Luận văn tính h khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HẢ NỘI 2 HÀ NỘI, 2014 ĐOÀN HƯƠNG GIANG TÍNH //-KHẢ VI CỦA HÀM NHIÈU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐOÀN HƯƠNG GIANG... Bộ GIÁO DỤ

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HẢ NỘI 2

HÀ NỘI, 2014

ĐOÀN HƯƠNG GIANG

TÍNH //-KHẢ VI CỦA HÀM NHIÈU BIẾN VÀ

ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐOÀN HƯƠNG GIANG

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HẢ NỘI 2

TÍNH /7-KHẢ VI CỦA HÀM NHIÈU BIẾN VÀ

ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngưòi hướng dẫn khoa

học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HẢ NỘI 2

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn NăngTâm, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn

để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy côphòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyênngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đãgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HẢ NỘI 2

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoànthành luận văn

Hà Nội,

thán

g 7 năm 20lị Tác giả

Đoàn Hương Giang

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HẢ NỘI 2

HÀ NỘI, 2014

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS NguyễnNăng Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với

đề tài “Tính iỉ-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng” đượchoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kếthừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng

và biết ơn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HẢ NỘI 2

Hà Nội,

thán

g 1 năm 20lị Tác giả

Đoàn Hương Giang

BANG MOT SO KY HIẸU

Rn không gian Euclid n-chiều

Mnxn không gian các ma trận cấp n

||.|| chuẩn trong không gian Mn

/ : X —»■ Yánh xạ từ X vào Y

$ : X =4 Yánh xạ đa trị từ X vào Y

inf / cận dưới đúng của ánh xạ /sup / cận trên đúng của ánh xạ /min / giá trị nhỏ nhất của ánh xạ /

max / giá trị lớn nhất của ánh xạ /

ker / hạt nhân, hạch của ánh xạ /

df

đạo hàm riêng của hàm / theo biến Xị

Ờ X ị

v 2 f(x) ma t r ậ n Hessian c ủ a / tại X

Một số khái niệm đạo hàm suy rộng

Một số khái niệm cơ bản trong w

Miền xác định của hàm nhiều biến

Tính liên tục của hàm nhiều biến

Một số ký hiệu và định nghĩa

Tính khả vi của hàm nhiều biến

Giới hạn của hàm nhiều biến

Định nghĩa hàm nhiều biến

5 6 6 6

7

8

99

10 10

141414

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1998, Gowda và Ravindran trong bài “Algebraic univalence theorems fornonsmooth functions” (Research Report, Department of Mathematics and Statistics,University of Maryland, Baltimore, MD 21250, March 15, 1998) đã đưa ra các khái

niệm H-khk vi và H-vi phân cho ánh xạ / từ Mn vào Rn và chỉ ra rằng đạo hàmFréchet của hàm khả vi, Jacobian suy rộng Clarke của hàm Lipschitzian địa phương,dưới vi phân Bouligand của hàm nửa liên tục và ơ-vi phân của hàm ơ-khả vi là

những trường hợp riêng của H-vi phân Từ đó đến nay, nhiều tác giả đã nghiên cứu tính H-khk vi của hàm nhiều biến và ứng dụng của nó trong toán ứng dụng (xem [4]

và những tài liệu dẫn trong đó) Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiếnthức đã học, mối quan hệ và những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là: “Lý

thuyết đạo hàm suy rộng và ứng dụng”, tôi chọn đề tài “Tính H-khả vi của hàm

nhiều biến và ứng dụng” để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

Đạt được một sự hiểu biết tốt về tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng vào

Tối ưu hóa và Bài toán bù

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo sát tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng vào Tối ưu hóa và Bài

toán bù

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi nghiên cứu: Hàm nhiều biến

- Đối tượng nghiên cứu: Tính H-khk vi của hàm nhiều biến và ứng dụng.

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quan mật thiết

đến tính H-khk vi của hàm nhiều biến và ứng dụng.

- Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

- Một tổng quan về tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng.

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất của hàm trênkhông gian Rn cùng với những tính chất của nó Những kiến thức trình bàytrong chương được chọn chủ yếu từ các tài liệu [ĩ], [2], [3j

1.1 Không gian M71

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản trong Kn

Định nghĩa 1.1 Một điểm trong không gian Mn là một bộ n số có thứ tự (xi,x 2 ,xn) Ta thường kí hiệu X — {xi,x 2 ixn) số Xị(i — 1, n) được gọi là tọa độ thứ ỉ của điểm X. Kí hiệu điểm gốc 0 = ( 0 , 0 , 0 )

Định nghĩa 1.2 Tích vô hướng của hai véctơ X = (xi,x 2 ,x n ) và y = (ỉ/i,ỉ/2, là

một số (ký hiệu x.y, (x,y) hay (x,y)) xác định như

sau: (x,y) := Xiyi + x 2 y 2 + ••• + x n y n

Định nghĩa 1.3 Chuẩn (hay độ dài) của véctơ X, ký hiệu là II z||, một số được xác định như sau: ||x|| = y/(X, X) hay ||x|| = y/xi 2 + x 2 + + x n Khoảng cách giữa hai véctơ X và y là chuẩn của hiệu hai véctơ đó:

\\x - y\\ = y/(x - y,x - y) = \J{Xị - yxỹ + (x 2 - y 2 f + ••• + {x n - Vnỹ.

Định nghĩa 1.4 Phép tương ứng A từ không gian Mn vào không gian được gọi

là một ánh xạ tuyến tính nếu nó có các tính chất:

(i) A{x + y) = A(x) + A(y),Vx, y e R n ;

(ii) A(Xx) = \A(x),V\ el,Va:€ Mn

Định nghĩa 1.5 (Phần trong, bao đóng)

Cho tập D c K " Hợp của tất cả các tập mở nằm trong D gọi là phần

0

trong của D Kí hiệu A hay int A Giao của tất cả các tậpđóng chứa D

gọi là bao đóng của D Kí hiệu là A hay bdyA.

Một hình chữ nhật đóng (mở) trong Rn là một tích Đề-các của n khoảng đóng (tương ứng, mở) trong Ш.

Với bất kì r > 0, hình cầu mở tâm a, bán kính r trong Kn là

tập

B(a\r) = {ж ж : \\x — a|| < r}.

Ta dùng kí hiệu r(x) = ơ(ỊỊíc — aỊỊ) khi X —>■ a, nghĩa là:

với Vs: > 0, 3Ố > 0 : ||г(ж)|| < s\\x — a||, với bất kì ||x — a\\ < ỗ

Graph(F ) = {{x,y)\y e F(x)}

Ánh xạ đa trị F được gọi là không tầm thường nếu Graph(F) Ỷ 0, nghĩa là tồn tại X

£ X sao cho F(x) Ф 0 Nếu F(x) Ф 0 với mọi X G X thì ta nói rằng ánh xạ đa trị F là chính thường Miền của ánh xạ đa trị F, kí hiệu Dom(F) là tập {ж ж G X, F(x) Ф 0} Ảnh của ánh xạ đa trị F được cho bởi Im(F) = и F(x) Nếu M là tập con khác rỗng của X và

F là ánh xạ đa trị từ X vào Y thì ta dùng kí hiệu F\ M để chỉ ánh xạ đa trị thu hẹp của

F lên M và được định nghĩa:

Ánh xạ đa trị F : X =4 Y được gọi là nửa liên tục trên tại X ẽ Dom{F) khi và chỉ khi nếu với mỗi lân cận и của F(x), tồn tại một số dương r sao cho:

\/y G Bx (X , r), F (у)) С u

trong đó Bỵ (X, r) là hình cầu trong X có tâm X và bán kính r F được gọi là nửa liên

tục trên nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi X £ Dom(F).

Ánh xạ đa trị F : X =£ Y được gọi là nửa liên tục dưới tại X ẽ Dom{F) khi và chỉ khi nếu với mỗi tập mở и с Y mà и П F (х) ) Ỷ 0) tồn tại một số dương r sao cho:

F(x),x G M Q,xệM

Vy Ễ B x (x,r) ,u П F (у)) ф 0.

Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu nó nửa liên tục dưới tại

mọi X ẽ Dom(F).

1.1.2 Một số tính chất trong Mn

- Không gian Mn là đầy đủ

- Mọi ánh xạ tuyến tính A : Mn —> Mn là liên tục

- Mọi tập bị chặn trong Mn là hoàn toàn bị chặn Tập con Ả с Mn compact khi

và chỉ khi A đóng và bị chặn.

1.2 Hàm nhiều biến

1.2.1 Định nghĩa hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.7 Cho n là số nguyên với n > 2, D с Rn Ta gọi ánh xạ / : D —»■

Mn(n G z ,n> 1) với M(xi, x 2 ,x n ) e D H->• и = f(M) = f(xI,x 2 ,xn) G Mn là một hàm

n biến xác định trên D D được gọi là miền xác định của hàm /; Æi,a;2, là các biến

độc lập còn и gọi là biến phụ thuộc.

1.2.2 Miền xác định của hàm nhiều biến

Người ta quy ước: Nếu cho hàm и = f(M) mà không nói gì về miền xác định D của

nó thì ta hiểu rằng miền xác định D của hàm là tập hợp các điểm sao cho biểu thức f(M) có nghĩa.

1.2.3 Giới hạn của hàm nhiều biến

1.2.4 Tính liên tục của hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.9 Cho D c Mn và / : D —ỳ’ Mn Ta nói hàm f(x) = (xị,x 2 ,x n ) liên tục tại điểm a = (a1? a 2 ,an) G D nếu:

Ve > 0, 3Ố = <5(a, e ) > 0 , V x e Đ : 0 < ||x — a|| < ỏ = > \ \ f ( x ) —

f ( à ) II < £.

Điều này tương đương với lim f(x) = f(a) (nếu a là điểm tụ).

x—>a Hàm số / được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D Hàm số / liên tục trên miền đóng D nếu nó liên tục trên D và liên tục tại mọi điểm a thuộc dD theo nghĩa:

lim f(x) = f(a),x € D.

x—>a Nếu đặt Af(a) = /(ữi + Axi,a n + Axn) — f(x 1,xn) gọi là số gia toàn phần của hàm

/ tại a = (ữi, a2,a n ) thì hàm / liên tục tại a nếu A/(a) —> 0 khi Axị —> 0(ị = 1 ,n).

Hàm / được gọi là liên tục đều trên tập D nếu:

Ve > 0, 3Ố = (5(e) > 0, Vx ! ,x" e D, \\x ! — x"|| < ỗ =>■ ||/(x') — ĩ{x")II < £ Hàm / được gọi là liên tục theo biến Xị tại điểm a = («1, a 2 , a n ) € -D nếu:

Ve > 0, 3Ố = ổ(a, e) > 0, ' Ì X ị € D : I I I I < ố = >

Ị Ị / ( ữ i , , on - /(o)|| < £

1.3 Tính khả vi của hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.10 Cho D là một tập mở trong Mn; a = (ữi,a n )€

D\

h = (hi,hn) € sao cho a + h € D.

Ta nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm a €E D nếu tồn tại các hằng số

Aị, A 2 ,A n sao cho:

A/( ữ ) = f { a + h ) — f i a ) = Aihi + A 2 Ỉ 12 + + Ả n h n + e(h) ||/i||

trong đó, e{h) —>• 0 khi h 0.

df Nếu fix) khả vi tại a thì tồn tại các đạo hàm riêng -^—(0) (ỉ = 1, 2,rì)

Ỡ X ị

df df df và đồng thời: A f(a) = ị=-(a)hị + -^-{a)h 2 + + ~^—{a)h n + e(h) ỊỊ/iỊỊ.

Khi đó, Af(a) = f'(a).h + e(h) ||/i|| ; e(h) —>■ 0(h —> 0).

Biểu thức f'(à).h được kí hiệu là df(a) và gọi là vi phân củahàm f(x) tại a Trong biểu thức df(a), hị được kí hiệu là dxị.

Từ đó: df(a) = ——(a)dxi + ——(a)dx 2 + + ^-(a)dx n = f r (a)dx trong

Ớ3C 2

đó, dx = ( d x ị , d x 2 , d x n ).

d f Nếu hàm số f(x) có các đạo hàm riêng г = 1,71 trong lân cận

O X ị của điểm X = a và liên tục tại điểm này thì f(x) sẽ khả vi tại X = a Hàm số / được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D.

1.4 Một số khái niệm đạo hàm suy rộng

1.4.1 Một số ký hiệu và định nghĩa Định nghĩa 1.11

Cho tập D с / : D —>

Nếu với \/xi,x 2 € D,Xị Ф x 2 thì f(xi) Ф f(x 2 ) Ta nói / là một đơn ánh hay ánh xạ

Cho К = Щ] H = {x e R n \xi > 0,Vỉ} Lấy x,y E Mn Khi đó:

(i) К là một nón Ta nói X nhỏ hơn hoặc bằng у), kí hiệu X < у) khi và chỉ khi х) <кУ У — X G К Xi < Ui,l < i < п.

(ii) H là một nón lồi Ta nói X nhỏ hơn y, kí hiệu X < y khi và chỉ khi X < y <=> х) < н у) у) — X & H <=ï Xị < yi,l < i < п.

Định nghĩa 1.13 (Hàm trơn, nửa trơn)

Nếu f(x) có tất cả các đạo hàm riêng liên tục trong D thì ta nói f(x) là hàm trơn trong D và viết là / e C°°(D).

Hàm / : D —> được gọi là hàm nửa trơn tại а £ D nếu với bất kì x k a và Vỵ G df{xk), f(x k ) - f(a) - v k {x k - a) = o(\\x h - o||)

Một hàm liên tục / : Mn là trơn từng khúc nếu tồn tại hàm khả vi liên tục

fj : Rn —> Mn, (j Ễ N,j > 1) sao cho:

f{x ) G {fi{x),f 2 (x), <E R".

Định nghĩa 1.14 (Po-hàm và P-hàm (ma trận))

1 0

Cho hàm / : Rn —»• Mn, ta nói rằng / là Po-hàm ( P-hàm) nếu với bất kì X Ỷ y trong

Mn, max (x - y)ị[f(x) - f(y)]ị > 0(> 0).

{г-ХгфУг}

Ma trận M € Mnxn được gọi là p0-ma trận (P-ma trận) nếu hàm f(x) = Mx là p0-hàm

(P-hàm) hoặc tương đương với mọi ma trận con của M là không âm (tương ứng,

dương)

Mọi hàm đơn điệu (đơn điệu chặt) là p0-hàm (P-hàm)

1.4.2 Hàm C-khả vi

Định nghĩa 1.15 Hàm / : Rn —> Mn được gọi là ơ-khả vi nếu với mỗi a G Rn, tồn tại

tập con compact khác rỗng của toán tử tuyến tính T(a) (được gọi là ơ-vi phân của / tại a) sao cho:

(i) Ánh xạ đa trị X !-»■ T ( x ) là nửa liên tục trên tại mỗi điểm a ,

(ii) Với mỗi V E T(x), f(x) — f(a) — V(x — а) = о(||ж — a||).

1.4.3 Hàm khả vi Fréchet

Định nghĩa 1.16 (Hàm khả vi Préchet) Ánh xạ / : Rn —> IRn được gọi là khả vi

Fréchet tại flẽl" nếu tồn tại A G L(Mn,Mn) sao cho:

||/(o + h)~ f(a) - A(a)h\\

i) Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương tạia G l , hayLipschitz ở

gần a, nếu tồn tại lân cận u của a, số K > 0 sao cho:

Vx,x ' € u , \ f ( x ) — /(x7)! < K ||x — a/|| (*)

ii) Hàm / được gọi là Lipschitzian địa phương với hằng số Lipschitzian K trên tập

Mn, nếu (*) đúng với mọi x,x' € Mn

Định nghĩa 1.18 (Vi phân Bouligand)

Xét hàm / : —> Rn là hàm Lipschitz địa phương tại mỗi điểm củatập mở C Mn (để trên những lân cận của mỗi điểm của / là hàm Lipschitz) Sau đó,

định lý Rademacher khẳng định / là khả vi Frechet hầu khắp nơi trong íĩ) Cho íìf là tập tất cả các điểm trong íĩ mà / khả vi Frechet Khi đó, với bất kì a G ri, (Clarke)

Jacobian tổng quát:

d f ( a ) = co{lim J f ( x k ) : x k a,x k e r ìf}

tồn tại, khác rỗng, compact và lồi

Tập dßf(a) := {ж lim Jf(x k ) : x k —> a, x k € íìf} được gọi là (dưới) vi phân Bouligand của / tại a.

Định nghĩa 1.19 (Bậc của hàm tại một điểm) Với một hàm liên tục / : íĩ —»• Mn,trong đó ri là một tập mở chứa trong In và p Ễ K", ta sử dụng kí hiệu deg(f,n,p) để

kí hiệu cho bậc của / tại p trên íĩ Nếu a là nghiệm cô lập của phương trình f(x) = p, khi đó, với mọi £ > 0 đủ nhỏ, deg(f,B(a,£),f(a)) là như nhau; ta kí hiệu giá trị chung này bởi indexự, a).

1 2

Định nghĩa 1.20 (Hàm đơn trị yếu) Ta nói rằng một hàm / từ tập mở C Mn vào Mn là

đơn trị yếu nếu tồn tại một dãy các hàm liên tục một-đối-một : Q —¥ W 1 sao cho

hàm fk hội tụ đều đến hàm / trên mỗi tập con bị chặn của íỉ.

Mệnh đề 1.1 Giả sử ri là mở trong Mn, / : íỉ —► Mn là đơn trị yếu và q £ /(fỉ) Nếu

a là một n g h i ệ m cô lập của phương trình f(x) = q trong ri thì nó là nghiệm duy

nhất

Rx R

Định nghĩa 1.21 Với tập con E c Rn, co E kí hiệu hàm lồi đóng của E và cỡ E kí hiệu bao đóng của E Với hàm khả vi / : Mn —> Mn, v/(a) kí hiệu ma trận Jacobian

của / tại a Với ma t r ậ n A, Aị kí hiệu hàng thứ i của A.

Định nghĩa 1.22 Hàm ộ : Mn X Mn —¥ M được gọi là hàm NCP (Nonlinear

complementarity problem) nếu:

Va, ồ Ễ Mn : ệ(a, b) = 0 <=> (a, 6) = 0, a > 0, b > 0.

Cho hàm khả vi / : Kn —> Mn Ta định nghĩa bài toán NCP(/) (bài toán bù phi tuyến

ứng với hàm /) như sau: Tìm a € Rn thỏa mãn a > 0, /(a) > 0 và (f{a),a) = 0.

Chương 2

Tính iĩ-khả vi của hàm nhiều biến

Trong chương này, ta nghiên cứu khái niệm H-khả vi của hàm nhiều biến và xét hai ứng dụng của H-khk vi ứng dụng thứ nhất, ta xét điều kiện cần tối ưu của bài toán cực tiểu địa phương của hàm H-kh.k vi ứng dụng thứ hai, ta xét bài toán bù phi tuyến ứng với hàm H-khk vi và chỉ ra rằng, với điều kiện thích hợp về H-vi phân của /, cực tiểu hóa hàm merit tương ứng với / dẫn tới lời giải

của bài toán bù phi tuyến Hai ứng dụng này được vận dụng bởi rất nhiều

những nhà nghiên cứu trên c 1 , hàm lồi, hàm Lipschitz địa phương và hàm nửa

liên tục Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu được lấy từ cáctài liệu [TJ, Ị3J,

[51.

2.1 H-v i phân và H -khả vi

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1 Cho hàm / : c —>■ trong đó íỉ là tập con

mở trong Mn và a € íì Ta nói rằng tập con khác rỗng T(a) (cũng được kí hiệu bởi Tf(a)) trong Mnxn là H-vi phân của / tại a nếu với mỗi dãy {ж xfc} c fỉ hội tụ

tới a, tồn tại dãy con {x kj } và ma trận A e T(a) thỏa

f(x k t) - f(a ) - A(x k * - a) = о (||æ fcj - a\\)

Ta nói rằng / là H-khk vi tại a nếu / có H-vi phân tại a.

Nhận xét 2.1 Một định nghĩa tương đương về H-vi phẫn т{а) của f tại а như sau: Với bất kì dãy x k := а + tf.d h với tỵ ị 0 và ||d fc || = 1, khi đó tồn

f c + t b p - M = M

j - > 0 0 t k j

Ví dụ 2.1 Xét hàm / : Kn —> ]Rn khả vi Préchet tại a e với đạo hàm Fréchet

(ma trận Jacobian) Jf(a) G Mnxn để:

f ( x ) - /(o) - J f ( a ) ( x - а ) = о(||ж - а\\).

Rõ ràng, (J/(a)} là H-vi phân của / và do đó / là Я-khả vi.

Ví dụ 2.2 Xét tập mở ri Ç Mn và hàm Lipschitz địa phương / : ri —> Mn là

hàm nửa trơn tại а £ Nghĩa là, với bất kì x k —> а và Vk £ df(x k ),

fi xk ) - f(a) - v k{x k -a) = o(||a;fc - a||)

Khi đó, / là khả vi theo hướng tại а và / là khả vi Bouligand (Б-khả vi), nghĩa là: f(x) — /(a) — f'(a;x — a) = o(||æ — aỊỊ) Khi đó, với hàm / cho trước, nửa trơn tại a, (dưới) vi phân Bouligand ỡs/(a) là H-vi phân của /.

Cho x k —> a Khi đó, từ tính chất hàm nửa trơn ta có:

/0е*) - /(«) - v k{x k - o) = o(||xfc - o||)

với bất kì Vỵ € df(x k ).

1 6

Đặc biệt, với bất kỳ Vỵ € дв/(х) к ), vì ánh xạ X I—^ dßf (X) có giá compact và

là nửa liên tục trên, ta xét một dãy con với V e dßf(a) và dãy con {x k i} mà

f (

x k j ) - /(«) - Vk{x ki -a) = o(\\x k t - a\\).

Điều này chứng tỏ rằng ỡs/(a) là H-yi phân của /.

Ví dụ 2.3 [TJ Xét / : M —¥ M xác định bởi f(x) = л/\х) \ Xét а = 0 Vì không

có số a nào thỏa mãn f(xị) — /(0) — a(xị — 0) = o(||xj — 0|Ị)

với {ж Xj} là dãy con của dãy {ж -} Vậy / không là H-khả vi tại а = 0.

ỉ Nhận xét 2.2 (ỉ) H-vi phân của một hàm tại một điểm không cần là duy nhất.

Thật vậy, cho íĩ С hầm f : íĩ —> M n iầ hầm khả vi Fréchet và cũng

là hàm Lipschitz địa phương tại a G ri Theo ví dụ 2.1, do f là hầm khả

vi Fréchet nên có hàm Fréchet (mã trận Jacobian) J f ( a ) £ M nxn đ ể

f { x ) - f ( a ) - Jf(ò)(x -ò) = o(||s - o||)

Theo định nghĩa về H-vi phẫn, J f ( a ) l ầ H-vi phẫn của f Theo ví dụ 2.2\ f lầ H-vi phẵn với:

T(a) = df(a) = co{ж lim Jf(x k ) :x k —>■ a,x k G ri/}

Vì Jf(a) Ỷ Tf(a) nên H-vi phân của một hầm tại một điểm không cần lầ duy nhất.

(ỉi) H-khả vi kéo theo tính liên tục.

Thật vậy, giả sử hầm f :—> M n lầ H-khẳ vi tại a Do đó, với mỗi dãy {х) к },х) к —»• а, 3{ж ж^} С {ж ж*} và mã trận A е т(а) sao cho

/(!*') - /(а) - - а) = о(||х‘< - а||).

Vì х) к —>• a nên tồn tại ít nhất một đẫy con { x k j } с {x fc } sao cho f(x k i) —

¥ f(a) Trong cấc dẫy con thỏa mãn cắc tính chất trên, ta lấy dãy con sao cho số hạng đầu có chỉ số nhỏ nhất Ký hiệu dãy đó lầ {x kl } Nếu cấc số hạng của {x kl } có cấc chỉ số liên tiếp nhau thì 3k 0 <E N : I f ( x k )

- /(а)I < E,Vk > k 0 Do đó, f(x ) -> f(a).

Nếu cắc số hạng của {x kl } có các chỉ số không liên tiếp nhau Xét dãy {a: fc }\{a: fcl }, tồn tại dẫy con {ж* 2 } có chỉ số của số hạng đầu k 2 nhỏ nhất

và f ( x k 2 ) — > f ( a ) Cứ như thế, ta có cấc dãy {a^ 1 }; {x k2 }-, Do đó, tồn tại dãy x ki ° —> а sao cho x ki < x ki ° < x ki+1 với kị đủ ỉớn Từ đó, tồn tại dãy COĨ 1 {x kiin } : f(x kijn ) —> f(a)(x kin < x kijn < Điều này mẫu thuẫn với giả thiết nhỏ nhất của kị +1 Suy ra {x k '} lầ dẫy gồm các chỉ số

liên tiếp Tồn tại k 0 € N, I f{x k ) — f(a) I < £, Vk > k Q hay f(x k ) —> f(a).

(iii) Điều kiện H-khả vi có thể được miêu tả tương đương như sau: Với

Kn và A £ T(a ) sao cho:

f(a + t k j d k j ) - /(ạ) ^ Ad

tkj

Thật vậy, giả sử f lầ H-khả vi tại a Đặt x k = а + t k d k ,t k ị 0, ||d fc II = 1, ta

có x k —>■ a Do vậy, tồn tại dẫy { x h j } с {a^}, x kj = a + tk.d kj sao cho:

f i x k j ) - /( ữ ) - A i xkj -a) = o{\\x k * - o||).

Từ đó, ta có:

f(a + t kj d kj ) - /(а) - A(t kj d kj ) = o(ịịt kj d kj II)

^^w ->• f ( x k j ) — /(ạ) —

A ( t k j d k j ) hi

1 8

\\ x ~ a ll

d ẫ y { d j } , d j d G s a o c h o — » Лс/.

II f ( x ) - f ( a )II < L\\x — a||,\/x e B(a,ỗ).

Ngược lại, nếu II f ( x ) — f(a)\\ < L\\x — a\\,\/x £B(a,ỗ ) thìT ( a ) :=

R nxn có thể coi như H-vi phân của f tại a.

Thật vậy, vì f lầ H-vi phẫn tại a nên với mỗi dẫy { x k } с ri, x k — > a ,

t ồ n

2 0

t ạ i {a;**} c { x k } s a o c h o f ( x k i ) — f ( a ) — A(xkj — ò) = o(||a; fc j —

a||).

Ta có:

\ \ f ( x ) - f ( a )II = \ \ f ( x ) - f ( x k ì ) - ự{x k i) - /(a)) II

<II f ( x ) - f { x k j ) \ \ + \ \ f { x k j ) - f{ò) II

= 11/0*0 - f ( x k j ) \ \ + \\A{x k i - a) + o{\\x k i - aII)II

< (11/11 + \\A\\ + ỏ)- 11^ - o|| ,Va^ G B(a,ỗ) Cho x k j = X , ta được:

||/(x)-/(a)||<(||/|| + ||A||+í).||a;-a||

Đặt L = 11/11 + \\A\\ + ỗ => L > 0 thì IIf ( x ) - /(a)II < L \\x - aỊ|

(V) Một hàm C-khả vi là H-khả vi với H-vi phân cho bởi C-vi phân Thật vậy, giả sử f : M n —> M n lầ hầm C-khả vi Với mỗi a £ M n , tồn tại tập compact khác rỗng T(a) sao cho với mỗi V £ T ( x ) thì f ( x ) — /(a) —

v ( x — a ) = o(||x — a||) Do đó, f là H-khẳ vi với H-vi phẫn cho bởi C-vi phẫn V (x — a).

2.1.2 Một số tính chất cơ bản của H-khả vi, H-vi phân

Mệnh đề2.1 Giả sử fì lằ tập con mở của K n và / : íl —> K n iầ H-khả

vi tại a £ ri với H—vi phẫn T(a ) gồm những ma trận không suy biến Khi đó, a lắ nghiệm cô lập củ ã phương trình f ( x ) = f ( a )

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng có dãy x k —>■ a mà x k Ỷ a và f(xk) =

f(a),Vk Do tính H-khk vi, tồn tại A e T(a) sao cho A(x kj — a) = o(||xfc — a||)

Suy ra, tồn tại véctơ đơn vị h sao cho A{h) = 0 Điều này trái với tính không suy biến của ma trận T(a) Mệnh đề được chứng minh.