Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tài liệu được biên tập một cách cẩn thận các dạng bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Mỗi dạng bài đều có đầy đủ phần lý thuyết, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và sau đó có bài tập tự luyện. Có thể khẳng định rằng đây là một tài liệu hoàn chỉnh và rất tốt để học và giảng dạy về tiếp tuyến trong chương trình Toán 12 và ôn thi THPT Quốc gia

PHẦN: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I LÝ THUYẾT:

1 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG\:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; b) và

có đồ thị là (C) Một đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm

M=(x;y) và M0=(x0;y0) Nếu khi x→ x0 thì M→M0 Khi đó đường thẳng MM0 →M0T.

Thì M0T gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M0 và

phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là: M0T: y=f’(x0)(x-x0)+ y0

2 ĐIỀU KIỆN ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên D có đồ thị là đường cong (C) và đường thẳng

d: y=a.x+b Khi đó d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có

nghiệm:

( ) ( )

II CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN:

DẠNG 1: TIẾP TUYỄN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm

( 0; 0) ( )

PHƯƠNG PHÁP:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x o ; y o ) của (C) là (d):y y x= '( ) (0 x x− 0) + y0

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x y( 0; 0) ( )∈ C có hệ số góc k = f x'( )0

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có dạng: y y x= '( ) (0 x x− 0) + y0

+ Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình:

Mo

H

=

5 2

y =

Bài 5: Cho hàm số

2 3 41

trên tại giao điểm của đồ thị với trục hoành

Bài 6: Cho hàm số

2 2 11

trên tại giao điểm của đồ thị với trục tung

trên tại điểm A(0;3)

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIỂM

BÀI TOÁN:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x a ; y a ) cho trước

PHƯƠNG PHÁP:

Cách 1: Gọi d là đường thẳng đi qua A(x a ; y a ) có hệ số góc k.

Đường thẳng d có phương trình: y=k(x–x a )+y a

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Giải phương trình (**) tìm x o từ đó suy ra y o thay vào pt (*) ta có phương

trình tiếp tuyến d.

Chú ý: Số nghiệm x o của phương trình (2) bằng số tiếp tuyến kẻ được từ A đến đồ thị (C).

A MỘT SỐ VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Cho hàm số y x= −3 3x2 +2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của

3 2 2

+ Với x0 =0 thay vào phương trình (1) ta có tiếp tuyến (d1): y=0

+ Với x0 = −1 thay vào phương trình (1) ta có tiếp tuyến (d2): y= − −2x 2

=

biết tiếp tuyến đi qua A(-1;3)

Bài 4: Cho hàm số 2

1

x y x

−

=

biết tiếp tuyến đi qua A(0;-2)

2

DẠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VỚI HỆ

SỐ GÓC CHO TRƯỚC

BÀI TOÁN 1:

Cho hàm số:y= f (x) (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

(C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

PHƯƠNG PHÁP:

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f’(x 0 )(x–x 0 )+y 0 (1) với

) ( )

;

Vì tiếp tuyến (d) có hệ số góc k nên ta có: f’(x 0 )=k giải tìm được x 0 (là hoành độ

tiếp điểm)⇒ y 0 = f(x 0 ) Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập.

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f ’ (x 0 )(x–x 0 )+y 0 (1)

Theo giả thiết ta có d song song d1khi: f ’ (x 0 )=a1(*) hay d vuông góc d2 khi: f’ (x 0 )=

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d’ và điểm M = (x0;y0) ∈ (C) khi

đó ta có phương trình đường thẳng d’: y=k(x – x 0 ) + y 0 (1) Giả sử d’ là tiếp tuyến của đồ thị (C ), d’ tạo với d góc ϕ nên ta có:

1 1

Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập

Chú ý: Đường thẳng song song Ox có hệ số góc k=0

A MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hàm số: 1 3 2

3

tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc k=3

Ví dụ 2: Cho hàm số: y x= −3 3x2 +2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của

Ví dụ 3: Cho hàm sốy x= −3 3x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

1'

trên biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=2x+10

15

y= − x+

Bài 5: Cho hàm số: 3

) 1 ( 3

góc với tiệm cận xiên của hàm số

Bài 7: Cho hàm số:

x

x x y

2

(C) Tìm tất cả các điểm ở trên trục tung sao cho từ

4

3

−

+

+ +

=

x

x x

tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của hàm số

Bài 10: Cho hàm số: y =2x3 −3x2 −12x−5 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của

Gọi M0= (x 0 ; y 0 ) là toạ độ tiếp điểm

Tiếp tuyến (d) qua M có dạng: y M =f’(x 0 ) (x M – x 0 ) + y 0 (1) Qua điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau

⇔(1) có hai nghiệm x 1 , x 2 sao cho f’(x 1 ) f’(x 2 )=-1 (2)

Từ (2) suy ra tọa độ điểm M cần tìm.

A MỘT SỐ VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Cho hàm số: y = − +x3 3x+2có đồ thị (C) Tìm trên trục hoành các điểm

mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

2 2

+ Từ điểm A(a; 0) kẻ được 3 tiếp tuyến đế đồ thị (C) khi và chỉ khi phương trình (1)

có 2 nghiệm phân biệt khác -1

3 1

3 1

x

+

đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc

Lời giải

0 0

0410

x y x

bỏ bốn giao điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận

Bài 1 Cho hàm số y x = 3 − 3x 2 + 2 (C) Tìm trên đường thẳng d: y = − 2 các điểm mà từ

đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau

Bài 2 Cho hàm số 3

từ đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau

cho từ đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C).

Bài 4: Cho đồ thị hàm số ( )C y x: = −3 3x2 +4 Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành

sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).

Bài 5: Cho đồ thị hàm số ( )C y x: = −4 2x2 +1 Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho

từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).

Bài 6: Cho đồ thị hàm số ( )C y x: = −3 3x+2 Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).

Bài 7 Cho hàm số y 2x = 3 + 3x 2 − 5 (C) Chứng minh rằng từ D(1; -4) kẻ được đúng 3tiếp tuyến đến (C)

Bài 8 Tìm những điểm trên Ox mà từ điểm đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị

điểm đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C)

Bài 11 Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ điểm đó kẻ được 4 tiếp tuyến đến (C):

BÀI TOÁN 3: TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG HYPEBOL Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là đường Hypebol (H)

Chứng minh rằng: Tiếp tuyến tại M bất kỳ của Hypebol

(H) luôn cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm A, B thỏa

mãn:

1 M là trung điểm của AB

2 Diện tích tam giác IAB với I là giao điểm của hai

đường tiệm cận, không phụ thuộc vào M

B M O

• M ∈( )H ⇔ M a y a( ; ( ) ) và phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

( )∆ y y a− ( ) = y a x a'( ) ( − )

• Xác định tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến ( )∆ và tiệm cận thứ nhất

• Xác định tọa độ giao điểm B của tiếp tuyến ( )∆ và tiệm cận thứ hai.

1 Nhận xét rằng x A +x B =2x M Vậy M là trung điểm của AB.

2 Diện tích tam giác IAB được xác định bởi công thức:

Ví dụ 1: Cho Hypebol (H): 2 1

1

x y x

−

=

điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B

a) Chứng minh: M là trung điểm của AB

b) CMR: diện tích tam giác IAB không đổi

c) Tìm m để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Vì limx→1+ y = +∞ nên x=1 là tiệm cận đứng.

Vì limx→+∞y=2 nên y=2 là tiệm cận ngang.

Giao điểm của hai tiệm cận là I(1;2)

1

a a

a a

b) Diện tích tam giác IAB là

Vậy chu vi tam giác IAB nhỏ nhất bằng 4 2 2+ đạt được khi

( )

1 2

+

=

của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B

a) Chứng minh: M là trung điểm của AB

b) CMR: diện tích tam giác IAB không đổi

c) Tìm m để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Bài 2: Cho Hypebol (H):

điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B

a) Chứng minh: M là trung điểm của AB

b) CMR: diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của M

b) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng

và tiệm cận xiên tại A,B CMR: M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diệntích không phụ thuộc vào M ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận)

Và đường thẳng d có phương trình ax-y+b=0

a) Tìm mối liên hệ giữa a, b để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường thẳng d

b) Giả sử d tiếp xúc với (C) tại M A, B là giao điểm của (d) với các tiệm cận của

đồ thị CMR: M là trung điểm của AB

Bài 5: Cho hàm số y=3 1 ( )1

3

x x

+

−

a) Tìm một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị hàm số (1) qua đườngthẳng x+y-3=0

b) Gọi C là một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số (1) Tiếp tuyến với đồ thị hàm sốtại C cắt 2 tiệm cận tại A,B CMR: C là trung điểm của A, B và tam giác tạobởi tiếp tuyến đó với hai tiệm cận có diện tích không đổi.

khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận không phụ thuộc vào M

III MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC

BÀI 1: (Đề thi đại học – cao đẳng khối A năm 201.)

x y x

− +

=

−

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số

(C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phânbiệt khác M

=+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 0

+

=

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Cho điểm A(0;a) Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai

tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục Ox

Lời giải

2 Phương trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1)

Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:

2

2

(2) 1

k x

a a

Hoành độ tiếp điểm x x là nghiệm của (4) 1; 2

1 1

2 1

x y x

+

=

2 2

2 1

x y x

−

=

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

2.Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cậncủa (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2)

BÀI 6 Cho hàm số 2 3 ( 1) 2 (3 2) 5

số

2 Tìm m để trên (C m) có hai điểm phân biệt M x y1( ; ),1 1 M x y2( ;2 2) thỏa mãn

BÀI 7 Cho hàm số y x= 3 + −(1 2 )m x2 + −(2 m x m) + +2 (1) m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2

2 Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:

m m m m

m m

−

=

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoànhtại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB

Lời giải

4

OB A OA

+) x = 3⇒y=0, tiếp tuyến có phương trình 1( 3)

+

=

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệmcận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ

M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

a a

=

+ = + ⇔  = −

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5)

BÀI 11 Cho hàm số: 1

x y

x

−

=

+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trụctọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0

Lời giải

0 0

++

2

0 2 0 12

BÀI 12.Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y=mx+m+3

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và Pvuông góc nhau

3 2 23

2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

22

x

x x

suy ra M là trung điểm của AB

Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giácIAB có diện tích

11

3

x x

x x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông gócvới đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1)

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM GẦN ĐÂY

Bài 1: (Khối D-2005) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số 1 3 2 1 ( )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) với m=2

tại M song song với đường thẳng 5x-y=0

Bài 2: ( Khối D 2007) Cho hàm số 2

1

x y

x

=+ .

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và

Bài 3 : (Khối D-2010) Cho hàm số y = − − +x4 x2 6

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm

cận xiên ĐS: b y= − ±x 2 5 5−

Bài 6: (Khối B- 2008) Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

điểm M(–1;–9).

Bài 7:(Khối A-2009) Cho hàm số 2 ( )1

2x+3

x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trụchoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O