Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Thầy đã hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên, khích lệ tác giả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua khó khăn trong việc nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn lớn lao, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với Thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo tỉnh Lào Cai, Sở GD-ĐT tỉnh Lào Cai, Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông số III Bảo Yên cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Phạm Trọng Dần LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Nguyễn Năng Tâm. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Phạm Trọng Dần Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu v Mở đầu 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Không gian Euclid R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Tích vô hướng và chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Tập đóng và tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4. Tập bị chặn, tập compact . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Tập lồi, hàm lồi, hàm lồi suy rộng . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Tập lồi - tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. Hàm lồi suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Không gian tôpô lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 iii 1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương . . . . . . . . . . 11 1.3.4. Nón lồi và nón lùi xa của tập lồi . . . . . . . . . . 12 1.4. Hàm Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Hàm toàn phương và bài toán quy hoạch toàn phương . 14 1.6.1. Hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.2. Bài toán quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . 16 2 DƯỚI VI PHÂN DƯỚI CỦA HÀM TOÀN PHƯƠNG 18 2.1. Khái niệm dưới vi phân dưới . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Dưới vi phân dưới bị chặn của hàm toàn phương . . . . . 19 2.3. Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương . . . . . . . . . 30 3 ỨNG DỤNG CỦA DƯỚI VI PHÂN DƯỚI VÀO BÀI TOÁN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG 46 3.1. Bài toán tối ưu toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2. Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Thuật toán tìm nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 iv BẢNG KÝ HIỆU R Tập số thực R R ∪ (−∞; +∞) R n Không gian Euclide n - chiều R s n×n Tập các ma trận thực đối xứng n × n R m×n Tập các ma trận thực m × n x; y Tích vô hướng của x và y x Chuẩn của x B  x 0 ; ε  Hình cầu mở tâm x 0 bán kính ε intK Phần trong của tập K K Bao đóng của tập K affK Bao afine của tập K coK Bao lồi của tập K O + D Nón lùi xa của tập D N Hằng số Lipschitz Π H Phép chiếu lên siêu phẳng H Q(x) = 1 2 x T Ax + b T x Hàm toàn phương ∇Q(x 0 ) Đạo hàm của Q(x) tại x 0 ∂ − f(x) Dưới vi phân dưới của f tại x  Kết thúc chứng minh 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm dưới vi phân dưới được giới thiệu bởi Plastria [10] xem như một sự nới lỏng khái niệm dưới vi phân trong giải tích lồi. Động cơ thúc đẩy việc đưa ra khái niệm mới này là thuật toán, từ khi Plastria chứng minh rằng, phương pháp mặt phẳng cắt cổ điển của Kelley cũng dùng được cho bài toán tối ưu lồi, dưới một số giả thiết thích hợp sử dụng dưới gradient dưới để sinh ra những mặt phẳng cắt. Plastria cũng lưu ý rằng, tính dưới khả vi dưới của hàm số suy ra tính tựa lồi. Sau đó mối liên quan giữa khái niệm dưới vi phân dưới với một số khái niệm khác đã được nghiên cứu bởi Greenberg và Pierskalla [4]. Một số kết quả của dưới vi phân dưới của hàm số được định nghĩa trong không gian lồi và được ứng dụng vào các bài toán trong lĩnh vực quy hoạch phân thức. Tính tựa lồi của hàm toàn phương được nghiên cứu bởi một số tác giả [3]. Động cơ thúc đẩy họ là sự tin tưởng khái niệm dưới vi phân dưới là điều kiện chắc chắn thích hợp mà ta đặt cho hàm tựa lồi để tạo nên một lý thuyết, ở một mức độ nào đó, song song với giải tích lồi. Sau khi học được các kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng. Tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “ Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng ”. 2. Mục đích nghiên cứu Để hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng. Đồng thời thu nhận được kiến thức về dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Hàm toàn phương, dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và bài toán tối ưu với hàm mục tiêu là hàm toàn phương. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và bài toán tối ưu với hàm mục tiêu là hàm toàn phương. 6. Dự kiến đóng góp mới Một tổng quan về dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày những khái niệm cơ bản dùng trong không gian Euclid R n và một số kiến thức có liên quan khác, xem như là công cụ sẽ dùng đến trong các chương sau. Những điều không chứng minh sẽ được tìm thấy trong [1] [2]. 1.1. Không gian Euclid R n Tập hợp R n =  x = (x 1 , x 2 , , x n ) T | x 1 , x 2 , , x n ∈ R  trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ) T với hai phép toán (x 1 , , x n ) T + (y 1 , , y n ) T = (x 1 + y 1 , , x n + y n ) T λ(x 1 , , x n ) T = (λx 1 , , λx n ) T , λ ∈ R lập thành một không gian véc tơ thực n - chiều. Nếu x = (x 1 , , x n ) T ∈ R n thì x i gọi là thành phần tọa độ thứ i của x. Véc tơ không của không gian này gọi là gốc của R n và được kí hiệu là 0, vậy 0 = (0, , 0) T . 3 4 Ta gọi hệ e 1 = (1, 0, , 0) T ; e 2 = (0, 1, 0, , 0) T ; ; e n = (0, , 0, 1) T là cơ sở chính tắc của không gian R n . 1.1.1. Tích vô hướng và chuẩn Trong không gian R n ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc ., . như sau: với x = (x 1 , , x n ) T , y = (y 1 , , y n ) T ∈ R n , x, y = n  i=1 x i y i Khi đó với mọi x = x 1 , , x n ) T ∈ R n ta định nghĩa x =  x, x =     n  i=1 x 2 i và gọi là chuẩn Euclid của véc tơ x. 1.1.2. Tập đóng và tập mở Định nghĩa 1.1.1. Cho x 0 ∈ R n ,ε > 0 ,ta gọi tập B(x 0 , ε) =  x ∈ R n |   x − x 0   < ε  là hình cầu mở trong R n có tâm tại x 0 , bán kính ε. Định nghĩa 1.1.2. Tập K ⊂ R n được gọi là tập mở nếu với mọi x 0 ∈ U tồn tại ε > 0 sao cho B(x 0 , ε) ⊂ K. Tập L ⊂ R n gọi là tập đóng nếu tập R n \L là tập mở. Định nghĩa 1.1.3. Cho K là tập con bất kì trong R n . Kí hiệu {U i (K)} i∈I là họ tất cả các tập mở chứa trong K. {F j (K)} j∈J là họ tất cả các tập đóng chứa trong K. Ta có U = ∪ i∈I U i (K) là tập mở và F = ∩ j∈J F j (K) là tập đóng. Tập U gọi là phần trong của K và kí hiệu: intK. Tập F gọi là bao đóng của K và kí hiệu: K 5 Ta có một số kết quả: (i) K là tập mở khi và chỉ khi K = intK. (ii) K là tập đóng khi và chỉ khi K = K. 1.1.3. Sự hội tụ Định nghĩa 1.1.4. Dãy điểm  x k  trong R n gọi là hội tụ đến x 0 ∈ R n khi k → ∞ nếu dãy số   x k − x 0   hội tụ tới 0 ∈ R khi k → ∞. Khi đó ta gọi x 0 là giới hạn của dãy  x k  và kí hiệu x k → x 0 . Ta nói x ∈ R n tiến đến x 0 ∈ R n . Kí hiệu x → x 0 nếu   x − x 0   → 0. Dễ dàng chứng minh được tính chất sau: Tập A ⊂ R n được gọi là tập đóng khi và chỉ khi với mọi dãy  x k  ⊂ A mà x k hội tụ đến x 0 thì x 0 ∈ A. 1.1.4. Tập bị chặn, tập compact Định nghĩa 1.1.5. Tập K trong R n được gọi là tập bị chặn nếu tồn tại m > 0 sao cho x < m với mọi x ∈ K. Định nghĩa 1.1.6. Tập K trong R n được gọi là tập compact nếu mọi dãy  x k  trong K đều có dãy con  x k m  hội tụ đến một điểm x ∗ ∈ K. Định lý 1.1.1. Tập K ⊂ R n compact khi và chỉ khi K là tập đóng và bị chặn. [...]... phân dưới của hàm toàn phương và một số tính chất đặc trưng của nó 2.1 Khái niệm dưới vi phân dưới Định nghĩa 2.1.1 Cho K ⊂ Rn và f : K → R Ta nói f là dưới khả vi dưới của x nếu f (x) ∈ R và ∃x∗ ∈ Rn thỏa mãn f (y) ≥ f (x) + (x∗ ) T (y − x) với mọi y ∈ K mà f (y) < f (x) Véc tơ x∗ được gọi là dưới gradient dưới của f tại x Tập hợp các dưới gradient dưới của f tại x được gọi là dưới vi phân dưới của. .. điều phải chứng minh Bổ đề 2.2.2 Cho K ⊂ Rn là tập lồi và f : clK → R là hàm liên tục Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (i) f là dưới khả vi dưới bị chặn trên riK với N là cận của dưới vi phân dưới bị chặn f (ii) f là dưới khả vi dưới bị chặn trên K với N là cận của dưới vi phân dưới bị chặn f (iiii) f là dưới khả vi dưới bị chặn trên clK với N là cận của dưới vi phân dưới bị chặn f Chứng minh Tương... sử dụng phép biến đổi h trong các chứng minh trên và chú ý sau định lí 2.2.1, ta dễ dàng chứng minh được Q là bị chặn dưới trên K khi Q là dưới vi phân dưới trên riK(kết quả này yếu hơn khẳng định (iii) => (i) của hệ quả 2.2.2) 2.3 Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương Ta nhận thấy hẳng định sau đây không đúng: Mọi dưới khả vi dưới của hàm toàn phương, tựa lồi thực sự trên tập lồi phải là dưới khả vi. .. dưới vi phân dưới của f tại x và được kí hiệu là ∂ − f (x) Cho f : K → R Ta nói rằng f là dưới khả vi dưới trên K nếu nó là dưới khả vi dưới tại mọi điểm x ∈ K (Ta thường vi t tắt dưới vi phân dưới là l.s.d) 18 19 2.2 Dưới vi phân dưới bị chặn của hàm toàn phương Nếu tồn tại N > 0 sao cho ∂ − f (x)∩B(O; N ) = ∅ với mọi x ∈ K ta nói rằng f là dưới khả vi dưới bị chặn (vi t tắt là b.l.s.d), trong trường... vi dưới bị chặn Ví dụ 2.3.1 Cho K = x = (x1 ; x2 )T ∈ R2 |x1 ≥ 1, 1 ≤ x2 ≤ 2 và lấy Q(x) = −x1 x2 Ta có: 2 Q(x) ∈ ∂ − Q|K (x) với mọi x ∈ K do đó Q là dưới vi phân dưới trên K Tuy nhiên Q không phải là dưới khả vi dưới bị chặn nếu nó không phải hàm Lipschitz Các tính chất của dưới vi phân dưới bị chặn của hàm toàn phương được cung cấp ở phần trên một cách rõ ràng; điều kiện đủ để một hàm toàn phương. .. dụng Trường hợp n = 1 ta thấy hàm toàn phương như trên có dạng hàm bậc hai f (x) = ax2 + bx Theo định lý trên ta thấy hàm bậc hai là hàm lồi khi a > 0 Dựa vào các kết quả của S.Schaible [12], các tính chất của hàm toàn phương, tựa lồi, ta có các kết quả sau: 1 Định lý 1.6.2 Cho K ⊂ Rn là thể lồi và Q(x) = xT Ax + bT x 2 Khi đó Q là tựa lồi, nhưng không lồi trên K khi và chỉ khi rankA = rank(A; b) và. .. được gọi là cận của dưới vi phân dưới bị chặn f Bổ đề 2.2.1 Cho K ⊂ Rn là tập lồi và f : clK → R là hàm liên tục Khi đó các mệnh đề sau tương đương (i) f là hàm tựa lồi trên riK (ii) f là hàm tựa lồi trên K (iii) f là hàm tựa lồi trên clK Chứng minh Do riK ⊂ K ⊂ clK nên các chứng minh từ (iii) => (ii) =>(i) là hiển nhiên Ta chỉ cần chứng minh (i) => (iii) Cho x và y là 2 điểm thuộc clK và λ ∈ [0; 1]... khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: (i)∆(C; d) = ∅ (ii) Nếu v ∈ Rn và Cv ≥ 0 thì v T Av ≥ 0 (iii) Nếu v ∈ Rn và x ∈ Rn thỏa mãn Cv ≥ 0, v T Av = 0 và Cx ≥ d thì (Ax + b)T v ≥ 0 17 Kết luận Chương 1 đã trình bày một số kiến thức có liên quan làm cơ sở để trình bày các kiến thức trong các chương tiếp theo Chương 2 DƯỚI VI PHÂN DƯỚI CỦA HÀM TOÀN PHƯƠNG Chương 2 trình bày khái niệm dưới vi phân. .. tính chất đặc trưng của hàm toàn phương tựa lồi thực sự là tính dưới khả vi dưới bị chặn, thể hiện qua định lý sau: 1 Định lý 2.2.1 Cho K ⊂ Rn là tập lồi chặt và Q(x) = 2 xT Ax + bT x là hàm tựa lồi thực sự trên K Khi đó các khẳng định sau tương đương: (i) Q là dưới khả vi dưới bị chặn trên K (ii) Q là hàm Lipschitz trên K (iii) Q là bị chặn dưới trên K (iv) AK là bị chặn 23 Chứng minh Khẳng định... trên Rs n×n và xT Ax = 0 ⇔ x = 0 (iii) A được gọi là nửa xác định âm (xác định âm) nếu −A là nửa xác định dương (xác định dương) Ta kí hiệu:  a1  diag(a1 , , an ) =   0    0  an 14 1.6 Hàm toàn phương và bài toán quy hoạch toàn phương 1.6.1 Hàm toàn phương Trong luận văn này ta xét hàm toàn phương Q : Rn → R được cho 1 dưới dạng: Q(x) = xT Ax + bT x , trong đó A là ma trận thực đối xứng 2 n cấp . hệ và ứng dụng của chúng. Đồng thời thu nhận được kiến thức về dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng. 4 DƯỚI CỦA HÀM TOÀN PHƯƠNG 18 2.1. Khái niệm dưới vi phân dưới . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Dưới vi phân dưới bị chặn của hàm toàn phương . . . . . 19 2.3. Dưới vi phân dưới của hàm toàn. phương và ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Hàm toàn phương, dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và bài toán tối ưu với hàm mục tiêu là hàm toàn phương. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên