Về tính ổn định của các phương trình hàm cơ bản

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ BÍCH TRÂM VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: GS TS Lê Văn Thuyết Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 02 tháng 12 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích Toán học Các nhà Toán học tiếp cận phương trình hàm với nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định dạng cụ thể nghiệm), nghiên cứu nghiệm địa phương hay nghiên cứu nghiệm toàn cục Và vấn đề mở đầu cho đường nghiên cứu thập niên gần vấn đề ổn định phương trình hàm Quan điểm chung vấn đề xuất nhà khoa học đặt câu hỏi “Khi thay đổi “một ít” giả thiết định lý liệu khẳng định luận điểm lại định lý “xấp xỉ đúng” hay không?” Trong trình nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm, câu hỏi mở rộng sau “Nếu thay phương trình hàm cho bất phương trình hàm, liệu khẳng định nghiệm bất phương trình hàm nằm gần với nghiệm phương trình hàm ban đầu hay không?”, nhiều nghiên cứu nhà toán học cho thấy phương trình hàm có tính ổn định Xuất phát từ nhu cầu nghiên cứu tìm hiểu vấn đề định chọn đề tài “VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN” Mục đích nghiên cứu Luận văn "Về tính ổn định phương trình hàm bản" nhằm khảo sát tính ổn định phương trình hàm bản, cụ thể phương trình hàm chuyển tiếp phép tính số học, phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình bản, phương trình hàm dạng D’Alembert số phương trình hàm khác Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương trình hàm phương trình hàm chuyển tiếp phép tính số học, phương trình hàm chuyển Footer Page of 126 Header Page of 126 tiếp đại lượng trung bình bản, phương trình hàm dạng D’Alembert số phương trình hàm khác phương trình sóng, phương trình đa thức, phương trình dạng toàn phương Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, báo khoa học viết phương trình hàm, Tạp chí toán học tuổi trẻ, tài liệu nước nhằm đưa tính chất tính ổn định phương trình hàm nói Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu tài liệu tiếng Anh, trang Web , từ phân tích, đánh giá, tổng hợp, trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học nâng cao phương trình hàm, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán mà nêu luận văn Mong muốn đề tài tài liệu bổ ích cho sinh viên ngành toán việc tìm hiểu tính ổn định phương trình hàm Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Trình bày tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp phép tính số học phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính, hàm logarit hàm lũy thừa Chương Trình bày tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình trung bình cộng vào trung bình cộng, trung bình cộng vào trung bình nhân, trung bình cộng vào trung bình điều hòa Chương Trình bày tính ổn định phương trình hàm dạng D’Alembert, phương trình hàm cosin, phương trình hàm sin, phương trình hàm dạng f (x + y) + g(x − y) = h(x)ϕ(y) Chương Trình bày tính ổn định số phương trình hàm khác phương trình sóng, phương trình đa thức, phương trình dạng toàn phương Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp phép tính số học Chương trình bày tính ổn định phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính, hàm logarit hàm lũy thừa Chi tiết liên quan xem tài liệu tham khảo tương ứng danh mục [1], [2], [3], [4], [8], [11] 1.1 Tính ổn định phương trình hàm cộng tính Trước hết ta nhắc lại phương trình hàm (Cauchy) cộng tính (A) f (x + y) = f (x) + f (y) (A) Giả sử hàm f : X → Y thỏa mãn (A), với X Y hai không gian Banach Khi f gọi hàm cộng tính Định lý 1.1 (Xem [11]) Giả sử hàm f : X → Y thỏa mãn với ε > 0, ta có f (x + y) − f (x) − f (y) ≤ ε, ∀x, y ∈ X (1.1) Khi tồn giới hạn sau A(x) = lim 2−n f (2n x) n→∞ (1.2) với x ∈ X tồn hàm cộng tính A : X → Y thỏa mãn f (x) − A(x) ≤ ε, ∀x ∈ X (1.3) Chứng minh Thay x = y vào (1.1) ta f (2x) − f (x) ≤ ε (1.4) Sử dụng phương pháp quy nạp, ta 2−n f (2n x) − f (x) ≤ (1 − 2−n )ε Footer Page of 126 (1.5) Header Page of 126 Thật vậy, (1.4) ta thay x 2x, ta 1 f (22 x) − f (2x) ≤ ε 2 Khi 1 [ f (22 x) − 2f (x)] − [f (2x) − 2f (x)] = f (22 x) − f (2x) ≤ ε 2 hay 1 f (2 x) − f (x) − f (2x) − f (x) ≤ ε, 22 22 nên 1 f (2 x) − f (x) ≤ ε + , 22 22 1 1 n f (2 x) − f (x) ≤ ε + + · · · + = ε − 2n 22 2n 2n Bây ta chứng minh dãy { 21n f (2n x)} dãy Cauchy với x ∈ X Chọn m > n, 1 1 n m f (2 x) − f (2 x) = f (2m−n 2n x) − f (2n x) n m n m−n 2 2 1 1 ≤ n ε − m−n = ε n − m 2 2 dãy 21n f (2n x) dãy Cauchy với x ∈ X Y không gian n Banach nên tồn A : X → Y cho A (x) := lim f (22n x) với x ∈ X , hay n→∞ 1 n f (2 x) ε ≤ 2n 2n Tiếp theo ta cần chứng minh A hàm cộng tính Thay x, y 2n x 2n y (1.1) ta 1 1 n n n f (2 (x + y)) − f (2 x) − f (2 y) ≤ ε 2n 2n 2n 2n A (x) − với n ∈ Z∗+ , x, y ∈ X Cho n → ∞ , ta A (x + y) − A (x) − A (y) ≤ ε Với x ∈ X , ta có 1 n f (2 x)] + [ f (2n x) − A(x)] n n 2 1 ≤ f (x) − n f (2n x) + n f (2n x) − A(x)] 2 1 ≤ ε − n + ε n = ε 2 f (x) − A(x) = [f (x) − Footer Page of 126 Header Page of 126 Cuối cùng, ta cần chứng minh A Giả sử tồn hàm cộng tính A1 : X → Y thỏa mãn (1.3) Khi đó, với x ∈ X, [A(nx) − f (nx)] + [A1 (nx) − f (nx)] n 2ε theo (1.3) ≤ n A(x) − A1 (x) = Vậy A1 = A Định lý 1.2 (Xem [11]) Với dãy số thực (an ) thỏa mãn |an+m − an − am | < 1, n, m ∈ Z∗+ , tồn giới hạn hữu hạn (1.6) an n→∞ n A := lim |an − nA| < 1, n ∈ Z∗+ Bài 1.1 Tìm cặp hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình sau f (x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R (1.7) Hướng dẫn 1.1 Thay y = vào (1.7), ta f (x) = g(x) + g(0), ∀x ∈ R, hay f (x) = g(x) + α, với α = g(0) Do g(x) = f (x) − α với x ∈ R Thay vào phương trình (1.7), ta f (x + y) = f (x) + f (y) − 2α Đặt f (x) = A(x) + 2α Phương trình (1.8) trở thành A(x + y) + 2α = A(x) + 2α + A(y) + 2α − 2α hay A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ R Vậy A hàm cộng tính R nên f (x) = A(x) + 2α g(x) = A(x) + α Tiếp theo ta xét tính ổn định nghiệm phương trình (1.7) Footer Page of 126 (1.8) Header Page of 126 Mệnh đề 1.1 Giả sử hàm f, g : R → R thỏa mãn |f (x + y) − g(x) − g(y)| ≤ ε (1.9) với ε số dương tùy ý cho trước với x, y ∈ R Khi tồn hàm cộng tính A : R → R cho |f (x) − A(x) − f (0)| ≤ 4ε |g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 2ε với x ∈ R Chứng minh Thay y = vào (1.9), ta |f (x) − g(x) − g(0)| ≤ ε, ∀x ∈ R, (1.10) |f (0) − 2g(0)| ≤ ε (1.11) |f (x + y) − g(x + y) − g(0)| ≤ ε, ∀x, y ∈ R (1.12) suy Sử dụng (1.10), ta Ta có |f (x+y)−g(x+y)−g(0)| = |f (x+y)−g(x)−g(y)−g(x+y)+g(x)+g(y)−g(0)| nên kết hợp (1.9) (1.12) thu |g(x + y) − g(x) − g(y) + g(0)| ≤ |f (x + y) − g(x + y) − g(0)| + |f (x + y) − g(x) − g(y)| ≤ 2ε hay |[g(x + y) − g(0)] − [g(x) − g(0)] − [g(y) − g(0)]| ≤ 2ε, (1.13) với x, y ∈ R Đặt G(x) = g(x) − g(0), (1.14) với x, y ∈ R Thế vào (1.13) ta |G(x + y) − G(x) − G(y)| ≤ 2ε, ∀x, y ∈ R Theo định lý tính ổn định hàm cộng tính, tồn hàm cộng tính A : R → R cho |G(x) − A(x)| ≤ 2ε, Footer Page of 126 ∀x ∈ R (1.15) Header Page of 126 Từ (1.14) (1.15) ta |g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 2ε, ∀x ∈ R (1.16) Từ (1.10), (1.11) (1.16) ta |f (x) − A(x) − f (0)| = |f (x) − g(x) − g(0) + g(x) − A(x) − g(0) + 2g(0) − f (0)| ≤ |f (x) − g(x) − g(0)| + |g(x) − A(x) − g(0)| + |f (0) − 2g(0)| ≤ ε + 2ε + ε = 4ε 1.2 Tính ổn định phương trình hàm nhân tính Trong phần nghiên cứu phương trình f (xy) = f (x)f (y) (M) Giả sử hàm f : X → Y thỏa mãn (M), với X Y hai không gian Banach Khi f gọi hàm nhân tính Định lý 1.3 (Xem [11]) Giả sử δ > 0, S nửa nhóm f : S → C cho |f (xy) − f (x)f (y)| ≤ δ, ∀x, y ∈ S (1.17) Khi 1+ √ + 4δ =: ε, ∀x ∈ S f hàm nhân tính với x, y ∈ S |f (x)| ≤ (1.18) √ Chứng minh Trong (1.18), ta có 1+ 21+4δ =: ε hay ε2 − ε = δ ε > Giả sử (1.18) không xảy ra, tức tồn a ∈ S cho |f (a)| > ε, hay |f (a)| = ε + ρ, với ρ > Trong (1.17), chọn x = y = a, ta |f (a2 ) − f (a)2 | ≤ δ (1.19) Khi |f (a2 )| = |f (a)2 − (f (a)2 − f (a2 ))| ≥ |f (a)2 | − |f (a)2 − f (a2 )| ≥ |f (a)|2 − δ theo (1.19) = (ε + ρ)2 − δ = (ε + ρ) + (2ε − 1)ρ + ρ2 > ε + 2ρ Footer Page of 126 (do ε > 1) (do ε2 − ε = δ) Header Page 10 of 126 Bằng phép chứng minh quy nạp, ta có n |f (a2 )| > ε + (n + 1)ρ, ∀n = 1, 2, Với x, y, z ∈ S, |f (xyz) − f (xy)f (z)| ≤ δ, |f (xyz) − f (x)f (yz)| ≤ δ Ta có |f (xy)f (z) − f (x)f (yz)| ≤ |f (xyz) − f (xy)f (z)| + |f (xyz) − f (x)f (yz)| ≤ 2δ |f (xy)f (z) − f (x)f (y)f (z)| ≤ |f (xy)f (z) − f (x)f (yz)| + |f (x)f (yz) − f (x)f (y)f (z)| ≤ 2δ + |f (x)|δ Suy |f (xy) − f (x)f (y)|.|f (z)| ≤ 2δ + |f (x)|δ n Chọn z = a2 , ta |f (xy) − f (x)f (y)| ≤ 2δ + |f (x)|δ |f (a2n )| với x, y ∈ S n = 1, 2, Cho n → ∞, ta f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ S Vậy f hàm nhân tính 1.3 Tính ổn định hàm lôgarit Trước hết ta nhắc lại hàm logarit (L) f (xy) − f (x) − f (y) = 0, x, y > (L) Giả sử hàm f : R+ → B thỏa mãn (L), với B không gian Banach Khi f gọi hàm logarit Định lý 1.4 (Xem [8]) Giả sử f : R+ → B, ε ≥ 0, |f (xy) − f (x) − f (y)| ≤ ε (1.20) với x, y > Khi tồn hàm logarit L : R+ → B thỏa mãn |f (x) − L (x)| ≤ ε với x > Footer Page 10 of 126 (1.21) 10 Header Page 12 of 126 Hệ 1.2 Cho ε > 0, d, k, s ∈ R với k = s = Giả sử g : R → B thỏa mãn |g (px + qy) − P g (x) − Qg (y)| ≤ ε (1.38) với x, y ∈ R, với kx + sy ≥ d Khi tồn hàm cộng tính A : R → B cho 4ε |g (x) − A (x) − g (0)| ≤ (1.39) |P | với x ∈ R s = 0, |g (x) − A (x) − g (0)| ≤ 4ε |Q| (1.40) với x ∈ R k = 1.4 Tính ổn định hàm lũy thừa Giả sử (S, +) nửa nhóm giao hoán, E không gian Banach phức, X đại số phức với phần tử đơn vị 1X C trường số phức, cho f : S → X g : S → C Trong phần ta xét hàm lũy thừa sau: f (x + y) = g(x)f (y) Định nghĩa 1.1 (Xem [4]) Cho hàm số f : S → C , ta định nghĩa tập hợp Nf sau: Nf = {a ∈ S : f (a) ∈ S \ {0, 1} ; |f (a)| > 1} Định nghĩa 1.2 (Xem [4]) Cho hàm số f : S → X, ta định nghĩa tập Mf sau: Mf = {a ∈ G : f (a) ∈ C \ {0, 1} × {1X }} Định nghĩa 1.3 (Xem [4]) Xét hàm Scf : Mf → C với f (a) = Scf (a) × 1X , ∀a ∈ Mf Ta định nghĩa hàm số Mf = {a ∈ Mf : |Scf (a)| > 1} Ta có định lý sau Định lý 1.7 (Xem [4]) Giả sử hai hàm số f : S → E, g : S → C thỏa mãn bất đẳng thức sau: |f (x + y) − g(x)f (y)| ≤ ψ(x, y), ∀x, y ∈ S (1.41) Nếu Ng = ∅ ψ(x, y + a) ≤ ψ(x, y) với x, y ∈ S a ∈ Ng , tồn hàm T : S → E mà T (x + y) = g(x)T (y); Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 (g(x + y) − g(x)g(y))T (z) = ψ(a, y) a∈Ng |g(a)| − |f (y) − T (y)| ≤ inf với x, y, z ∈ S Hệ 1.3 Cho f : S → C thỏa mãn |f (x + y) − f (x)f (y)| ≤ ψ(x, y) với x, y ∈ S Nếu ψ(x, y + a) ≤ ψ(x, y) với x, y ∈ S a ∈ Nf , f bị chặn, f hàm lũy thừa Hệ 1.4 Cho f, g : S → C, S có phần tử đơn vị, f hàm khác không thỏa mãn |f (x + y) − g(x)f (y)| ≤ ψ(x, y) với x, y ∈ S, Nếu ψ(x, y + a) ≤ ψ(x, y) với x, y ∈ S a ∈ Ng , g bị chặn, hàm lũy thừa |f (x + y) − g(x)f (y)| ≤ ψ(x, y) với x ∈ G Bài 1.2 Tìm tất hàm f, g, h : R → R thỏa mãn phương trình sau f (x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R (1.48) Hướng dẫn 1.2 Thay y = vào (1.48), ta f (x) = g(x) + h(0), ∀x ∈ R, hay f (x) = g(x) + α, với α = h(0) Do g(x) = f (x) − α với x ∈ R Thay x = vào (1.48), ta f (y) = h(x) + β, với β = g(0), hay h(x) = f (x) − β với x ∈ R Phương trình (1.48) trở thành f (x + y) = f (x) + f (y) − α − β, ∀x, y ∈ R Đặt f (x) = A(x) + α + β thay vào phương trình (1.49), ta A(x + y) + α + β = A(x) + α + β + A(y) + α + β − α − β hay A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ R Vậy A hàm cộng tính R nên f (x) = A(x) + α + β g(x) = A(x) + β h(x) = A(x) + α Footer Page 13 of 126 (1.49) 12 Header Page 14 of 126 Chương Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình Chương trình bày tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình cộng, trung bình cộng vào trung bình nhân trung bình cộng vào trung bình điều hòa Chi tiết liên quan xem tài liệu tham khảo tương ứng danh mục [1], [2], [3], [11] 2.1 Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình cộng Xét toán sau: Bài 2.1 Tìm hàm f : R → R thỏa mãn phương trình sau f x+y = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R (2.1) Hướng dẫn 2.1 Thay y = vào (2.1), ta f f (x) + f (0) x = , ∀x ∈ R 2 (2.2) Khi áp dụng (2.1) (2.2), ta f (x) + f (y) =f x+y = f (x + y) + f (0) hay f (x) + f (y) = f (x + y) + f (0), ∀x, y ∈ R Đặt A(x) = f (x) − f (0) Ta có A(x) + A(y) = A(x + y), ∀x, y ∈ R Vậy A hàm cộng tính R nên f (x) = A(x) + α, α = f (0) Footer Page 14 of 126 13 Header Page 15 of 126 2.2 Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình nhân Xét toán sau: Bài 2.2 Tìm tất hàm liên tục f : R → R thỏa mãn phương trình sau x+y )= f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (2.5) Hướng dẫn 2.2 Từ phương trình (2.5), ta có f (x) ≥ 0, x0 ∈ R cho f (x0 ) = Khi ∀x ∈ R Giả sử tồn f( f( x0 + y )= f (x0 )f (y) = 0, ∀y ∈ R, hay f (x) = với x ∈ R Xét f (x) > 0, ∀x ∈ R Khi lấy logarit hai vế phương trình (2.5), ta x+y ln f (x) + ln f (y) ln f ( )= , ∀x, y ∈ R 2 Đặt g(x) = ln f (x) ta có g( g(x) + g(y) x+y )= , ∀x, y ∈ R 2 hay g nghiệm phương trình Jensen, tức g(x) = ax + b Suy nghiệm phương trình (2.5) f (x) = eax+b với a, b ∈ R 2.3 Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình điều hòa Xét toán sau: Bài 2.3 Xác định hàm số f : R+ → R+ liên tục thỏa mãn điều kiện sau: f( x+y 2f (x)f (y) )= , ∀x, y ∈ R+ f (x) + f (y) (2.11) Hướng dẫn 2.3 Trước tiên, ta biến đổi (3.28) sau f( x+y )= 1 f (x) + f (y) Footer Page 15 of 126 , ∀x, y ∈ R+ (2.12) 14 Header Page 16 of 126 hay f( x+y )= f (x) + ∀x, y ∈ R+ (2.13) , ∀x, y ∈ R+ (2.14) , f (y) hay f ( x+y ) Đặt g(x) = ta suy f (x) ; = f (x) + f (y) g(x) hàm số dương liên tục R+ Vì mà từ (2.14) x+y g(x) + g(y) )= , ∀x, y ∈ R+ 2 Hay g nghiệm phương trình Jensen, tức g(x) = ax + b Vậy f (x) = ax+b a = 0, b > a > 0, b ≥ g( Footer Page 16 of 126 15 Header Page 17 of 126 Chương Tính ổn định phương trình hàm dạng D’Alembert Chương trình bày tính ổn định phương trình hàm cosin, phương trình hàm sin phương trình hàm có dạng f (x + y) + g(x − y) = h(x)ϕ(y) Chi tiết liên quan xem tài liệu tham khảo tương ứng danh mục [1], [2], [5], [7], [11], [14] 3.1 Tính ổn định phương trình hàm cosin Trong phần này, ta xét phương trình hàm cosin Cho G nhóm Aben, với x, y ∈ G, ta xét phương trình hàm cosin sau: f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) (3.1) Định lý 3.1 (Xem [5]) Cho G nhóm Aben cộng tính f hàm có giá trị phức xác định G Khi f thỏa mãn (3.1) với x, y ∈ G tồn hàm có giá trị phức xác định G cho f (x) = {m(x) + m(−x)} /2, x∈G (3.2) ∀x, y ∈ G (3.3) m(x + y) = m(x)m(y), Định lý 3.2 (Xem [5]) Cho δ > 0, cho G nhóm aben f hàm có giá trị phức xác định G cho |f (x + y) + f (x − y) − 2f (x)f (y)| ≤ δ, (3.6) với x, y ∈ G Khi |f (x)| ≤ Footer Page 17 of 126 1+ √ + 2δ , x ∈ G (3.7) 16 Header Page 18 of 126 tồn hàm phức m G cho {m(x) + m(−x)} f (x) = , ∀x ∈ G δ |m(x + y) − m(x)m(y)| ≤ , ∀x, y ∈ G Để chứng minh định lý ta sử dụng bổ đề sau (3.8) (3.9) Bổ đề 3.1 Với giả thiết định lý (3.2), |f (0)| ≤ ε với ε = (1 + √ + 2δ)/2 Bổ đề 3.2 Với giả thiết định lý (3.2) |f (2x)| ≥ |f (x)|2 − µ với x ∈ G µ = δ + ε Bổ đề 3.3 Với giả thiết định lý (3.2), |f (x)| > ε với x ∈ G, |f (2n x)| → +∞ n → +∞ 3.2 Tính ổn định phương trình hàm sin Trong phần ta xét phương trình hàm sin Cho G nhóm Aben, với x, y ∈ G, ta xét phương trình hàm sin sau: f (x + y)f (x − y) = f (x)2 − f (y)2 (3.13) Định lý 3.3 (Xem [7]) Với hàm không bị chặn f : G → C thỏa mãn bất đẳng thức sau f (x + y)f (x − y) − f (x)2 + f (y)2 ≤ δ, ∀x, y ∈ G (3.21) nghiệm phương trình f (x + y)f (x − y) = f (x)2 − f (y)2 Để chứng minh định lý, ta dựa vào bổ đề sau: Bổ đề 3.4 (Xem [7].) Cho f hàm lấy giá trị phức xác định G cho thỏa mãn bất đẳng thức sau f (x + y)f (x − y) − f (x)2 + f (y)2 ≤ δ (3.15) với x, y ∈ G với số thực δ > f (0) = (3.16) Bổ đề 3.5 (Xem [7].) Với x, y ∈ G, bất đẳng thức sau thỏa mãn |f (x + y) + f (x − y) − 2f (x)g(y)| ≤ δ (3.19) Bổ đề 3.6 (Xem [7].) Phương trình sau thỏa mãn với x, y ∈ G : f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y) Footer Page 18 of 126 (3.20) 17 Header Page 19 of 126 3.3 Tính ổn định phương trình hàm D’Alembert Trong phần ta xét phương trình f (x + y) + g(x − y) = h(x)ϕ(y) (3.27) Định lý 3.4 (Xem [14]) Cho G nhóm, cho f, g, h, ϕ : G → C hàm cho hàm (x, y) → f (x + y) + g(x − y) − h(x)ϕ(y) bị chặn, Khi đó, tồn hàm mũ E : G → C, hàm cộng tính A : G → C, hàm bị chặn a, b, c : G → C số α, β, γ, δ cho điều sau tương đương: f, g, h, ϕ bị chặn; f, g bị chặn, h = 0, ϕ tùy ý; f, g bị chặn, h tùy ý, ϕ = 0; f bị chặn, g = αβE + b, h = αE, ϕ = βE −1 ; f = αβE + a, g bị chặn, h = αE, ϕ = βE; f = 21 αA + a, g = − 12 αA + b, h = α, ϕ = A + c; f = 21 βA + a, g = 12 βA + b, h = A + c, ϕ = β; f = 14 αβA2 + 12 (αδ + βγ)A + a, g = − 14 αβA2 + 12 (αδ − βγ)A + b, h = αA + γ, ϕ = βA + δ; f = 21 (αγ + βδ)Ee + 12 (αδ + βγ)Eo + a, h = αEe + βEo , g = 12 (αγ − βδ)Ee − 21 (αδ − βγ)Eo + b, ϕ = γEe + δEo , Ở đây, Ee Eo tương ứng phần chẵn phần lẻ E Bài 3.1 Tìm tất hàm liên tục f, g, h : R → R thỏa mãn phương trình sau f( x+y )= g(x)h(y), ∀x, y ∈ R Hướng dẫn 3.1 a) Trường hợp 1: g(0) = Thay x = 0, y = 2t vào phương trình (3.28), ta có f (t) = 0, ∀t ∈ R Thay vào phương trình (3.28) ta g(x)h(y) = 0, ∀x, y ∈ R, Footer Page 19 of 126 (3.28) g(0)h(2t) = 18 Header Page 20 of 126 Do g (x) ≡ 0, h (x) hàm liên tục tùy ý ∈ R h (x) ≡ 0, g (x) hàm liên tục tùy ý ∈ R với g(0) = b) Trường hợp 2: h(0) = Thay y = 0, x = 2t vào phương trình (3.28), ta có f (t) = 0, ∀t ∈ R Thay vào phương trình (3.28) ta g(2t)h(0) = g(x)h(y) = 0, ∀x, y ∈ R, Do g (x) ≡ 0, h (x) hàm liên tục tùy ý ∈ R với h(0) = h (x) ≡ 0, g (x) hàm liên tục tùy ý ∈ R c) Trường hợp 3: g(0) = 0, h(0) = Thay x = 0, y = vào phương trình (3.28), ta có f (0) = f (0) > g(0)h(0) > g(0)h(0) = Suy Kết hợp với (1.1), ta có f (x) > 0, ∀x ∈ R Lần lượt thay y = x = vào phương trình (3.28), ta có x f( ) = y f( ) = g(x)h(0) g(0)h(y) hay f (x) g(x) = , ∀x ∈ R h(0) (3.29) f (y) , ∀y ∈ R h(0) (3.30) h(y) = Thay g(x), h(y) (3.29) (3.30) vào (3.28), ta x+y f( )= Đặt F (u) = √ f (u) g(0)h(0) g(x)h(y) = f x2 f y2 f x2 f y2 · = h(0) g(0) g(0)h(0) > ∀u ∈ R Do F (u + v) = F (u)F (v), ∀u, v ∈ R hay F (u) = au với a > f (x) = bax , Footer Page 20 of 126 ∀x ∈ R với a > 0, b = 19 Header Page 21 of 126 Kết luận f (x) ≡ g(x ≡ h(x)là hàm liên tục tùy ý ∈ R với h(0) = 0; f (x) ≡ g(x)là hàm liên tục tùy ý ∈ R với g(0) = h(x) ≡ 0;   f (x) = bax , ∀x ∈ R g(x) = b1 a2x , ∀x ∈ R  h(x) = b a2x , ∀x ∈ R b1 , b2 tùy ý cho b1 b2 = b Footer Page 21 of 126 20 Header Page 22 of 126 Chương Tính ổn định số phương trình hàm khác Chương trình bày tính ổn định phương trình sóng, phương trình đa thức phương trình dạng toàn phương Chi tiết liên quan xem tài liệu tham khảo tương ứng danh mục [1], [2], [6], [9], [10], [11], [12], [14] 4.1 Tính ổn định phương trình sóng Trước hết ta tìm hiểu phương trình sóng Giả sử f : R2 → R cho f (x + h, y) + f (x − h, y) − f (x, y + h) − f (x, y − h) = (4.1) Định lý 4.1 (Xem [6]) Giả sử (G, +) nhóm Aben, X không gian Banach, với δ > f : G × G → X cho |f (x + h, y + h) − f (x + h, y) − f (x, y + h) + f (x, y)| δ (4.2) với x, y, h ∈ G Khi tồn hàm α, β : G → X A : R2 → R hàm song cộng tính phản đối xứng cho |f (x, y) − [α (x) + β (y) + A (x, y)]| 20δ, ∀x, y ∈ G Hệ 4.1 Giả sử (G, +) nhóm Aben, X không gian Banach, δ > f : G × G → X cho |f (x + h, y) + f (x − h, y) − f (x, y + h) − f (x, y − h)| ≤ δ, ∀x, y, h ∈ G (4.30) Khi tồn hàm a, b : G → X B : G × G → X cho B song cộng tính, phản đối xứng |f (x, y) − [a (x + y) + b (x − y) + B (x, y)]| ≤ 20δ với x, y ∈ G Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 Định lý 4.2 (Xem [6]) Giả sử f : R2 → R đo Lebesgue R2 , δ ≥ thỏa mãn |f (x + h, y + h) − f (x + h, y) − f (x, y + h) + f (x, y)| ≥ δ, ∀x, y, h ∈ R Khi tồn hàm ϕ, ψ : R → R đo Lebesgue cho |f (x, y) − {ϕ (x) + ψ (y)}| ≤ 60δ, ∀x, y ∈ R Hệ 4.2 Giả sử f : R2 → R đo Lebesgue R2 , δ > thỏa mãn |f (x + h, y + h) − f (x + h, y) − f (x, y + h) + f (x, y)| ≤ δ, ∀x, y, h ∈ R Giả sử tồn x0 , y0 ∈ G cho x → f (x, y0 ) y → f (x0 , y) liên tục R Khi đó, tồn hàm a, b : R → R liên tục cho |f (x, y) − {a (x) + b (y)}| ≤ 180δ, ∀x, y ∈ R 4.2 Tính ổn định phương trình đa thức Ta biết phương trình đa thức có dạng an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (4.34) Trước hết, ta xét tính ổn định phương trình đa thức xn + αx + β = (4.35) với x ∈ [−1, 1], ta có định nghĩa sau Định nghĩa 4.1 (Xem [12]) Phương trình (4.35) gọi ổn định tồn số K > 0, với ε > 0, y ∈ [−1, 1], |y n + αy + β| ≤ ε, tồn vài z ∈ [−1, 1] thỏa mãn z n + αz + β = cho |y − z| < Kε Định lý 4.3 (Xem [12]) Nếu |α| > n, |β| < |α| − 1, y ∈ [−1, 1] thỏa mãn bất đẳng thức sau |y n + αy + β| ≤ ε, (4.36) Khi tồn nghiệm v ∈ [−1, 1] (4.35) cho |y − v| ≤ Kε, với K > số Footer Page 23 of 126 (4.37) 22 Header Page 24 of 126 Định nghĩa 4.2 (Xem [12]) Phương trình (4.34) gọi ổn định tồn số K > 0, với ε > 0, y ∈ [−1, 1], an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ≤ ε, (4.38) tồn vài z ∈ [−1, 1] thỏa mãn an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = cho |y − z| ≤ Kε Định lý 4.4 (Xem [12]) Cho phương trình an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = Nếu |a0 | < |a1 | − (|a2 | + |a3 | + · · · + |an |), (4.39) |a1 | > |a2 | + |a3 | + · · · + (n − 1) |an−1 | + n |an | (4.40) Khi phương trình tồn nghiệm v ∈ [−1, 1] Định lý 4.5 (Xem [12]) Nếu điều kiện định lý (4.4) y ∈ [−1, 1] thỏa mãn bất đẳng thức an y n + an−1 y n−1 + · · · + a1 y + a0 ≤ ε, (4.45) Khi phương trình (4.34) ổn định 4.3 Tính ổn định phương trình dạng toàn phương Trước hết ta định nghĩa phương trình dạng toàn phương Hàm bậc hai f (x) = cx2 thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y) (4.47) mà phương trình (4.47) gọi phương trình hàm dạng toàn phương Định lý 4.6 (Xem [9]) Cho G nhóm Aben, X không gian Banach hàm f : G → X , hàm toàn phương (x, y) → f (x + y) − f (x − y) − 2f (x) − 2f (y) bị chặn, với x, y ∈ G Khi tồn hàm toàn phương q : G → X với f − q bị chặn, để với δ > 0, |f (x + y) − f (x − y) − 2f (x) − 2f (y)| ≤ δ, x, y ∈ G (4.48) tồn ánh xạ toàn phương q : G → X để δ |f (x) − q (x)| ≤ , ∀x ∈ G Footer Page 24 of 126 (4.49) 23 Header Page 25 of 126 Ngoài ra, hàm q cho f (2n x) q (x) = lim , ∀x ∈ G x→∞ 4n (4.50) Bổ đề 4.1 (Xem [9].) Giả sử f : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức |f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − 2f (y)| ≤ ϕ(x, y), ∀x, y ∈ X (4.52) Khi với x ∈ X n ∈ N, ta có n−1 n n |f (2 x) − f (x)| ≤ k=0 k1 n−1 4k ϕ(2n−1−k x, 2n−1−k x) ϕ(0, 0) + (4.53) k=0 Bổ đề 4.2 (Xem [9].) Giả sử f : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức |f (x + y + z) + f (x − y) + f (y − z) + f (z − x) − 3f (x) − 3f (y) − 3f (z)| ≤ δ (4.56) với x, y, z ∈ X δ ≥ Khi với x ∈ X n ∈ N, n 32(k−1) f (3 x) − f (x) ≤ δ k=1 n Footer Page 25 of 126 2n (4.57) 24 Header Page 26 of 126 Kết luận Luận văn trình bày hệ thống kiến thức "Về tính ổn định phương trình hàm bản", mà cụ thể: - Trình bày lại số khái niệm phương trình hàm hàm cộng tính, nhân tính, hàm logarit hàm lũy thừa, thông qua khảo sát tính ổn định phương trình hàm - Tiếp theo, xét mối quan hệ đại lượng trung bình (trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa) thông qua việc tìm hiểu tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình tương ứng - Trình bày khái niệm khảo sát tính ổn định phương trình hàm dạng D’Alembert (phương trình hàm cosin, phương trình hàm sin phương trình hàm có dạng f (x + y) + g(x − y) = h(x)ϕ(y)) - Qua xét thêm tính ổn định phương trình hàm khác phương trình sóng, phương trình đa thức phương trình toàn phương - Hơn nữa, luận văn tập hợp số dạng tập tiêu biểu gặp việc bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề nâng cao phương trình hàm Tác giả mong muốn luận văn phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy phương trình hàm nhà trường, tương lai Footer Page 26 of 126 ... Chương Trình bày tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp phép tính số học phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính, hàm logarit hàm lũy thừa Chương Trình bày tính ổn định phương trình. .. thấy phương trình hàm có tính ổn định Xuất phát từ nhu cầu nghiên cứu tìm hiểu vấn đề định chọn đề tài “VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN” Mục đích nghiên cứu Luận văn "Về tính ổn định. .. định phương trình hàm bản" nhằm khảo sát tính ổn định phương trình hàm bản, cụ thể phương trình hàm chuyển tiếp phép tính số học, phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình bản, phương trình