Luận văn phương pháp hàm và ứng dụng

I HC QUẩC GIA H NậI TRìNG I HC KHOA HC Tĩ NHIN L HìèNG THO PHìèNG PHP HM V NG DệNG LUN VN THC Sò KHOA HC H NậI - NM 2015 I HC QUẩC GIA H NậI TRìNG I HC KHOA HC Tĩ NHIN L HìèNG THO PHìèNG PHP HM V NG DệNG LUN VN THC Sò KHOA HC Chuyản ngnh : Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số : 60460113 NGìI HìẻNG DN KHOA HC PGS.TS Nguyạn ẳnh Sang H NậI - NM 2015 Mửc lửc Lới m Ưu BÊng kẵ hiằu Kián thực chuân b 1.1 CĂc nh lỵ cỡ bÊn vã hm khÊ vi 1.1.1 nh nghắa im cỹc tr 1.1.2 nh lỵ Fermat 1.1.3 nh lỵ Rolle 1.1.4 nh lỵ Lagrange 1.1.5 nh lỵ Cauchy 1.2 Cổng thực Taylor 1.2.1 Cổng thực Taylor vợi số dÔng Lagrange 1.2.2 Cổng thực Taylor vợi số dÔng Peano 1.3 Gẵa tr lợn nhĐt, giĂ tr nhọ nhĐt 1.3.1 nh nghắa 1.3.2 Phữỡng phĂp tẳm GTLN, GTNN ng dửng phữỡng phĂp hm 6 6 8 11 11 13 14 2.1 Phữỡng phĂp hm giÊi phữỡng trẳnh 14 2.1.1 ng dửng cổng thực Taylor 14 2.1.2 ng dửng cĂc nh lỵ cỡ bÊn vã hm khÊ vi 2.2 Phữỡng phĂp hm giÊi bĐt phữỡng trẳnh 2.2.1 Cỡ s phữỡng phĂp 2.2.2 p dửng 2.3 Phữỡng phĂp hm chựng minh bĐt ng thực 2.3.1 Cỡ s phữỡng phĂp 2.3.2 p dửng 30 51 51 52 57 57 57 GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh chựa tham số 63 3.1 Cỡ s phữỡng phĂp 63 3.2 p dửng 64 Kát luên 69 Ti liằu tham khÊo 70 Lới m Ưu Phữỡng phĂp hm õng mởt vai trỏ quan trồng giÊi tẵch toĂn hồc v thữớng ữủc khai thĂc cĂc kẳ thi Olympic quốc gia, quốc tá, ký thi Olympic sinh viản Ơy l mởt cổng cử rĐt hiằu lỹc viằc giÊi cĂc bi toĂn liản quan án sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt nghiằm cừa cĂc dÔng phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh , bĐt phữỡng trẳnh khĂc Vợi suy nghắ õ,chúng tổi  chồn ã ti: "Phữỡng phĂp hm v ựng dửng"  lm luên vôn cừa mẳnh Luên vôn ny trẳnh by tữỡng ối Ưy ừ cĂc tẵnh chĐt hm khÊ vi v ựng dửng cừa chúng vo viằc khÊo sĂt tẵnh chĐt nghiằm phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh ,bĐt phữỡng trẳnh BÊn luên vôn gỗm ba chữỡng, lới m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo v mửc lửc: Chữỡng : Kián thực chuân b: Chữỡng ny trẳnh by kián thực cƯn thiát cho chữỡng sau nhữ : tẵnh chĐt cỡ bÊn vã hm khÊ vi cừa hm mởt bián m trồng tƠm l cĂc nh lỵ cỡ bÊn vã hm khÊ vi v cổng thực Taylor Chữỡng : Nhỳng phữỡng phĂp giÊi toĂn cõ ựng dửng kát quÊ chữỡng I ta gồi l phữỡng phĂp hm Mửc ẵch chẵnh cừa chữỡng ny l : ng dửng phữỡng phĂp hm  giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, bĐt ng thực Trong chữỡng ny s Ăp dửng khai trin Taylor  giÊi phữỡng trẳnh bêc ba, bêc bốn, sỷ dửng tẵnh ỡn iằu, nh lỵ Largange, nh lỵ Cauchy  giÊi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, bĐt ng thực Chữỡng : GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa tham số: Chữỡng ny trẳnh by cĂc ựng dửng, cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh nhữ chữỡng II cởng thảm mởt vi phữỡng phĂp mợi  giÊi v biằn luên phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa tham số  hon thnh luên vôn ny em xin chƠn thnh cÊm ỡn tợi ngữới thƯy kẵnh mán PGS.TS Nguyạn ẳnh Sang  dnh nhiãu thới gian hữợng dăn, ch dÔy suốt thới gian xƠy dỹng ã ti cho án hon thnh luên vôn Em xin chƠn thnh cÊm ỡn tợi cĂc thƯy cổ khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Ban GiĂm Hiằu, Phỏng Sau Ôi hồc trữớng HKHTN  tÔo iãu kiằn thuên lủi thới gian hồc têp tÔi trữớng Mc dũ  cõ nhiãu cố gưng thới gian v nông lỹc cỏn hÔn chá nản bÊn luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt, rĐt mong thƯy cổ v cĂc bÔn gõp ỵ xƠy dỹng Em xin chƠn thnh cÊm ỡn! H Nởi, ngy 25 thĂng nôm 2015 Hồc viản Lả Hữỡng ThÊo BÊng cĂc kẵ hiằu viát tưt N N Z Z+ Z R R R+ R i C Têp cĂc số tỹ nhiản Têp cĂc số tỹ nhiản khĂc Têp cĂc số nguyản Têp cĂc số nguyản dữỡng Têp cĂc số nguyản Ơm Têp cĂc số thỹc Têp cĂc số thỹc khĂc Têp cĂc số thỹc dữỡng Têp cĂc số thỹc Ơm ỡn v Êo Têp cĂc số phực Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 CĂc nh lỵ cỡ bÊn vã hm khÊ vi 1.1.1 nh nghắa im cỹc tr Cho khoÊng (a, b) R , hm số f : (a, b) R Ta nõi rơng hm f Ôt cữc Ôi a phữỡng (tữỡng ựng cỹc tiu a phữỡng) tÔi x0 (a, b), náu tỗn tÔi mởt số > cho (x0 , x0 + ) (a,b) v f (x) f (x0)(tữỡng ựng f (x) f (x0) ) vợi mồi x (x0 , x0 + ) Cỹc Ôi a phữỡng hoc cỹc tiu a phữỡng gồi chung l cỹc tr cừa hm f im (x0, y(x0)) l im cỹc tr 1.1.2 nh lỵ Fermat Cho khoÊng (a, b) R , hm số f : (a, b) R Náu hm số Ôt cỹc tr tÔi x = c v tỗn tÔi f (c) thẳ f (c) = 1.1.3 nh lỵ Rolle GiÊ sỷ hm f : [a, b] R cõ cĂc tẵnh chĐt: (1)f liản tửc trản [a, b] (2) f khÊ vi khoÊng (a, b) (3) f (a) = f (b) Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt im c (a, b) cho f (c) = 1.1.4 nh lỵ Lagrange GiÊ sỷ hm f:[a, b] R cõ cĂc tẵnh chĐt: (1) f liản tửc trản [a, b] (2) f khÊ vi khoÊng (a, b) Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt im c (a, b) cho : f (b) f (a) = f (c)(b a) (1) Nhên xt: nh lỵ Rolle l trữớng hủp c biằt cừa nh lỵ Lagrange Hằ quÊ GiÊ sỷ f : [a, b] R liản tửc trản [a,b] v khÊ vi khoÊng [a,b] Khi õ: (a) Náu f (x) = vợi x (a, b) thẳ f l hm hơng trản [a,b] (b) Náu f (x) 0(f (x) 0) v f (x) = tÔi hỳu hÔn im trản (a,b) thẳ f tông (giÊm) thỹc sỹ trản [a,b] Chựng minh: a) GiÊ sỷ a x1 x2 b Theo nh lỵ Lagrange tỗn tÔi c (a, b) cho: f (x2 ) f (x1 ) = f (c)(x2 x1 ) (2) Vẳ f (c) = 0, tứ õ suy f (x2) = f (x1) Vêy f l hơng số b) Náu f (x) vợi mồi x (a, b), thẳ tứ (2) f (c) Nản f (x2) f (x1) Vêy f l hm tông 1.1.5 nh lỵ Cauchy GiÊ sỷ cĂc hm f,g : [a, b] R cõ cĂc tẵnh chĐt : (1) f v g liản tửc trản [a,b] (2) f,g khÊ vi trản (a,b) Khi õ tỗn tÔi c (a, b) cho: [f (b) f (a)]g (c) = [g(b) g(a)]f (c) (3) Hỡn nỳa, náu g (x) khĂc vợi mồi x (a, b) thẳ cổng thực (3) cõ dÔng: f (c) f (b) f (a) = g (c) g(b)g(a) (4) Nhên xt: nh lỵ Lagrange l trữớng hủp riảng cừa nh lỵ Cauchy vợi hm g(x) = x 1.2 Cổng thực Taylor 1.2.1 Cổng thực Taylor vợi số dÔng Lagrange GiÊ sỷ f : [a, b] R cõ Ôo hm án cĐp (n+1) khoÊng (a,b), x0 (a, b) Khi õ, vợi x (a, b), ta cõ: n f (x) = k=0 f ( k)(x0 ) f (n+1) (c) k (x x0 ) + (x x0 )n+1 (1.4) k! (n + 1)! õ c nơm giỳa x v x0 Nhên xt: Vẳ c nơm giỳa x v x0 nản (1.4) cõ th viát dữợi dÔng sau: n f (x) = k=0 f ( k)(x0 ) f (n+1) (x0 + (x x0 )) k (x x0 ) + (x x0 )n+1 (1.5) k! (n + 1)! 2.3 Phữỡng phĂp hm chựng minh bĐt ng thực 2.3.1 Cỡ s phữỡng phĂp Trong viằc chựng minh bĐt ng thực, mởt số bĐt ng thực cƯn chựng minh cõ th sỷ dửng phữỡng phĂp hm theo cĂc bữợc sau Ơy: t hm phử ữa chựng minh bĐt ng thực vã chựng minh bĐt ng thực hm vợi bián chÔy trản khoÊng no õ 2.3.2 p dửng Vẵ dử Cho a, b, c thuởc (0, 1) Chựng minh rơng : a b c + + + (1 a)(1 b)(1 c) < b+c+1 c+a+1 a+b+1 Lới giÊi: b Xt hm f (x) = b + x + + c + x + + x + c + +(1x)(1b)(1c) c b Ta cõ : f (x) = b + c + (x + cb + 1)2 (x + bc + 1)2 (1 b)(1 c) 2b 2c + > x (0, 1) (x + c + 1)4 (x + b + 1)4 f (x) l hm ỗng bián trản /(0, 1) f (x) = Do õ Náu f (x) thẳ : + b + c + b2 c2 max f (x) = f (0) = Xt hm số f (x) = sin x + tan x 2xvợi < x < Ta s chựng minh f (x) > Thêt vƠy: f (x) = cos x + cos2 x Vẳ0 < x < nản < cos x < f (x) > cos2 x + suy cos x > cos2 x 1 cos2 = x (0, ) cos2 x cos x Do f (x) > vợi x (0, ) nản f (x) l hm ỗng bián trản (0, ) 2 Suy f (x) > f (0) hay f (x) > hay sin x + tan x > 2x LƯn lữủt thay x bi A,B, C ta ữủc iãu cƯn chựng minh Vẵ dử (H khối A-2012) Cho x, y, z R thọa mÂn x + y + z = 0.Chựng minh: |xy| +3 |yz| +3 |zx| 6x2 + 62 + 6z Lới giÊi: Trữợc hát ta s chựng minh 3t > t + t > (*) Xt hm f (t) = 3t t trản [0, +] Ta cõ: f (t) = 3tln3 > t > 59 Suy f(t) l hm ỗng bián trản [0, +] Khi õ f (t) > f (0) = () ữủc chựng minh p dửng (*) ta cõ: 3|xy| + 3|yz| + 3|zx| + |x y| + |y z| + |z x| Sỷ dửng bĐt ng thực |a| + |b| |a + b| ta cõ : (|x y| + |y z| + |z x|)2 = |x y|2 + |y z|2 + |z x|2 + |x y|(|y z| + |z x|) + |y z|(|z x| + |x y|) + |z x|(|x y| + |y z|) 2(|x y|2 + |y z|2 + |z x|2 ) Do õ: |xy|+|yz|+|zx| (|x y|2 + |y z|2 + |z x|2 ) = 6x2 + 6y + 6z M x + y + z = suy |x y| + |y z| + |z x| 6x2 + 6y2 + 6z Suy 3|xy| + 3|yz| + 3|zx| 6x2 + 62 + 6z iãu phÊi chựng minh Vẵ dử Cho a, b > cho a < b Chựng minh rơng : ba b ba < ln < b a a Lới giÊi: Xt hm số f (x) = ln x vợi x > Ta cõ : f (x) = x Theo nh lỵ Largange, tỗn tÔi c (a, b) cho: f (c) = f (b) f (a) ln b ln a ba b = = ln ba c ba c a Do < a < c < b nản ta cõ: 1 ba ba ba ba b ba < < < < < ln < b c a b c a b a a Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh 60 Vẵ dử Chựng minh bĐt ng thực: x3 < sin x x 3! x>0 Lới giÊi: x3 BĐt ng thực tữỡng ữỡng : x sin x < 3! t3 Xt hm f (t) = t sin t v g(t) = 3! khÊ vi trản (0, +) x (0, +) theo nh lỵ Cauchy tỗn tÔi t0 (0, x) cho: Vợi mồi f (t0 ) f (x) f (0) cos t0 x sin x = = g (t0 ) g(x) g(0) t2 x3 3! (t /2) Vẳ tcos t0 = sin2/20/2) = ( sin(t/2 )2 < t0 t0 x sin x x3 Ta suy : x3 < x sin x < 3! 3! Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh Bi têp tham khÊo Bi têp Chựng minh bĐt ng thực : arctanx ln(1 + x2 ) ln x [ , 1] Hữợng dăn: BĐt ng thực viát thnh : ln x [ , 1] 2 Xt hm số f (x) = arctan xln(1+x )  suy iãu cƯn chựng minh arctan x ln(1 + x2 ) Bi têp Chựng minh bĐt ng thực sau: 2| sin x| + 2| cos x| x R 61 Hữợng dăn : t t = | sin x| vợi t [0, 1]suy | cos x| = t Xt hm số f (t) = + 1t [0,1] t2 Bi têp Cho x, y (0, ) v x < y Chựng minh rơng : yx yx < tan x tan y < cos2 x cos2 y Hữợng dăn : Xt hm f (t) = tan t vợi t [x, y] (0, ) Sỷ dửng nh lỵ Lagrange  chựng minh bĐt dng thực Bi têp Chựng minh rơng : x2 < cos x 2! x=0 Hữợng dăn : Xt hm f (t) = cos t v Cauchy  chựng minh bĐt ng thực 62 t2 g(t) = p dửng nh lỵ Chữỡng GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh chựa tham số 3.1 Cỡ s phữỡng phĂp nh lỵ 2.2.4.1 GiÊ sỷ y = f (x) l hm liản tửc trản [a, b] Khi õ: 1) Phữỡng trẳnh f (x) = c cõ nghiằm thuởc [a,b] v ch : f (x) c max [a,b] [a,b]f (x) 2) BĐt phữỡng trẳnh f (x) c cõ nghiằm thuởc [a, b] v ch khi: max f (x) c [a,b] 3) BĐt phữỡng trẳnh f (x) < c cõ nghiằm thuởc [a, b] v ch khi: f (x) < c [a,b] 4) BĐt phữỡng trẳnh f (x) > c nghiằm úng vợi mồi x thuởc [a, b] v ch khi: f (x) > c [a,b] 5) BĐt phữỡng trẳnh f (x) c nghiằm úng vợi mồi c thuởc [a, b] v ch khi: max f (x) c [a,b] 63 3.2 p dửng Vẵ dử Tẳm m  phữỡng trẳnh cõ nghiằm: x2 + x + x2 x + = m Lới giÊi: t f (x) = x2 + x + x2 x + (2x + 1) x2 x + (2x 1) x2 + x + f (x) = x2 + x + x2 x + f (x) = (2x + 1) x2 x + = (2x 1) x2 + x + 1(vổ nghiằm) Ta thĐy f (0) = nản f (x) > limx f (x) = x limx+ f (x) = Do õ phữỡng trẳnh cõ nghiằm v ch < m < Vẵ dử Tẳm m  phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm: 2|x2 5x + 4| = x2 5x + m (1) Lới giÊi: t t = x2 5x + Khi õ (1) 2|t| t = m (2) ThĐy (2) cõ nhiãu nhĐt nghiằm nản phữỡng trẳnh t = x2 5x + phÊi cõ nghiằm phƠn biằt.Tực t > Khi õ (2) tữỡng ữỡng vợi : t t = m m>4 Hoc : t < t = m > 4 m< 43 64 Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm náu m > hoc m < 43 Vẵ dử GiÊi v biằn luên theo m số nghiằm cừa phữỡng trẳnh : x+m =m x2 + Lới giÊi: Ta cõ: x+m = m x = ( x2 + 1)m x( x2 + + 1) = x2 m x2 + x=0 x2 + + f (x) = =m x Xt f (x) = 21 < x = x x2 + limx f (x) = limx+ f (x) = limx0+ f (x) = + limx0 f (x) = Vêy: Vợi mồi m thẳ phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = Vợi m thuởc (0,1) phữỡng trẳnh cõ thảm nghiằm x > Vợi m thuởc (-1,0) phữỡng trẳnh cõ thảm nghiằm x < Vẵ dử GiÊi v biằn luƠn phữỡng trẳnh: 2x +2mx+4 22x +4mx+1 = x2 + 2mx Lới giÊi: Phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng: 2x +2mx+4 22x +4mx+1 = 2x2 + 4mx + (x2 + 2mx + 4) 65 t u = 2x2 + 4mx + v = x2 + 2mx + indent Khi õ 2v 2u = u v 2u + u = 2v + v u = v (Do f (t) = 2t + t l hm ỗng bián) Ta suy 2x2 + 4mx + = x2 + 2mx + x2 + 2mx = Vêy vợi mồi m phữỡng trẳnh luổn cõ nghiằm x = m m2 + Vẵ dử Tẳm m  bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm thuởc [0, + 3]: m( x2 2x + + 1) + x(2 x) (1) Lới giÊi: t t = x2 2x + suy x(x 2) = t2 Ta cõ t = 2x , t = x = x 2x + Lêp bÊng bián thiản: Tứ bÊng bián thiản suy t 2 Khi õ bĐt phữỡng trẳnh (1) tr thnh : m(t+1) t2 m tt + 12 = f (t) (2) t2 + 2t + Ta cõ f (t) = (t + 1)2 > t [1, 2] Do õ f (t) l hm ỗng bián Vêy  (1) cõ nghiằm thuởc [0, + thẳ (2) cõ nghiằm t thuởc [1,2] Tực : m max f (t) = f (2) = [1,2] 66 Vẵ dử Tẳm cĂc giĂ tr cừa m  bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm: mx x m + (1) Lới giÊi: t t = x x = t2 + BĐt phữỡng trẳnh (1) tr thnh: m(t2 + 3) t m + m t+1 = f (t) (2) t2 + t2 2t + :f (t) = (t + 1)2 = t = Cõ Lêp bÊng bián thiản: BĐt phữỡng trẳnh (1) cõ nghiằm v ch bĐt phữỡng trẳnh (2) cõ nghiằm t thuởc [0,+] Tực l : m max f (t) = f (1 + [0,+] 3) = 3+1 Vẵ dử Tẳm k  hằ bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm : |x 1|3 3x k < (1) log2 x2 + log2 (x 1)3 (2) Lới giÊi: iãu kiằn : x > Khi x > thẳ (2) log2 x + log2 (x 1) x(x 1) 67 x2 x x Vẳ x > < x BĐt phữỡng trẳnh (1) (x 1)3 3x < k t f (x) = (x 1)3 3x cõ f (x) = 3(x 1)2 = 3x(x 2) Vợi < x f (x) Suy hm f(x) nghch bián trản (1,2] Khi õ min(1,2]f (x) = f (2) =  hằ cõ nghiằm thẳ k > Bi têp tham khÊo bi têp Tẳm m  phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm: x x + x + 12 = m( x + x) Ăp số m [2( 15 12), 12] Bi têp (Khối A -2007) Tẳm m  phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm thực: x + m x + = x2 Ăp số < m Bi têp Tẳm m bĐt phữỡng trẳnh nghiằm úng vợi mồi x thuởc R: m4x + (m 1)2x+2 + m > Ăp số m > 68 Kát luên Sau thới gian hồc têp tÔi khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, HQG H Nởi ữủc cĂc thƯy cổ trỹc tiáp giÊng dÔy v hữợng dăn c biằt l PGS.TS Nguyạn ẳnh Sang, em  hon thnh luên vôn vợi ã ti "Phữỡng phĂp hm v ựng dửng" Luên vôn  Ôt ữủc mởt số kát quÊ: Luên vôn  khai thĂc ữủc cĂc ựng dửng cừa phữỡng phĂp hm vo giÊi cĂc bi toĂn chữỡng trẳnh toĂn hồc phờ thổng khĂ hiằu quÊ v lới giÊi àp, tÔo ữủc niãm am mả tẳm tỏi v sĂng tÔo hồc têp toĂn cừa hồc sinh Luên vôn  hằ thống hõa v phƠn loÔi ữủc cĂc dÔng toĂn cỡ bÊn vợi nhiãu vẵ dử minh hồa Ăp dửng phữỡng phĂp giÊi phong phú km theo cĂc bi têp tham khÊo ữủc trẵch tứ cĂc kẳ thi giọi toĂn quốc gia, thi olympic toĂn quốc tá, thi Ôi hồc, vẳ vêy bÊn luên vôn cõ th lm ti liằu tham khÊo cho hồc sinh cĂc lợp chuyản toĂn phờ thổng v sinh viản nôm nhĐt cĂc trữớng khoa hồc cỡ bÊn Luên vôn  th hiằn ữủc hữợng nghiản cựu, sĂng tÔo mởt số phữỡng phĂp ựng dửng cừa phữỡng phĂp hm Hiằn phữỡng phĂp hm cỏn cõ nhiãu ựng dửng khĂc nỳa cƯn ữủc nghiản cựu 69 Ti liằu tham khÊo Tiáng viằt [1.] Tổ Vôn Ban, GiÊi tẵch nhỳng bi têp nƠng cao, NXB GiĂo Dửc, 2005 [2.] TrƯn ực Long, Nguyạn ẳnh Sang, Hong Quốc Ton, GiĂo trẳnh giÊi tẵch, Bi têp giÊi tẵch I, II, NXB HQG H Nởi, 2007 [3.] Nguyạn Vôn Mêu, Mởt số chuyản ã giÊi tẵch bỗi dữùng hồc sinh giọi trung hồc phờ thổng, NXB GiĂo Dửc, 2010 [4.] Nguyạn Vôn Mêu, DÂy số v Ăp dửng, a thực v Ăp dửng, NXB GiĂo Dửc, 2004 [5.] on Quýnh, TrƯn Nam Dụng, Nguyạn Vụ Lữỡng, ng Hũng Thưng, Ti liằu chuyản ã toĂn Ôi số v giÊi tẵch 11, NXB GiĂo Dửc, 2010 [6.] TÔp chẵ toĂn hồc tuời tr, CĂc bi thi olympic toĂn trung hồc phờ thổng Viằt Nam, NXB GiĂo Dửc, 2007 [7] Phũng ực Thnh, Luên vôn : ng dửng Ôo hm  giÊi cĂc bi toĂn phờ thổng, 2011 Tiáng anh [8.] W.J.Kackor , M.T.Nowark, Problem in mathematical analysis I, Real number, Sequences and Series, AMS, 2000 [11] W.J.Kackor, M.T.Nowak, Problem in mathematical analysis II, Real number, Con-tinuity and differentiation, AMS, 2001 70 71