BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG THỊ MINH THU CÁC TÍNH CHẤT VI PHÂN CỦA HÀM NỬA LÕM VÀ ỨNG DỤNG TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Demo Version - Select.Pdf SDK Batch PDF Me Huế, năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG THỊ MINH THU CÁC TÍNH CHẤT VI PHÂN CỦA HÀM NỬA LÕM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Select.Pdf SDK NgườiDemo hướng Version dẫn khoa -học: PGS TS NGUYỄN HOÀNG Batch PDF Me Huế, năm 2014 Mục lục Danh mục kí hiệu Lời nói đầu Chương Các tính chất vi phân hàm lõm 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lõm 1.3 Tính liênVersion tục -hàm lõm, hàmSDK nửa liên tục Demo Select.Pdf 1.4 Trên vi phân hàm lõm, phép tốn tính đơn điệu vi phân gradient Chương 2.1 2.2 10 Các tính chất vi phân hàm nửa lõm 14 Hàm nửa lõm 14 2.1.1 Định nghĩa tính chất 14 2.1.2 Hàm nửa lõm với modulus tuyến tính 20 2.1.3 Ví dụ 25 Trên vi phân hàm nửa lõm 28 Chương Một số ứng dụng vào phương trình Hamilton-Jacobi 32 3.1 32 Phương trình Hamilton-Jacobi 3.2 3.1.1 Nghiệm viscosity 32 3.1.2 Tính nửa lõm nghiệm Viscosity 39 Lan truyền tập kì dị 43 3.2.1 Sự lan truyền dọc cung Lipschitz 44 3.2.2 Tập kì dị với chiều cao 46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Demo Version - Select.Pdf SDK DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Chúng ta dùng kí hiệu sau đây: • Trong khơng gian Rn , chuẩn cho chuẩn Euclide thơng thường • Với x, y ∈ Rn , tích vơ hướng hai vector x, y kí hiệu x, y • [x, y] đoạn thẳng với hai điểm đầu nút x, y, với x, y ∈ Rn • Br (x) hay B(x, r) hình cầu mở tâm x, bán kính r Tại x = ta kí hiệu đơn giản Br • dC (x) khoảng cách từ điểm x ∈ Rn tùy ý đến tập C • dist(S, C) khoảng cách từ tập A đến tập B Nghĩa dist(S, C) = min{dC (x) với x ∈ S} Demo Version Select.Pdf SDK • W k·∞ (Rn ) tập hợp- tất hàm có hàm suy rộng có đạo hàm riêng đến cấp k (khơng gian Sobolev) • dim D+ u(x0 ) số chiều D+ u x0 • Liploc Ω tập tất hàm liên tục Lipschitz địa phương Ω • diamD+ u(x) bán kính D+ u(x) LỜI NÓI ĐẦU Trong thập kỷ gần đây, giải tích khơng trơn hướng phát triển ngành giải tích, có nhiệm vụ nghiên cứu tính chất hàm số không khả vi theo nghĩa cổ điển Lớp hàm gần với hàm khả vi hàm lồi lõm hàm khả vi hầu khắp nơi miền xác định Mở rộng ra, người ta xây dựng khái niệm hàm nửa lõm (hoặc nửa lồi) Những hàm khơng có “dáng điệu lõm” giữ tính chất quan trọng hàm lõm có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu toán phi tuyến Có nhiều cách để giới thiệu “hàm nửa lõm” ta nói hàm hàm nửa lõm biễu diễn địa phương tổng hàm lõm cộng với hàm trơn Các nghiên cứu đại phương trình Hamilton-Jacobi có nhiều thành tựu bật với khái niệm nghiệm suy rộng Demo Version - Select.Pdf SDK nghiệm Lipschitz, nghiệm viscosity, Trong thập niên 1950-1980, nhà toán học nghiên cứu nghiệm suy rộng Lipschitz Các định lý tồn nghiệm thiết lập nhờ phương pháp biến phân, phương pháp triệt tiêu độ nhớt tính nghiệm tốn khó Do vậy, người ta đưa khái niệm hàm nửa lõm với số điều kiện Hamiltonian, nghiệm Lipschitz lớp hàm nửa lõm Từ thập niên 1980 trở đi, nghiệm viscosity xuất Mặc dù tính nghiệm viscosity khơng cần kết hợp điều kiện hàm nửa lõm hàm nửa lõm cần thiết nghiên cứu tính chất quy nghiệm viscosity, để làm đẹp hồn thiện thêm kết nghiệm viscosity Luận văn hoàn thành trường Đại học Huế hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Nguyễn Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Huế Tác giả xin cảm ơn quý Thầy giáo, Cơ giáo tổ Giải tích khoa Tốn - Trường Đại học Huế nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn bè lớp Cao học K21 - chuyên ngành Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tâp nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong q Thầy bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Demo Version - Select.Pdf SDK Huế, ngày tháng năm 2014 Tác giả Hoàng Thị Minh Thu ... lõm, phép tốn tính đơn điệu vi phân gradient Chương 2.1 2.2 10 Các tính chất vi phân hàm nửa lõm 14 Hàm nửa lõm 14 2.1.1 Định nghĩa tính chất 14 2.1.2 Hàm nửa. .. Chương Các tính chất vi phân hàm lõm 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lõm 1.3 Tính liênVersion tục -hàm lõm, hàmSDK nửa liên tục Demo Select.Pdf 1.4 Trên vi phân hàm. .. lồi) Những hàm “dáng điệu lõm giữ tính chất quan trọng hàm lõm có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu toán phi tuyến Có nhiều cách để giới thiệu hàm nửa lõm ta nói hàm hàm nửa lõm biễu diễn