Luận văn tính h khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI ON HNG GIANG TNH //-KH VI CA HM NHIẩU BIN V NG DNG LUN VN THC S TON HC ON HNG GIANG H NI, 2014 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TNH /7-KH VI CA HM NHIẩU BIN V NG DNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngũi hng dn khoa hc: PGS.TS Nguyn Nng Tõm H NI, 2014 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS. Nguyn Nng Tõm, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi hon thnh lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy cụ phũng Sau i hc, cựng cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc tp. Xin cm n gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun vn. H Ni, thỏng nm 20l Tỏc gi on Hng Giang Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca PGS.TS. Nguyn Nng Tõm, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Tớnh i-kh vi ca hm nhiu bin v ng dng c hon thnh bi nhn thc ca bn thõn tỏc gi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng nm 20l Tỏc gi on Hng Giang BANG MOT SO KY HIU K ng thng thc Rn khụng gian Euclid n-chiu / giỏ tr nh nht ca ỏnh x / max / ker / df giỏ tr ln nht ca ỏnh x / ht nhõn, hch ca ỏnh x / X o hm riờng ca hm / theo bin X DOM ( F ) hu hiu ca / F '( X ) o hm ca / ti X Vf ( x ) gradient ca / ti X f"{x) o hm bc hai ca / ti X V F ( X )ma t r n Hessian c a / ti X Mc lc 1.1. Khụng gian Mn 3 1.1.1. Mt s khỏi nim c bn W .1 .2 . Mt s tớnh cht R* 1.2. Hm nhiu bin 1.2.1. nh ngha hm nhiu bin 1.2.2. Min xỏc nh ca hm nhiu bin 1.2.3. Gii hn ca hm nhiu bin 1.2.4. Tớnh liờn tc ca hm nhiu bin 1.3. Tớnh kh vi ca hm nhiu bin 1.4. Mt s khỏi nim o hm suy rng 1.4.1. Mt s ký hiu v nh ngha 1.4.2. Hm C-kh vi 1.4.1. Hm kh vi Prộchet Chng Tớnh i-kh vi ca hm nhiu bin H-2. VI phõn v H-kh vi 2. 2. 1.1. nh ngha v vớ d 10 10 14 14 14 Kt lun Ti liu tham kho 45 M u 1. Lý chn ti Nm 1998, Gowda v Ravindran bi Algebraic univalence theorems for nonsmooth functions (Research Report, Department of Mathematics and Statistics, University of Maryland, Baltimore, MD 21250, March 15, 1998) ó a cỏc khỏi nim H- KHK vi v H- VI phõn cho ỏnh x / t Mn vo Rn v ch rng o hm Frộchet ca hm kh vi, Jacobian suy rng Clarke ca hm Lipschitzian a phng, di vi phõn Bouligand ca hm na liờn tc v -vi phõn ca hm -kh vi l nhng trng hp riờng ca H -vi phõn. T ú n nay, nhiu tỏc gi ó nghiờn cu tớnh H- KHK vi ca hm nhiu bin v ng dng ca nú toỏn ng dng (xem [4] v nhng ti liu dn ú). Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v nhng kin thc ó hc, mi quan h v nhng ng dng ca toỏn gii tớch, c bit l: Lý thuyt o hm suy rng v ng dng, tụi chn ti Tớnh H -kh vi ca hm nhiu bin v ng dng nghiờn cu. 2. Mc ớch nghiờn cu v nhim v nghiờn cu t c mt s hiu bit tt v tớnh H -kh vi ca hm nhiu bin v ng dng vo Ti u húa v Bi toỏn bự. 3. Nhim v nghiờn cu Kho sỏt tớnh H -kh vi ca hm nhiu bin v ng dng vo Ti u húa v Bi toỏn bự. 4. i tng v phm vi nghiờn cu - Phm vi nghiờn cu: Hm nhiu bin. - i tng nghiờn cu: Tớnh H- KHK vi ca hm nhiu bin v ng dng. 5. Phng phỏp nghiờn cu - Tỡm hiu ti liu: Cỏc bi bỏo ó c ng v sỏch ó in liờn quan mt thit n tớnh H- KHK vi ca hm nhiu bin v ng dng. - S dng cỏc phng phỏp ca Toỏn gii tớch. 6. D kin úng gúp ca ti - Mt tng quan v tớnh H -kh vi ca hm nhiu bin v ng dng. Chng Mt s kin thc chun b Trong chng ny, ta s trỡnh by nhng khỏi nim c bn nht ca hm trờn khụng gian Rn cựng vi nhng tớnh cht ca nú. Nhng kin thc trỡnh by chng c chn ch yu t cỏc ti liu [], [2], [3j. 1.1. Khụng gian M71 1.1.1. Mt s khỏi nim c bn Kn nh ngha 1.1. Mt im khụng gian M n l mt b ( XI , X , X n). Ta thng kớ hiu X { XI , X IX n). s X(i th ca im X. Kớ hiu im gc = ( , , ) . N s cú th t 1, N ) c gi l ta nh ngha 1.2. Tớch vụ hng ca hai vộct X = (xi,X , X N ) v Y = (/i,/2, l mt s (ký hiu X . Y , ( X , Y ) hay ( X , Y )) xỏc nh nh sau: (x,y) := Xiyi + x y + + x n y n . nh ngha 1.3. Chun (hay di) ca vộct X, ký hiu l II z||, mt s c xỏc nh nh sau: ||x|| = Y /(X , X) hay ||x|| = Y / XI + X 2 + . + X N . Khong cỏch gia hai vộct X v Y l chun ca hiu hai vộct ú: \\x - y\\ = y/(x - y,x - y) = \J{X - yx + (x - y f + + {x n - Vn. nh ngha 1.4. Phộp tng ng A t khụng gian Mn vo khụng gian c gi l mt ỏnh x tuyn tớnh nu nú cú cỏc tớnh cht: (i) A{x + y) = A(x) + A(y),Vx, y e Rn; (ii) A(X X ) = \A( X ),V\ el,Va: Mn. nh ngha 1.5. (Phn trong, bao úng) Cho D c K " . Hp ca tt c cỏc m nm D gi l phn ca D. Kớ hiu A hay int A. Giao ca tt c cỏc tpúng cha D gi l bao úng ca D. Kớ hiu l A hay BDY A. Mt hỡnh ch nht úng (m) Rn l mt tớch -cỏc ca N khong úng (tng ng, m) . Vi bt kỡ r > 0, hỡnh cu m tõm A , bỏn Kn kớnh r B( A \ R ) = { : \\ X a|| < R }. Ta dựng kớ hiu R ( X ) = (ớc a) X > a, ngha l: vi Vs: > 0, > : ||()|| < S \\ X a||, vi bt kỡ ||x A \\ < (dóy R ( X K ) = ( I I a||) X K > A , ngha l vi Ve > 0, 3N E N : l nhng ma trn ng chộo tha iu kin: (1 - Vi) + (1 - W ( , 2), Vi = 1,2, N v: V I -2{ I - /i(a)) + AOi 2y (a< + f i { a ) ) + A/^a) ( d ) + c / 1--------V ^ 2\{d - Aid) + Adi(Aid) tựy ý, IJ ( A ) ^ ^ J(a), (d Ad)2 + X DI (A ID ) > I J(a), (di - Aid)2 + X DI (A ID ) = (2.6) J(a) = J I + Adi(iM) > 1--------, "V I J(a), (di - Aid) 2\ j { d - A d + Xdi(Aid) tựy ý, i J ( a ) , (d Ad)2 + Xd(Ad) = (2.7) Vớ d 2.10. Hm NCP tip theo c gi l hm Fischer-Burmeister $\( X ) := \ $ F ( X ) + (1 X) X + F ( X ) + , ú X+ = max{0,x} v A (0,1) l tham s c nh. Cho J( A ) = { : FI ( A ) = = DI },K( A ) = { : j > 0,/i(a)>0}. Vi c xỏc nh nh trờn, ta ch rng H- VI phõn c cho bi S( A ) = {VA+W : (A, V, T( A ), | | c / | | W, D) l,v r}, ú r l dóy cỏc b bn {A, ỡ/, DIAG ( V ), W DIAG ( W ) W, D) vi A E l nhng ma trn ng chộo vi: / ( \ a l _f i { ) A ^ \ J Oi + [fi()]2) + (1 - A) A I : (\ _______A j d d y / i{a) 'di + [ f i ( a ) J i J(a),d - + (^c/)2 > Vi = tựy ý, _ \ Vớ d 2.11. Vi hm H kh vi / : Mn > Mn, xột hm NCP: . J{) \J K (a) i e J(a), >(:c) = + (c)2 = min{a:,/ (2.8) ôG J(a),d? + \A*2 + [/i(a) f/ A (2.9) V W i I Ta cn cú iiớ-vi \ tựy ý, J( a) u x (a ) i phõn ca ti A e J (a), d2 + (Aid) cho bi: T$(a) = { V A + w : V = dag(vi), w = dag(wi ); V,W {0,1}, V + w I , A G T {a )} cú c iu ny, cho X K -> A . Do tớnh H -kh vi ca /, tn ti dóy ca {*} ( n gin ta vit {*}) v ma trn A GT/(a) cho: f ( x k ) - f ( a ) - A{x k -a) = 0(||ổ fe - a\\). Bng cỏch ly dóy thớch hp, nu cn, ta cú th vit {1,N } l hp r i n h a u ca cỏc dóy Qớ, ò ú: = : ^ ) = f i ( x k ) , \ / k } , ò = { : ( ) = zf,Vfc}. {1 , i E O L I ]W = < ,ieò ; [ l,i ò V = d i a g ( v ) , w = d a g ( w ) , := V A + w Ta ch rng (:) () B( X K ) = 0(||xfc ||). cú iu ny, ta c nh ch s J v ch ra: đj(xk) - () - iB(xk - a ) ] j = 0(|K - ||)- Cho J = n gin, ta cú trng hp: Trng hp 1: G [ ( ) - () - {VA + W){ X K -)] = i ( x k ) - - [ V - ) - [ W ( x k - )}, = [ f i x k ) - f { a ) - ( - )]i = 0(||ổfc ||). Trng hp 2: G SS D thy rng 1() Vy ta cú iu cn chng minh. [B(x k a)]i = = 0(||a;fc ||). Tip theo, ta tỡm hiu v H-vi phõn ca hm merit Cho hm / : Mn > Rn, xột hm NCP liờn hp 3> cho bi nh ngha 1.22. Hm merit tng ng vi c cho bi cụng thc = -||ớ>|| . nh lý 2.5. Gi s l H-kh vi ti a vi S(a ) l H-vi phn. Khi ú, '' := - II$11 l H-kh vi ti a vi H-vi phn cho bi: T*(a) = { $ ( a ) T B : B 5(a)}. Chng minh. Xột dóy { A + TKD K } vi T 0, \\ D K \\ = 1,VA:.Khiú, tn ti d k i > d Mn v B 5(0) cho: $(a + **,Ê**) - *(a) - B( T KJ D kj) = 0(ớfcJ. Ta cú: tf(a + = i 0, Vi e =1 N + 1) cho: (2.10 ) W J] Ta vit li (2.10) nh sau: = Đ { A ) T [ Y L A L + . + Y L A L + Z1 + . + Z L \ (2.11) ú, = Y\\ W = Z\' II . Khi ú, (2.11) tr thnh = (M + Z*) T U ú, u = $ ( a ) , M = y ^ + . + Y L A l , z * = Z + . . . + Z L . Bõy gi, ta vit \D\ = d i a g ( \ d \ ) vi bt kỡ ma trn ng chộo D = DIAG ( D ), ta kớ hiu |y*|M = Y L U , z i U = Z I U ,V I . Vỡ ng thc = (M 4- Z * ) T U khụng i nu ta thay Y bi |y*| v z l bi |z*|, ta cú th gi s rng Y I v Z I khụng õm vi Vi. Ta gi s, nu cú th rng MA , T U ớ>(a) 0- T h qu trờn, ma trn M v M T l P - trn. Do ú, tn ti ch s I cho U 7^ v U I MT U ) I , > 0. = U 0) ta thy rng ('W J ) . > v ú, ( Z * ) . > 0. Tuy nhiờn < U I (M T ) = U (Z *) = ( Z * ) . ( U I )2, mõu thun vỡ U 0- Nh vy, $(a) = u = 0. l ln ca H - Y i phõn Ttf(a) = { ( A ) T B : Chỳ ý. nh lý B e S(A)}, 2.6 va 2.7 ú S ( A ) c din t nh vớ d 2.8 (chỳ ý rng [F( )] =>- J( A ) v ú, t (2.4), V , W i > 0. n gin, ta thy nh lý 2M v 2/7 l dng vi cỏc hm NCP sau: (a;) = X + f ( x ) \J { x f { x ) + X X F ( X ); (lm sỏng t vớ d 2.9) ớ>(x) = A>ớr(a:) + (1 A) X + F ( X ) (lm sỏng t vớ d 2.10) Ta biu din kt qu tip theo vi hm Fischer-Burmeister Tuy nhiờn, nh nh lý 2J3 v 2/7, Cể th biu din kt qu tng quỏt vi hm NCP $ bt kỡ. n gin, ta trỏnh xột vi trng hp tng quỏt. nh lý 2.8. Gi s f : K n > IRn l H-kh vi ti a vi H-vi phn T(a ) l compact v cú hng- p -thuc tớnh. Cho $ l hm Fischer-Burmeister nh vớ d 2.8 v := -||ớ>|| 2. Cho S(a ) v T$(a) nh vớ d ___ 2.8 v nh lý \2.5 Khi ú, cc iu sau l tng ng: (i) a l cc tiu a phng ca ' ớ. (ii) G coTi,(a). (ui) C , ú C l t ma trn cú dng VA + g ma trn fi(q) t (fi(a) \ja + l nhng ma tha w \ụ + Mý e T = limMTCfc ta nhn c ng thc tng t nh (2.10) nhng vi ^,W % c thay bi tng ng V I è A I ,W I . Bng cỏch nhc li argument c cho phn chng minh nh lý trc, ta thy c mõu thun. Do ú, $(a) = . Ta cú (II ) ^ (Ui). Bõy gi ta phỏt biu hai h qu ca nh lý trờn vi hm Fischer- Burmeister (vi mc ớch n gin húa). B 2.2. Cho f : R n > Kn l kh vi v $( ;) l hm Fischer- Burmeister v ( x ) = -||$|| 2. Nu f l p -hm, kh ú a l cc tiu a phng vi v ch a l nghim c ó bi ton N C P ) . B ny c suy t nh lý |2.8|bng cỏch ly T ( a ) = {v/(a)}. Nu ta gi thit v tớnh kh vi liờn tc ca / b trờn, ta nhn c kt qu ca Facchinei v Soares: vi hm f kh vi liờn tc l P0-hm, v i m i i m d n g c a ^ c h o n g h i m NCP(f). B 2.3. Cho f : M n > Rn l hm Lipschitzian. Cho l hm Fischer-Burmeister v ty(x) = -||$||2. Khi ú, iu tng ng z (a) (a) = c gi di mi iu kin sau: (i) d f ( a ) gm cú P Q -ma trn; (ii) d ò f { a ) cú hng-P -thuc tớnh. Chng minh. Phỏt biu tng ng vi (i) c trỡnh by bi Fisher. Thc s, vic ỏp dng nh lý 2.6 vi T F ( X ) = ụng y rng c Ti,(x),Vx, ta DF ( X ) v s dng kt qu ca c iu kin tng ng vi (i). Ta thy iu kin tng ng vi (ii), gi s (ii) c gi nguyờn. Khi ú, bi b 2.1, mi ma trn DF ( A ) = COD B F ( A ) l P 0-ma trn. Ta c iu kin (i) v ú phỏt biu tng ng. C h ỳ ý. iu kin (ii) h qu trờn cú th c bit cú hiu qu hm / trn tng khỳc ú trng hp s/(a) gm nhng ma trn s dng. Cc tiu húa hm merit di p0-iu kin nh lý tip theo tng t nh nh lý |2.[ nh lý 2.9. Gi s f : IR n ằ R n l H-kh v ti a vi H-vi phn T ( a ) . Gi s hm NCP c ó f . Gi thit rng := | | l H-kh vi ti i a vi H-vi phn c cho bi: () = { { a ) T [ V A + W ] : A (), V = diag(vi), = diag(wi); ViW > 0, Vi + W , ( ) 0} Hn nó, gi s rng T(a ) gm P- trn. Khi ú, Ê () () = 0. Chng minh. Gi s () = 0. Khi ú, t nh ngha hm (), ta cú () = {0}. Trỏi li, gi s rng G (), ú, vi ( ) [VA + W] G (), = () + () ATy + z = ú, = (), = (). Ta cn cú () = 0. Gi s, nu tn ti, rng () 0- Nu 0, ể ti = Y + Z = (V T + \Ơ ) ( ) => ()( + ti i cho 0() 0, V + W W ) Z = 0, dn = 0, Vi. Mõu thun vỡ tn 0. Do ú v Y I (A T Y ) I = Z I U I = ***()2 < 0, Vi, mõu thun vi Pthuc tớnh ca A. Do ú, () = 0. nh lý 2.10. Gi s f : R n Ơ M n la H-kh vi ti vi H-vi phn T(a). Gi s l H-kh vi ti vi H-vi phõn cho bi: () = {{ a ) T [ V A + W ] : A G T( a ) , v = di a g ( v i ) , w = d i a g( w i ) ; V I ,W > 0,V +W I 0, 0, FI ( A ) > 0, AIFI ( A ) = 0}-,R( A ) := I\C( A )} P(a ) := {i G R(a ) : j > 0, f i ( a ) > 0} ; N ( a ) := R(a)\p(a). n h n g h a . . Gi s cú / , VI A v ch s nh trờn. Cho T{ ) l H- phõn ca / ti A . Khi ú, vộct flM" c gi l im chớnh quy (chớnh quy cht) ca / tng ng vi H- VI phõn T( A ) nu vi mi vộct khỏc khụng zR" cho Zc = 0, Zp > 0, ZN < (2.12 ) thỡ tn ti vộct S G Rn cho Sp > 0, Sjv < 0, SR 7^ (2.13) v STATZ > 0(> ), VA e T( A ) (2.14) nh lý 2.11. Gi s f : R n > M n l H-kh vi ti a vi H- vi phn T ( a ) . Cho l hm NCP tha iu kin sau: % e p ) > 0; % e N => ,() < 0; i G => 0, $(a)i 0} Khi ú, G (a) v a l im chớnh quy v ch a nghim ca bi toỏn N C P { f ) . C h n g m i n h . Gi s rng G ( ) v l im chớnh quy. Khi ú, v i n h n g hm ( ) [VA + W] Ê (), = () + () \Ơ => Z + = ú, z (2.15) = ( ) , = W T (). Vi bt kỡ s G Mn, (2.15) cho kt qu STAT z + s1 y = (2.16) 0. Ta cn cú () = 0. Gi s ngc li, Khi ú, R Vỡ l im chớnh quy v y, v Zc = , Zp > 0, ZN < 0. khụng l nghim ca NCP(/). cú cựng du, bng cỏch ly vộct s e R" tha (2.13)v (2.14), ta cú: v STATZ > s T y = slva + s],y p + s T N y n (2.17) (2.18) Rừ rng, (2.17) v (2.18) mõu thun vi (2.16). Do ú, A l nghim ca NCP(/). Mtphn ca nh lý sau c suy t nh ngha. nh lý 2.12. (Li gii c ó bi ton bự phi tuyn) G i s f : R n - > R n l H-kh vi ti a vi H-vi phn T ( ) . C h o $ l h m NCP tha mn iu kin sau: i e P => $i(a) > 0; e N => $i(a) iG c < 0; =>- $;(a) = 0. Gi s ^ l H-kh vi vi H-vi phn cho bi Ttp(a) = { Đ { a f [ V A + w ] : A G T(a), V = diag{vi), w = diag{wi); Vi > 0, W> ,^ (0^ 7^ } Kh ú, Tf (a) v a l im chớnh quy v ch a l nghim ca bi toỏn N C P ( f ) . Kt lun Chng ó trỡnh by tớnh H- KHK vi ca hm nhiu bin v ng dng vo vic kho sỏt bi toỏn ti u v bi toỏn bự phi tuyn. Kt lun Lun ó trỡnh by mt cỏch cú h thng cỏc ni dung sau: Khỏi nim v nhng tớnh cht c bn ca H VI phõn v H kh vi hm nhiu bin. Mt s ng dng ca H V phõn v H kh vi hm nhiu bin vo nghiờn cu bi toỏn ti u v bi toỏn bự. Vỡ kh nng v iu kin cú hn, lun chc chn khụng th trỏnh c thiu sút. Kớnh mong cỏc thy cụ v cỏc ng nghip gúp ý kin em cú iu kin chnh sa lun c tt hn. 5 [...]... toỏn bự phi tuyn ng vi hm H- KHK vi v ch ra rng, vi iu kin thớch hp v H- VI phõn ca /, cc tiu h a hm merit tng ng vi / dn ti li gii ca bi toỏn bự phi tuyn Hai ng dng ny c vn dng bi rt nhiu nhng nh nghiờn cu trờn C1, hm li, hm Lipschitz a phng v hm na liờn tc Nhng ni dung trỡnh by trong chng ny ch yu c ly t cỏc ti liu [TJ, 3J, [51 2.1 H -v i phõn v H -kh vi 2.1.1 nh ngha v vớ d nh ngha 2.1 Cho hm / :... /{) gm nhng P Q -ma trn (P-ma trn) (d) f l H- kh vi trờn Mn v vi mi X Mn, H- v phõn T f ( x ) gm nhng P -ma trn (P- trn) 2.3 ng dng ca tớnh H -kh vi vo bi toỏn ti u h a v bi toỏn bự Ta tỡm hiu hai ng dng ca tớnh H- KHK vi ng dng th nht, ta xột iu kin cn ti u ca bi toỏn cc tiu a phng ca hm H -kh vi ng dng th hai, ta xột bi toỏn bự phi tuyn ng vi hm H- KHK vi v ch ra rng, vi iu kin thớch hp v -vi phõn ca... Mnh 2.4 (Chain Rule) Gi s rng ri c M n v ớ' c M n i m, f : ớ > i H- kh vi ti a e ớ vi H- vi phn T(a ) v : ớ' > M n J H- kh vi ti b := /(a) vi iJ -vi phõn S(b) Khi ú, g o f l H- kh vi ti a vi H- vi phn c cho bi: ( S 2.2 O T)(a) := {BA : A G T(a), 5 G 5(6)} Mi liờn h vi mt s khỏi nim o hm suy ô/ rng Vớ d 2.4 Nu / : Kn > Mn l kh vi Erộchet ti A G Mn, khi ú / l i-kh vi vi (v/(a)} l H- VI phõn Vớ d 2.5 Cho... l hm NCP Vi bi toỏn NCP (/), ta nh ngha $(2;) = {xn:fn{x )) ca NCP (/) Kt lun Trong chng ny, ta ó trỡnh by mt s ni dung c bn v hm nhiu bin Nhng kin thc ny s s dng n trong chng sau 1 9 Chng 2 Tớnh i-kh vi ca hm nhiu bin Trong chng ny, ta nghiờn cu khỏi nim H -kh vi ca hm nhiu bin v xột hai ng dng ca H- KHK vi ng dng th nht, ta xột iu kin cn ti u ca bi toỏn cc tiu a phng ca hm H- KH K vi ng dng th hai,... 1 Khi T( A ) gm nhng P 0 - ma trn khụng suy bin, (2.1) tha món vi c = I Khi iu kin (b) tha món, (^1) tha món vi bt kỡ c G T( A ) Khi / l kh vi Prộchet vi det J F ( A ) > 0, ta cú th ly T( A ) = {J/(a)} v ỏp dng trng hp (b), (|2.1|) c tha món Mnh 2.3 (Cụng thc tng ca H- kh vi) Gi s rng Q c R n m v f,g t ri ti Rn l H- kh vi ti fl vi H- vi phõn T{ũ) v S(a ) tng ng Khi ú, f + g l H- kh vi vi H- vi phõn cho... tiu h a hm merit tng ng vi / dn ti li gii ca bi toỏn bự phi tuyn 2.3.1 iu kin cn ti u ca bi toỏn cc tiu a phng ca hm H -kh vi cú c iu kin cn ti u ca bi toỏn ti u liờn quan n hm H -kh vi, trc tiờn, ta xột tớnh H -kh vi ca nhng hm H -kh vi cc i hoc cc tiu nh lý 2.2 Vi i = 1 H- vi phõn Tfi (a) cho /* : M n > M l H- kh vi ti vi Cho f : M n R c nh ngha bi f (x) := min {f 1 (x),f 2 (x), ,f m (x)} nh ngha... A , ) Cho x k j = X , ta c: ||/(x)-/(a)|| L > 0 thỡ IIf ( x ) - /(a)II < L \\x - a| (V) Mt hm C-kh vi l H- kh vi vi H- vi phõn cho bi C -vi phõn Tht vy, gi s f : Mn > Mn l hm C-kh vi Vi mi a Ê Mn, tn ti tp compact khỏc rng T(a) sao cho vi mi V Ê T ( x ) thỡ f ( x ) /(a) v ( x a ) = o(||x a||) Do ú, f l H- kh vi vi H- vi phn cho bi C -vi phn V (x ... ớ hm f : ớ > M n i hm kh vi Frộchet v cng l hm Lipschitz a phng ti a G ri Theo vớ d 2.1, do f l hm kh vi Frộchet nờn cú hm Frộchet (mó trn Jacobian) J f ( a ) Ê M nxn f { x ) - f ( a ) - Jf(ũ)(x -ũ) = o(||s - o||) Theo nh ngha v H- vi phn, J f ( a ) l H- vi phn ca f Theo vớ d 2.2\ f l H- vi phn vi: T(a) = DF ( A ) = CO {lim J F ( X K ) : X K > A , X K G ri/} Vỡ Jf(a) Tf(a) nờn H- vi phõn ca mt hm... a/|| (*) ii) Hm / c gi l Lipschitzian a phng vi hng s Lipschitzian K trờn tp Mn, nu (*) ỳng vi mi X , X ' Mn nh ngha 1.18 (Vi phõn Bouligand) Xột hm / : > Rn l hm Lipschitz a phng ti mi im ca tp m C Mn ( trờn nhng lõn cn ca mi im ca / l hm Lipschitz) Sau ú, nh lý Rademacher khng nh / l kh vi Frechet hu khp ni trong ớ) Cho èF l tp tt c cỏc im trong ớ m / kh vi Frechet Khi ú, vi bt kỡ A G ri, (Clarke) Jacobian... 2.1.2 Mnh Mt s tớnh cht c bn ca H- KH vi, H- VI phõn 2.1 Gi s fỡ l tp con m ca Kn v / : ớl > Kn i H- kh vi ti a Ê ri vi Hvi phn T(a ) gm nhng ma trn khụng suy bin Khi ú, a l nghim cụ lp c ó phng trỡnh f ( x ) = f ( a ) Chng minh Gi s ngc li rng cú dóy F ( A ),V K XK > A m XK A v F ( X k) = Do tớnh H- KHK vi, tn ti A e T( A ) sao cho A( X KJ A ) = o(||xfc a||) Suy ra, tn ti vộct n v H sao cho A{ H ) . chọn đề tài Tính H- khả vi của h m nhiều biến và ứng dụng để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu Đạt được một sự hiểu biết tốt về tính H- khả vi của h m nhiều biến và ứng. h m NCP ộ{xi, Chương 2 Tính iĩ -khả vi của h m nhiều biến Trong chương này, ta nghiên cứu khái niệm H- khả vi của h m nhiều biến và xét hai ứng dụng của H- KHK vi. ứng dụng thứ nhất, ta xét điều. khái niệm đạo h m suy rộng Một số khái niệm cơ bản trong W Miền xác định của h m nhiều biến Tính liên tục của h m nhiều biến Một số ký hiệu và định nghĩa Tính khả vi của h m nhiều biến Giới h n