Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Khuất Văn Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã gi úp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tr uyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả tr ong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định đã tạo mọi đi ều kiện thuận lợi để tác gi ả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của T.S Khuấ t Văn Ninh. Trong khi ng hiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa t hành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luậ n văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình k hoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Phương pháp Newton - Kantorovich 14 2.1. Phương pháp làm trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Toán tử khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Toán tử không khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . 21 2.2.2. Một số định lý cơ bản của phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 3. Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich iii giải phương trình vi phân thường 32 3.1. Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1. Xét bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.2. Thuật toán giải phương trình vi phân thường cấp một theo phương pháp Newton - Kantorovich . . 34 3.2. Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Giải gần đúng phương trình vi phân thường bằng lập trình Maple 12 theo phương pháp Newton - Kantorovich cải biên 44 3.3.1. Giải gần đúng phương trình vi phân thường cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2. Giải gần đúng phương trình vi phân thường cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 BẢNG KÝ HIỆU C Tập số phức C [a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] D k [a;b] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp k trên [a, b] l 2 Tập tất cả những dãy số thực (hoặc phức) x = (x n ) sao cho chuỗi ∞  n=1 |x n | 2 hội tụ L(X, Y ) Tập tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R k Không gian thực k chiều Ø Tập hợp rỗng ∞ Dương vô cùng (tương ứng với +∞) −∞ Âm vô cùng θ Phần tử không . Chuẩn  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Rất nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kinh tế, kỹ thuật dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình có dạ ng: Ax = y (1) trong đó A là một toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X, y ∈ Y . Phương trình có dạng (1) được gọi là "phương trình toán tử ". Đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng đề cập đến phương trình toán tử dưới dạng tổng quát như phươ ng t rình (1) hoặc những dạng đặc biệt, cụ thể khi A là toán tử vi phân thường, toá n tử đạo hàm riêng, toán tử tích phâ n, . . . Toán tử A có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến tính, đơn trị hoặc đa trị. Chính vì vậy, phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử là rất rộng lớn. Phạm vi ứng dụng này càng có hiệu lực với sự phát triển mạnh mẽ của máy t ính điện t ử và các công tr ình nghi ên cứu gi ải gầ n đúng các phương tr ình dạng (1). Khởi đầu ta có thể nói đến các công trình của Newton về phương pháp tiếp t uyến g iải gần đúng phương trình f (x) = 0. Tiếp theo, ta có thể kể đến các công trình của Kantorovich trong việc xây dựng phương pháp Newton - Kantorovich. Mỗi phương pháp có cách tính toán riêng để tìm nghiệm gần đúng của phương trình (1), trong đó việc xây dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao được nhiều tác giả quan tâm. Phương pháp Newton - Kantorovich nhằm giải phương trình (1) khi A 2 là toá n tử phi tuyến, khả vi. Bản chất của phương pháp này là thay thế phương trình (1) bởi một phương trình tuyến tí nh, từ đó xây dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao đến nghiệm của phương trình (1). Trên cở sở lý thuyết của phương pháp Newton - Kantorovich, chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải phương trình vi phân thường. Tính hữu dụng của phương pháp Newt on - Kantorovich không chỉ ở tốc độ hội tụ cao mà còn thiết lập được thuật toán, từ đó chúng tôi quan tâm đến việc lập trình trên máy tính điện tử giải phương trình vi phân thường. Với những lý do trên, cùng với sự hướng dẫn tận tình của T S. Khuất Văn Ninh, tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường" 2. Mục đ ích nghiên cứu Trình bày lý thuyết của phương pháp Newton – Kantorovich sau đó ứng dụng để giải phương trình vi phân thường, đồng thời nghiên cứu giải phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Phương pháp Newton – Kantorovich. 3 - Ứng dụng phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình vi phân thường. 4. Đối t ượng và phạm vi nghiên cứu Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phươ ng trình v i phân thường. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên k hảo. - Phân tích, tổng hợ p kiến thức. 6. Đóng góp mới củ a luận văn - Giải phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Khô ng gian Banach Định nghĩa 1.1.1. (Không gia n định chuẩn) Một không gian đ ị nh chuẩn (hay không gian tuyến tính định ch uẩn) là không gian tuyến tí nh X t rên trường P (P = R hoặc P = C) cùng v ớ i một ánh xạ X → R, được g ọi là chuẩn và ký hiệu là . thỏa mãn các tiên đề sau: 1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α|x; 3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x+ y. Số x gọi là chuẩn của véc tơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. ( Sự hội tụ trong không gian định chuẩ n) Dãy điểm {x n } của không gian định chuẩn X được gọi là hội t ụ tới điểm x ∈ X nếu lim n→∞ x n − x = 0. Ký hiệu lim n→∞ x n = x hay x n → x (n → ∞). Định nghĩa 1.1.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm {x n } trong k hông gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản n ếu lim n,m→∞ x n − x m  = 0. Định nghĩa 1.1.4. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X 5 được gọi là gọi là không gia n Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Ví dụ 1.1.1. Xét không gian véc tơ k - chiều R k , với mỗi x ∈ R k , x = (x 1 , x 2 , , x k ) t rong đó x i ∈ R, i = 1, 2, , k. Đặt x =  k  i=1 |x i | 2 . Khi đó R k là không gian Banach. Ví dụ 1.1.2. Không gian l 2 bao g ồm tất cả những dãy số thực (hoặc phức) x = (x n ) sao cho chuỗi ∞  n=1 |x n | 2 hội tụ với chuẩn x =  ∞  n=1 |x n | 2 là không gian Banach. Ví dụ 1.1.3. Cho không g ian véc tơ C [a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈ C [a,b] ta đặt x = max [a,b] |x(t)|. Khi đó C [a,b] là không gian Ba- nach. 1.2. Toán tử tuyế n tí nh Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính) Một toán tử A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1) (∀x, y ∈ X) A (x + y) = A (x) + A (y) ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) A (αx) = αA (x) . Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x). Nếu X ≡ Y ta nói A là toán tử trong X. Ta ký hiệu : [...]... 2 sẽ trình bày phương pháp Newton Kantorovich và một số định lý cơ bản của phương pháp đó Chương 2 Phương pháp Newton - Kantorovich Giả sử P là toán tử tác động trong không gian Banach X Trong chương này chúng ta xét phương trình toán tử P (x) = 0 và giải gần đúng phương trình này bằng phương pháp Newton - Kantorovich 2.1 Phương pháp làm trội Phương pháp làm trội đóng vai trò quan trọng trong vi c... trong vi c nghiên cứu phương pháp Newton - Kantorovich, là điều kiện đủ để các dãy xấp xỉ xây dựng theo phương pháp Newton - Kantorovich và phương pháp Newton - Kantorovich cải biên hội tụ; đồng thời xác định được tốc độ hội tụ của các dãy đó đến nghiệm của phương trình toán tử 31 Phương pháp Newton - Kantorovich cho phép chúng ta xem xét, giải được lớp các phương trình toán tử trong một không gian... năng ứng dụng của phương pháp là rất lớn, giúp ích trong vi c giải các phương trình toán tử phức tạp đặc biệt khi toán tử đó là phi tuyến, khả vi Đây là phương pháp có tốc độ hội tụ cao, đồng thời lại có thể thiết lập được thuật toán cho nên rất thuận tiện trong vi c giải các phương trình toán tử trên máy tính điện tử Chương tiếp theo sẽ nghiên cứu ứng dụng của phương pháp Newton - Kantorovich trong vi c... xn = lim xn = x∗ ˜ n→∞ n→∞ Như vậy ta đã chứng minh được với xấp xỉ ban đầu tùy ý dãy các xấp xỉ liên tiếp hội tụ đến x∗ suy ra phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất Từ (2.14) cho n → ∞ ta được (2.9) 2.2 2.2.1 Phương pháp Newton - Kantorovich Phương pháp Newton - Kantorovich Xét phương trình toán tử dạng P (x) = 0 (2.15) trong đó P là toán tử phi tuyến, khả vi xác định trong hình cầu S Các xấp xỉ liên... nghiên cứu phương pháp Newton - Kantorovich Chính vì vậy, trong mục này ta sẽ trình bày phương pháp làm trội và các mở rộng của nó Xét phương trình: x = A (x) (2.1) trong đó A là toán tử xác định trong hình cầu S (x0, r) của không gian Banach X Cùng với phương trình (2.1), ta xét phương trình: u = ϕ (u) (2.2) trong đó ϕ (u) là hàm số xác định trên đoạn [u0; u ] , (u = u0 + r) 2.1.1 Toán tử khả vi Định... (2.16) Phương pháp xây dựng các xấp xỉ xn như trên gọi là phương pháp Newton - Kantorovich Nếu dãy {xn} hội tụ đến x∗ và x0 được chọn gần x∗ thì các toán tử P (xn) và P (x0) sẽ gần nhau Điều đó làm cơ sở cho vi c thay thế công thức (2.16) bằng công thức sau đơn giản hơn: −1 yn+1 = yn − [P (y0 )] P (yn ) , n = 0, 1, 2, ; y0 ≡ x0 (2.17) Phương pháp xây dựng dãy {yn } như trên gọi là phương pháp Newton - Kantorovich. .. được u là nghiệm của phương trình (2.2) Chuyển qua giới hạn un ≤ u∗ ta có u là nghiệm dưới của phương trình (2.2); 2) Chứng minh tương tự 1); 3) Từ 1) và 2) suy ra 3) Định lý 2.1.1 Giả sử toán tử A có đạo hàm liên tục trong hình cầu S (x0, r), hàm số ϕ (u) khả vi trong đoạn [u0; u ] và phương trình (2.2) là phương trình làm trội của phương trình (2.1) Ngoài ra giả sử rằng phương trình (2.2) có ít nhất... của phương pháp Newton - Kantorovich (2.16) hội tụ đến nghiệm của phương trình (2.15) Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức xn − x∗ ≤ u−un , trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2.19) còn un được xác định bởi các đẳng thức : (2.23) un = un−1 + cn−1ψ (un−1) , u0 = u0 với cn = −1 ψ (un ) Chứng minh Ta chứng minh rằng tất cả các phần tử của (2.16) đều có nghĩa Do x1 = y1 nên x1 ∈ S Ta chứng... định lý được chứng minh Áp dụng định lý 2.2.1 ta có định lý sau đây về tính duy nhất nghiệm Định lý 2.2.2 (Tính duy nhất nghiệm) Giả sử các điều kiện của định lý 2.2.1 được thỏa mãn, ngoài ra ψ (u) ≤ 0 Khi đó phương trình (2.18) có nghiệm duy nhất trên đoạn [u0; u ] thì phương trình (2.15) có nghiệm 25 duy nhất Bây giờ ta chuyển sang nghiên cứu các xấp xỉ của phương pháp Newton - Kantorovich Định lý... [u0 ; u ] Khi đó phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm x∗ và x∗ − x0 ≤ u − u0, trong đó u là nghiệm dưới của phương trình (2.2) Nghiệm x∗ là giới hạn của dãy xấp xỉ (2.3) Ngoài ra xn − x∗ ≤ u − un , n = 1, 2, (2.5) trong đó un = ϕ (un−1) , n = 1, 2, ; u0 = u0 Chứng minh Ta chứng minh dãy {xn} ⊂ S (x0 , r) và nó là dãy hội tụ Vì phương trình (2.2) là phương trình làm trội của phương trình (2.1) nên . văn là: - Phương pháp Newton – Kantorovich. 3 - Ứng dụng phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình vi phân thường. 4. Đối t ượng và phạm vi nghiên cứu Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich. tài: " ;Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường" 2. Mục đ ích nghiên cứu Trình bày lý thuyết của phương pháp Newton – Kantorovich sau đó ứng dụng để giải phương. . . . 32 3.1.2. Thuật toán giải phương trình vi phân thường cấp một theo phương pháp Newton - Kantorovich . . 34 3.2. Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường cấp hai . . . .