Tính không khả vi của hàm weierstrass

Tính khơng khả vi hàm Weierstrass TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ******* NGUYỄN THỊ ÁNH TUYẾT TÍNH KHƠNG KHẢ VI CỦA HÀM WEIERSTRASS KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2014 Nguyễn Thị Ánh Tuyết K36C SP Toán Tính khơng khả vi hàm Weierstrass TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********* NGUYỄN THỊ ÁNH TUYẾT TÍNH KHƠNG KHẢ VI CỦA HÀM WEIERSTRASS KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S Nguyễn Quốc Tuấn HÀ NỘI – 2014 Nguyễn Thị Ánh Tuyết K36C SP Tốn Tính không khả vi hàm Weierstrass LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, cho phép tơi bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn – người trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Quý thầy, giáo khoa Tốn nói riêng, Q thầy, cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung, người cho tơi kiến thức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập thời gian thực đề tài Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn tới người thân, bạn bè quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành khóa luận Cuối cùng, khn khổ có hạn khóa luận, thân cố gắng học tập, nghiên cứu hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn, lực thân thời gian hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi kính mong nhận góp ý Q thầy, cô bạn Một lần xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Ánh Tuyết Nguyễn Thị Ánh Tuyết K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn tận tình thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn, khóa luận tốt nghiệp đại học chun ngành Tốn Giải tích với đề tài “Tính khơng khả vi hàm Weierstrass” hồn thành nhận thức thân tơi, khơng có trùng lặp với khóa luận khác Trong q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo với trân trọng lòng biết ơn sâu sắc Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Ánh Tuyết Nguyễn Thị Ánh Tuyết K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm số giới hạn hàm số 1.1.1 Hàm số 1.1.2 Giới hạn hàm số 1.1.3 Các kí hiệu o O 1.2 Hàm liên tục 1.3 Đạo hàm riêng vi phân hàm số nhiều biến số 12 1.3.1 Đạo hàm riêng hàm số nhiều biến số 12 1.3.2 Vi phân hàm số nhiều biến số 14 Chương TÍNH KHƠNG KHẢ VI CỦA HÀM WEIERSTRASS 15 2.1 Hàm Weierstrass 15 2.2 Tính khơng khả vi hàm Weierstrass 16 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 Nguyễn Thị Ánh Tuyết K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass LỜI MỞ ĐẦU Các tính chất khả vi, liên tục quan trọng giải tích định nghĩa thơng qua giới hạn hàm số Năm 1817, Bernard Bolzalo đưa định nghĩa có tính chặt chẽ giới hạn, khơng cộng đồng nhà Toán học ý đến nhiều năm sau Cho đến Cauchy đưa định nghĩa hình thức giới hạn thông qua đại lượng  ,  tính chất giới hạn, liên tục khả vi hàm số quan tâm, nghiên cứu cách hệ thống Trong thời gian nửa đầu kỉ XIX, người ta chứng minh hàm khả vi liên tục, có hay khơng hàm số liên tục mà không khả vi điểm đó? Năm 1872, Weierstrass cơng bố cơng trình nghiên cứu mình, ơng tìm hàm liên tục khơng đâu khả vi, hàm f (x )    a n cos(b n x ), n 0 đó,  a  1, b số nguyên lẻ ab   Để vinh danh cơng trình nghiên cứu ơng, người ta gọi hàm số hàm Weierstrass Với lí nêu với động viên, ủng hộ gia đình, thầy cô, bạn bè đặc biệt với bảo, hướng dẫn tận tình thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn, định chọn đề tài Nguyễn Thị Ánh Tuyết K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass “Tính khơng khả vi hàm Weierstrass” Mục đích khóa luận giới thiệu thêm hàm Weierstrass tính chất liên quan, nhằm củng cố kiến thức hàm số, giới hạn hàm số, hàm liên tục, hàm khả vi Đặc biệt, khóa luận giúp cho độc giả hiểu rõ hàm liên tục khơng đâu khả vi Ngồi phần lời mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm Chương Trình bày kiến thức (các kiến thức hàm số, giới hạn hàm số, hàm liên tục…) Chương Trình bày khái niệm hàm Weierstrass tính khơng khả vi hàm Weierstrass Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Ánh Tuyết Nguyễn Thị Ánh Tuyết K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm số giới hạn hàm số 1.1.1 Hàm số Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa hàm số, xem [1]) Cho X tập không rỗng tập số thực Một ánh xạ f từ tập X vào tập số thực gọi hàm số biến số (hàm số) f :X  x   f x   Tập X gọi tập xác định hàm f Tập f X gọi tập giá trị hàm f Số x gọi đối số (biến số độc lập), số y gọi   hàm số (biến số phụ thuộc) Kí hiệu y  f x , x  X 1.1.2 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa giới hạn hàm số, xem [1]) Giả sử X tập tập số thực x  X điểm tụ X , cho f hàm số xác định X Ta nói số thực l giới hạn hàm số f x dần đến x (hoặc điểm x ) viết     lim f x  l f x  l x  x , x x Nguyễn Thị Ánh Tuyết K36C SP Toán Tính khơng khả vi hàm Weierstrass với số dương cho trước nhỏ tùy ý, tồn số dương thuộc x ) cho với x  X mà  x  x  (phụ ta có   f x l  (1.1) Định lí 1.1 (xem [1]) Nếu tồn giới hạn hàm f điểm x giới hạn Định lí 1.2 (xem [1]) Nếu tồn giới hạn hàm f điểm x tồn số dương cho hàm số f bị chặn tập hợp  X  x0  ,x0   \ x  Định lí 1.3 (xem [1]) Giả sử X tập tập số thực , điểm x   điểm tụ X , hàm số f xác định X lim f x  l Khi đó, x x i) Nếu l  a tồn số dương x  X   x  x  ii) Nếu l  b tồn số dương x  X   x  x  cho   suy f x  a cho   suy f x  b Định lí 1.4 (xem [1]) Giả sử X tập tập số thực , điểm x   điểm tụ X hàm số f xác định X Khi lim f x  l x x     với dãy x n  X hội tụ x ta có lim f x n  l n  Định lí 1.5 (xem [1]) Giả sử X tập tập số thực, điểm x điểm tụ X f1 , f2 hai hàm số xác định X cho tồn Nguyễn Thị Ánh Tuyết K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass         lim f1 x  l1 lim f2 x  l2 Nếu f1 x  f2 x với x  X (có thể trừ x x x x điểm x ) l1  l2 Định lí 1.6 (xem [1]) Giả sử X tập tập số thực , điểm x điểm tụ X f , g, h ba hàm số xác định X thỏa mãn điều         kiện f x  g x  h x với x  X \ x Khi đó, tồn giới hạn     hàm f g x lim f x  lim h x  l, x x x x   lim g x  l x x , điểm x Định lí 1.7 (xem [1]) Giả sử X tập tập số thực     điểm tụ X Khi đó, lim f x  l lim f x  l x x x x Định lí 1.8 (Tiêu chuẩn Cauchy tồn giới hạn hàm số, xem [1]) Giả sử X tập tập số thực , điểm x điểm tụ   X f hàm số xác định X Khi đó, tồn lim f x x x với số  bất kì, tồn số thỏa mãn  x   x  ,  x   x     cho với x , x  X ta có   f x   f x     Chứng minh Giả sử lim f x  l  x x số (1.1)  bất kì, tồn Khi đó, với số  cho x  X   x  x Nguyễn Thị Ánh Tuyết     f x l  K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass Cho g(u)  g(0)  (u) chọn (2.4) cho (u)  u với   u  (2.5) Ta có   sin u g(u )du   sin u   g du   sin u  (u )du , mà  sin u   g du  1  2r cos u  r  0,  nên   sin u   g u du   sin u  u du (2.6)   sin u         (u )du     J  J  J 3, cụ thể J  J  O(1) r  (2.7) Ta có J3  mà  sin u u  du , u   g u   g  0  G 1, u   G 1, 0  lim G r, u   G r, 0 , r 1  u  lim  r 1      Nguyễn Thị Ánh Tuyết   r2 g  2r cos  u  r    r2   g d   2r cos   r      17    d  K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass Suy ra, lim J  Tương tự ta có lim J  r 1 J2  r 1   sin u u du sin u    sin u  u  du   sin u u  du  sin u   0  u du   sin u u du  u  du   sin u u du 2   sin u  u  du   sin u u  du 2 Mà sinu  u u   J2  u , suy u  u du    u 1du 2   32  32  u 1du   1r      4r sin2 u   (2.8) u 1du     r 2   r u   16    u 1du   1r  1  r  1   ru    32  u 1du   2 r Từ (2.1), (2.6), (2.7) (2.8) ta có Nguyễn Thị Ánh Tuyết u du 2 2 u   1r    ru   2 1  (1  18 d 2 ) K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass G K  1  r    1  , (2.9) K số, giá trị r dần tới  Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2 Nếu g( ) có hệ số vi phân hữu hạn g '( ) với  , G  g '( ) r    Bổ đề 2.3 Giả sử f y hàm số thực phức với biến số thực p có hệ số vi phân f   (y ) , liên tục khoảng  y  y0 Giả sử thêm   f (y)  (y  ) ,  f (y)  A  (1) , hai trường hợp f Khi đó, f q  y   o(y Bổ đề 2.4 Nếu q  p  O(y  p  ) ) với  q  p  f (y )  b np bn y e f (y)  O(y  ), y  Chứng minh Đặt e y  u, f (y )  a u n (2.10) n a0  a1   an  sn (2.11) sn   b  b   b v  O(b )  O(n ) , (2.12) 1 với b  n  b Từ (2.10), (2.11), (2.12) ta có Nguyễn Thị Ánh Tuyết 19 K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass   f y  1u    s nu n  O  u    n un  O  u Bổ đề 2.5 Nếu sin b n x  0, n   x      O(y  )  p , cho sin bn x  q b với n  q p, q số nguyên n Chứng minh Ta có b x  kn  n , kn số nguyên n  Cho nên bkn  kn 1  b n  từ giá trị đủ lớn n , n  Do đó, ta có  b  0; thỏa mãn kn 1  bkn  b n 1 n 1 b n   Điều xảy   Bổ đề chứng minh Trong bổ đề 2.6, sử dụng kí hiệu theo Littlewood Đặt f  ( ) có nghĩa f không vô bé , hay tồn số K  cho f  K Bổ đề 2.6 Cho hai số nguyên p, q , đặt hàm f (y)  b n n e b y sin b n x , y  x  p bq Khi đó, với p đủ lớn ta có f (y )  (y  p ) Chứng minh Ta xét dãy   y  m  với m  1, 2, 3, b   (2.13) Đặt f (y )  u n  m 1 u  n  um   un  f1  f2  f3 (2.14) m 1 Đầu tiên, ta có Nguyễn Thị Ánh Tuyết 20 K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass  f1  b m e bmy b  e     b e e   m b m  bm 1 y    log b 11     b      b 2 e e b m  bm 2 y       2 log b 1     b          (2.15) e B b e ,  e B m  B  log b   b Tương tự f3  b m e b m  y  bm e  e  bm e  be    bm 1 bm y   b 1log b  e (2.16)  b e (b   b2 12 log b m 2  bm )y     (2.17) e  B ,  e B B  b   log b (2.18) Theo bổ đề 2.5, sin b m x không tiến tới , tồn số c cho với m tùy ý Ta chọn  0 sin b m x  c , (2.19) e B e B   c, B B e e (2.20) cho Từ (2.14), (2.15), (2.17), (2.19) (2.20) chứng minh f  f2  f1  f3 Nguyễn Thị Ánh Tuyết 21 K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass    b m e   sin b m x  c     Kb m  Ky  , đó, số K số, cho  vô số giá trị y tới Bổ đề  chứng minh Chứng minh kết Giả sử ab  , x  p bq (2.21) Ta có   f x  a n cos b n x  a n cos b n  g( ) (2.22) với điều kiện f (x  h )  f (x )  ( h ) (2.23) g(  h )  g( )  ( h ) (2.24) 1 log   a    log b (2.25) Khi đó, G(r, )  a r n bn cos b n  a e n bn y cos b n x (2.26) bổ đề 2.1, ta có F (y )  n G   ab e b y sin b n x    b Nguyễn Thị Ánh Tuyết   1  n n e bhny sin b n x 22 (2.27) K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass  (y 1 ), r  1, y  Theo bổ đề 2.4 có F p y    1 O  p 1 b  O y  ab  p 1   p 1 n p 1 n e b y e n bn y sin b n x  (2.28)  , với p Kết hợp với bổ đề 2.3, suy F q  y   y  ,  q  p q 1 (2.29) Điều mâu thuẫn với bổ đề 2.6 với q đủ lớn Do đó, điều kiện (2.23) (2.24) khơng thỏa mãn Trường hợp điều kiện (2.23) (2.24) không thỏa mãn, hay ab  1,  (2.30) Ta chứng minh theo phương pháp tương tự, khác ta sử dụng bổ đề 2.2   thay cho bổ đề 2.1 Từ đó, suy f x khơng thể có hệ số vi phân hữu hạn với x  p p Khi x  q ta có q b b  x  h   cos b cos b n n q  p  b n h   cos b n h, n  q đó, dấu âm lấy b p hai số lẻ, dấu dương trường hợp ngược lại Không tính tổng quát, ta xét hàm   f h  a n cos b n h (2.31) lân cận h  Ta có Nguyễn Thị Ánh Tuyết 23 K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass f h  f  2 a n sin2 b n h  2 f1  f ,      f1  Chọn 0 a n sin2 b n h,  a f2  n 1 sin2 b n h cho b h 1b 1 h (2.32) Khi f1  f2  f1     a n b nh    Kh ab 2 ab   h2 1 1 ab   Ka  Kb   K h , K số Cho nên      f h f o h Nếu ab   kết chứng minh Trong trường hợp đồ   thị f h có đỉnh h  hướng lên hàm Weierstrass có đỉnh x  p Mặt khác, ab  , bq lim      0, f h f h 0 Nguyễn Thị Ánh Tuyết h  ta có lim h 0 24     0 f h f h K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass   vậy, f h chắn khơng có hệ số vi phân hữu hạn h  , hàm Weierstrass không khả vi x  p bq  hàm Tiếp theo, phải chứng minh cho trường hợp     với x Ta có   Weierstrass thỏa mãn điều kiện f x  h  f x  O h  f x  h  f x  2 a n sin b n   O  a n sin b n  Chọn     n  x  h   sin b h      h (2.32) Thì  f x h  f x Oh      a b n n  O a b h a   a n      O a  , với x O h Ta thấy lập luận chứng minh không ab  ,  Trong trường hợp ta có     f x h  f x O  h a   1  O  h log   h   Điều kiện hiển nhiên, góc đồ thị chuỗi sin chuỗi cos không phụ thuộc vào b Chứng minh tương tự cho chuỗi sin với bổ đề giống ngoại trừ bổ đề 2.5 phải thay bổ đề 2.7 Nguyễn Thị Ánh Tuyết 25 K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass Bổ đề 2.7 Nếu cos bn x  , b phải số lẻ x  cho q p b cos b n x  từ n trở Nhận xét 2.1 Nếu x không nhận giá trị đặc biệt (như bổ đề 2.7) Chúng ta lặp lại lập luận phần chứng minh kết Do đó, tìm hiểu giá trị đặc biệt b số lẻ Ta có  x  h   sin b sin b n n q  p  b n q  b n h   1    sin  b n q  b n h  , n  q , 2  dấu xác định 2.1 Hàm biểu thức tương đương với cos b n h dấu với cos b n h ngược lại b có dạng 4k  , b có dạng 4k  dấu ngược lại Bài tốn đưa việc xét hàm (2.31) lân cận h    f h    a  n cos b n h      , Chứng minh Chúng ta cần phải chứng minh f h  f  o h  Nếu    , cho h  hàm f h khơng có hệ số vi phân hữu hạn Xét dãy h với b  1,2, Ta có    1   f h  f  2 a Nguyễn Thị Ánh Tuyết 26 n sin2 b n h K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass    1 2a n 1  1 1   a  sin2 b n   Ta thấy n n    1 1 2  sin  1  a      sin n  S , n b a b    S tổng chuỗi giảm vơ hạn Ta lại có 1  a  b   h  2     Do f h  f có giá trị tuyệt đối lớn h Vậy, định lí 2.1 2.2 chứng minh Sự tồn hệ số vi phân hữu hạn sử dụng tất chứng minh Nếu hệ số vi phân vơ hạn kết khơng   Định lí 2.3 (xem [4]) Nếu a  a b   chuỗi sin có hệ số vi   phân tiến tới   x  ; b có dạng 4k  điều với chuỗi cos x  Chứng minh Ta cần chứng minh cho mệnh đề thứ nhất, mệnh đề thứ hai ta việc đổi biến x     y Ta có  1 f h f h a h n sin b n h (2.33) n 0  Nguyễn Thị Ánh Tuyết  1 n  n n a sin b h  a sin b n h   h h 27 K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass  f1  f2, cho b chọn 1 h  b h (2.34) Đầu tiên, giả sử ab  Khi 1   n f1  2 ab f2   h   ab  2 an   1 , ab  (2.35) a 1a h  (2.36)  (2.37)  Bây a b    a  ab  ; 1a   , ab  cho Ta giả sử h nhỏ (hoặc đủ lớn) để ab     ab  2(1  ) (2.38) Từ (2.34), (2.35), (2.36), (2.37) (2.38) ta có f2 f1  ab  ab   ab   1  a  ;   f1  f2 liên tục, f1 liên tục ab       , h  f h f h Nguyễn Thị Ánh Tuyết liên tục Do 28 (2.39) K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass Mặt khác, ab  số f1    f2 cho (2.39) b  bé cho Khi ta cho trước số b , tồn số ab  b  khơng có hệ số vi phân hữu hạn hay vô hạn Số  b 1 b  thỏa mãn b  b  1 Khi b không số nguyên, chuỗi sin cos ngắn chuỗi Fourier tích phân Poisson Nguyễn Thị Ánh Tuyết 29 K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass KẾT LUẬN Khóa luận hồn thành chủ yếu dựa theo tài liệu [4] số tài liệu khác Khóa luận trình bày số kiến thức giới hạn hàm số, hàm số liên tục, tính chất định lí liên quan tính liên tục, khả vi hàm số Cụ thể khóa luận đã: Hệ thống lại khái niệm giới hạn, liên tục, khả vi tính chất liên quan Trình bày bổ đề, cách chứng minh bổ đề định lí liên quan để đưa tới việc chứng minh tính khơng khả vi hàm Weierstrass Mặc dù có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong Q thầy, giáo bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Ánh Tuyết 30 K36C SP Tốn Tính khơng khả vi hàm Weierstrass TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích tập giáo trình lí thuyết tập có hướng dẫn, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Trần Đức Long (1999), Giáo trình giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Lê Đình Thịnh, Hồng Đức Ngun (1982), Giải tích B Gelbaum, J Olmsted, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Tiếng Anh [4] G H Hardy (1916), “Weierstrass's Non-Differentiable Function”, Transactions of the American Mathematical Society, Vol 17, No 3, 301-325 [5] D S Lubinsky (1995), “Weierstrass' Theorem in the twentieth century”, A selection Questions Mathematical, Volume 18, issue 1-3 [6] A Pinkus (2000), “Weierstrass and approximation theory”, J Approx Theory, Volume 107, Issue 1, pp 1–66 [7] A Portilla, Y Quintana, J M Rodriguez, E Touris (2006), “Weierstrass' theorem in weighted sobolev spaces with k derivatives”, Electronic Transactions on Numerical Analysis, Vol 24, pp 103-107 [8] M Stone (1948), “The Generalized Weierstrass Approximation Theorem”, Mathematics Magazine Vol 21, No 4, pp 167-184 [9] K Weiertrass (1923), “Briefe von K Weierstrass an Paul du Bois Reymond”, Acta Mathematica 39, pp 199-225 Nguyễn Thị Ánh Tuyết 31 K36C SP Toán ... hàm Weierstrass Chƣơng TÍNH KHƠNG KHẢ VI CỦA HÀM WEIERSTRASS 2.1 Hàm Weierstrass Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa hàm Weierstrass) Hàm Weierstrass hàm liên tục không đâu khả vi, hàm cho công thức f (x... Tính khơng khả vi hàm Weierstrass Tính khơng khả vi hàm Weierstrass Mục đích khóa luận giới thiệu thêm hàm Weierstrass tính chất liên quan, nhằm củng cố kiến thức hàm số, giới hạn hàm số, hàm. .. Đạo hàm riêng hàm số nhiều biến số 12 1.3.2 Vi phân hàm số nhiều biến số 14 Chương TÍNH KHƠNG KHẢ VI CỦA HÀM WEIERSTRASS 15 2.1 Hàm Weierstrass 15 2.2 Tính khơng khả vi hàm