Tiều Luận Xét tính khả vi của hàm nhiều biến (Giải Tích)

Khi học về hàm một biến số thì có đạo hàm đồng nghĩa với việc hàm số khả vi. Tuy nhiên, khi mở rộng phạm vi trên hàm nhiều biến số thì điều này không còn đúng nữa, hàm số có các đạo hàm riêng chưa chắc hàm số đó khả vi. Chính sự khác nhau này đã làm cho bài toán xét tính khả vi của hàm nhiều biến số trở nên khó khăn hơn. Việc xét tính khả vi của hàm nhiều biến thực chất là ta đi tính các đạo hàm riêng và xét tính liên tục của chúng. Xét tính liên tục thì công việc chính là tính giới hạn, tuy nhiên tính giới hạn của hàm nhiều biến số thì không có phương pháp cụ thể. Hàm nhiều biến thường là những hàm số phức tạp và rắc rối, vì thế việc tính đạo hàm của hàm nhiều biến cũng phức tạp hơn hàm một biến; trong quá trình tính đạo hàm riêng, ta dễ bị nhầm lẫn giữa các biến với nhau. Do đó bài toán xét tính khả vi rất phong phú, đa dạng và cũng tương đối khó, đòi hỏi hỏi nhiều kĩ năng tính toán và tư duy. Với mong muốn có thể hệ thống lại các dạng bài tập xét tính khả vi của hàm nhiều để thuận tiện hơn trong việc dạy và học nên tôi chọn đề tài “ Xét tính khả vi của hàm nhiều biến” làm đề tài nghiên cứu của mình.

Xét tính khả vi hàm nhiều biến PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi học hàm biến số có đạo hàm đồng nghĩa với việc hàm số khả vi Tuy nhiên, mở rộng phạm vi hàm nhiều biến số điều khơng cịn nữa, hàm số có đạo hàm riêng chưa hàm số khả vi Chính khác làm cho toán xét tính khả vi hàm nhiều biến số trở nên khó khăn Việc xét tính khả vi hàm nhiều biến thực chất ta tính đạo hàm riêng xét tính liên tục chúng Xét tính liên tục cơng việc tính giới hạn, nhiên tính giới hạn hàm nhiều biến số khơng có phương pháp cụ thể Hàm nhiều biến thường hàm số phức tạp rắc rối, việc tính đạo hàm hàm nhiều biến phức tạp hàm biến; trình tính đạo hàm riêng, ta dễ bị nhầm lẫn biến với Do tốn xét tính khả vi phong phú, đa dạng tương đối khó, địi hỏi hỏi nhiều kĩ tính tốn tư Với mong muốn hệ thống lại dạng tập xét tính khả vi hàm nhiều để thuận tiện việc dạy học nên tơi chọn đề tài “ Xét tính khả vi hàm nhiều biến” làm đề tài nghiên cứu Đới tượng nghiên cứu Tính khả vi hàm số nhiều biến Mục đích nghiên cứu Nắm rõ tính chất định lý hàm khả vi Giải dạng tập khả vi Phạm vi nghiên cứu Do thời gian nghiên cứu có hạn nên tơi nghiên cứu hàm số hai biến Hàm số ba biến trở lên ta làm tương tự hàm hai biến Phương pháp nghiên cứu Dựa kiến thức có tìm kiếm dạng tập thư viện, sách, báo, Internet diễn đàn sinh viên SV Hồ Văn Cường Trang Xét tính khả vi hàm nhiều biến PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định nghĩa Giả sử D miền mở �2 , xét hàm số f : D � �2 Lấy P (x, y) � D P’(x +  x, y +  y) � D Vi phân hàm số u = f (x, y) điểm P (x, y) biểu thức dạng du = A  x+ B  y (1) A B khơng phụ thuộc vào  x,  y (nhưng nói chung phụ thuộc vào x, y) u du = o(  ) (2) Khi  = x  y � với  u = f (x +  x, y +  y) f (x, y) Như vây: du: vi phân u (x, y) * Chú ý: i) Hàm có vi phân gọi hàm khả vi ii) Hàm số f (x, y) khả vi điểm Mo liên tục điểm iii) Hàm số f (x, y) gọi khả vi miền D khả vi điểm miền 1.2 Tính chất 1.2.1 Định lý Nếu hàm số u = f (x, y) có vi phân (khả vi) điểm P(x, y) � D điểm tồn đạo hàm riêng u A = SV Hồ Văn Cường � u � u B = , tức là: � y � x Trang Xét tính khả vi hàm nhiều biến u khả vi P(x, y) D Chứng minh: Cho x số gia  x giữ y không đởi, P (x, y) � P’(x +  x, y +  y) � D Khi du = A x (do  y = 0)  u = du + o(  ) = A x + o(  ) Từ u o(  ) =A+ x x Cho qua giới hạn x � vế phải dần tới A, vế trái tồn giới hạn lim x �0 u =A x Tức là: � u =A � x Chứng minh tương tự ta thấy tồn đạo hàm riêng theo y � u = B � y * Chú ý: i) Từ định lý trên, ta thấy vi phân hàm điểm tồn ii) Như ta biết hàm biến số có đạo hàm đồng nghĩa với việc hàm số khả vi ngược lại hàm số khả vi tức hàm số tồn đạo hàm Tuy nhiên, mở rộng phạm vi hàm nhiều biến số điều khơng cịn nữa, hàm số có đạo hàm riêng chưa hàm số khả vi, ví dụ sẽ làm rõ điều Ví du: Xét tính khả vi hàm số u = SV Hồ Văn Cường tai điểm (0,0) Trang Xét tính khả vi hàm nhiều biến Giải Vì u = hai trục Ox, Oy thấy điểm (0,0) đạo hàm riêng tồn u u = y = x Giả sử điểm (0,0) tồn vi phân hàm số u = theo định lý trên, ta có: du  � u � u x  y = � x � y Mà  u du = o(  ), suy ra:  u = o(  ) Nhưng lấy  x =  y = u (3) x  y =  x du =  u = f(  x,  y) f(0,0) =  x Suy ra:  = o(  u) Điều mâu thuẫn với (3) Vậy hàm số cho không khả vi (0,0) Tuy nhiên, định lý sau cho ta điều kiện đủ để hàm hai biến số có vi phân điểm 1.2.2 Định lý Nếu điểm P (x, y) D, đạo hàm riêng �u �u hàm số � x � y u = f (x, y) tồn liên tục hàm số có vi phân (khả vi) điểm SV Hồ Văn Cường Trang Xét tính khả vi hàm nhiều biến du  liên tục P (x, y) SV Hồ Văn Cường � u � u x  y � x � y P(x, y) Trang Xét tính khả vi hàm nhiều biến Chứng minh: Đặt  = x  y du  � u � u x  y � x � y Ta phải chứng minh  u du = o(  )  Trước hết lưu ý giả thuyết u u , liên tục điểm P(x, y) x y D có nghĩa chúng tồn lân cận điểm P Ta có:  u = f (x +  x, y+  y) = [ f (x +  x, y+  y) f (x, y) f (x, y +  y) ] + [ f (x, y +  y) f (x, y) ] (4) Trong dấu ngoặc thứ nhất, đối số thứ hai giữ không đổi y +  y, đối số thứ dịch chuyển so với x số gia  x Với │  x│, │  y│đủ nhỏ điểm (x, y +  y) (x +  x, y +  y) nằm lân cận tồn đạo hàm riêng u u , Khi ta áp dụng định lý x y số gia giới nội Lagrange biến số x có f(x +  x, y +  y) f (x, y +  y) = f ’x (x +  x, y +  y)  x (0<