Một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số ẩn

Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN LỜI GIỚI THIỆU Trong đề thi THPTQG năm gần (kể từ mơn Tốn thi trắc nghiệm) xuất nhiều toán hàm ẩn Lớp toán hàm ẩn rộng chuyên đề nghiên cứu phần nhỏ biến thiên hàm ẩn Trước hết giúp thân hệ thống dạng tốn xét tính đồng biến nghịch biến, qua phục vụ tốt cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chun mơn Vì tơi viết chun đề: ““MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày đạt hiệu hơn, đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục TÊN SÁNG KIẾN “MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN” TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Họ tên: Nguyễn Thị Quyên Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2-Tam Đảo- Vĩnh Phúc Số ĐT: 0984870862; E-Mail: nguyenthiquyen.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: thân tác giả LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Xây dựng chun đề mơn Tốn: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức rèn luyện cho học sinh kĩ giải dạng toán liên quan đến tính đồng biếnnghịch biến hàm ẩn có đề thi THPTQG NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Tháng năm 2019, mơn Tốn lớp 12 MƠ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN Sáng kiến chia làm phần Phần Kiến thức sở Phần Một số dạng toán thường gặp PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Tính đơn điệu hàm số Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= a;b� a;b , a;b� 1.1.1 Định nghĩa: Gọi K khoảng  a;b đoạn � � �hoặc nửa khoảng � � � hàm số f  x xác định K Hàm số y  f  x đồng biến (tăng) K x1,x2 �K : x1  x2 � f  x1   f  x2  Hàm số y  f  x nghịch biến(giảm) K : x1 ,x2 �K : x1  x2 � f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K 1.1.2 Định lí 1: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm  a;b  Nếu f �  x  0,x� a;b hàm số f  x đồng biến  a;b  Nếu f �  x  0,x� a;b hàm số f  x nghịch biến  a;b 1.1.3 Định lí 2: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K ) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm  a;b  Hàm số f  x đồng biến  a;b � f � x �0,x� a;b f�  x  có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b ۣ �f �  Hàm số f  x nghịch biến  a;b ۣ  x 0, x  a;b f�  x  có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b phương trình phương trình (Chú ý: Dấu xảy điểm “rời nhau”) 1.1.4 Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K )  Nếu hàm f  x đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b f  x liên tục a;b f  x đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn nửa đoạn � � � a;b �  Nếu hàm f  x đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b f  x liên tục nửa đoạn  a;b� � f  x đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  a;b� �  Nếu hàm f  x đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b f  x liên tục a;b� a;b� đoạn � � �thì f  x đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn � � � 1.2 Đạo hàm hàm hợp 1.2.1 Hàm số hợp Cho hàm số y  f ( x) có tập xác định X , tập giá trị T hàm số y  g (u ) có tập xác định Y chứa tập T Khi với giá trị x �X ta có giá trị xác định y cho g Khi y  g (u )  g ( f ( x)) ta nói y hàm số h theo biến số x với h( x)  g ( f ( x)) Hàm số h( x) gọi hàm số hợp hàm số f g theo thứ tự Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= 1.2.2 Đạo hàm hàm số hợp u  f ( x) � y x '  y 'u u 'x �y  f (u ) Cho hàm số y  g ( f ( x)) Đặt � � � 2 � � Ví dụ minh họa 1: � � �f   x  � f   x    x   4 x f   x  � Ví dụ minh họa 2: �  x f  x �f  x  � � 2f� - Lưu ý giải toán hàm hơp xa u ( x)  a � � � � x  b � f  u ( x)   � � u ( x)  b +) Nếu f  x   � � � � xc u ( x)  c � � x  1  x  1 � � � � x  � f  1 2x  � � 1 2x  � Ví dụ minh họa 3: f  x   � � � � x3 1 2x  � � x 1 � � � x � � x  1 � PHẦN 2: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 2.1 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f ( x) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f '( x ) Phương pháp giải Cho đồ thị f '( x) , hỏi tính đơn điệu hàm y  f ( x)  Tìm nghiệm f '( x)  (hoành độ giao điểm với trục hoành);  Xét dấu f '( x) (phần Ox mang dấu dương; phần Ox mang dấu âm);  Lập bảng biến thiên hàm số y  f ( x ) , suy kết tương ứng  x Bài 2.1 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục � có đồ thị hàm y  f � hình vẽ Mệnh đề sai? A Hàm số f  x  nghịch biến  1;  B Hàm số f  x  đồng biến  1; � C Hàm số f  x  nghịch biến  �;  D Hàm số f  x  đồng biến  2; � Lời giải Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo =================================================================  x  ta thấy Từ đồ thị y  f � f�  x  �0, x � �; 2 (Phần đồ thị ứng với x � �; 2 nằm phía Ox )  x   0, x � 2; � (Phần đồ thị ứng với x � 2; � nằm phía Ox ) f � Từ suy mệnh đề A, C, D B sai Cách khác: Để thuận lợi cho số tập phía sau tơi xin đưa môt cách giải khác x  1 �  x  � � Dựa vào đồ thị có f � (Trong x  1 nghiệm kép) x2 � Chọn f '( x)   x  1  x   Bảng biến thiên x f '( x ) � - -1 - � + f ( x) f (2) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án B Bình luận:  Khi quan sát đồ thị hàm số làm hấp tấp em học sinh nhầm tính đồng biến-nghịch biến hàm số y  f ( x) với tính đồng biến nghịch biến hàm số y  f '( x) giáo viên nên lập bảng biến thiên để học sinh TRÁNH NHẦM LẪN  Với toán cho đồ thị hàm y  f '( x) Phần đồ thị nằm phía trục hồnh ứng với f '( x)  hàm y  f  x  đồng biến; phần đồ thị phía trục hồnh ứng với f '( x)  hàm số y  f  x  nghịch biến  x  Bài 2.2 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục � có đồ thị hàm số f � đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số f  x  nghịch biến khoảng  1;1 B Hàm số f  x  đồng biến khoảng  1;  C Hàm số f  x  đồng biến khoảng  2;1 D Hàm số f  x  nghịch biến khoảng  0;  Lời giải Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= Từ đồ thị hàm y  f '( x) ta có f '( x)  � x � �; 2  � 0;  f '( x)  � x � 2;0  � 2; � Ta có bảng biến thiên x f '( x) � - -2 0 + - � + f ( x) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D Bài 2.3 Cho hàm số y  f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau x f '( x) � + -2 - -1 + - � + Hàm số y  2 f ( x)  2019 nghịch biến khoảng khoảng đây? A (1; 2) B (2; 1) C (2; 4) D (4; 2) Lời giải Tính đạo hàm y '  2 f '( x) Hàm số y  2 f ( x)  2019 nghịch biến 2 f '( x )  � f '( x )  Căn vào bảng biến thiên ta thấy f '( x)  � x � �; 2  � 1;  � 4; � Vậy ta chọn đáp án A 2.2 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f (u ( x)) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số y  f '( x) hỏi tính đơn điệu hàm hợp y  f (u )  Đọc đồ thị hàm số y  f '( x) đề cho xác định f '( x)  � x � f '( x)  � x � Suy f '(u )  � u � f '(u )  � u �  Tính đạo hàm y '( x)  u '( x) f '(u ) ;  Giải bất phương trình f '(u ).u '( x)  � (Quan sát đồ thị suy miền nghiệm);  Lập bảng biến thiên y  f (u ) , suy kết tương ứng (Có thể thay bước giải phương trình f '(u ).u '( x)  dựa vào bảng Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= biến thiên đồ thị hàm f '( x ) cho để xét dấu trực tiếp biểu thức y ' ) Bài 2.4 (THPTQG-2019, Mã đề 101) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu f '( x) hình bên x � -3 -1 f '( x) + Hàm số y  f (3  x) nghịch biến khoảng A (4; �) - B (2;1) � + C (2; 4) D (1; 2) Lời giải 3  x  1 � x 1 � Bước Từ bảng biến thiên cho ta f '( x)  � � x  3 � f '( x)  � � 1  x  � Bước Tính đạo hàm hàm y '  (2) f '(3  x) Bước Giải bất phương trình y '  � (2) f '(3  x)  � f '(3  x)   x  3 � �� � 1   x  � x3 � �  x 1 � Bước Lập bảng biến thiên x y' � - + - � + y Kết luận từ bảng biến thiên suy đáp án B (2;1) Cách khác: Bạn đọc xem thêm cách giải khác thú vị sau x  3 � �  x   � �x  1 (các nghiệm phương trình Bước Dựa vào bảng biến thiên có f � � x 1 � nghiệm bội lẻ f '( x) đổi dấu liên tiếp qua môc x  1, x  2, x  )  x    x  3  x  1  x  1 Chọn f � Bước Tính đạo hàm hàm y '  (2) f '(3  x) � g�  x   2   x  3   x  1   x  1  2(6  x)(4  x)(2  x) Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= x3 � � � g�  x   � �x  � x 1 �  x Bảng xét dấu g � � x g '( x) -  �  0 + g ( x) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f (3  x) nghịch biến khoảng (2;1) Bình luận: Ví dụ cho bảng biên thiên hay cho đồ thị hàm f '( x) có cách giải Từ bảng biến thiên từ đồ thị suy miền âm hay dương hàm f '( x ) để từ suy miền âm hay dương f '(u ) ( x ) � đồ thị hàm số Bài 2.5 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f � y'  f � ( x ) hình vẽ Hàm số g  x   f ( x  x  1) đồng biến khoảng đây? A  �;1 B  1;  � C  0;  D  1;  Lời giải Bước Từ đồ thị hàm số f '( x) ta thấy f '( x) �0 x f '( x)  � x  2 Bước Ta có: g '  x   (2 x  2) f '( x  x  1) Bước Tìm � 1 �x �3 x f '( x  x  1) �0 � x  x  �2 � x  x  �0 cho Bước Lập bảng biến thiên x � 2x  -1 + f '( x  x  1) � - 0  + + - + - + + g '( x) g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D  1;0  Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= Cách x  1 �  x  � � Bước Dựa vào đồ thị có f � (Trong x  1 nghiệm kép) x2 � Chọn f '( x)   x  1  x   2 Bước Tinh đạo hàm g '  x   (2 x  2) f '( x  x  1)  (2 x  2)  x  x   1   x    x2  x  x 2 x  2x   2  x  3 x 1 � � x0 � x  (Trong có x  0; x  nghiệm kép) Cho g '( x)  � � � x  1 � � x3 � Bước Lập bảng biến thiên x � g '( x) -1 - + 0 + - - � + g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D  1;0  Bình luận: Căn vào đồ thị hàm số y  f '( x) có dạng đồ thị hàm đa thức bậc cắt trục hoành điểm x  tiếp xúc điểm x  1 nên ta chọn hàm f '( x)   x  1  x   Khi hàm số y  g '( x)  f '( x  x  1) hàm đa thức ta xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu hàm dạng tích thương đa thức Bài 2.6 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số 10 y= f � ( x) hình bên Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= Hàm số g( x) = f ( A ( - �;- 1- ) x2 + 2x + ) nghịch biến khoảng khoảng sau ? B ( - 2 �;1) C ( 1;2 ) D 2- (2 ) - 1;+� Lời giải NX: x  x   0, x � x =- � f� x =1 ( x) = � � � � x=3 � Bước Dựa vào đồ thị, suy Bước Tính đạo hàm x +1 g� ( x) = x + 2x + ( ) f � x2 + 2x + ; Bước Giải phương trình � x +1= � g� ==0 � ( x) �����++=�=-f � x2 + 2x + = � � ( theo thi f '( x) ) � x = - ( nghiem boi ba) � � x 2 � � � x = - 1+ 2 � � x +1= � � �x 2x � �x2 + 2x + = � Lập bảng biến thiên � x x 1 f '( x  x  2) + g '( x) - 1 1  2 � 1  2 0  - - + + + - + g ( x) ta chọn A ( - �;- 1- ) 2 Bình luận:  Với g( x) = f ( ) x2 + 2x + có chứa nên ta chọn cách giải thứ cách giải thứ giải nhiều bất phương trình chứa phức tạp  Hàm f '( x  x  2) hàm dạng tích thương đa thức làm để xét dấu biểu thức khoảng cụ thể? Cách xét dấu sau: Ví dụ xét khoảng dựa vào đồ thị f� ( x) ( - 1;- 1+ 2) ta chọn ta thấy x = �( 1;3) x = ( ) Khi f � < g� ( 0) = g� ( x) ( ) f � ) �� � hàm số g( x) f� ( x) đồng Chọn B y = f ( x) có đạo hàm liên ( x) tục � Đồ thị hàm số y = f � hình bên Hỏi hàm số g( x) = f ( x) +( x +1) đồng biến khoảng khoảng sau ? A ( - 3;1) B ( 1;3) C ( - �;3) D ( 3;+�) Lời giải Ta có g� � g� ( x) = f � ( x) + 2( x +1) �� ( x) = � f � ( x) = - x - Số nghiệm phương trình y= f � ( x) đường thẳng g� ( x) = d : y = - x- 27 số giao điểm đồ thị hàm số (như hình vẽ bên dưới) Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= Dựa vào đồ thị, suy Yêu cầu toán đường thẳng � x =- � � � g ( x) = � x = � � x=3 � � x � � (vì phần � 1< x < � y = - x - ) Đối chiếu đáp án đồ thị f '( x) nằm phía ta thấy đáp án B thỏa mãn Chọn B Bài 2.29 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục � Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình bên Hỏi hàm số g( x) = f ( 1- x) + x2 - x nghịch biến khoảng khoảng sau ? A ( - 3;1) B ( - 2;0) C � 3� � - 1; � � � � � � 2� D ( 1;3) Lời giải Ta có Để g� ( x) = - f � ( 1- x) + x - g� ( x) < � f � ( 1- x) > x - Đặt t = 1- x , bất phương trình trở thành f� ( t) >- t Kẻ đường thẳng y=- x cắt đồ thị hàm số x = - 3; x =- 1; x = 28 f '( x) ba điểm Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= Quan sát đồ thị ta thấy � � � t - t � � � � � < t < < x < � � �2 < x < Đối chiếu đáp án ta chọn B 29 bất phương trình Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= NHỮNG THƠNG TIN BẢO MẬT (KHƠNG CĨ) CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sách giáo khoa, ghi, máy tính cầm tay tài liệu tham khảo 10 ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ Khi tiến hành dạy theo chuyên đề cho lớp 12A1 dạy giáo án bình thường lớp 12A3, tơi tiến hành kiểm tra đánh giá 15 phút thu kết sau (Hình thức trắc nghiệm): Lớp 12A1 Sĩ số 38 12A3 38 Giỏi 0% 0% Khá 13.2% 5.3% TB 15 39.5% 17 44.7% Yếu 21.1% 10 26.3% Kém 10 26.2% 23.7% Sau tham gia rèn luyện tiết buổi chiều Trong tiết truyền thu học sinh lĩnh hội kiến thức, kết sau cho học sinhlamf 20 câu kiểm tra trác nghiệm Thống kê chung sau: Lớp 12A1 Sĩ số 38 12A3 38 Giỏi 21,1% 15.8% Khá 18 43,37% 20 52.6% TB 10 26,3 % 21.1% Yếu 5,3% 10.5% Kém 0% 0% Với kết thực tế làm học sinh tơi nhận thấy phương pháp mà tơi đưa có kết tốt, giúp học sinh cảm thấy tự tin gặp tốn tính đồng biến nghịch biến hàm ẩn đề thi THPTQG Mặc dù cố gắng q trình tìm tòi nghiên cứu, hạn chế mặt lực thời gian trình bày sáng kiến khơng tránh khỏi thiếu sót, việc khai thác chắn chưa triệt để Kính mong nhận xét, bổ sung góp ý kiến q thầy 11 DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN Đà THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU Số Tên tổ chức/cá nhân TT Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 30 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= Nguyễn Thị Quyên GV THPT Tam Đảo Mơn Tốn học Lớp 12A1 THPT Tam Đảo Mơn Tốn học Lớp 12A3 THPT Tam Đảo Mơn Tốn học TÀI LIỆU THAM KHẢO Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán - Trần Phương ( chủ biên)-Nhà xuất Hà Nội, 2006 Phương pháp giải toán - Lê Hồng Đức ( chủ biên) - Nhà xuất Hà Nội, 2005 Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Môn Toán – Trần Tuấn Điệp( Chủ biên)Nhà xuất Hà Nội, 2012 Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao – Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 Sách tập Giải tích 12 Nâng cao - Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 Tham khảo số tài liệu mạng internet - Nguồn: http:// www.facebook.com 31 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ================================================================= ., ngày tháng năm Tam Đảo, ngày 20 tháng 10 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Quyên 32 ... KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f (u ( x)) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số y  f '( x) hỏi tính đơn điệu hàm hợp y  f (u )  Đọc đồ thị hàm số y  f... ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f ( x)  h( x) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f '( x ) Tìm khoảng đơn điệu biết đồ thị hàm f '( x ) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số y  f '( x) , hỏi tính. .. DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 2.1 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f ( x) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f '( x ) Phương pháp giải Cho đồ thị f '( x) , hỏi tính đơn điệu hàm y