Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút ngẫu nhiên, bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên xuất hiện trong các quá trình khuếch tán, truyền nhiệt và trong cơ học chất lỏng.
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u(x, t) = 0, x ∈ O, t > 0, x ∈ ∂O, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), tr♦♥❣ ✤â O ✭✸✮ x ∈ O, ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈ỵ✐ ❜✐➯♥ ∂O trì♥✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t➜t ✤à♥❤ (h(x, t, u) 0) ợ ữỡ tr ữủ ợ t ❆✳P✳ ❖s❦♦❧❦♦✈ ✭✶✾✼✸✮ ✈ỵ✐ ♠ỉ ❤➻♥❤ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ❝õ❛ ♠ët t ọ t ổ ữủ ợt ỗ ợ t số trữ t ỗ ú ỵ r rts = 0, ν =0 ❤➺ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t trð t❤➔♥❤ ❤➺ t❛ ✤÷đ❝ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❇❛r❞✐♥❛ ❞↕♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ♠ỉ t↔ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❝❤➜t ❧ä♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤ỵt✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❤➺ ✭✸✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t➜t ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ❊✳❙✳ ❚✐t✐ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü sû ❞ö♥❣ ✤➸ ❝❤➼♥❤ q✉② ❤â❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✱ tø ✤â ①➜♣ ①➾ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉ ❦❤✐ α ♥❤ä✱ ❣✐ó♣ ♠ỉ ♣❤ä♥❣ trü❝ t✐➳♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s tr♦♥❣ ❝↔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ t✉➛♥ ❤♦➔♥ ✈➔ ❜✐➯♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✭①❡♠ ❨✳ ❈❛♦✱ ❊✳▼✳ ▲✉♥❛s✐♥ ❛♥❞ ❊✳❙✳ ❚✐t✐ ✭✷✵✵✻✮✮✳ ❚❤ü❝ t➳✱ ♠ỉ ❤➻♥❤ ♥➔② ❝á♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ α− ♠ỉ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❝ì ❤å❝ ❝❤➜t ❧ä♥❣ ✭①❡♠ ▼✳ ❍♦❧st✱ ❊✳ ▲✉♥❛s✐♥ ❛♥❞ ●✳ ❚s♦❣t❣❡r❡❧ ✭✷✵✶✵✮✮✳ ❑❤✐ ♥❣♦↕✐ ❧ü❝ f ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❜✐➳♥ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ sü tỗ t t t ữủ ự ✤➛✉ t✐➯♥ ❜ð✐ ❆✳P✳ ❖s❦♦❧❦♦✈ 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❤♦➦❝ t❛ ❝ơ♥❣ ❞ị♥❣ ❦➼ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤✮ ❧➔ ổ F ì B([0, T ]) ữủ u : Ω × [0, T ] → X (Ft )t∈[0,T ] ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ p/2 T u Lp (Ω,Ft ,P,L2 (0,T ;X)) := E u(t) ✽ X dt < ∞ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❉⑩◆● ✣■➏❯ ❚■➏▼ ❈❾◆ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ▼❐❚ ▲❰P P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ P❆❘❆❇❖▲■❈ ◆Û❆ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❙❯❨ ❇■➌◆ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶✱ ✸❪ tr♦♥❣ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✳ ✷✳✶✳ ❚➑◆❍ ❚❘❒◆ ❈Õ❆ ❚❾P ❍Ó❚ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ✷✳✶✳✶✳ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ s✉② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ m hj dWtj , x ∈ O, t > 0, du + [−❞✐✈(σ(x)∇u) + f (u) + λu]dt = gdt + j=1 u|∂O = 0, t > 0, ✭✷✳✶✮ u|t=0 = u0 , tr♦♥❣ õ trỡ u0 L2 (O) trữợ > 0✱ {Wtj }m j=1 O ⊂ RN (N ≥ 2) ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈ỵ✐ ❜✐➯♥ ❧➔ ♠ët q✉→ tr➻♥❤ ❲✐❡♥❡r ❤❛✐ ♣❤➼❛ ✤ë❝ ❧➟♣ m ❝❤✐➲✉✳ ✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✮✱ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t✿ (Hα ) ❍➔♠ σ:O→R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤♦ ✤÷đ❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ α ∈ (0, 2)✱ lim inf x→z |x − z|−α σ(x) > ✭❋✮ ❙è ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❧➔✱ ❝â ♠ët sè f ∈ C (R, R) p≥2 ✈ỵ✐ ♠å✐ σ ∈ L1❧♦❝ (O) ✈➔ z ∈ O❀ t✐➯✉ ❤❛♦ ✈➔ t➠♥❣ tr÷ð♥❣ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝✱ tù❝ s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ R✱ f (u)u ≥ C1 |u|p − C2 , ✭✷✳✷✮ |f (u)| ≤ C3 |u|p−1 + C4 , ✭✷✳✸✮ (f (u) − f (v))(u − v) ≥ − (u − v)2 , ✭✷✳✹✮ ✈➔ ð ✤➙② Ci , i = 1, 2, 3, 4, ✈➔ ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣❀ ✶✵ ✭●✮ g ∈ L2 (O)❀ ✭❍✮ ❈→❝ ❤➔♠ hj , j = 1, , m, t❤✉ë❝ L∞ (O)∩❉♦♠(A)✱ ✈ỵ✐ Au = −❞✐✈(σ(x)∇u)✱ ❉♦♠(A) = {u ∈ D01 (O, σ) : Au ∈ L2 (O)}✳ P❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥ v(t) := u(t) − z(θt ω) s➩ ❝❤✉②➸♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ t❤➔♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ vt + Av + f (v + z(θt ω)) + λv = g − Az(θt ω), ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ v(x, 0) = v0 (ω) = u0 − z(ω) Au = ((x)u) ỹ tỗ t t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ Lp (O) ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ✣➦t B = {B(ω)}ω∈Ω ∈ D ✈➔ u0 (ω) ∈ B(ω)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝❤♦ P✲❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ ω tỗ t T = T (B, ) > 0✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T ✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶ ỗ t t tử tr Lp (O) |u(t, θ−t ω, u0 (θ−t ω))|pp ≤ c(1 + r(ω)) ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❝❤♦ ω ∈ Ω, K0(ω) = {u ∈ Lp(O) : |u|pp ≤ c(1 + r(ω))} ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ Lp(O) ❝õ❛ φ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ✣➦t B = {B(ω)}ω∈Ω ∈ D✱ ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ > P tỗ t sè T = T ( , B, ω) > 0, M = M ( , B, ω) s❛♦ ❝❤♦ |u(t, θ−t ω, u0 (θ−t ω))|p dx ≤ ✭✷✳✻✮ O(|u(t,θ−t ω,u0 (θ−t ω))|≥M ) ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T ✳ ❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✵ tr♦♥❣ ❲❡♥q✐❛♥❣ ❩❤❛♦ ✈➔ ❨❛♥❣r♦♥❣ ▲✐ ✭✷✵✶✷✮✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ φ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ✭✷✳✺✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ {Ap(ω)}ω∈Ω✱ t➟♣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t➠♥❣ ❝❤➟♠ ♥➔② ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ Lp(O) ❤ót ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ t➠♥❣ ❝❤➟♠ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝õ❛ L2(O)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ Ap (ω) = A(ω)✱ ð ✤➙② {A(ω)}ω∈Ω ❧➔ t➟♣ ❤ót tr♦♥❣ L2 (O)✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳ ỹ tỗ t t út tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ D01 (O, σ) ●✐↔ sû {B ∗(ω)}ω∈Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ Lp(O) ∩ D01 (O, ) tữỡ ự ợ ỹ ♥❤✐➯♥ φ✳ ❑❤✐ ✤â φ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠ ❝➟♥ ❧ò✐ ✈ỵ✐ ω ∈ Ω, P✲❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ tù❝ ❧➔✱ {φ(tn, θ−t ω, xn)} ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t÷ì♥❣ ✤è✐ ❦❤✐ tn → +∞ ✈➔ xn ∈ B ∗(θ−t ω)✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳ ợ ộ > tỗ t t0 > ✈➔ m ∈ N∗ s❛♦ ❝❤♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳ n n (IdD01 (O,σ) − Pm )v(t, θ−t ω, v0 (θ−t ω)) σ ≤ η, ∀t ≥ t0 , ∀u0 (θ−t ω) ∈ B ∗ (θ−t ω), ✭✷✳✼✮ ð ✤➙② Pm ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tø D01(O, σ) ✈➔♦ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ m✲❝❤✐➲✉✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✶✮ ❝â ♠ët t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝♦♠♣❛❝t A = {A(ω)}ω∈Ω tr♦♥❣ D01(O, σ)✳ ✷✳✷✳ ✃◆ ✣➚◆❍ ❍➶❆ ◆●❍■➏▼ ❉Ø◆● ❇➀◆● ◆❍■➍❯ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ◆❍❹◆ ❚➑◆❍✳ ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ↔♥❤ ữ t ố ợ sỹ u0 L2 (O) ữỡ tr ợ du + [− div(σ(x)∇u) + f (u)]dt = g(x)dt, x ∈ O, t > 0, u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), x O ỹ tỗ t t ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ▼ët ❤➔♠ u∗ ♥➳✉ u∗ ∈ D01 (O, σ) ∩ Lp (O)✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✮ ✈➔ σ(x)∇u∗ · ∇ϕdx + O ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û f (u∗ )ϕdx = O ϕ ∈ D01 (O, σ) ∩ Lp (O)✳ ✶✷ g(x)ϕdx O ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✸✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✮ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ②➳✉ u∗✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ λσ1 > , t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✮ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ♠ơ t♦➔♥ ❝ư❝✱ tù❝ ❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ u(t) t t õ ữợ ữủ |u(t) − u∗ |22 ≤ |u(0) − u∗ |22 e−2(λσ1 − )t , ∀t ≥ ✷✳✷✳✷✳ ✃♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♥❤➙♥ t➼♥❤ ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ö♥❣ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❞↕♥❣ u∗ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû h(t, u)dW (t) du + [− div(σ(x)∇u) + f (u)]dt = g(x)dt + h(t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0, u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ O ✭✷✳✾✮ ❚❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣✱ ((Ft )t≥0 ) ✭ h(t, ·) : L2 (O) → L2 (O) ❝â h(t, u∗ ) = tữỡ t ợ tọ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❊✶✮ |h(t, u) − h(t, v)|22 ≤ γ(t)|u − v|22 , t > 0, u, v ∈ L2 (O)✱ ✈ỵ✐ γ(t) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ lim sup t→∞ t ✭ t γ(s)ds ≤ γ0 , ✈ỵ✐ γ0 ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣❀ ❊✷✮ (h(t, u), u − u∗ )2 ≥ ρ(t)|u − u∗ |42 , u ∈ L2 (O)✱ ✈ỵ✐ ρ(·) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ lim inf t→∞ t ▼ët ✈➼ ❞ư ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ tr➯♥ ❧➔ t ρ(s)ds ≥ ρ0 , ✈ỵ✐ ρ0 ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✳ h(t, u) ❦❤✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ h(t, u) = c(u − u∗ ), c ∈ R✳ ✶✸ ✭❊✶✮ ✲ ✭❊✷✮ ð ♣❤➼❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✈➔ (E1) − (E2) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ♥➳✉ λσ1 + ρ0 > + γ0 , ✭✷✳✶✵✮ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ ❝õ❛ ✭✷✳✾✮ ❧➔ ê♥ ✤à♥❤ ♠ơ t♦➔♥ ❝ư❝✳ ❈ư t❤➸ ❤ì♥✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ ♥❣❤✐➺♠ t♦➔♥ ❝ư❝ u(t) ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✾✮✱ t❛ ❝â lim sup log |u(t) − u∗ |22 ≤ + γ0 − 2λσ1 − 2ρ0 t→∞ t P✲❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ h(t, u)dW (t) = c(u − u∗ )dW (t), c ∈ R✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ê♥ ✤à♥❤ ✭✷✳✶✵✮ trð t❤➔♥❤ λσ1 + c2 > ú ỵ r tr trữớ ủ tt ❞ø♥❣ ✈ỵ✐ λσ1 ≤ ❞ø♥❣ u∗ u∗ ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ ✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❲✐❡♥❡r t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤➣ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ✈ỵ✐ λσ1 , λσ1 + c2 ✳ ❑❤✐ t❤❛♠ sè c ❝➔♥❣ ❧ỵ♥ t ợ ộ > trữợ t ❧✉ỉ♥ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ c ✤õ ❧ỵ♥ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ♥➔② s➩ ❞➔✐ ❤ì♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ s❛♦ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ ✤÷đ❝ ê♥ ✤à♥❤✳ ✶✹ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❉⑩◆● ✣■➏❯ ❚■➏▼ ❈❾◆ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏ ◆❆❱■❊❘✲❙❚❖❑❊❙✲❱❖■●❚ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✹✱ ✺❪ tr♦♥❣ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ 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v) ✭❍✸✳✹✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ T > 0, ❧➔ Ft L2 (K0 ;H) q✉→ tr➻♥❤ ✤♦ ✤÷đ❝✳ t❤ä❛ ♠➣♥ ≤ γ(t) u − v V, ✈ỵ✐ ♠å✐ u, v ∈ V, t > t❛ ❝â T h(s, 0) E L2 (K0 ;H) ds < ∞ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ▼ët q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ (u(t))t∈[0,T ] ♥❤➟♥ ❣✐→ tr♦♥❣ V ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✭✶❛✮ [0, T ] u ∈ L2 Ω, Ft , P; L2 (0, T ; V ) ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✮ ♥➳✉ ❀ tù❝ ❧➔ T u(s) E V ds < ∞ t ∈ [0, T ], ợ ữỡ tr s ú ợ ((u, ))ds + B(u, u), φ ds t =(u0 , φ)V + t h(s, u(s))dW (s), φ , f (s), φ ds + 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ t t (u(t), φ)V +ν P✲❤➛✉ φ ∈ V ỹ tỗ t t t ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✶✮✲✭❍✸✮ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ õ tỗ t t ởt u t♦→♥ ✭✸✳✶✮✱ ❤ì♥ ♥ú❛✱ u ∈ L4 (Ω, Ft , P; C([0, T ]; V )) , ✈ỵ✐ ♠å✐ T > ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✶✳ ✸✳✷✳ ❚➑◆❍ ✃◆ ✣➚◆❍ ▼Ô ế ỉ t sỹ tỗ t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣✱ t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ ♥❣♦↕✐ ❧ü❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✮ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ tù❝ ❧➔ sû ✭❍✷✮ s➩ trð t❤➔♥❤ ✭❍✷❜✐s✮ f ∈ V ✶✻ f = f (x) f tr♦♥❣ ❑❤✐ ✤â ❣✐↔ ỹ tỗ t t ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t t➜t ✤à♥❤ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t t➜t ✤à♥❤ ut + α2 Aut + νAu + B(u, u) = f 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❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ p∗ = (p + 1)/p, K, µ, β, κ t➼❝❤ ổ ữợ g V u v ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✱ tr♦♥❣ R3 ✳ ✷✶ ∗ ψ1 ∈ L1 (O), ψ2 ∈ Lp (O) p≥1 ✈➔ u·v ✈ỵ✐ ❧➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ✹✳✷✳ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♠ô ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ✹✳✷✳✶✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ô t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✶✳ ▼ët ❤➔♠ u∗ ∈ V ∩ Lp+1 (O) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ νAu + B(u, u) + f (x, u) = g, ✭✹✳✷✮ ♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥ ν((u∗ , v)) + b(u∗ , u∗ , v) + f (x, u∗ ) · vdx = g, v ✭✹✳✸✮ O ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û v ∈ V ∩ Lp+1 (O)✳ ✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû h(t, u) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✸✳✶✮✱ ✭❍✸✳✷✮ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ t❤➯♠ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ✭ ❑✹✮ h(t, u∗ ) = ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ 0✱ ✈➔ h(t, u) γ : R+ → R+ ð ✤➙② ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝✱ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ t❤ä❛ ♠➣♥ lim sup t→+∞ t t |γ(s) − γ0 |ds = 0, ợ ởt số ữỡ ❱ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t ♥➔②✱ t❛ t❤➜② ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✶✳ ≤ γ(t)|u − u∗ |2 , t ≥ 0✱ L2 (K0 ;H) u∗ ❝ơ♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✶✮✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (K1) − (K4) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ ♥➳✉ λ1 ν > K + 3/4 Cλ1 g 2V ψ1 + ν ν 1/2 L1 + γ0 , ✭✹✳✹✮ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ u(t) ❝õ❛ ✭✹✳✶✮ s➩ ❤ë✐ tö t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ự tỗ t ởt số tỹ a > ✈➔ T (a) > t❤ä❛ ♠➣♥ E u(t) − u∗ V ≤ E u(0) − u∗ − at , Ve ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T (a) ✹✳✷✳✷✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ô ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✷✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (K1) − (K4) ✈➔ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ u(t) ❝õ❛ ✭✹✳✶✮ s➩ ❤ë✐ tư ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✳ ✷✷ ✭✹✳✹✮ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❱⑨ ❑■➌◆ ◆●❍➚ t q t ữủ ố ợ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ s✉② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✿ ự ữủ sỹ tỗ t t út ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp (O) ✈➔ D01 (O, σ)✳ ự ữủ sỹ tỗ t t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sỹ ữ tợ t ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣✳ ❚ø ✤â ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ứ tr trữớ ủ ổ ố ợ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉✿ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ữủ sỹ tỗ t t t ự ữủ sỹ tỗ t t t t ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t➜t ✤à♥❤✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♠ơ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➜t ✤à♥❤ t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✈➔ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ❞♦ sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ♥❤➝✉ 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♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✳ ự tỗ t ởt số tỹ a > ✈➔ T (a) > t❤ä❛... ❖s❦♦❧❦♦✈ ✭✶✾✼✸✮ ✈ỵ✐ ♠ỉ ❤➻♥❤ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ❝õ❛ ♠ët ❝❤➜t ❧ä♥❣ ❧♦↕✐ ❑❡❧✈✐♥✲❱♦✐❣t ❦❤ỉ♥❣ ♥➨♥ ✤÷đ❝✱ ợt ỗ ợ t số trữ t ỗ ú ỵ r rts ✈➔ ❦❤✐ α = 0, ν =0 ❤➺ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t trð t❤➔♥❤ ❤➺ t❛ ✤÷đ❝ ♠ỉ ❤➻♥❤... ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➟♥ tè❝✱ ❧➔ ❤➺ sè ♥❤ỵt✱ α > ❧➔ ✈➟♥ tè❝ ❜❛♥ ✤➛✉✱ ✭✹✮ p = p(x, t) ❧➔ ❤➔♠ →♣ s✉➜t ❝➛♥ t t số trữ t ỗ ❝õ❛ ❝❤➜t f (x, u) ❧➔ ❤➔♠ ♣❤✐ t✉②➳♥ ✈➔ h(x, t, u)W (t) ❧➔ ♥❤✐➵✉ ✹ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣