Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho học sinh

1 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh mục cụm từ viết tắt MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục tiêu nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đóng góp luận văn Chương I KIẾN THỨC CHUNG Định nghĩa, vai trò ý nghĩa đạo hàm 1.1 Định nghĩa 1.2 Ý nghĩa 1.3 Vai trò đạo hàm chƣơng trình Toán phổ thông 1.4 Vai trò đạo hàm sống Các khái niệm phân loại cấp độ nhận thức 10 2.1 Khái niệm lực 10 2.2 Các cấp độ nhận thức 11 Thực trạng việc dạy học giải tập đạo hàm ứng dụng trường THPT 3.1 Về việc học học sinh 12 3.2 Về giảng dạy giáo viên 13 3.3 Biện pháp 13 Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm 14 Bài tập ứng dụng đạo hàm 23 2.1 Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số 23 2.2 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị 32 2.3 Ứng dụng đạo hàm chứng minh phƣơng trình có nghiệm 39 2.4 Ứng dụng đạo hàm giải phƣơng trình 43 2.5 Ứng dụng đạo hàm giải bất phƣơng trình 49 2.6 Ứng dụng đạo hàm giải hệ phƣơng trình 54 2.7 Ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình có nghiệm 62 2.8 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 80 2.9 Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 99 2.10 Ứng dụng đạo hàm để giải tập có liên quan đến thực tiễn 113 KẾT LUẬN 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO 119 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT  : Với tất  : Tƣơng đƣơng  : Thuộc  : Tồn  : Suy  : Vô  ;  : Khoảng  ; , ;  : Nửa khoảng  ;  : Đoạn VT: Vế trái VP: Vế phải PT: Phƣơng trình THPT: Trung học phổ thông GV: Giáo viên HS: Học sinh SGK: Sách giáo khoa HD: Hƣớng dẫn PPDH: Phƣơng pháp dạy học MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Môn Toán môn học tạo nhiều hội giúp học sinh (HS) phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tƣ trừu tƣợng, xác, hợp logic, phƣơng pháp khoa học suy nghĩ, suy luận, từ rèn cho HS trí thông minh, sáng tạo Trong chƣơng trình Giải tích lớp 12 – THPT, nội dung đạo hàm ứng dụng giữ vai trò chủ đạo, chiếm khối lƣợng kiến thức thời gian chƣơng trình môn Toán, kiến thức đạo hàm chiếm tỷ trọng lớn đề thi THPT quốc gia đề thi tuyển sinh vào trƣờng Đại học, Cao đẳng Trung cấp chuyên nghiệp Bởi vậy, việc sử dụng đạo hàm hàm số để giải toán nội dung cần thiết hữu ích em HS lớp 12 Đạo hàm nội dung chƣơng trình toán phổ thông, hai phép tính giải tích Đạo hàm công cụ giúp nghiên cứu tính chất hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, điểm tới hạn hàm số Vận dụng tính chất đạo hàm giúp HS giải đƣợc toán Đại số nhƣ: giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, bất đẳng thức… Ngoài ra, đạo hàm ứng dụng lĩnh vực khác nhƣ: toán tính vận tốc, gia tốc chuyển động vật lý, toán cực trị kinh tế, chuyển động… Thực tế dạy học Toán trƣờng THPT cho thấy nhiều học sinh gặp khó khăn sử dụng kiến thức đạo hàm để giải tập, nguyên nhân em không hiểu sâu sắc khái niệm ứng dụng kiến thức Chính lý nêu chọn đề tài để nghiên cứu: “Xây dựng hệ thống tập đạo hàm ứng dụng nhằm phát triển lực cho học sinh” II Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu khóa luận phân loại dạng tập đạo hàm xây dựng hệ thống tập phù hợp với cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển lực học Toán III Nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu trình bày nội dung sau: + Hệ thống kiến thức đạo hàm + Xây dựng hệ thống tập đạo hàm ứng dụng nhằm phát triển lực cho HS IV Đóng góp luận văn Về mặt lý luận, tổng hợp kiến thức lực, cấp độ nhận thức phân tích ý nghĩa kiến thức đạo hàm chƣơng trình phổ thông Về mặt thực tiễn, khóa luận tài liệu tham khảo cho GV HS giảng dạy học tập khái niệm đạo hàm ứng dụng Chương I KIẾN THỨC CHUNG Định nghĩa, vai trò ý nghĩa đạo hàm 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa đạo hàm điểm 1.1.1.1 Khái niệm đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y  f ( x) xác định khoảng (a, b) x0  (a, b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim xx0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 giới hạn đƣợc gọi đạo hàm hàm số y  f ( x) điểm x0 , ký hiệu f '( x0 ) y '( x0 ) , tức là: f '( x0 )  lim xx0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 1.1.1.2 Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa Cách 1:Tính trực tiếp f '( x0 )  lim xx0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Cách 2: Để tính đạo hàm hàm số f điểm x0 , ta thực bƣớc: Bƣớc 1: Cho x0 số gia x, tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ) Bƣớc 2: Lập tỉ số x y Bƣớc 3: Tính f '( x0 )  lim x  x0 Bƣớc 4: Kết luận [9] y x 1.1.2 Định nghĩa đạo hàm cấp cao Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm điểm x   a; b  Khi đó, hệ thức y '  f '  x  xác định hàm số khoảng (a;b) Nếu hàm y '  f '  x  lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y ' đạo hàm cấp hai hàm số y  f  x  x kí hiệu y '' f ''( x) Chú ý: + Đạo hàm cấp hàm số y  f  x  đƣợc định nghĩa tƣơng tự kí hiệu y ''' f '''( x) f 3  x  + Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp n  , kí hiệu f  n1  x   n  , n   Nếu f  n1  x  có đạo hàm đạo hàm đƣợc gọi đạo hàm cấp n f ( x) , kí hiệu y   f  n  x  n f n  x    f  n1  x   ' 1.2 Ý nghĩa 1.2.1 Ý nghĩa hình học 1.2.1.1 Ý nghĩa hình học đạo hàm: Cho hàm số y  f ( x) xác định (a;b) có đạo hàm x0  (a, b) Gọi (C ) đồ thị hàm số Đạo hàm hàm số y  f ( x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M 0T (C ) điểm M  x0 ; f  x0   [9] 1.2.1.2 Bài tập liên quan: Loại 1: Phƣơng trình tiếp tuyến tiếp điểm M  x0 ; y0  Loại 2: Phƣơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc Loại 3: Tiếp tuyến qua điểm A cho trƣớc 1.2.2 Ý nghĩa vật lý 1.2.2.1.Vận tốc tức thời Vận tốc tức thời đạo hàm vị trí theo thời gian Xét chuyển động thẳng xác định phƣơng trình s  s(t ) , với s  s(t ) hàm số có đạo hàm Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 đạo hàm hàm số s  s(t ) t0 : v  t0   s '  t0  1.2.2.2 Cường độ tức thời Nếu điện cƣờng Q truyền dây dẫn hàm số thời gian: Q  Q  t  với Q  Q  t  hàm số có đạo hàm cƣờng độ tức thời dòng điện thời điểm t0 đạo hàm hàm số Q  Q  t  t0 : I  t0   Q '  t0  1.2.3 Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai f ''(t ) gia tốc tức thời chuyển động s  f (t ) thời điểm t Xét chuyển động xác định phƣơng trình s  f (t ) , s  s(t ) hàm số có đạo hàm đến cấp hai Vận tốc tức thời t chuyển động v  t   f '  t  Lấy số gia t t v(t ) có số gia tƣơng ứng v Tỷ số v đƣợc gọi gia tốc trung bình t chuyển động khoảng thời gian t Nếu tồn v '(t )  lim t 0 v   (t ), ta gọi v '(t )   (t ) t gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t Vì v '(t )   (t ) nên  (t )  f ''(t ) 1.3 Vai trò đạo hàm chương trình Toán phổ thông Trong chƣơng trình Giải tích THPT, đạo hàm ứng dụng đạo hàm giữ vai trò chủ đạo Đạo hàm công cụ mạnh giúp nghiên cứu nhiều tính chất hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, cực trị, lồi lõm, điểm uốn… Phƣơng pháp đạo hàm giúp giải nhiều toán đại số nhƣ: giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1.4 Vai trò đạo hàm sống Khái niệm đạo hàm có nhiều ứng dụng điện từ học, động lực học, kinh tế học, tràn chất lỏng, kiểu mẫu dân số, lý thuyết hàng, Vì thế, đạo hàm công cụ quan trọng giúp giải nhiều toán nhiều lĩnh vực Do đạo hàm có nhiều ứng dụng rộng rãi sống Chẳng hạn: + Nhiệt độ thay đổi thời gian định + Vật tốc vật thể rơi tự khoảng thời gian định + Dòng điện qua mạch thời gian định + Sự biến thiên thị trƣờng chứng khoán khoảng thời gian định + Sự gia tăng dân số khoảng thời gian định + Nhiệt độ gia tăng theo tỉ trọng bình gas +… Sau đây, đƣa số ví dụ điển hình:  Vật lý điện tử: Nếu ta xem Q(t) hàm số biểu diễn điện tích có đoạn dây dẫn thời điểm t, đạo hàm Q'(t) s cho ta cƣờng độ dòng điện chạy qua đoạn dây Dễ thấy, xét khoảng thời gian hai thời điểm t1, t2 bất kì, lƣợng điện tích chạy qua tiết diện đoạn dây là: Q(t 2)  Q(t1 ) 10 Khi đó, cƣờng độ dòng điện trung bình (tức là, lựơng điện tích đơn vị thời gian) khoảng thời gian đƣợc định nghĩa nhƣ sau: I tb  Q(t 2)  Q(t1 ) t2  t1 Cƣờng độ dòng điện tức thời I(t) thời điểm t1 đƣợc tính giới hạn sau: I  lim t1 t2 Q(t 2)  Q(t1 ) t2  t1  Trong hoá học: Trong Hóa học, có toán liên quan đến khái niệm đạo hàm là: toán tốc độ phản ứng  Các toán kinh tế : Qua số liệu thông kê, ngƣời ta nhận định rằng, doanh thu công ty FPT sau t năm tính từ đầu năm 2010 là: R(t )  5t  7t  90 tỷ đồng Hãy tính tốc độ thay đổi phần trăm doanh thu công ty vào đầu năm 2016 ?  Trong xây dựng: Bài toán cực tiểu Bác Thợ Xây (ứng dụng đạo hàm tìm cực đại, cực tiểu) Bạn muốn xây dựng bình chứa nƣớc hình trụ thể tích 160 m3 Đáy bê tông giá 250.000 VND/m2 , thành tôn, giá 100.000 VND/m2 , bề mặt nhôm không han giá 150.000 VND/m2 Vậy kích thƣớc bình chứa nƣớc nhƣ để số tiền xây dựng ? Nhƣ vậy: Đạo hàm cung cấp cho công cụ mạnh để nghiên cứu nhiều vấn đề thực tế Do vậy, dạy học khái niệm đạo hàm thông qua tập cần giúp học sinh thấy rõ ứng dụng Các khái niệm phân loại mức độ nhận thức 2.1 Khái niệm lực Các nhà tâm lí học cho lực tổng hợp đặc điểm, thuộc tính tâm lí cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng hoạt động định nhằm đảm bảo cho hoạt động đạt hiệu cao 105 9 f '(t )  t  2; f '(t )   t    t  2 Bảng biến thiên : t  + f '(t )  f (t ) 16 1 f (t )  f    Vậy Min t  t   16 Suy A  9 Mặt khác, ta dễ thấy x  y  A  16 16 Kết luận: MinA  x  y  giá trị lớn 16 Bài tập 4: ( Đề thi ĐH Khối A – 2006) Cho hai số thực x, y  thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x  y) xy  x2  y  xy Tìm GTLN biểu thức: A  1  x3 y HD: 2 1 x3  y ( x  y )( x  xy  y )  x  y   1  A   3       x y x y x3 y  xy   x y  Đặt x  ty Từ giả thiết ta có: ( x  y) xy  x2  y  xy  (t  1)ty3  (t  t  1) y Do y  t  t 1 t  t 1 ; x  ty  t2  t t 1 2  1   t  2t   t  2t  3t  f ( t )   f '( t )  Từ A       Xét hàm số  2 t  t 1  x y   t  t 1  t  t    Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN A 16 đạt đƣợc x  y  106 Bài tập 5: Cho a,b số thực dƣơng thỏa mãn 2(a2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2)  a b3   a b        (ĐH Khối B- 2011) b a  b a  Tìm GTLN biểu thức P   HD: Biến đổi giả thiết: 2(a2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2)  2(a  b2 )  ab  a 2b  ab2  2(a  b) a b 1 1       ( a  b)     b a a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta đƣợc: 1 1 1 1 a b  (a  b)      2(a  b)     2     a b a b b a  a b a b a b Suy ra:      2          b a b a b a a b Đặt t   b , t  Ta đƣợc: P  4(t  3t )  9(t  2)  4t  9t 12t  18 a Xét hàm số: f (t )  4t  9t  12t  18  f '(t )  6(2t  3t  2)  0, t  5 23 Suy Min f (t )  f     5  2  ;    Vậy MinP   23 a b 1 đạt đƣợc   a  b     b a a b (a; b)  (2;1) (a; b)  (1;2) 2.9.3.2 Phương pháp khảo sát biến toán ba biến Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta khảo sát lần lƣợt biến cách chọn biến làm tham số biến thiên cố định biến lại, toán lúc trở thành bất đẳng thức biến Việc nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm GTLN, GTNN dƣới dạng hàm số giúp ta sử dụng đƣợc công cụ hiệu toán đạo hàm 107  Sơ đồ tổng quát Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến x, y, z P( x, y, z) với điều kiện T Bước Xem P( x, y, z) hàm theo biến x , y, z số Khảo sát hàm tìm cực trị với điều kiện T Ta đƣợc P( x, y, z)  g ( y, z ) P( x, y, z)  g ( y, z ) Bước Xem g ( y, z ) hàm biến y , z số Khảo sát hàm với điều kiện T Ta đƣợc: g ( y, z)  h( z) g ( y, z)  h( z) Bước Cuối khảo sát hàm số biến h( z ) với điều kiện T ta tìm đƣợc min, max hàm Ta đến kết luận: P( x, y, z)  g ( y, z)  h( z)  m P( x, y, z)  g ( y, z)  h( z)  M Bài tập 1: (ĐH Khối A – 2011) Cho ba số thực x, y, z  1;4 x  y, x  z Tìm GTNN biểu thức: P  x y z   2x  y y  z z  x HD: Ta có : P  x y z   2x  y y  z z  x Xem hàm theo biến z ; x, y số P '( z )  y z ( x  y )( z  xy )   ( y  z ) ( z  x) ( y  z ) ( z  x) Theo giả thiết x  y  x  y  P   z  xy   z  xy (do x, y, z  1;4 ) Bảng biến thiên: Z P '( z ) xy – P( z ) Min + 108 x y x y  =  Từ bảng biến thiên ta có: P  P( xy )  2x  3y x  y x 3 x 1 y y Đặt t  x , x  y, x  z x, y, z  1;4 nên  t  y Xét hàm f (t )  Ta có f '(t )  t2  2t   t 2  4t (t  1)  3(2t  t  3)  (2t  3)2 (1  t )2  0, t  1; 2 Suy f (t ) giảm 1; 2 , P  P( xy )  f (t )  f (2)  34 33  z  xy  Đẳng thức xảy ra:   x  4, y  1, z  x t    y  Vậy P  34 x  4, y  1, z  33 Bài tập 2: Cho ba số thực x, y, z   ;3 Tìm GTLN P  3  HD: Đặt P(a)  a b c   ab bc ca Xem hàm số theo biến a b, c số b c (b  c)(a  bc) P '(a)    ( a  b) ( a  c ) ( a  b ) ( a  c ) Trƣờng hợp 1: a  b  c a, b, c   ;3 3  Suy b  c  0; a  bc  nên P '(a)  a b c   ab bc ca 109 Do P(a) tăng  ;3 3   P(a)  P(3)  g '(c)  b c    g (c) (xem hàm theo biến c) 3b b  c c 3 b (b  3)(3b  c ) 1     Do g (c) giảm  ;3 2 2 (b  c) (c  3) (b  c) (c  3) 3  3b Suy ra: g (c)  g       h(b) ( xem h(b) hàm số theo biến b) 3b  3 3b  10 3 (1  b)(1  b)   2 (3b  2) (b  3) (3b  1) (b  3) Ta có: h '(b)  Ta có bảng biến thiên b + h '(b) – h(b) Suy h(b)  h(1)  1 Vậy P(a, b, c)  P(3, b, c)  P  3, b,   P  3, b,   a  3; b  1; c   3  3 Trƣờng hợp 2: c  b  a a, b, c   ;3 3  Từ kết trƣờng hợp 1, ta có: P(a, b, c)  Mặt khác : P(a, b, c)  P(c, b, a)  8 (a  b)(b  c)(a  c)   P(a, b, c)  (a  b)(b  c)(a  c)  1 1    Vậy MaxS  , đạt đƣợc (a, b, c)   3;1;  ,  ;3;1 ,  3; ;1  3      110 Bài tập 3:Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện abc  a  c  b Tìm GTLN biểu thức: P  2   a 1 b 1 c 1 HD: Theo giả thiết ta có a  c  b(1  ac)   b  Thay vào biểu thức P ta đƣợc: P  Xét hàm số: f ( x)  Ta có: f '( x)  ac a   ac c 2(a  c)2  2 ,(0  a  ) 2 a  (a  1)(c  1) c 1 c ( x  c)   với  x  coi c tham số c  2 x  ( x  1)(c  1) c 2c( x  2cx  1)  1   x0  c  c    0;  2 (1  x ) (1  c )  c Ta có bảng biến thiên : x f '( x) + f ( x) – f ( x0 ) Từ bảng biến thiên ta có : f ( x)  f ( x0 )  S  f (a )  c x0 c  c2 2c    g (c ) c 1  c2 c  Ta có: g '(c)  c g '(c) g (c ) 2(1  8c ) (1  c )2 (3c   c )   c  c0    0;   Ta có bảng biến thiên :  c0 + g (c0 ) – 111 Từ bảng biến thiên suy : g (c)  g (c0 )  S  g (c)  g (c0 )  10 10 ,a  , b  MaxS  Vậy với c  Bài tập 4: Cho ba số dƣơng a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab  2bc  8ca  12 a b c Tìm GTNN biểu thức: P    HD: a b Đặt x  , y  , z   x, y, z  0;2 x  y  21z  12 xyz S  x  y  3z c Từ x  y  21z  12 xyz  z  2x  y x  12 xy  21 4y Từ biểu thức S suy đƣợc: S  x  y  2x  y  f ( x) xy  32 y  14   14  32 y    ;   Ta có bảng biến thiên  f '( x)     x  x0  4y 4y (4 xy  7)  4y  x f’(x) 4y – f ( x) + f ( x0 ) Khi từ bảng biến thiên , ta có : S  f ( x)  f ( x0 )  y  g '( y )   x0 (8 y  9) 32 y  14  28 y 32 y  14 32 y  14   g ( y) 4y 2y 0 Đặt t  32 y  14 phƣơng trình g '( y)   (8 y  9) 32 y  14  28   t  50t  122   t   y  Ta có bảng biến thiên: 112 y g’(y) –  g ( y) + 15 15 Từ bảng biến thiên suy : g ( y )  g    S  g ( y )  g    4 Vậy với : y  , x  3, z  4 2 15  a  , b  , c  S  3 2 Bài tập 5: (Đề thi Khối B – 2010) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN biểu thức : M  3(a 2b2  b2c  c 2a )  3(ab  bc  ca)  a  b2  c HD: Ta có M  (ab  bc  ca)2  3(ab  bc  ca)   2(ab  bc  ca) Đặt t  ab  bc  ca , ta có:  t  ( a  b  c)  3 Xét hàm số: f (t )  t  3t   2t với t  0;   2 Ta có: f '(t )  2t   2 ; f ''(t )   0  2t (1  2t )3 Dấu xảy t = ; suy f '(t ) nghịch biến 11 Xét đoạn 0;  ta có: f '(t )  f '      3  3 Suy f (t ) đồng biến Do f (t )  f (0)  2, t  0;   3 113 Vì M  f (t )  2, t  0;  ; M  ab  bc  ca, ab  bc  ca  0, a  b  c   3  (a; b; c) số sau: (1;0;0), (0 ;1 ;0), (0 ;0 ;1) Do giá trị nhỏ M 2.10 Ứng dụng đạo hàm để giải toán có liên quan đến thực tiễn Đạo hàm công cụ hữu hiệu việc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Thông qua việc dạy học kiến thức này, cho HS giải toán thực tiễn hấp dẫn mang nhiều ý nghĩa Điều có tác dụng giúp HS thấy đƣợc ứng dụng kiến thức toán đƣợc học toán tình có ý nghĩa, điều s tạo động lực học tập Một số toán liên quan đến thực tiễn giải cách ứng dụng đạo hàm Bài tập 1: Một ảnh chữ nhật cao1,4m đƣợc đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dƣới ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí đó? C HD: 1,4 Bài toán yêu cầu xác định OA để góc BOC lớn B 1,8 Điều xảy tan BOC lớn  Đặt OA = x (m) với x  0, ta có tan BOC  tan AOC  AOB  A O AC AB 1,  tan AOC  tan AOB 1, x x   OA OA    tan AOC.tan AOB  AC AB  3, 2.1,8 x  5, 76 OA2 x2 Xét hàm số f ( x)  Ta có: 1, x Bài toán trở thành tìm x  để f ( x) đạt giá trị lớn x  5, 76 114 1, x  1, 4.5, 76 f '( x)  ( x  5, 76) f '( x)   x  2, Bảng biến thiên: x + f '( x)  2,4 – 84 193 f ( x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Bài tập 2: Từ khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vuông miếng phụ nhƣ hình v Hãy xác định kích thƣớc miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất? HD: Gọi x, y lần lƣợt chiều rộng, chiều dài miếng phụ nhƣ hình v x Gọi d đƣờng kính khúc gỗ Khi tiết diện ngang xà có cạnh Và  x  y d A d (2  2) d ,0  y  B d D C Ta đƣợc hình chữ nhật ABCD nhƣ hình v d   d  8x2  x Theo Định lý Pitago có:  x    y  d  y  2  Suy S  S ( x)  x d  2dx  x với  x  d (2  2) , S diện tích miếng phụ Sử dụng đạo hàm ta có S lớn x  34  16 115 Bài tập 3: Chi phí nhiên liệu tàu đƣợc chia làm hai phần Trong phần thứ không phụ thuộc vào vận tốc 480 ngàn đồng/giờ Phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập phƣơng vận tốc, v = 10 km/h phần thứ hai 30 ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nguyên liệu km đƣờng nhỏ nhất? HD: Gọi x (km/h) vận tốc tàu Thời gian tàu chạy quảng đƣờng 1km Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ (giờ) x 480 480  (ngàn đồng) x x Tại v  10 km/h chi phí cho quảng đƣờng 1km phần thứ hai 30  (ngàn đồng) 10 Xét vận tốc x (km/h) Gọi y (ngàn đồng) chi phí cho quảng đƣờng1km vận tốc x, ta có: y  kx3 ,  k103 (k hệ số tỉ lệ chi phí 1km đƣờng phần thứ hai lập phƣơng vận tốc) y x Suy     y  0, 003x3  10  Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1km đƣờng p  p( x)  480  0, 003 x3 x Áp dụng Đạo hàm ta có chi phí p nhỏ tàu chạy với vận tốc x = 20 (km/h) Bài tập 4: Một công ty tổng thu nhập (tính $) từ việc sản xuất bán x đơn vị sản phẩm đƣợc cho công thức P  150000 Tính số x đơn vị sản phẩm cần sản x  60 x  1000 xuất bán để tổng thu nhập lớn HD: x  Điều kiện:   x  60 x  1000  0, x   x0 116 Tập xác định: D   0;   150000(2 x  60) ( x  60 x  1000) 150000(2 x  60) P'     150000(2 x  60)   x  30 ( x  60 x  1000)2 P'  Bảng biến thiên: x P '( x)  30 + – P(30) P( x)  P(0) Từ bảng biến thiên ta có Max P( x)  P(30)  1500 D Vậy cần sản xuất bán 30 sản phẩm để tổng thu nhập lớn Bài tập 5: Chi phí xây dựng cao ốc có x tầng gồm 10 triệu USD để mua đất, 100 ngàn USD để xây dựng tầng 10 triệu USD để thiết kế cho tầng Hỏi có x2 tầng cao ốc văn phòng s đƣợc xây dựng để tổng chi phí xây dựng nhỏ nhất? HD: Ta có: triệu USD = 1000 ngàn USD  0,1 triệu USD = 100 ngàn USD Tổng chi phí xây dựng cao ốc (đơn vị triệu USD) là: C ( x)  10  0,1x  Điều kiện: x  10 10 x  C ( x)  10  0,1x  x x 117 C '( x)  0,1  10 x2 C '( x)   0,1   x  10   0;   10 0 x  x  10   0;   lim C ( x)  ; lim C ( x)   x 0 x  Bảng biến thiên: x – C '( x)  10 0 +   C ( x) C (10) Từ bảng biến thiên ta có MinC ( x)  C (10)  12 D Vậy10 tầng đƣợc xây dựng cao ốc văn phòng để tổng chi phí xây dựng nhỏ 118 KẾT LUẬN Từ vấn đề trình bày, rút số kết luận sau: + Khóa luận cố kiến thức xây dựng đƣợc hệ thống tập ứng dụng đạo hàm để giải toán nhằm giúp HS đọc hiểu, nắm rõ tri thức, tăng cƣờng tính thực hành vận hành tri thức, phát huy tính tích cực học sinh học tập + Khóa luận nêu hƣớng phân tích, phƣơng pháp giải cho dạng cụ thể + Khóa luận phân chia cấp độ nhận thức toán ứng dụng đạo hàm vào giải toán thực tiễn – điều hạn chế đa số sách Toán sách tham khảo thị trƣờng Thứ nhất, việc phân chia cấp độ nhận thức toán phù hợp với nhiều đối tƣợng học Đối tƣợng HS yếu kém, trung bình hay khá, giỏi học đƣợc Việc chia cấp độ nhận thức giúp cho HS hiểu rõ kiến thức bản, giúp HS có tảng vững để vận dụng vào toán khó Thứ hai, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn đƣợc vận dụng vào giải vấn đề thực tiễn Việc dùng thí dụ thực tiễn giảng dạy s giúp HS hiểu rõ ứng dụng kiến thức Toán học thực tiễn Các thí dụ thực tiễn giúp giảng trở nên sinh động đƣa lớp học đến gần sống xung quanh 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Thị Tuyết, phát triển chƣơng trình đại học theo cách tiếp cận lực: Xu nhu cầu Đại học sƣ phạm, TP Hồ Chí Minh, 2013 [2] Tham khảo từ internet (Trang giáo án điện tử violet, tailieu.vn, vnmath.vn ) [3] Bộ đề thi tự luận Toán học – Lê Hoàng Phò [4] Ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp – Nguyễn Phụ Hy – Tạ Ngọc Trí – Nguyễn Thị Trang [5] Đạo hàm, tích phân ứng dụng đƣợc gì? – Murray Bourne (Bản dịch http://www.intmath.com) [6] Ứng dụng đạo hàm để giải toán Trung học phổ thông – Nguyễn Văn Xá [7] ThS Lê Hồng Đức (Chủ biên), Vƣơng Ngọc, Lê Viết Hòa, Lê Hữu Trí, Lê Bích Ngọc, Bài giảng trọng tâm chƣơng trình chuẩn Toán 11, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Năm 2013 [8] Nguyễn Anh Trƣờng – Nguyễn Duy Hiếu, Phân dạng phƣơng pháp giải tập Đại số Giải tích 11, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, Năm 2013 [9] Sách giáo khoa sách tập Toán Giải Tích 10, 11, 12 [...]... căn bản và tất cả đối tƣợng đều có cơ hội để học tập trong một tiết học 14 Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH 1 Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm 1.1 Bài tập nhận biết Hoàn thành bài trắc nghiệm về định nghĩa đạo hàm qua các câu hỏi sau đây: Câu 1: Cho hàm số y  f ( x)  x 2  3x Giá trị của hàm số tại x0  3 là? A f (3)  6 C f (3) ...11 Ngƣời ta chia năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng lực chuyên môn, trong đó năng lực chung cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển năng lực chuyên môn Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng ở một lĩnh vực nhất định, ví dụ nhƣ năng lực toán học, năng lực ngôn ngữ [1] Tuy nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không tách rời quan hệ chặt ch với nhau...  10 x  2    x  0 x Vậy hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng  0,   và f '( x)  3x2  10 x  2 23 2 Bài tập ứng dụng đạo hàm 2.1 Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số 2.1.1 Bài tập nhận biết Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số qua các câu hỏi sau đây: Câu 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng... lập, tổng hợp, xây dựng, thiết kế, đề xuất… Dựa vào các mức độ nhận thức, trong dạy học toán, nhằm giúp học sinh phát triển năng lực, chúng tôi thiết kế các bài tập theo các cấp độ nhận thức trên [2] 3 Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT 3.1 Về việc học của học sinh: Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên chất lƣợng học tập môn Toán... chán nản và không thích học Toán Khả năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chƣa linh động trong việc xử lý các tình huống Toán học đơn giản nên kết quả học tập còn rất hạn chế + Đa phần HS chƣa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, không thể hiện đƣợc ý thức phấn đấu, vƣơn lên + Chƣa thấy đƣợc ý nghĩa của việc học toán, khả năng liên hệ đến thực tiễn rất hạn chế, đặc biệt khi học về đạo hàm, HS chƣa... tiễn rất hạn chế, đặc biệt khi học về đạo hàm, HS chƣa biết đƣợc đạo hàm đƣợc ứng dụng vào việc gì [2] 13 3.2 Về giảng dạy của giáo viên: + GV chƣa có các bài tập phù hợp để giúp HS yếu, kém hiểu hơn về khái niệm đƣợc học Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví dụ minh họa cho bài giảng và trong bài tập về nhà + GV thƣờng đƣa ra câu hỏi nêu vấn đề nhƣng chƣa thực... lập động cơ học tập đúng đắn cho HS [2] 3.3 Biện pháp: Nhằm khắc phục đƣợc hạn chế trên, chúng tôi cho rằng, trong dạy học GV nên thiết kế bài tập minh họa trên lớp và bài tập về nhà theo các mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Sở dĩ cần làm điều này bởi điều này giúp HS hiểu rõ nội dung kiến thức HS yếu, kém cho đến HS khá, giỏi đều hiểu khái niệm căn bản và tất cả đối... 32 2.2 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị 2.2.1 Bài tập nhận biết Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị qua các câu hỏi sau: Câu 1: Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 thì x0 , f ( x0 ) lần lƣợt đƣợc gọi là? A Giá trị cực đại – Cực đại C Điểm cực đại – Giá trị cực đại B Cực đại – Giá trị cực đại D Giá trị cực đại – Điểm cực đại Đáp án: C Câu 2: Hàm số f ( x) có đạo hàm trên...   lim1 f ( x)  a   2 2 2 x 2 Hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  5 1 1 và f '    lim1 f ( x)   2 2  2  x 2 21  x2 ; x 1 y  f ( x )  Bài tập 4: Cho hàm số  ax  b ; x  1  Tìm a, b để f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1 HD: f (1)  lim f ( x)  1 x 1 lim f ( x)  a  b x 1 Để hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1 , trƣớc hết hàm số y  f ( x) phải liên tục tại... Giải thích, phân biệt, khái quát hóa, cho ví dụ, so sánh… 2.2.3 Vận dụng 2.2.3.1 Mức độ thấp Ngƣời học có khả năng áp dụng thông tin đã biết vào tình huống, điều kiện mới Từ khóa đánh giá: Vận dụng, áp dụng, tính toán, chứng minh, giải thích, xây dựng Ngƣời học có khả năng chia các nội dung, các thông tin thành những phần nhỏ để có thể chỉ ra các yếu tố, các mối liên hệ, các nguyên tắc cấu trúc của chúng