Tính h khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐOÀN HƯƠNG GIANG TÍNH H-KHẢ VI CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN HỒNG THÁI ĐOÀN HƯƠNG GIANG TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SUY RỘNG TÍNH H-KHẢ VI Toán giải tíchNguyww CỦAChuyên HÀM ngành: NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 02 Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số:SĨ60TOÁN 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC HỌCTRÍ Người hướng dẫn khoa học: SĨ TS.TOÁN TẠ NGỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm HÀ NỘI, 2014 HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Đoàn Hương Giang Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính H-khả vi hàm nhiều biến ứng dụng” hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Đoàn Hương Giang BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU R đường thẳng thực Rn không gian Euclid n-chiều Rn×n không gian ma trận cấp n x, y tích vô hướng x y . chuẩn không gian Rn Ω bao đóng tập Ω f :X→Y ánh xạ từ X vào Y Φ:X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y inf f cận ánh xạ f sup f cận ánh xạ f f giá trị nhỏ ánh xạ f max f giá trị lớn ánh xạ f ker f ∂f ∂xi dom(f ) hạt nhân, hạch ánh xạ f f (x) đạo hàm f x ∇f (x) gradient f x f (x) đạo hàm bậc hai f x ∇2 f (x) ma trận Hessian f x đạo hàm riêng hàm f theo biến xi miền hữu hiệu f i Mục lục Bảng ký hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Một số khái niệm Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Một số tính chất Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Định nghĩa hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Miền xác định hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Giới hạn hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Tính liên tục hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Tính khả vi hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Một số khái niệm đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Một số ký hiệu định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Hàm C-khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3. Hàm khả vi Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Tính H-khả vi hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . 14 2.1. H-vi phân H-khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Định nghĩa ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ii 2.1.2. Một số tính chất H-khả vi, H-vi phân . . . . . . 19 2.2. Mối liên hệ với số khái niệm đạo hàm suy rộng . . . . . . . . 21 2.3. Ứng dụng tính H-khả vi vào toán tối ưu hóa toán bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1. Điều kiện cần tối ưu toán cực tiểu địa phương hàm H-khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2. Bài toán bù phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 iii Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Năm 1998, Gowda Ravindran “Algebraic univalence theorems for nonsmooth functions” (Research Report, Department of Mathematics and Statistics, University of Maryland, Baltimore, MD 21250, March 15, 1998) đưa khái niệm H-khả vi H-vi phân cho ánh xạ f từ Rn vào Rn đạo hàm Fréchet hàm khả vi, Jacobian suy rộng Clarke hàm Lipschitzian địa phương, vi phân Bouligand hàm nửa liên tục C-vi phân hàm C-khả vi trường hợp riêng H-vi phân. Từ đến nay, nhiều tác giả nghiên cứu tính H-khả vi hàm nhiều biến ứng dụng toán ứng dụng (xem [4] tài liệu dẫn đó). Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng toán giải tích, đặc biệt là: “Lý thuyết đạo hàm suy rộng ứng dụng”, chọn đề tài “Tính H-khả vi hàm nhiều biến ứng dụng” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu Đạt hiểu biết tốt tính H-khả vi hàm nhiều biến ứng dụng vào Tối ưu hóa Bài toán bù. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khảo sát tính H-khả vi hàm nhiều biến ứng dụng vào Tối ưu hóa Bài toán bù. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Hàm nhiều biến. - Đối tượng nghiên cứu: Tính H-khả vi hàm nhiều biến ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu: Các báo đăng sách in liên quan mật thiết đến tính H-khả vi hàm nhiều biến ứng dụng. - Sử dụng phương pháp Toán giải tích. 6. Dự kiến đóng góp đề tài - Một tổng quan tính H-khả vi hàm nhiều biến ứng dụng. Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta trình bày khái niệm hàm không gian Rn với tính chất nó. Những kiến thức trình bày chương chọn chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3]. 1.1. Không gian Rn 1.1.1. Một số khái niệm Rn Định nghĩa 1.1. Một điểm không gian Rn n số có thứ tự (x1 , x2 , ., xn ). Ta thường kí hiệu x = (x1 , x2 , ., xn ). Số xi (i = 1, n) gọi tọa độ thứ i điểm x. Kí hiệu điểm gốc = (0, 0, ., 0). Định nghĩa 1.2. Tích vô hướng hai véctơ x = (x1 , x2 , ., xn ) y = (y1 , y2 , ., yn ) số (ký hiệu x.y, (x, y) hay x, y ) xác định sau: x, y := x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn . Định nghĩa 1.3. Chuẩn (hay độ dài) véctơ x, ký hiệu x , số √ xác định sau: x = x, x hay x = x1 + x2 + . + xn . Khoảng cách hai véctơ x y chuẩn hiệu hai véctơ đó: x−y = x − y, x − y = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . + (xn − yn )2 . Định nghĩa 1.4. Phép tương ứng A từ không gian Rn vào không gian Rn gọi ánh xạ tuyến tính có tính chất: ma trận đường chéo thỏa mãn điều kiện: (1 − vi )2 + (1 − wi )2 ∈ (0, 2), ∀i = 1, 2, ., n và:     1−        vi = −          tùy ý, −2(ai − fi (a)) + λai , i∈ / J(a) (ai + fi (a)) + λai fi (a) −2(di − Ai d) + λdi , (di − Ai d) + λdi (Ai d) i ∈ J(a), (di − Ai d)2 + λdi (Ai d) > i ∈ J(a), (di − Ai d)2 + λdi (Ai d) = (2.6)   −2(ai − fi (a)) + λfi (a)   − , i∈ / J(a)     (ai + fi (a)) + λai fi (a)    wi = − −2(di − Ai d) + λAi di , i ∈ J(a), (di − Ai d)2 + λdi (Ai d) >    (d − A d) + λdi (Ai d)  i i      tùy ý, i ∈ J(a), (di − Ai d)2 + λdi (Ai d) = (2.7) Ví dụ 2.10. Hàm NCP gọi hàm Fischer-Burmeister Φλ (x) := λΦF (x) + (1 − λ)x+ f (x)+ , x+ = max{0, x} λ ∈ (0,1) tham số cố định. Cho J(a) = {i : fi (a) = = ai}, K(a) = {i : > 0, fi (a) > 0}. Với Φλ xác định trên, ta H-vi phân cho S(a) = {V A+W : (A, V, W, d) ∈ Γ}, Γ dãy bốn (A, V, W, d) với A ∈ T (a), d = 1, V = diag(vi ), W = diag(wi ) ma trận 30 đường chéo với:       fi (a)      λ 1 −  + (1 − λ)ai ,     + [fi (a)]          Ai d     λ 1 − , 2 vi = di + (Ai d)         fi (a)      λ 1 − ,     + [fi (a)]       tùy ý, i ∈ K(a) i ∈ J(a), d2i + (Ai d)2 > i∈ / J(a) ∪ K(a) i ∈ J(a), d2i + (Ai d)2 = (2.8) wi =          λ 1 −                λ 1 −            λ 1 −           tùy ý,    + (1 − λ)fi (a), i ∈ K(a) + [fi (a)]2  di d2i + (Ai d)2 i ∈ J(a), d2i + (Ai d)2 >  ,  + [fi (a)] i∈ / J(a) ∪ K(a)  , i ∈ J(a), d2i + (Ai d)2 = (2.9) Ví dụ 2.11. Với hàm H-khả vi f : Rn → Rn , xét hàm NCP: Φ(x) = min{x, f (x)}. Ta cần có H-vi phân Φ a cho bởi: TΦ (a) = {V A + W : V = diag(vi ), W = diag(wi ); 31 vi , wi ∈ {0, 1}, V + W = I, A ∈ Tf (a)} Để có điều này, cho xk → a. Do tính H-khả vi f , tồn dãy {xk } (để đơn giản ta viết {xk }) ma trận A ∈ Tf (a) cho: f (xk ) − f (a) − A(xk − a) = 0( xk − a ). Bằng cách lấy dãy thích hợp, cần, ta viết {1, ., n} hợp rời dãy α, β đó: α = {i : Φi (xk ) = fi (xk ), ∀k}, β = {i : Φi (xk ) = xki , ∀k}.    1, i ∈ α  0, i ∈ α Đặt vi = ;w = ;  0, i ∈ β i  1, i ∈ β V = diag(vi ), W = diag(wi ), B := V A + W Ta Φ(xk ) − Φ(a) − B(xk − a) = 0( xk − a ). Để có điều này, ta cố định số j ra: Φj (xk ) − Φj (a) − [B(xk − a)]j = 0( xk − a ). Cho j = để đơn giản, ta có trường hợp: Trường hợp 1: ∈ α [Φ(xk ) − Φ(a) − (V A + W)(xk − a)]1 = f1 (xk ) − f1 (a) − [V A(xk − a)]1 − [W (xk − a)]1 = [f (xk ) − f (a) − A(xk − a)]1 = 0( xk − a ). Trường hợp 2: ∈ β Dễ thấy Φ1 (xk ) − Φ1 (a) − [B(xk − a)]1 = = 0( xk − a ). Vậy ta có điều cần chứng minh. 32 Tiếp theo, ta tìm hiểu H-vi phân hàm merit Cho hàm f : Rn → Rn , xét hàm NCP liên hợp Φ cho định nghĩa 1.22. Hàm merit tương ứng với Φ cho công thức Ψ = Φ . Định lý 2.5. Giả sử Φ H-khả vi a với S(a) H-vi phân. Khi đó, Ψ := Φ H-khả vi a với H-vi phân cho bởi: TΨ (a) = {Φ(a)T B : B ∈ S(a)}. Chứng minh. Xét dãy {a + tk dk } với tk ↓ 0, dk = 1, ∀k. Khi đó, tồn j dk → d ∈ Rn B ∈ S(a) cho: j j Φ(a + tkj dk ) − Φ(a) − B(tkj dk ) = 0(tkj ). Ta có: Ψ(a + tkj dkj ) − Ψ(a) 1 = Φ(a + tkj dkj ), Φ(a + tkj dkj ) − Φ(a), Φ(a) 2 1 = Φ(a) + B(tkj dkj ) + 0(tkj ), Φ(a) + B(tkj dkj ) + 0(tkj ) − Φ(a), Φ(a) 2 Ψ(a + tkj dkj ) − Ψ(a) Điều cho ta lim = Φ(a), Bd = Φ(a)T Bd. tkj ↓0 tkj Ta có điều phải chứng minh. Cực tiểu hóa hàm merit P0 -điều kiện Cho hàm f : Rn → Rn , xét hàm NCP liên hợp Φ cho định nghĩa 1.22. Hàm merit tương ứng với Φ cho công thức Ψ = Φ . Ta nhắc lại: Ψ(a) = ⇔ Φ(a) = ⇔ a nghiệm NCP(f ). Một công thức thường dùng để tìm phần tử không Φ tìm điểm cực tiểu địa phương/toàn cục hay điểm “dừng” Φ. Những nghiên cứu 33 khác rằng, chắn P0 -điều kiện f khả vi liên tục, hay tổng quát hàm Lipschitz địa phương, điểm “dừng” Ψ phần tử không Ψ. Theo đó, ta bắt đầu với hàm H-khả vi f điều kiện thích hợp, véctơ a nghiệm hàm NCP(f ) phần tử không thuộc tập TΨ (a), coTΨ (a), coTΨ (a). Định lý 2.6. Giả sử hàm f : Rn → Rn H-khả vi a với H-vi phân T (a). Giả sử Φ hàm NCP f . Giả thiết Ψ := Φ H-khả vi a với H-vi phân cho bởi: TΨ (a) = {Φ(a)T [V A + W ] : A ∈ T (a), V = diag(vi ), W = diag(wi ); vi .wi > 0, Φi (a) = 0} Hơn nữa, giả sử T (a) gồm P0 -ma trận. Khi đó, ∈ TΨ (a) ⇔ Φ(a) = 0. Chứng minh. Rõ ràng, Φ(a) = suy TΨ (a) = {0} theo định nghĩa TΨ (a). Ngược lại, giả sử ∈ TΨ (a): Ta suy với Φ(a)T [V A + W ] ∈ TΨ (a), = Φ(a)T V A + Φ(a)T W cho ta AT y + z = với y = V T Φ(a), z = W T Φ(a). Chú ý rằng, với số i thì: Φi (a) = ⇔ yi = (Vì y = V Φ(a)và vi .wi > Φi (a) = 0). Trong trường hợp, yi (AT y)i = −vi .wi[Φi (a)]2 < 0. Vì Φ(a) = 0, đó, max{yj =0} yj (AT y)j < 0, trái với Po -thuộc tính A. Ta kết luận Φ(a) = 0. 34 Trong hai định lý tiếp theo, ta thay điều kiện ∈ TΨ (a) điều kiện yếu ∈ coTΨ (a), ∈ coTΨ (a). Định nghĩa 2.2. Xét tập khác rỗng C Rn×n . Ta nói ma trận A hàng đại diện C với số i = 1, 2, ., n, hàng thứ i ma trận A hàng thứ i ma trận C ∈ C. Ta nói C hàng-P0 -thuộc tính (hàng-P -thuộc tính) với hàng đại diện C P0 -ma trận (P -ma trận). Ta nói C cột-P0 -thuộc tính (cột-P -thuộc tính) C T = {AT : A ∈ C} hàng-P0 -thuộc tính (hàng-P -thuộc tính). Mệnh đề 2.5. Một tập C hàng-P0 -thuộc tính (hàng-P -thuộc tính) với x khác không Rn , tồn số i cho xi = xi (Cx)i ≥ 0(> 0), ∀C ∈ C. Một dãy đơn giản mệnh đề cho sau: Bổ đề 2.1. Ta có phát biểu đây: (a) Giả sử có dãy ma trận {A1 , A2 , ., AL} hàng-Po -thuộc tính. Khi đó, với {V , V , ., V L} gồm ma trận đường chéo không ∗ L âm, tổng A = V j Aj Po -ma trận. j=1 Đặc biệt, với tổ hợp lồi Ai Po -ma trận: (b) Giả sử dãy ma trận {A1 , A2 , ., AL} hàng-P -thuộc tính. Khi đó, với {Y , ., Y L , Z ∗} ma trận đường chéo không âm L ∗ ∗ L với Y + . + Y + Z > 0, A = Y j Aj + Z ∗ P -ma trận. j=1 Chứng minh. (a) Cho x = Rn . Từ mệnh đề trên, tồn số i cho xi = xi (Aj x)i ≥ 0, ∀j = 1, ., L. Rõ ràng, xi (A∗ x)i = 35 L j=1 j (V j )ii[xi (Aj x)i] ≥ 0. Suy P0 -thuộc tính A∗ . Đặc biệt hóa với V s, ta có phát biểu trên. (b) Cho x = 0. Theo mệnh đề 2.5, tồn số i cho xi = xi (Aj x)i > 0, ∀j = 1, ., L. Ta có: xi (A∗ x)i = L j=1 (Y j )ii xi (Aj x)i + (Z ∗ )ii xi . Các số hạng tổng không âm. Nếu (Z ∗ )ii > 0, đó, xi (A∗ x)i > (vì xi > 0). Nếu (Z ∗ )ii = 0, đó, L j=1 (Y j )ii > 0, tức (Y j0 )ii > với số j0 . Vì xi (A x)i > 0, ta thấy xi (A∗ x)i > 0. Do đó, A∗ P -ma trận. j0 Định lý 2.7. Giả sử hàm f : Rn → Rn H-khả vi a với H-vi phân T (a). Giả sử Ψ H-khả vi a với H-vi phân cho bởi: TΨ (a) = {Φ(a)T [V A + W ] : A ∈ T (a), V = diag(vi ), W = diag(wi ); vi > 0, wi > 0, Φi (a) = 0} Hơn nữa, giả sử T (a) hàng-P -thuộc tính. Khi ∈ coTΨ (a) ⇔ Φ(a) = 0. Chứng minh. Giả sử Ψ(a) = 0. Khi đó, Φ(a) = ta có coTΨ (a) = {0}. Ngược lại, giả sử ∈ coTΨ (a). Khi đó, theo định lý Caretheodory, tồn Φ(a)T [V j Aj + W j ] ∈ TΨ (a) vô hướng λj với j = 1, 2, ., L (L ≤ n + 1) cho: L Φ(a)T λi[V i Ai + W i] 0= i=1 L λi = 1, λi > 0, ∀i ∈ {1, ., L}. đó, j=1 36 (2.10) Ta viết lại (2.10) sau: = Φ(a)T [Y A1 + . + Y L AL + Z + . + Z L] (2.11) đó, λi V i = Y i , λi Wi = Z i , ∀i. Khi đó, (2.11) trở thành = (M + Z ∗ )T u đó, u = Φ(a), M = Y A1 + . + Y L AL , Z ∗ = Z + . + Z L . Bây giờ, ta viết |D| = diag(|di |) với ma trận đường chéo D = diag(di ), ta kí hiệu Y i u = Y i u, Z i u = Z i u, ∀i. Vì đẳng thức = (M + Z ∗ )T u không đổi ta thay Y i Y i Z i Z i , ta giả sử Y i Z i không âm với ∀i. Ta giả sử, u = Φ(a) = 0. Từ hệ trên, ma trận M M T P0 -ma trận. Do đó, tồn số i cho ui∗ = ui∗ (M T u)i∗ ≥ 0. Từ Φ(a)i∗ = ui∗ = 0, ta thấy (Wj )i∗ i > đó, (Z∗ )i∗ i > 0. ∗ ∗ T ∗ ∗ Tuy nhiên ≤ ui∗ (M u)i∗ = ui∗ (−Z )i∗ = −(Z )i∗ i (ui∗ ) , mâu thuẫn ∗ ui∗ = 0. Như vậy, Φ(a) = u = 0. Chú ý. Định lý 2.6 2.7 tập lớn H-vi phân TΨ (a) = {φ(a)T B : B ∈ S(a)}, S(a) diễn tả ví dụ 2.8 (chú ý [φF (a)]i = ⇒ i ∈ / J(a) đó, từ (2.4), vi , wi > 0. Để đơn giản, ta thấy Định lý 2.6 2.7 vận dụng với hàm NCP sau: Φ(x) = x + f (x) − (x − f (x))2 + λxf (x); (làm sáng tỏ ví dụ 2.9) Φ(x) = λΦF (x) + (1 − λ)x+ f (x)+ (làm sáng tỏ ví dụ 2.10). Ta biểu diễn kết với hàm Fischer-Burmeister Φ. Tuy nhiên, Định lý 2.6 2.7, biểu diễn kết tổng quát với hàm NCP Φ bất kì. Để đơn giản, ta tránh xét với trường hợp tổng quát. 37 Định lý 2.8. Giả sử f : Rn → Rn H-khả vi a với H-vi phân T (a) compact có hàng- P0 -thuộc tính. Cho Φ hàm Fischer-Burmeister ví dụ 2.8 Ψ := Φ . Cho S(a) TΨ (a) ví dụ 2.8 định lý 2.5. Khi đó, điều sau tương đương: (i) a cực tiểu địa phương Ψ. (ii) ∈ coTΨ (a). (iii) Φ(a) = 0, tức a nghiệm toán N CP (f ). Chứng minh. Ta có (i) ⇒ (ii) suy từ định lý 2.3. Rõ ràng, (iii) ⇒ (i). Ta chứng minh (ii) ⇒ (iii). Giả sử ∈ coTΨ (a) giả thiết u = Φ(a) = 0. Khi đó, tồn dãy {C k } ma trận coS(a) cho = lim uT C k . Với C k tổ hợp lồi hầu hết n2 + ma trận có dạng V A + W ∈ S(a) với A ∈ T (a), V W thỏa mãn (2.2) (2.4). Vì T (a) compact V, W biến thiên tập biên R, ta giả sử C k → C, C tổ hợp lồi hầu hết n2 + ma trận có dạng V A + W ∈ S(a) với A ∈ T (a), V W ma trận đường chéo không âm thỏa mãn fi (a) điều kiện (2.2) với v i = − wi = − a2i + (fi (a))2 a2i + (fi (a))2 i ∈ / {fi (a) = = ai}. Từ = lim uT C k ta nhận đẳng thức tương tự (2.10) i i i với V , A , W thay tương ứng V i , Ai , W i . Bằng cách nhắc lại argument cho phần chứng minh định lý trước, ta thấy mâu thuẫn. Do đó, Φ(a) = . Ta có (ii) ⇒ (iii). Bây ta phát biểu hai hệ định lý với hàm Fischer38 Burmeister (với mục đích đơn giản hóa). Bổ đề 2.2. Cho f : Rn → Rn khả vi Φ(x) hàm Fischer1 Φ . Nếu f P0 -hàm, a cực tiểu Burmeister Ψ(x) = địa phương với Ψ a nghiệm toán N CP (f ). Bổ đề suy từ định lý 2.8 cách lấy T (a) = {∇f (a)}. Nếu ta giả thiết tính khả vi liên tục f bổ đề trên, ta nhận kết Facchinei Soares: với hàm f khả vi liên tục Po -hàm, với điểm dừng Ψ cho nghiệm N CP (f ). Bổ đề 2.3. Cho f : Rn → Rn hàm Lipschitzian. Cho Φ hàm Fischer-Burmeister Ψ(x) = Φ . Khi đó, điều tương đương ∈ ∂Ψ(a) ⇔ Ψ(a) = giữ điều kiện sau: (i) ∂f (a) gồm có P0 -ma trận; (ii) ∂B f (a) có hàng-P0 -thuộc tính. Chứng minh. Phát biểu tương đương với (i) trình bày Fisher. Thực sự, việc áp dụng định lý 2.6 với Tf (x) = ∂f (x) sử dụng kết ông ∂Ψ(x) ⊆ TΨ (x), ∀x, ta điều kiện tương đương với (i). Ta thấy điều kiện tương đương với (ii), giả sử (ii) giữ nguyên. Khi đó, bổ đề 2.1, ma trận ∂f (a) = co∂B f (a) Po -ma trận. Ta điều kiện (i) phát biểu tương đương. Chú ý. Điều kiện (ii) hệ đặc biệt có hiệu hàm f trơn khúc trường hợp ∂B f (a) gồm ma trận số dương. 39 Cực tiểu hóa hàm merit P0 -điều kiện Định lý tương tự định lý 2.6. Định lý 2.9. Giả sử f : Rn → Rn H-khả vi a với H-vi phân T (a). Giả sử Φ hàm NCP f . Giả thiết Ψ := Φ H-khả vi a với H-vi phân cho bởi: TΨ (a) = {Φ(a)T [V A + W ] : A ∈ T (a), V = diag(vi ), W = diag(wi ); vi wi > 0, vi + wi = 0, Φi (a) = 0} Hơn nữa, giả sử T (a) gồm P -ma trận. Khi đó, ∈ TΨ (a) ⇔ Φ(a) = 0. Chứng minh. Giả sử Φ(a) = 0. Khi đó, từ định nghĩa hàm TΨ (a), ta có TΨ (a) = {0}. Trái lại, giả sử ∈ TΨ (a), đó, với Φ(a)T [V A + W ] ∈ TΨ (a), = Φ(a)T V A+Φ(a)T W ⇒ AT y+z = đó, y = V T Φ(a), z = W T Φ(a). Ta cần có Φ(a) = 0. Giả sử, tồn tại, Φ(a) = 0. Nếu y = 0, z = 0, dẫn tới = y +z = (V T +W T )Φ(a) ⇒ Φi (a)(V + W )ii = 0, ∀i. Mâu thuẫn tồn i0 cho Φi0 (a) = 0, vi0 + wi0 = 0. Do y = yi (AT y)i = −zi yi = −vi wi Φi (a)2 ≤ 0, ∀i, mâu thuẫn với P -thuộc tính A. Do đó, Φ(a) = 0. Định lý 2.10. Giả sử f : Rn → Rn H-khả vi a với H-vi phân T (a). Giả sử Ψ H-khả vi a với H-vi phân cho bởi: TΨ (a) = {Φ(a)T [V A + W ] : A ∈ T (a), V = diag(vi ), W = diag(wi ); vi ,wi ≥ 0, vi +wi = 0, Φi (a) = 0} 40 Hơn nữa, giả sử T (a) hàng-P -thuộc tính. Khi đó: ∈ coTΨ (a) ⇔ Φ(a) = 0. Chứng minh. Ta chứng minh tương tự định lý 2.7. Để ∈ coTΨ (a) ⇔ Φ(a) = 0, ta tiếp tục chứng minh định lý 2.7. Ta có phát biểu (2.10) (2.11) cách đặt mà ta tính tổng (như trên) mà Y i Z i hàm không âm với i. Vì L i L ∗ i (Y + Z ) > 0, theo bổ đề 2.1 (ii), lấy Z = i=1 Z i > 0, ta thấy ma i=1 trận (2.11) không suy biến. Do đó, Φ(a) = 0. Hơn nữa, giả sử T (a) hàng-P -thuộc tính. Khi đó, ∈ coTΨ (a) ⇔ Φ(a) = 0. Cực tiểu hàm merit với điều kiện quy (chính quy chặt) Với hàm H-khả vi f a ∈ R, ta định nghĩa tập I = {1, 2, ., n}. C(a) := {i ∈ I : ≥ 0, fi (a) ≥ 0, fi (a) = 0};R(a) := I\C(a)} P (a) := {i ∈ R(a) : > 0, fi (a) > 0}; N (a) := R(a)\P (a). Định nghĩa 2.3. Giả sử có f, a tập số trên. Cho T (a) H-vi phân f a. Khi đó, véctơ a ∈ Rn gọi điểm quy (chính quy chặt) f tương ứng với H-vi phân T (a) với véctơ khác không z ∈ Rn cho zC = 0, zP > 0, zN < (2.12) tồn véctơ s ∈ Rn cho sP ≥ 0, sN ≤ 0, sR = 41 (2.13) sT AT z ≥ 0(> 0), ∀A ∈ T (a) (2.14) Định lý 2.11. Giả sử f : Rn → Rn H-khả vi a với H-vi phân T (a). Cho Φ hàm NCP thỏa mãn điều kiện sau: i ∈ P ⇒ Φi (a) > 0; i ∈ N ⇒ Φi (a) < 0; i ∈ C ⇒ Φi (a) = 0. Giả sử Ψ H-khả vi với H-vi phân cho bởi: TΨ (a) = {Φ(a)T [V A + W ] : A ∈ T (a), V = diag(vi ), W = diag(wi ); vi , wi > 0, Φ(a)i = 0} Khi đó, ∈ TΨ (a) a điểm quy a nghiệm toán N CP (f ). Chứng minh. Giả sử ∈ TΨ (a) a điểm quy. Khi đó, với hàm Φ(a)T [V A + W ] ∈ TΨ (a), = Φ(a)T V A + Φ(a)T W ⇒ AT z + y = (2.15) đó, z = V T Φ(a), y = W T Φ(a). Với s ∈ Rn , (2.15) cho kết sT AT z + sT y = 0. (2.16) Ta cần có Φ(a) = 0. Giả sử ngược lại, a không nghiệm NCP(f ). Khi đó, R = φ zC = 0, zP > 0, zN < 0. Vì a điểm quy y, z có dấu, cách lấy véctơ s ∈ Rn thỏa mãn (2.13)và (2.14), ta có: sT AT z ≥ 42 (2.17) sT y = sTC yC + sTP yP + sTN yN (2.18) Rõ ràng, (2.17) (2.18) mâu thuẫn với (2.16). Do đó, a nghiệm NCP(f ). Một phần định lý sau suy từ định nghĩa. Định lý 2.12. (Lời giải toán bù phi tuyến) Giả sử f : Rn → Rn H-khả vi a với H-vi phân T (a). Cho Φ hàm NCP thỏa mãn điều kiện sau: i ∈ P ⇒ Φi (a) > 0; i ∈ N ⇒ Φi (a) < 0; i ∈ C ⇒ Φi (a) = 0. Giả sử Ψ H-khả vi với H-vi phân cho TΨ (a) = {Φ(a)T [V A + W ] : A ∈ T (a), V = diag(vi ), W = diag(wi ); vi > 0, wi ≥ 0, Φ(a)i = 0} Khi đó, ∈ TΨ (a) a điểm quy a nghiệm toán N CP (f ). Kết luận Chương trình bày tính H-khả vi hàm nhiều biến ứng dụng vào việc khảo sát toán tối ưu toán bù phi tuyến. 43 Kết luận Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung sau: Khái niệm tính chất H−vi phân H−khả vi hàm nhiều biến. Một số ứng dụng H−vi phân H−khả vi hàm nhiều biến vào nghiên cứu toán tối ưu toán bù. Vì khả điều kiện có hạn, luận văn chắn tránh thiếu sót. Kính mong thầy cô đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn tốt hơn. 44 Tài liệu tham khảo 1. Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết Tối ưu không trơn, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội. 2. Tiếng Anh [2] F. H. Clarke (1990), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia. [3] L. Qi (1996), “C-differentiability, C-differential Operators and Generalized Newton methods”, Research Report, School of Mathematics, The University of New SouthWales, Sydney, New SouthWales 2052, Australia, Jan. 1996. [4] M.S. Gowda and G. Ravindran (2000), Algebraic Univalence Theorems for Nonsmooth Functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications 252, pp. 917-935. [5] M. A. Tawhid, M. S. Gowda (2000), On Two Applications of HDifferentiability to Optimization and Complementarity Problems, Computational Optimization and Applications 17, pp. 279–299. 45 [...]... địa phương của h m H- khả vi Ứng dụng thứ hai, ta xét bài toán bù phi tuyến ứng với h m H- khả vi và chỉ ra rằng, với điều kiện thích h p về H- vi phân của f , cực tiểu h a h m merit tương ứng với f dẫn tới lời giải của bài toán bù phi tuyến Hai ứng dụng này được vận dụng bởi rất nhiều những nhà nghiên cứu trên C 1 , h m lồi, h m Lipschitz địa phương và h m nửa liên tục Những nội dung trình bày trong chương... những P0 -ma trận (P -ma trận) 22 (d) f là H- khả vi trên Rn và với mọi x ∈ Rn , H- vi phân Tf (x) gồm những P0 -ma trận (P -ma trận) 2.3 Ứng dụng của tính H- khả vi vào bài toán tối ưu h a và bài toán bù Ta tìm hiểu hai ứng dụng của tính H- khả vi Ứng dụng thứ nhất, ta xét điều kiện cần tối ưu của bài toán cực tiểu địa phương của h m H- khả vi Ứng dụng thứ hai, ta xét bài toán bù phi tuyến ứng với h m H- khả. ..  là h m NCP           φ(xn , fn (x)) của NCP (f ) Kết luận Trong chương này, ta đã trình bày một số nội dung cơ bản về h m nhiều biến Những kiến thức này sẽ sử dụng đến trong chương sau 13 Chương 2 Tính H- khả vi của h m nhiều biến Trong chương này, ta nghiên cứu khái niệm H- khả vi của h m nhiều biến và xét hai ứng dụng của H- khả vi Ứng dụng thứ nhất, ta xét điều kiện cần tối ưu của bài... h m H- khả vi và chỉ ra rằng, với điều kiện thích h p về H- vi phân của f , cực tiểu h a h m merit tương ứng với f dẫn tới lời giải của bài toán bù phi tuyến 2.3.1 Điều kiện cần tối ưu của bài toán cực tiểu địa phương của h m H- khả vi Để có được điều kiện cần tối ưu của bài toán tối ưu liên quan đến h m H- khả vi, trước tiên, ta xét tính H- khả vi của những h m H- khả vi cực đại hoặc cực tiểu Định lý 2.2... δ ⇒ L > 0 thì f (x) − f (a) ≤ L x − a (v) Một h m C -khả vi là H- khả vi với H- vi phân cho bởi C -vi phân Thật vậy, giả sử f : Rn → Rn là h m C -khả vi Với mỗi a ∈ Rn , tồn tại tập compact khác rỗng T (a) sao cho với mỗi V ∈ T (x) thì f (x) − f (a) − V (x − a) = o( x − a ) Do đó, f là H- khả vi với H- vi phân cho bởi C -vi phân V (x − a) 2.1.2 Một số tính chất cơ bản của H- khả vi, H- vi phân Mệnh đề 2.1 Giả... một h m n biến xác định trên D D được gọi là miền xác định của h m f ; x1 , x2 , , xn là các biến độc lập còn u gọi là biến phụ thuộc 1.2.2 Miền xác định của h m nhiều biến Người ta quy ước: Nếu cho h m u = f (M ) mà không nói gì về miền xác định D của nó thì ta hiểu rằng miền xác định D của h m là tập h p các điểm sao cho biểu thức f (M ) có nghĩa 1.2.3 Giới h n của h m nhiều biến Định nghĩa 1.8 Cho... là mở và f, g từ Ω tới Rn là H- khả vi tại a ∈ Ω với H- vi phân T (a) và S(a) tương ứng Khi đó, f + g là H- khả vi với H- vi phân cho bởi: (T + S)(a) := {A + B : A ∈ T (a), B ∈ S(a)} Mệnh đề 2.4 (Chain Rule) Giả sử rằng Ω ⊆ Rn và Ω ⊆ Rn là mở, f : Ω → Rn là H- khả vi tại a ∈ Ω với H- vi phân T (a) và g : Ω → Rn là H- khả vi tại b := f (a) ∈ Ω với H- vi phân S(b) Khi đó, g ◦ f là H- khả vi tại a với H- vi phân... Từ Ad < 0, Bd < 0, ta thấy rằng f a+ 25 tối ưu địa phương của bài toán đã cho Do đó, ta có điều phải chứng minh 2.3.2 Bài toán bù phi tuyến Trước h t ta tìm hiểu về H- vi phân của các h m NCP liên h p với các h m H- khả vi Trong phần này, ta mô tả tính H- vi phân của một số h m NCP đã biết Ví dụ 2.8 Giả sử f : Rn → Rn là H khả vi tại a ∈ Rn với H- vi phân T (a) Xét h m liên h p Fischer-Burmeister: Φ : Rn... , m, cho f i : Rn → R là H- khả vi tại a với H- vi phân Tf i (a) Cho f : Rn → R được định nghĩa bởi f (x) := min{f 1 (x),f 2 (x), , f m (x)} Định nghĩa Tf (a) = ∪ Tf i (a) ở đó I(a) = {i : f (a) = f i (a)} i∈I(a) Khi đó, f là H- khả vi tại a với Tf (a) là H- vi phân Ta cũng có kết quả tương tự nếu thay h m “min” bởi h m “max” 23 Chứng minh Ta chứng minh kết quả đối với h m “min”, chứng minh với h m “max”... a ∈ Ω Theo ví dụ 2.1, do f là h m khả vi Fréchet nên có h m Fréchet (ma trận Jacobian) Jf (a) ∈ Rn×n để f (x) − f (a) − Jf (a)(x − a) = o( x − a ) Theo định nghĩa về H- vi phân, Jf (a) là H- vi phân của f Theo ví dụ 2.2, f là H- vi phân với: T (a) = ∂f (a) = co{lim Jf (xk ) :xk → a, xk ∈ Ωf } Vì Jf(a) = Tf(a) nên H- vi phân của một h m tại một điểm không cần là duy nhất (ii) H- khả vi kéo theo tính liên . tài Tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu Đạt được một sự hiểu biết tốt về tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng vào. đến tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng. - Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài - Một tổng quan về tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng. 2 Chương. liên tục và C -vi phân của hàm C-khả vi là những trường hợp riêng của H -vi phân. Từ đó đến nay, nhiều tác giả đã nghiên cứu tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng của nó trong toán ứng dụng