Tính h khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐOÀN HƯƠNG GIANG TÍNH H-KHẢ VI CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014... Nguyễn Năng Tâm,luận vă

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐOÀN HƯƠNG GIANG

TÍNH H-KHẢ VI

CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HỒNG THÁI

TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tíchNguyww

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ NGỌC TRÍ

CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Đoàn Hương Giang

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm,luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính H-khả

vi của hàm nhiều biến và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhậnthức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Đoàn Hương Giang

BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU

R đường thẳng thực

Rn không gian Euclid n-chiều

Rn×n không gian các ma trận cấp n

hx, yi tích vô hướng của x và y

k.k chuẩn trong không gian Rn

Ω bao đóng của tập Ω

f : X → Y ánh xạ từ X vào Y

Φ : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y

inf f cận dưới đúng của ánh xạ f

sup f cận trên đúng của ánh xạ f

min f giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f

max f giá trị lớn nhất của ánh xạ f

ker f hạt nhân, hạch của ánh xạ f

∂f

∂xi đạo hàm riêng của hàm f theo biến xidom(f ) miền hữu hiệu của f

f0(x) đạo hàm của f tại x

∇f (x) gradient của f tại x

f00(x) đạo hàm bậc hai của f tại x

∇2f (x) ma trận Hessian của f tại x

Mục lục

Bảng ký hiệu i

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Rn 3

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản trong Rn 3

1.1.2 Một số tính chất trong Rn 5

1.2 Hàm nhiều biến 6

1.2.1 Định nghĩa hàm nhiều biến 6

1.2.2 Miền xác định của hàm nhiều biến 6

1.2.3 Giới hạn của hàm nhiều biến 6

1.2.4 Tính liên tục của hàm nhiều biến 7

1.3 Tính khả vi của hàm nhiều biến 8

1.4 Một số khái niệm đạo hàm suy rộng 9

1.4.1 Một số ký hiệu và định nghĩa 9

1.4.2 Hàm C-khả vi 10

1.4.3 Hàm khả vi Fréchet 10

Chương 2 Tính H-khả vi của hàm nhiều biến 14

2.1 H-vi phân và H-khả vi 14

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ 14

2.1.2 Một số tính chất cơ bản của H-khả vi, H-vi phân 19

2.2 Mối liên hệ với một số khái niệm đạo hàm suy rộng 21

2.3 Ứng dụng của tính H-khả vi vào bài toán tối ưu hóa và bài toán bù 23

2.3.1 Điều kiện cần tối ưu của bài toán cực tiểu địa phương của hàm H-khả vi 23

2.3.2 Bài toán bù phi tuyến 26

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1998, Gowda và Ravindran trong bài “Algebraic univalence rems for nonsmooth functions” (Research Report, Department of Math-ematics and Statistics, University of Maryland, Baltimore, MD 21250,March 15, 1998) đã đưa ra các khái niệm H-khả vi và H-vi phân choánh xạ f từ Rn vào Rn và chỉ ra rằng đạo hàm Fréchet của hàm khả

theo-vi, Jacobian suy rộng Clarke của hàm Lipschitzian địa phương, dưới viphân Bouligand của hàm nửa liên tục và C-vi phân của hàm C-khả vi lànhững trường hợp riêng của H-vi phân Từ đó đến nay, nhiều tác giả đãnghiên cứu tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng của nó trongtoán ứng dụng (xem [4] và những tài liệu dẫn trong đó) Với mong muốntìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và những ứngdụng của toán giải tích, đặc biệt là: “Lý thuyết đạo hàm suy rộng và ứngdụng”, tôi chọn đề tài “Tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng”

để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

Đạt được một sự hiểu biết tốt về tính H-khả vi của hàm nhiều biến vàứng dụng vào Tối ưu hóa và Bài toán bù

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo sát tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng vào Tối ưu hóa

và Bài toán bù

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi nghiên cứu: Hàm nhiều biến

- Đối tượng nghiên cứu: Tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quanmật thiết đến tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng

- Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

- Một tổng quan về tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất của hàmtrên không gian Rn cùng với những tính chất của nó Những kiến thứctrình bày trong chương được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3]

1.1 Không gian Rn

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản trong Rn

Định nghĩa 1.1 Một điểm trong không gian Rn là một bộ n số có thứ

tự (x1, x2, , xn) Ta thường kí hiệu x = (x1, x2, , xn) Số xi(i = 1, n)được gọi là tọa độ thứ i của điểm x Kí hiệu điểm gốc 0 = (0, 0, , 0).Định nghĩa 1.2 Tích vô hướng của hai véctơ x = (x1, x2, , xn) và

y = (y1, y2, , yn) là một số (ký hiệu x.y, (x, y) hay hx, yi) xác định nhưsau: hx, yi := x1y1 + x2y2 + + xnyn

Định nghĩa 1.3 Chuẩn (hay độ dài) của véctơ x, ký hiệu là kxk, một sốđược xác định như sau: kxk = phx, xi hay kxk = √x1 + x2 + + xn2.Khoảng cách giữa hai véctơ x và y là chuẩn của hiệu hai véctơ đó:

kx − yk = phx − y, x − yi = q(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + + (xn− yn)2.Định nghĩa 1.4 Phép tương ứng A từ không gian Rn vào không gian

Rn được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó có các tính chất:

(i) A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ Rn;

(ii) A(λx) = λA(x), ∀λ ∈ R, ∀x ∈ Rn

Định nghĩa 1.5 (Phần trong, bao đóng)

Cho tập D ⊂ Rn Hợp của tất cả các tập mở nằm trong D gọi là phầntrong của D Kí hiệu A hay int A Giao của tất cả các tập đóng chứa D0gọi là bao đóng của D Kí hiệu là A hay bdyA

Một hình chữ nhật đóng (mở) trong Rn là một tích Đề-các của n khoảngđóng (tương ứng, mở) trong R

Với bất kì r > 0, hình cầu mở tâm a, bán kính r trong Rn là tậpB(a; r) = {x : kx − ak < r}

Ta dùng kí hiệu r(x) = o(kx − ak) khi x → a, nghĩa là:

với ∀ε > 0, ∃δ > 0 : kr(x)k ≤ ε kx − ak, với bất kì kx − ak ≤ δ

(dãy r(xk) = o( xk − a ) khi xk → a, nghĩa là với ∀ε > 0, ∃N ∈ N :r(xk) ≤ ε xk − a , với bất kì ∃n ≥ N )

Định nghĩa 1.6 (Ánh xạ đa trị)

Giả sử X, Y ⊂ Rn Kí hiệu 2Y là tập tất cả các tập con của Y Một ánh

xạ đa trị F đi từ tập X vào tập Y là một ánh xạ từ X vào 2Y Kí hiệu

F : X ⇒ Y Đồ thị của ánh xạ đa trị Graph(F ) ⊂ X × Y được xác địnhnhư sau:

Graph(F ) = {(x, y)|y ∈ F (x)}

Ánh xạ đa trị F được gọi là không tầm thường nếu Graph(F ) 6= ∅,nghĩa là tồn tại x ∈ X sao cho F (x) 6= ∅ Nếu F (x) 6= ∅ với mọi x ∈ Xthì ta nói rằng ánh xạ đa trị F là chính thường Miền của ánh xạ đa trị

F , kí hiệu Dom(F ) là tập {x ∈ X, F (x) 6= ∅} Ảnh của ánh xạ đa trị F

được cho bởi Im(F ) = ∪

x∈XF (x) Nếu M là tập con khác rỗng của X và

F là ánh xạ đa trị từ X vào Y thì ta dùng kí hiệu F |M để chỉ ánh xạ

đa trị thu hẹp của F lên M và được định nghĩa:

∀y ∈ BX (x, r) , F (y) ⊂ Utrong đó BX (x, r) là hình cầu trong X có tâm x và bán kính r F đượcgọi là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi

x ∈ Dom(F )

Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ Dom(F )khi và chỉ khi nếu với mỗi tập mở U ⊂ Y mà U ∩ F (x) 6= ∅, tồn tạimột số dương r sao cho:

∀y ∈ BX (x, r) , U ∩ F (y) 6= ∅

Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu nó nửa liêntục dưới tại mọi x ∈ Dom(F )

1.1.2 Một số tính chất trong Rn

- Không gian Rn là đầy đủ

- Mọi ánh xạ tuyến tính A : Rn → Rn là liên tục

- Mọi tập bị chặn trong Rn là hoàn toàn bị chặn Tập con A ⊂ Rncompact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.

1.2 Hàm nhiều biến

1.2.1 Định nghĩa hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.7 Cho n là số nguyên với n ≥ 2, D ⊂ Rn Ta gọi ánh

xạ f : D → Rn(n ∈ Z, n ≥ 1) với M (x1, x2, , xn) ∈ D 7→ u = f (M ) =

f (x1, x2, , xn) ∈ Rn là một hàm n biến xác định trên D D được gọi làmiền xác định của hàm f ; x1, x2, , xn là các biến độc lập còn u gọi làbiến phụ thuộc

1.2.2 Miền xác định của hàm nhiều biến

Người ta quy ước: Nếu cho hàm u = f (M ) mà không nói gì về miền xácđịnh D của nó thì ta hiểu rằng miền xác định D của hàm là tập hợp cácđiểm sao cho biểu thức f (M ) có nghĩa

1.2.3 Giới hạn của hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.8 Cho D ⊂ Rn và f : D → Rn Khi đó, với mỗi x ∈

D : f (x) = (f1(x), f2(x), , fn(x)) ∈ Rn, giả sử a = (a1, a2, , an) là mộtđiểm tụ của tập hợp D

Ta nói rằng hàm f (x) có giới hạn l = (l1, l2, , ln) ∈ Rn tại điểm a nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < kx − ak < δ ⇒ kf (x) − lk < ε

Ký hiệu lim

x→af (x) = l

Ta có: lim

x→af (x) = l ⇔ ∀{xk} ⊂ D, xk → a(k → ∞) thì lim

k→∞f (xk) = l.1.2.4 Tính liên tục của hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.9 Cho D ⊂ Rn và f : D → Rn Ta nói hàm f (x) =(x1, x2, , xn) liên tục tại điểm a = (a1, a2, , an) ∈ D nếu:

∀ε > 0, ∃δ = δ(a, ε) > 0, ∀x ∈ D : 0 < kx − ak < δ ⇒ kf (x) − f (a)k < ε

Điều này tương đương với lim

x→af (x) = f (a) (nếu a là điểm tụ)

Hàm số f được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểmthuộc D

Hàm số f liên tục trên miền đóng D nếu nó liên tục trên D và liên tụctại mọi điểm a thuộc ∂D theo nghĩa:

lim

x→af (x) = f (a), x ∈ D

Nếu đặt ∆f (a) = f (a1 + ∆x1, , an + ∆xn) − f (x1, , xn) gọi là số giatoàn phần của hàm f tại a = (a1, a2, , an) thì hàm f liên tục tại a nếu

∆f (a) → 0 khi ∆xi → 0(i = 1, n)

Hàm f được gọi là liên tục đều trên tập D nếu:

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0, ∀x0, x00 ∈ D, kx0− x00k < δ ⇒ kf (x0) − f (x00)k < ε.Hàm f được gọi là liên tục theo biến xi tại điểm a = (a1, a2, , an) ∈ Dnếu:

∀ε > 0, ∃δ = δ(a, ε) > 0, ∀xi ∈ D : kxi − aik < δ

⇒ kf (a1, , xi, , an− f (a)k < ε

1.3 Tính khả vi của hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.10 Cho D là một tập mở trong Rn; a = (a1, , an) ∈ D;

Biểu thức f0(a).h được kí hiệu là df (a) và gọi là vi phân của hàm f (x)tại a Trong biểu thức df (a), hi được kí hiệu là dxi

1.4 Một số khái niệm đạo hàm suy rộng

1.4.1 Một số ký hiệu và định nghĩa

Định nghĩa 1.11 Cho tập D ⊂ Rn, f : D → Rn

Nếu với ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 thì f (x1) 6= f (x2) Ta nói f là một đơn ánhhay ánh xạ một-một vào

Nếu f (X) = Y thì f là một toàn ánh hay ánh xạ lên Nói cách khác f

là toàn ánh nếu với mọi y ∈ Y đều tồn tại x ∈ X sao cho f (x) = y.Ánh xạ f được gọi là song ánh, ánh xạ một-một lên hay ánh xạ một-đối-một nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

Định nghĩa 1.12 (Quan hệ thứ tự)

Cho K = Rn+; H = {x ∈ Rn|xi > 0, ∀i} Lấy x, y ∈ Rn Khi đó:

(i) K là một nón Ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y, kí hiệu x ≤ y khi và chỉkhi x≤Ky ⇔ y − x ∈ K ⇔ xi ≤ yi, 1 ≤ i ≤ n

(ii) H là một nón lồi Ta nói x nhỏ hơn y, kí hiệu x < y khi và chỉ khi

x < y ⇔ x≤Hy ⇔ y − x ∈ H ⇔ xi ≤ yi, 1 ≤ i ≤ n

Định nghĩa 1.13 (Hàm trơn, nửa trơn)

Nếu f (x) có tất cả các đạo hàm riêng liên tục trong D thì ta nói f (x)

là hàm trơn trong D và viết là f ∈ C∞(D)

Hàm f : D → Rn được gọi là hàm nửa trơn tại a ∈ D nếu với bất kì

xk → a và Vk ∈ ∂f (xk), f (xk) − f (a) − Vk(xk − a) = o( xk − a )

Một hàm liên tục f : Rn → Rn là trơn từng khúc nếu tồn tại hàm khả

vi liên tục fj : Rn → Rn

, (j ∈ N, j > 1) sao cho:

f (x) ∈ {f1(x), f2(x), , fj(x)}, ∀x ∈ Rn.Định nghĩa 1.14 (P0-hàm và P-hàm (ma trận))

Cho hàm f : Rn → Rn, ta nói rằng f là P0-hàm ( P-hàm) nếu với bất

kì x 6= y trong Rn, max

{i:xi6=yi}(x − y)i[f (x) − f (y)]i ≥ 0(> 0)

Ma trận M ∈ Rn×n được gọi là P0-ma trận (P-ma trận) nếu hàm f (x) =

M x là P0-hàm (P-hàm) hoặc tương đương với mọi ma trận con của M

là không âm (tương ứng, dương)

Mọi hàm đơn điệu (đơn điệu chặt) là P0-hàm (P-hàm)

1.4.2 Hàm C-khả vi

Định nghĩa 1.15 Hàm f : Rn → Rn được gọi là C-khả vi nếu với mỗi

a ∈ Rn, tồn tại tập con compact khác rỗng của toán tử tuyến tính T (a)(được gọi là C-vi phân của f tại a) sao cho:

(i) Ánh xạ đa trị x 7→ T (x) là nửa liên tục trên tại mỗi điểm a,

(ii) Với mỗi V ∈ T (x), f (x) − f (a) − V (x − a) = o(kx − ak)

1.4.3 Hàm khả vi Fréchet

Định nghĩa 1.16 (Hàm khả vi Fréchet) Ánh xạ f : Rn → Rn được gọi

là khả vi Fréchet tại a ∈ Rn nếu tồn tại A ∈ L(Rn, Rn) sao cho:

lim

h→0

kf (a + h) − f (a) − A(a)hk

khk = 0Toán tử A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại a và được ký hiệu là

f0F(a), f được gọi là khả vi Fréchet nếu nó khả vi Fréchet tại mọi điểm

ii) Hàm f được gọi là Lipschitzian địa phương với hằng số Lipschitzian

K trên tập Rn, nếu (∗) đúng với mọi x, x0 ∈ Rn

Định nghĩa 1.18 (Vi phân Bouligand)

Xét hàm f : Ω → Rn là hàm Lipschitz địa phương tại mỗi điểm củatập mở Ω ⊆ Rn (để trên những lân cận của mỗi điểm của Ω, f là hàmLipschitz) Sau đó, định lý Rademacher khẳng định f là khả vi Fréchethầu khắp nơi trong Ω) Cho Ωf là tập tất cả các điểm trong Ω mà f khả

vi Fréchet Khi đó, với bất kì a ∈ Ω, (Clarke) Jacobian tổng quát:

∂f (a) = co{lim J f (xk) : xk → a, xk ∈ Ωf}tồn tại, khác rỗng, compact và lồi

Tập ∂Bf (a) := {lim J f (xk) : xk → a, xk ∈ Ωf} được gọi là (dưới) viphân Bouligand của f tại a

Định nghĩa 1.19 (Bậc của hàm tại một điểm) Với một hàm liên tục

f : Ω → Rn, trong đó Ω là một tập mở chứa trong Rn và p ∈ Rn, ta sửdụng kí hiệu deg(f, Ω, p) để kí hiệu cho bậc của f tại p trên Ω Nếu a

là nghiệm cô lập của phương trình f (x) = p, khi đó, với mọi ε > 0 đủ

nhỏ, deg(f, B(a, ε), f (a)) là như nhau; ta kí hiệu giá trị chung này bởiindex(f, a).

Định nghĩa 1.20 (Hàm đơn trị yếu) Ta nói rằng một hàm f từ tập

mở Ω ⊆ Rn vào Rn là đơn trị yếu nếu tồn tại một dãy các hàm liên tụcmột-đối-một fk : Ω → Rn sao cho hàm fk hội tụ đều đến hàm f trênmỗi tập con bị chặn của Ω

Mệnh đề 1.1 Giả sử Ω là mở trong Rn, f : Ω → Rn là đơn trị yếu và

q ∈ f (Ω) Nếu a là một nghiệm cô lập của phương trình f (x) = q trong

Ω thì nó là nghiệm duy nhất

R × RĐịnh nghĩa 1.21 Với tập con E ⊆ Rn, co E kí hiệu hàm lồi đóng của

E và co E kí hiệu bao đóng của E Với hàm khả vi f : Rn → Rn, ∇f (a)

kí hiệu ma trận Jacobian của f tại a Với ma trận A, Ai kí hiệu hàngthứ i của A

Định nghĩa 1.22 Hàm φ : Rn × Rn

→ R được gọi là hàm NCP linear complementarity problem) nếu:

(Non-∀a, b ∈ Rn : φ(a, b) = 0 ⇔ ha, bi = 0, a ≥ 0, b ≥ 0

Cho hàm khả vi f : Rn → Rn Ta định nghĩa bài toán NCP(f ) (bài toán

bù phi tuyến ứng với hàm f ) như sau: Tìm a ∈ Rn thỏa mãn a ≥ 0,

f (a) ≥ 0 và hf (a), ai = 0

Với bài toán NCP (f ), ta định nghĩa Φ(x) =

φ(xi, fi(x))

Chương 2 Tính H-khả vi của hàm nhiều biến

Trong chương này, ta nghiên cứu khái niệm H-khả vi của hàm nhiềubiến và xét hai ứng dụng của H-khả vi Ứng dụng thứ nhất, ta xét điềukiện cần tối ưu của bài toán cực tiểu địa phương của hàm H-khả vi Ứngdụng thứ hai, ta xét bài toán bù phi tuyến ứng với hàm H-khả vi và chỉ

ra rằng, với điều kiện thích hợp về H-vi phân của f , cực tiểu hóa hàmmerit tương ứng với f dẫn tới lời giải của bài toán bù phi tuyến Haiứng dụng này được vận dụng bởi rất nhiều những nhà nghiên cứu trên

C1, hàm lồi, hàm Lipschitz địa phương và hàm nửa liên tục Những nộidung trình bày trong chương này chủ yếu được lấy từ các tài liệu [1], [4],[5]

2.1 H-vi phân và H-khả vi

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1 Cho hàm f : Ω ⊆ Rn → Rn, trong đó Ω là tập con

mở trong Rn và a ∈ Ω Ta nói rằng tập con khác rỗng T (a) (cũng được

kí hiệu bởi Tf(a)) trong Rn×n là H-vi phân của f tại a nếu với mỗi dãy

xk ⊆ Ω hội tụ tới a, tồn tại dãy con {xkj} và ma trận A ∈ T (a) thỏa

f (xkj) − f (a) − A(xkj − a) = 0 xkj − a

Ta nói rằng f là H-khả vi tại a nếu f có H-vi phân tại a

Nhận xét 2.1 Một định nghĩa tương đương về H-vi phân T (a) của ftại a như sau: Với bất kì dãy xk := a + tkdk với tk ↓ 0 và dk = 1, khi

đó tồn tại dãy con hội tụ tkj ↓ 0 và dkj

f (x) − f (a) − J f (a)(x − a) = o(kx − ak)

Rõ ràng, {J f (a)} là H-vi phân của f và do đó f là H-khả vi

Ví dụ 2.2 Xét tập mở Ω ⊆ Rn và hàm Lipschitz địa phương f : Ω → Rn

là hàm nửa trơn tại a ∈ Ω Nghĩa là, với bất kì xk → a và Vk ∈ ∂f (xk),

với bất kì Vk ∈ ∂f (xk).

Đặc biệt, với bất kỳ Vk ∈ ∂Bf (xk), vì ánh xạ x 7→ ∂Bf (x) có giá compact

và là nửa liên tục trên, ta xét một dãy con với V ∈ ∂Bf (a) và dãy con{xkj} mà

f (xkj) − f (a) − Vk(xkj − a) = o( xkj − a )

Điều này chứng tỏ rằng ∂Bf (a) là H-vi phân của f

Ví dụ 2.3 [1] Xét f : R → R xác định bởi f (x) = p|x| Xét a = 0 Vìkhông có số α nào thỏa mãn f (xi) − f (0) − α(xi − 0) = o(kxi− 0k)với {xi} là dãy con của dãy {1

i} Vậy f không là H-khả vi tại a = 0.Nhận xét 2.2 (i) H-vi phân của một hàm tại một điểm không cần làduy nhất

Thật vậy, cho Ω ⊂ Rn, hàm f : Ω → Rn là hàm khả vi Fréchet và cũng

là hàm Lipschitz địa phương tại a ∈ Ω Theo ví dụ 2.1, do f là hàm khả

vi Fréchet nên có hàm Fréchet (ma trận Jacobian) J f (a) ∈ Rn×n để

f (x) − f (a) − J f (a)(x − a) = o(kx − ak)Theo định nghĩa về H-vi phân, J f (a) là H-vi phân của f Theo ví dụ2.2, f là H-vi phân với:

T (a) = ∂f (a) = co{lim J f (xk) :xk → a, xk ∈ Ωf}

Vì Jf(a) 6= Tf(a) nên H-vi phân của một hàm tại một điểm không cần

là duy nhất

(ii) H-khả vi kéo theo tính liên tục

Thật vậy, giả sử hàm f : Ω → Rn là H-khả vi tại a Do đó, với mỗi dãy

{xk}, xk → a, ∃{xkj} ⊂ {xk} và ma trận A ∈ T (a) sao cho

f (xkj) − f (a) − A(xkj − a) = o( xkj − a )

Vì xk → a nên tồn tại ít nhất một dãy con {xkj} ⊂ {xk} sao cho

f (xkj) → f (a) Trong các dãy con thỏa mãn các tính chất trên, ta lấydãy con sao cho số hạng đầu có chỉ số nhỏ nhất Ký hiệu dãy đó là {xk1}.Nếu các số hạng của {xk1} có các chỉ số liên tiếp nhau thì

→ d ∈ Rn

và A ∈ T (a) sao cho:

f (a + tkjdkj) − f (a)

tkj → Ad

Thật vậy, giả sử f là H-khả vi tại a Đặt xk = a + tkdk, tk ↓ 0, dk = 1,

ta có xk → a Do vậy, tồn tại dãy {xkj} ⊂ {xk}, xkj = a + tkjdkj sao cho:

f (xkj) − f (a) − A(xkj − a) = o( xkj − a )

Từ đó, ta có:

f (a + tkjdkj) − f (a) − A(tkjdkj) = o( tkjdkj )

f (a + tkjdkj) − f (a) − tkjA(dkj) = o( tkjdkj )

f (a + tkjdkj) − f (a)

tkj = A(d

kj) + o( dkj ) → AdNgược lại, giả sử với mỗi dãy {a + tkdk} với tk ↓ 0, dk = 1, tồn tại dãy{dkj}, dkj

→ d ∈ Rn và ma trận A ∈ T (a) sao cho:

(iv) Nếu một hàm f : Ω ⊆ Rn → Rn là H-khả vi tại một điểm a thì tồntại hằng số L > 0 và lân cận B(a, δ) của a với:

kf (x) − f (a)k ≤ L kx − ak , ∀x ∈ B(a, δ)

Ngược lại, nếu kf (x) − f (a)k ≤ L kx − ak , ∀x ∈ B(a, δ) thì T (a) :=

Rn×n có thể coi như H-vi phân của f tại a

Thật vậy, vì f là H-vi phân tại a nên với mỗi dãy {xk} ⊂ Ω, xk → a, tồn

tại {xkj} ⊂ {xk} sao cho f (xkj) − f (a) − A(xkj − a) = o( xkj − a ).

kf (x) − f (a)k ≤ (kf k + kAk + δ) kx − akĐặt L = kf k + kAk + δ ⇒ L > 0 thì kf (x) − f (a)k ≤ L kx − ak

(v) Một hàm C-khả vi là H-khả vi với H-vi phân cho bởi C-vi phân.Thật vậy, giả sử f : Rn → Rn

là hàm C-khả vi Với mỗi a ∈ Rn,tồn tại tập compact khác rỗng T (a) sao cho với mỗi V ∈ T (x) thì

f (x) − f (a) − V (x − a) = o(kx − ak) Do đó, f là H-khả vi với H-vi phâncho bởi C-vi phân V (x − a)

2.1.2 Một số tính chất cơ bản của H-khả vi, H-vi phân

Mệnh đề 2.1 Giả sử Ω là tập con mở của Rn và f : Ω → Rn là H-khả

vi tại a ∈ Ω với H−vi phân T (a) gồm những ma trận không suy biến.Khi đó, a là nghiệm cô lập của phương trình f (x) = f (a)

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng có dãy xk → a mà xk 6= a và

f (xk) = f (a), ∀k Do tính H-khả vi, tồn tại A ∈ T (a) sao cho A(xkj −a) = o( xk− a ) Suy ra, tồn tại véctơ đơn vị h sao cho A(h) = 0 Điềunày trái với tính không suy biến của ma trận T (a) Mệnh đề được chứngminh