t t út ợ ữỡ tr tr L2 (O) ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ✈➜♥ ✤➲ ✭✷✮ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ P✳ ✺ ❊✳ ❑❧♦❡❞❡♥ ✈➔ ▼✳ ❨❛♥ ♥➠♠ ✷✵✶✶✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ú tổ ỗ ự t trỡ t ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t❤✉ ✤÷đ❝ tr♦♥❣ L2 (O)✳ ❈ư t❤➸✱ ú tổ s ự sỹ tỗ t sỹ tỗ t↕✐ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Lp (O) ✈➔ D01 (O, σ)✱ ✈➔ ❝→❝ t➟♣ ❤ót ♥➔② ❝ơ♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t❤✉ ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ▼✳ ❨❛♥❣ ✈➔ P✳❊✳ ❑❧♦❡❞❡♥ ✭✷✵✶✶✮ ❜ð✐ ✈➻ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ❤ót✳ ✕ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ■t♦ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ♣❤✐ t✉②➳♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ sü ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✮✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♠ët ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ợ ữớ ợ s õ ữủ ứ ã ữỡ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉✳ ◆❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ự ú tổ tr ỗ ự sỹ tỗ t t t ự sỹ ứ ỗ ê♥ ✤à♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ ✕ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❜➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❣✐→ ❜➯♥ tr♦♥❣ ã ữỡ tr trrr ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉✳ ◆❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② ❧➔ tø ❦➳t q✉↔ ✈➲ sü ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❈✳❚✳ ❆♥❤ ❛♥❞ P✳❚✳ ❚r❛♥❣ ✭✷✵✶✸✮✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧➯♥ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ứ Pì PP ã ự sỹ tỗ t t t ú tổ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➔ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ♣❤✐ t✉②➳♥✿ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ●❛❧❡r❦✐♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤ë✐ tö tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t❤í✐ ✤✐➸♠ ❞ø♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❜ê ✤➲ ①û ❧➼ sè ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥✳ ✻ • ✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞→♥❣ ✤✐➺✉ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝õ❛ ❧➼ t❤✉②➳t ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ t✐➯✉ ❤❛♦ ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠✱ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ■t♦ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤→♥❤ ❣✐→ t✐➯♥ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✳ ❈❻❯ ❚❘Ĩ❈ ❈Õ❆ ▲❯❾◆ ⑩◆ ◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥✱ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ư❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ỗ ữỡ ã ữỡ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ❝➛♥ t❤✐➳t ✤÷đ❝ sû tr ã ữỡ t ởt ợ ữỡ tr r ỷ t t➼♥❤ s✉② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t trỡ t út sỹ tỗ t↕✐✱ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣✳ • ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❉→♥❣ ✤✐➺✉ t✐➺♠ ❝➟♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ sü tỗ t t t sỹ tỗ t ✈➔ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✱ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ õ tr ã ữỡ ✹✳ ❉→♥❣ ✤✐➺✉ t✐➺♠ ❝➟♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ❑❡❧✈✐♥✲❱♦✐❣t✲❇r✐♥❦♠❛♥✲ ❋♦r❝❤❤❡✐♠❡r ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤ t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✱ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ❦❤✐ ❝â sü t→❝ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ✼ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✶✳✶✳ ❈⑩❈ ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❍⑨▼ ✶✳✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❝â trå♥❣ ❈❤♦ O ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ RN ✳ ●✐↔ sû α ∈ (0, 2) ✈➔ σ:O→R ❧➔ ❤➔♠ ✤♦ ✤÷đ❝ ▲❡❜❡s❣✉❡✱ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✭①❡♠ P✳ ❈❛❧❞✐r♦❧✐ ❛♥❞ ❘✳ ▼✉s✐♥❛ ✭✷✵✵✵✮✮✿ (Hα ) : σ ∈ L1❧♦❝ (O) ❑❤✐ ✤â✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➔ lim inf |x − z|−α σ(x) > x→z D01 (O, σ) ❧➔ ❜ê s✉♥❣ ✤õ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥ u σ ✈ỵ✐ ♠å✐ σ(x)|∇u|2 dx := z ∈ O C0∞ (O) ✤è✐ ✈ỵ✐ ✭✶✳✶✮ O ❑❤✐ ✤â✱ D01 (O, σ) ổ rt ợ t ổ ữợ ((u, v)) := σ(x)∇u∇vdx O ✶✳✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑➌❚ ◗❯❷ ❱➋ ●■❷■ ❚➑❈❍ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❍■▲❇❊❘❚ ✶✳✷✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❤✐➺✉ ✐✮ ❑➼ ❤✐➺✉ LpFt (0, T ; X) Lp (Ω, Ft , P, L2 (0, T ; X)) tr♦♥❣ ♥❣ú ❝↔♥❤ t➜t ❝↔ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ s❛♦ tữỡ t ợ (, Ft , P) ✭ ❤♦➦❝ t❛ ❝ơ♥❣ ❞ị♥❣ ❦➼ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤✮ ❧➔ ổ F ì B([0, T ]) ữủ u : Ω × [0, T ] → X (Ft )t∈[0,T ] ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ p/2 T u Lp (Ω,Ft ,P,L2 (0,T ;X)) := E u(t) ✽ X dt < ∞ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❉⑩◆● ✣■➏❯ ❚■➏▼ ❈❾◆ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ▼❐❚ ▲❰P P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ P❆❘❆❇❖▲■❈ ◆Û❆ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❙❯❨ ❇■➌◆ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶✱ ✸❪ tr♦♥❣ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✳ ✷✳✶✳ ❚➑◆❍ ❚❘❒◆ ❈Õ❆ ❚❾P ❍Ó❚ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ✷✳✶✳✶✳ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ s✉② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ m hj dWtj , x ∈ O, t > 0, du + [−❞✐✈(σ(x)∇u) + f (u) + λu]dt = gdt + j=1 u|∂O = 0, t > 0, ✭✷✳✶✮ u|t=0 = u0 , tr♦♥❣ õ trỡ u0 L2 (O) trữợ > 0✱ {Wtj }m j=1 O ⊂ RN (N ≥ 2) ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈ỵ✐ ❜✐➯♥ ❧➔ ♠ët q✉→ tr➻♥❤ ❲✐❡♥❡r ❤❛✐ ♣❤➼❛ ✤ë❝ ❧➟♣ m ❝❤✐➲✉✳ ✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✮✱ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t✿ (Hα ) ❍➔♠ σ:O→R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤♦ ✤÷đ❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ α ∈ (0, 2)✱ lim inf x→z |x − z|−α σ(x) > ✭❋✮ ❙è ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❧➔✱ ❝â ♠ët sè f ∈ C (R, R) p≥2 ✈ỵ✐ ♠å✐ σ ∈ L1❧♦❝ (O) ✈➔ z ∈ O❀ t✐➯✉ ❤❛♦ ✈➔ t➠♥❣ tr÷ð♥❣ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝✱ tù❝ s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ R✱ f (u)u ≥ C1 |u|p − C2 , ✭✷✳✷✮ |f (u)| ≤ C3 |u|p−1 + C4 , ✭✷✳✸✮ (f (u) − f (v))(u − v) ≥ − (u − v)2 , ✭✷✳✹✮ ✈➔ ð ✤➙② Ci , i = 1, 2, 3, 4, ✈➔ ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣❀ ✶✵ ✭●✮ g ∈ L2 (O)❀ ✭❍✮ ❈→❝ ❤➔♠ hj , j = 1, , m, t❤✉ë❝ L∞ (O)∩❉♦♠(A)✱ ✈ỵ✐ Au = −❞✐✈(σ(x)∇u)✱ ❉♦♠(A) = {u ∈ D01 (O, σ) : Au ∈ L2 (O)}✳ P❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥ v(t) := u(t) − z(θt ω) s➩ ❝❤✉②➸♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ t❤➔♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ vt + Av + f (v + z(θt ω)) + λv = g − Az(θt ω), ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ v(x, 0) = v0 (ω) = u0 − z(ω) Au = ((x)u) ỹ tỗ t t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ Lp (O) ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ✣➦t B = {B(ω)}ω∈Ω ∈ D ✈➔ u0 (ω) ∈ B(ω)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝❤♦ P✲❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ ω tỗ t T = T (B, ) > 0✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T ✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶ ỗ t t tử tr Lp (O) |u(t, θ−t ω, u0 (θ−t ω))|pp ≤ c(1 + r(ω)) ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❝❤♦ ω ∈ Ω, K0(ω) = {u ∈ Lp(O) : |u|pp ≤ c(1 + r(ω))} ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ Lp(O) ❝õ❛ φ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ✣➦t B = {B(ω)}ω∈Ω ∈ D✱ ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ > P tỗ t sè T = T ( , B, ω) > 0, M = M ( , B, ω) s❛♦ ❝❤♦ |u(t, θ−t ω, u0 (θ−t ω))|p dx ≤ ✭✷✳✻✮ O(|u(t,θ−t ω,u0 (θ−t ω))|≥M ) ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T ✳ ❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✵ tr♦♥❣ ❲❡♥q✐❛♥❣ ❩❤❛♦ ✈➔ ❨❛♥❣r♦♥❣ ▲✐ ✭✷✵✶✷✮✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ φ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ✭✷✳✺✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ {Ap(ω)}ω∈Ω✱ t➟♣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t➠♥❣ ❝❤➟♠ ♥➔② ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ Lp(O) ❤ót ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ t➠♥❣ ❝❤➟♠ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝õ❛ L2(O)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ Ap (ω) = A(ω)✱ ð ✤➙② {A(ω)}ω∈Ω ❧➔ t➟♣ ❤ót tr♦♥❣ L2 (O)✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳ ỹ tỗ t t út tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ D01 (O, σ) ●✐↔ sû {B ∗(ω)}ω∈Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ Lp(O) ∩ D01 (O, ) tữỡ ự ợ ỹ ♥❤✐➯♥ φ✳ ❑❤✐ ✤â φ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥ ❧ò✐ ✈ỵ✐ ω ∈ Ω, P✲❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ tù❝ ❧➔✱ {φ(tn, θ−t ω, xn)} ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t÷ì♥❣ ✤è✐ ❦❤✐ tn → +∞ ✈➔ xn ∈ B ∗(θ−t ω)✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳ ợ ộ > tỗ t t0 > ✈➔ m ∈ N∗ s❛♦ ❝❤♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳ n n (IdD01 (O,σ) − Pm )v(t, θ−t ω, v0 (θ−t ω)) σ ≤ η, ∀t ≥ t0 , ∀u0 (θ−t ω) ∈ B ∗ (θ−t ω), ✭✷✳✼✮ ð ✤➙② Pm ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tø D01(O, σ) ✈➔♦ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ m✲❝❤✐➲✉✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✶✮ ❝â ♠ët t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝♦♠♣❛❝t A = {A(ω)}ω∈Ω tr♦♥❣ D01(O, σ)✳ ✷✳✷✳ ✃◆ ✣➚◆❍ ❍➶❆ ◆●❍■➏▼ ❉Ø◆● ❇➀◆● ◆❍■➍❯ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ◆❍❹◆ ❚➑◆❍✳ ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ↔♥❤ ữ t ố ợ sỹ u0 L2 (O) ữỡ tr ợ    du + [− div(σ(x)∇u) + f (u)]dt = g(x)dt, x ∈ O, t > 0,    u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0,     u(x, 0) = u0 (x), x O ỹ tỗ t t ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ▼ët ❤➔♠ u∗ ♥➳✉ u∗ ∈ D01 (O, σ) ∩ Lp (O)✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✮ ✈➔ σ(x)∇u∗ · ∇ϕdx + O ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û f (u∗ )ϕdx = O ϕ ∈ D01 (O, σ) ∩ Lp (O)✳ ✶✷ g(x)ϕdx O ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✸✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✮ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ②➳✉ u∗✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ λσ1 > , t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✮ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ♠ơ t♦➔♥ ❝ư❝✱ tù❝ ❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ u(t) t t õ ữợ ữủ |u(t) − u∗ |22 ≤ |u(0) − u∗ |22 e−2(λσ1 − )t , ∀t ≥ ✷✳✷✳✷✳ ✃♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♥❤➙♥ t➼♥❤ ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ö♥❣ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❞↕♥❣ u∗ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû h(t, u)dW (t)    du + [− div(σ(x)∇u) + f (u)]dt = g(x)dt + h(t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0,    u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0,     u(x, 0) = u0 (x), x ∈ O ✭✷✳✾✮ ❚❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣✱ ((Ft )t≥0 ) ✭ h(t, ·) : L2 (O) → L2 (O) ❝â h(t, u∗ ) = tữỡ t ợ tọ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❊✶✮ |h(t, u) − h(t, v)|22 ≤ γ(t)|u − v|22 , t > 0, u, v ∈ L2 (O)✱ ✈ỵ✐ γ(t) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ lim sup t→∞ t ✭ t γ(s)ds ≤ γ0 , ✈ỵ✐ γ0 ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣❀ ❊✷✮ (h(t, u), u − u∗ )2 ≥ ρ(t)|u − u∗ |42 , u ∈ L2 (O)✱ ✈ỵ✐ ρ(·) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ lim inf t→∞ t ▼ët ✈➼ ❞ư ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ tr➯♥ ❧➔ t ρ(s)ds ≥ ρ0 , ✈ỵ✐ ρ0 ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✳ h(t, u) ❦❤✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ h(t, u) = c(u − u∗ ), c ∈ R✳ ✶✸ ✭❊✶✮ ✲ ✭❊✷✮ ð ♣❤➼❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✈➔ (E1) − (E2) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ♥➳✉ λσ1 + ρ0 > + γ0 , ✭✷✳✶✵✮ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ ❝õ❛ ✭✷✳✾✮ ❧➔ ê♥ ✤à♥❤ ♠ơ t♦➔♥ ❝ư❝✳ ❈ư t❤➸ ❤ì♥✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ ♥❣❤✐➺♠ t♦➔♥ ❝ư❝ u(t) ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✾✮✱ t❛ ❝â lim sup log |u(t) − u∗ |22 ≤ + γ0 − 2λσ1 − 2ρ0 t→∞ t P✲❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ h(t, u)dW (t) = c(u − u∗ )dW (t), c ∈ R✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ê♥ ✤à♥❤ ✭✷✳✶✵✮ trð t❤➔♥❤ λσ1 + c2 > ú ỵ r tr trữớ ủ tt ❞ø♥❣ ✈ỵ✐ λσ1 ≤ ❞ø♥❣ u∗ u∗ ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ ✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❲✐❡♥❡r t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤➣ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ✈ỵ✐ λσ1 , λσ1 + c2 ✳ ❑❤✐ t❤❛♠ sè c ❝➔♥❣ ❧ỵ♥ t ợ ộ > trữợ t ❧✉ỉ♥ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ c ✤õ ❧ỵ♥ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ♥➔② s➩ ❞➔✐ ❤ì♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ s❛♦ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ ✤÷đ❝ ê♥ ✤à♥❤✳ ✶✹ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❉⑩◆● ✣■➏❯ ❚■➏▼ ❈❾◆ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏ ◆❆❱■❊❘✲❙❚❖❑❊❙✲❱❖■●❚ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✹✱ ✺❪ tr♦♥❣ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✳ ✸✳✶✳ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❱⑨ ❚➑◆❍ ❉❯❨ ◆❍❻❚ ◆●❍■➏▼ ✸✳✶✳✶✳ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉ tr➯♥ O ❝â ❞↕♥❣ s❛✉✿ d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p]dt = f (x, t)dt + h(t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0, ∇ · u = 0, x ∈ O, t > 0, u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), tr♦♥❣ ✤â W (t) ✭✸✳✶✮ x ∈ O, ❧➔ ♠ët q✉→ tr➻♥❤ ❲✐❡♥❡r tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t (Ω, F, P) K0 := Q1/2 K ✳ ❑➼ t❤✐➺✉ ✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t→❝❤ ✤÷đ❝ u = (u1 , u2 , u3 )✱ p = p(x, t) t÷ì♥❣ ù♥❣ ν>0 ❧ä♥❣✱ ❧➔ ❤➺ sè ♥❤ỵt ✈➔ u0 α>0 ❧➔ ✈➟♥ tè❝ ❜❛♥ ✤➛✉ ✈➔ ❧➔ ✈❡❝tì ✈➟♥ tè❝ ✈➔ ❤➔♠ →♣ s✉➜t ❝➛♥ t➻♠✱ t số trữ t ỗ ❝❤➜t h(t, u)W (t) ❧➔ ♥❤✐➵✉ ♥❤➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❈→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ❍✶✮ u0 ✭ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ E u0 V V ✱ F0 −✤♦ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ < ∞; ❍✷✮ f ∈ L2❧♦❝ (R+ , V )❀ ✭ ❍✸✮ h : Ω × [0, T ] × V → L2 (K0 ; H) t❤ä❛ ♠➣♥ ✭ ✭❍✸✳✶✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ t > 0, u ∈ V, h(t, u) : Ω → L2 (K0 ; H) ữủ ợ u V h(Ã, u) ỗ t L∞ ❧♦❝ (R+ ), γ(t) ≥ 0, h(t, u) − h(t, v) ✭❍✸✳✹✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ T > 0, ❧➔ Ft L2 (K0 ;H) q✉→ tr➻♥❤ ✤♦ ✤÷đ❝✳ t❤ä❛ ♠➣♥ ≤ γ(t) u − v V, ✈ỵ✐ ♠å✐ u, v ∈ V, t > t❛ ❝â T h(s, 0) E L2 (K0 ;H) ds < ∞ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ▼ët q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ (u(t))t∈[0,T ] ♥❤➟♥ ❣✐→ tr♦♥❣ V ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✭✶❛✮ [0, T ] u ∈ L2 Ω, Ft , P; L2 (0, T ; V ) ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✮ ♥➳✉ ❀ tù❝ ❧➔ T u(s) E V ds < ∞ t ∈ [0, T ], ợ ữỡ tr s ú ợ ((u, ))ds + B(u, u), φ ds  t =(u0 , φ)V +  t h(s, u(s))dW (s), φ , f (s), φ ds +  0 ✈ỵ✐ ♠å✐ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ t t (u(t), φ)V +ν P✲❤➛✉ φ ∈ V ỹ tỗ t t t ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✶✮✲✭❍✸✮ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ õ tỗ t t ởt u t♦→♥ ✭✸✳✶✮✱ ❤ì♥ ♥ú❛✱ u ∈ L4 (Ω, Ft , P; C([0, T ]; V )) , ✈ỵ✐ ♠å✐ T > ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✶✳ ✸✳✷✳ ❚➑◆❍ ✃◆ ✣➚◆❍ ▼Ô ế ỉ t sỹ tỗ t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣✱ t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ ♥❣♦↕✐ ❧ü❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✮ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ tù❝ ❧➔ sû ✭❍✷✮ s➩ trð t❤➔♥❤ ✭❍✷❜✐s✮ f ∈ V ✶✻ f = f (x) f tr♦♥❣ ❑❤✐ ✤â ❣✐↔ ỹ tỗ t t ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t t➜t ✤à♥❤ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t t➜t ✤à♥❤ ut + α2 Aut + νAu + B(u, u) = f ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳ ▼ët ❤➔♠ u∗ ∈ V ✭✸✳✷✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✷✮ ♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥ ν((u∗ , v)) + b(u∗ , u∗ , v) = f, v , ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✷✳ u∗ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✸✳✸✮ v ∈V✳ ●✐↔ sû f ∈ V ✳ ❑❤✐ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✷✮ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ u∗ ≤ f ν2 V ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ν> c0 f −1/4 V λ1 , ✭✸✳✹✮ ð ✤➙② c0 ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✱ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ u∗ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ♠ơ t♦➔♥ ❝ư❝✱ tù❝ ❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ u(t) ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t t➜t ✤à♥❤ ✭✸✳✷✮✱ t❛ ❝â u(t) − u∗ V ≤ e−λt u(0) − u∗ ✈ỵ✐ λ > ♥➔♦ ✤â ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ t > V, ✸✳✷✳✷✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ô t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ ✱ ♥❣❤✐➺♠ ♥➔② ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ✭✸✳✶✮✳ ✣➸ ❧➔♠ ✤✐➲✉ ♥➔②✱ t❛ ❣✐↔ sû t❤➯♠ ♠ët ✈➔✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♠↕♥❤ ❤ì♥ ❝❤♦ ❍✸❜✐s✮✿ ✭ ✤➙② ❈❤♦ h(t, u∗ ) = γ : R+ → R+ lim sup t→+∞ t ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ 0✱ h h(t, u) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✸✮✱ ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ t❤ä❛ ♠➣♥ t |γ(s) − γ0 |ds = 0, ✈ỵ✐ ✶✼ γ0 ởt số ố ữỡ ú ỵ r➡♥❣ tø ♥❤ú♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t ♥➔② t❛ ❝â u∗ ❝ô♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✭✸✳✶✮✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✷❜✐s✮ ✲ ✭❍✸❜✐s✮✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ✈➔ ♥➳✉ ν> c0 f −1/4 λ1 V + η12 + η1 , ✭✸✳✺✮ γ0 ✈ỵ✐ c0 ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ ✈➔ η1 = 4λ ✱ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❜➜t ❦➻ u(t) ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✮ ❤ë✐ tư ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ữỡ tr ự tỗ t ởt sè t❤ü❝ a > ✈➔ T (a) > t❤ä❛ ♠➣♥ E u(t) − u∗ V ≤ E u(0) − u∗ − a2 t , Ve ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T (a) ✸✳✷✳✸✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ô ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✹✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✷❜✐s✮ ✲ ✭❍✸❜✐s✮ ✈➔ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ❦❤✐ ✤â ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ u(t) ❝õ❛ ✭✸✳✶✮ ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ô ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✳ ✭✸✳✺✮ ✸✳✸✳ ✃◆ ✣➚◆❍ ❍➶❆ ◆●❍■➏▼ ❇➀◆● ✣■➋❯ ❑❍■➎◆ ❈➶ ●■⑩ ❇➊◆ ❚❘❖◆● ▼■➋◆ ✸✳✸✳✶✳ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ ♠ët ✈➔✐ ❦➳t q✉↔ ❳➨t O ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ t❤✉ë❝ R3 ợ trỡ O ự ữỡ tr rtst ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✸ ❝❤✐➲✉ ❝â ❞↕♥❣    d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u+          ∇·u=0      u(x, t) =      u(x, 0) = u (x) ✈ỵ✐ O0 (u · ∇)u + ∇p]dt = udW (t) + 1O0 Xdt, u = u(t, x) ✭✸✳✻✮ x ∈ O, t > 0, x ∈ ∂O, t > 0, x ∈ O, ✐s ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❝õ❛ ❝õ❛ ♥â ✈➔ x ∈ O, t > 0, O ✈ỵ✐ ❜✐➯♥ trì♥✱ 1O0 ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❧➔ ♠ët ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ✈ỵ✐ ❜ë ❧å❝ tü ♥❤✐➯♥ ✶✽ {Ft } ✈➔ W (t) ❧➔ ♠ët q✉→ tr➻♥❤ ❲✐❡♥❡r ❝â ❞↕♥❣ ∞ µj ej (x)Wj (t), t ≥ 0, ξ ∈ O, W (t) = j=1 ợ àj {Wj } j=1 ❝→❝ sè t❤ü❝✱ {ej }∞ j=1 ❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ L2 (O)✱ {ej } ⊂ C (O)✱ ❧➔ ♠ët ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❇r♦✇♥ ✤ë❝ ❧➟♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t {Ω, F, Ft , P} t❤ä❛ ♠➣♥ ∞ µ2j |ej |2∞ < ∞, j=1 ð ✤➙② | · |∞ ❧➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ L∞ (O)✳ ✸✳✸✳✷✳ ❙ü ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ d(u + α2 Au) + [νAu + Bu]dt = udW (t) ❈❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✺✳ ✭✸✳✼✮ ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✼✮✳ ●✐↔ sû ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ νλ1 > 2(1 + α2 λ1 ) ∞ µ2j |ej |2∞ ✭✸✳✽✮ j=1 ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠é✐ u0 V trữợ u tữỡ ự ữỡ tr ợ tr u0 tư ✤➳♥ t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ❝õ❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr tự tỗ t ởt số a > t❤ä❛ ♠➣♥ E u(t) V ≤ u0 −at , Ve ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ ✸✳✸✳✸✳ ✃♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ❜➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❣✐→ ❜➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ O1 = O\O0 , V1 = y ∈ (C0∞ (O1 ))3 : ∇ · y = ✶✾ ❑➼ ❤✐➺✉ H1 (H01 (O))3 ✱ ✣➦t A1 V1 ❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ | · |1 · ✈➔ tr♦♥❣ (L2 (O))3 ✱ ✈➔ V1 V1 tr♦♥❣ λ∗1 (O1 ) ❧➔ ❣✐→ ❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ O1 ✳ ❧➔ t♦→♥ tû ❙t♦❦❡s ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ A1 ✿ trà r✐➯♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❳➨t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❞↕♥❣ X = −ηu, η > 0, ✭✸✳✾✮ ✈➔ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❞↕♥❣  d(u + α2 Au) + [νAu + Bu]dt + ηP (1O u)dt = P (udW ) u(0) = u ∈ V ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✻✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ νλ∗1 (O1 ) > 2(1 + α2 λ1 ) ∞ µ2j |ej |2∞ ✭✸✳✶✵✮ j=1 ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ u0 ∈ V ❝❤♦ trữợ ợ ữ ợ u0 tữỡ ự u ✭✸✳✻✮ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✭✸✳✾✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ∞ eγt E u(t) V eγs E u(s) + V ds ≤ C u0 V, ✈➔ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ , ✈ỵ✐ γ > 0, C > ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✻✮ ✤÷đ❝ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ tø O0✳ lim eγt u(t) t→∞ ◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✶✳ V = 0, P − ✭✸✳✶✶✮ ❚ø ❜➜t ✤➡♥❣ t❤ù❝ P♦✐♥❝❛r➨✱ t❛ ❝â −2 λ∗1 (O1 ) ❉♦ ✤â λ∗1 (O1 ) ≥C sup ❞✐st(u0 , ∂O) u0 ∈O1 ❝â t❤➸ ❧ỵ♥ tũ ỵ O1 = O \ O0 ❧➔ ✤õ ♠ä♥❣✳ ◆â✐ ❝❤✉♥❣✱ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✻ ❝â t❤➸ ♥â✐ r➡♥❣ sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ✭✸✳✻✮ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❜ị ✤➢♣ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❣✐→ ❜➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ✈ỵ✐ ❤é trđ ✤õ ❧ỵ♥✳ ✷✵ ❈❤÷ì♥❣ ✹ ❉⑩◆● ✣■➏❯ ❚■➏▼ ❈❾◆ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏ ❑❊▲❱■◆ ✲ ❱❖■●❚ ✲❇❘■◆❑▼❆◆ ✲ ❋❖❘❈❍❍❊■▼❊❘ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✷❪ tr♦♥❣ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✳ ✹✳✶✳ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ❚❛ ①➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❑❡❧✈✐♥ ✲ ❱♦✐❣t ✲ ❇r✐♥❦♠❛♥ ✲ ❋♦r❝❤❤❡✐♠❡r ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉ d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + f (x, u) + ∇p]dt = g(x)dt + h(t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0, ∇ · u = 0, x ∈ O, t > 0, u(x, t) = 0, ✭✹✳✶✮ x ∈ ∂O, t > 0, x ∈ O u(x, 0) = u0 (x), ✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥✱ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t ❑✶✮ ✭ ▼✐➲♥ O ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ♠ët ❤➡♥❣ sè λ1 > ✭❑✷✮ f : O × R3 → R3 R3 ✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ tự Pr tự tỗ t s ≥ λ1 |φ|2 , ∀φ ∈ H01 (O) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ f (x, ·) ∈ C (R3 , R3 ) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉    (1)f (x, u) · u ≥ µ|u|p+1 − ψ1 (x),    (2)|f (x, u)| ≤ β|u|p + ψ2 (x),     (3)fu (x, u)v · v ≥ (−K + κ|u|p−1 )|v|2 , ✈ỵ✐ ψ1 , ψ2 ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ p∗ = (p + 1)/p, K, µ, β, κ t➼❝❤ ổ ữợ g V u v ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✱ tr♦♥❣ R3 ✳ ✷✶ ∗ ψ1 ∈ L1 (O), ψ2 ∈ Lp (O) p≥1 ✈➔ u·v ✈ỵ✐ ❧➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ✹✳✷✳ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♠ô ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ✹✳✷✳✶✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ô t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✶✳ ▼ët ❤➔♠ u∗ ∈ V ∩ Lp+1 (O) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ νAu + B(u, u) + f (x, u) = g, ✭✹✳✷✮ ♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥ ν((u∗ , v)) + b(u∗ , u∗ , v) + f (x, u∗ ) · vdx = g, v ✭✹✳✸✮ O ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û v ∈ V ∩ Lp+1 (O)✳ ✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû h(t, u) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✸✳✶✮✱ ✭❍✸✳✷✮ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ t❤➯♠ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ✭ ❑✹✮ h(t, u∗ ) = ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ 0✱ ✈➔ h(t, u) γ : R+ → R+ ð ✤➙② ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝✱ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ t❤ä❛ ♠➣♥ lim sup t→+∞ t t |γ(s) − γ0 |ds = 0, ợ ởt số ữỡ ❱ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t ♥➔②✱ t❛ t❤➜② ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✶✳ ≤ γ(t)|u − u∗ |2 , t ≥ 0✱ L2 (K0 ;H) u∗ ❝ơ♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✶✮✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (K1) − (K4) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ ♥➳✉ λ1 ν > K + 3/4 Cλ1 g 2V ψ1 + ν ν 1/2 L1 + γ0 , ✭✹✳✹✮ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ u(t) ❝õ❛ ✭✹✳✶✮ s➩ ❤ë✐ tö t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ự tỗ t ởt số tỹ a > ✈➔ T (a) > t❤ä❛ ♠➣♥ E u(t) − u∗ V ≤ E u(0) − u∗ − at , Ve ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T (a) ✹✳✷✳✷✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ô ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✷✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (K1) − (K4) ✈➔ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ u(t) ❝õ❛ ✭✹✳✶✮ s➩ ❤ë✐ tư ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✳ ✷✷ ✭✹✳✹✮ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❱⑨ ❑■➌◆ ◆●❍➚ t q t ữủ ố ợ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ s✉② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✿ ự ữủ sỹ tỗ t t út ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp (O) ✈➔ D01 (O, σ)✳ ự ữủ sỹ tỗ t t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sỹ ữ tợ t ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣✳ ❚ø ✤â ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ứ tr trữớ ủ ổ ố ợ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉✿ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ữủ sỹ tỗ t t t ự ữủ sỹ tỗ t t t t ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t➜t ✤à♥❤✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♠ơ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤ t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✈➔ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ❞♦ sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ♥❤➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❚ø ✤â✱ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❜➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❣✐→ ❜➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ tr♦♥❣ trữớ ủ ổ ố ợ ữỡ tr➻♥❤ ❑❡❧✈✐♥✲❱♦✐❣t✲❇r✐♥❦♠❛♥✲❋♦r❝❤❤❡✐♠❡r ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉✿ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤ ❞♦ sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ✷✳ ❑✐➳♥ ♥❣❤à ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t✐➳♣ t❤❡♦ ❇➯♥ ❝↕♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥✱ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ♠ð ❝➛♥ t✐➳♣ tö❝ ♥❣❤✐➯♥ ự ữ ã số sr t ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ • ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ✤è✐ ợ ữỡ tr rts t ❞➛♥ ✤➳♥ 0✳ ✷✸ ❉❆◆❍ ▼Ö❈ ❈➷◆● ❚❘➐◆❍ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❈Õ❆ ❚⑩❈ ●■❷ ▲■➊◆ ◗❯❆◆ ✣➌◆ ▲❯❾◆ ⑩◆ ✶✳ ❈✳❚✳ ❆♥❤✱ ❚✳◗✳ ❇❛♦ ❛♥❞ ◆✳❱✳ ❚❤❛♥❤ ✭✷✵✶✷✮✱ ❘❡❣✉❧❛r✐t② ♦❢ r❛♥❞♦♠ ❛t✲ tr❛❝t♦rs ❢♦r st♦❝❤❛st✐❝ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ◆♦✳ ✷✵✼✱ ✷✷ ♣♣✳ ❊❧❡❝t✳ ❏✳ ✷✳ ❈✳❚✳ ❆♥❤ ❛♥❞ ◆✳❱✳ ❚❤❛♥❤ ✭✷✵✶✻✮✱ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ❑❡❧✈✐♥✲❱♦✐❣t✲❇r✐♥❦♠❛♥✲❋♦r❝❤❤❡✐♠❡r ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❙t♦❝❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✸✹ ♥♦✳ ✸✱ ✹✹✶✲✹✺✺ ✸✳ ❈✳❚✳ ❆♥❤ ❛♥❞ ◆✳❱✳ ❚❤❛♥❤ ✭✷✵✶✻✮✱ ❙t❛❜✐❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝❧❛ss ♦❢ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❜② ■t♦ ♥♦✐s❡✱ ❘❛♥❞♦♠ ❖♣❡r✳ ❙t♦❝❤✳ ❊q✉✳✱ ✷✹✱ ♥♦✳ ✸✱ ✶✹✼✲✶✺✺✳ ✹✳ ❈✳❚✳ ❆♥❤ ❛♥❞ ◆✳❱✳ ❚❤❛♥❤ ✭✷✵✶✽✮✱ ❖♥ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ❧♦♥❣✲t✐♠❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ st♦❝❤❛st✐❝ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❙t♦❝❤❛st✐❝s✱ ✭✷✵✶✽✮✱ ❛❝❝❡♣t❡❞✳ ✺✳ ◆✳❱✳ ❚❤❛♥❤ ✭✷✵✶✽✮✱ ■♥t❡r♥❛❧ st❛❜✐❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ st♦❝❤❛st✐❝ ✸❉ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲ ❱♦✐❣t ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❧✐♥❡❛r❧② ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ ●❛✉ss✐❛♥ ♥♦✐s❡✱ ❘❛♥❞♦♠ ❖♣❡r✳ ❙t♦❝❤✳ ❊q✉✳ s✉❜♠✐tt❡❞ t♦ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷đ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐✿ • ❳➯♠✐♥❛ ❝õ❛ ❇ë ♠ỉ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ rữớ ữ ã t ❱✐➺♥ ◆❈❈❈ ✈➲ ❚♦→♥✱ ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✶✴✶✷✴✷✵✶✼❀ • ❍ë✐ ♥❣❤à t♦➔♥ q✉è❝ ❧➛♥ t❤ù ❱✱ ✏❳→❝ s✉➜t ✕ ❚❤è♥❣ ❦➯✿ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✑✱ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ✷✸✲✷✺✴✺✴✷✵✶✺❀ • ❍ë✐ ♥❣❤à t♦→♥ ❤å❝ t♦➔♥ q✉è❝ ❧➛♥ t❤ù ✶✵✱ ◆❤❛ ❚r❛♥❣✱ ✶✹✲✶✽✴✽✴✷✵✶✽✳ ✷✹ ... η12 + η1 , ợ c0 ởt số ữỡ η1 = 4λ ✱ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❜➜t ❦➻ u(t) ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✮ ❤ë✐ tư ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ❝õ❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✳ ự tỗ t ởt số tỹ a > ✈➔ T (a) > t❤ä❛... ❖s❦♦❧❦♦✈ ✭✶✾✼✸✮ ✈ỵ✐ ♠ỉ ❤➻♥❤ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ❝õ❛ ♠ët ❝❤➜t ❧ä♥❣ ❧♦↕✐ ❑❡❧✈✐♥✲❱♦✐❣t ❦❤ỉ♥❣ ♥➨♥ ✤÷đ❝✱ ợt ỗ ợ t số trữ t ỗ ú ỵ r rts ✈➔ ❦❤✐ α = 0, ν =0 ❤➺ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t trð t❤➔♥❤ ❤➺ t❛ ✤÷đ❝ ♠ỉ ❤➻♥❤... ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➟♥ tè❝✱ ❧➔ ❤➺ sè ♥❤ỵt✱ α > ❧➔ ✈➟♥ tè❝ ❜❛♥ ✤➛✉✱ ✭✹✮ p = p(x, t) ❧➔ ❤➔♠ →♣ s✉➜t ❝➛♥ t t số trữ t ỗ ❝õ❛ ❝❤➜t f (x, u) ❧➔ ❤➔♠ ♣❤✐ t✉②➳♥ ✈➔ h(x, t, u)W (t) ❧➔ ♥❤✐➵✉ ✹ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣