Phương pháp runge kutta và ứng dụng giải gần đúng phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ QUÝ PHƢƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA VÀ ỨNG DỤNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Những nội dung trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn thầy giáo TS Lê Hải Trung Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực Nếu có chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả luận văn Phạm Thị Quý MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY 1.2.1 Bài tốn Cauchy phƣơng trình vi phân cấp 1.2.2 Dãy xấp xỉ Picard 1.2.3 Sự tồn nghiệm 1.3 PHÂN LOẠI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 11 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG RUNGE – KUTTA 13 2.1 PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG 13 2.2 PHƢƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA – CÔNG THỨC XẤP XỈ BẬC BỐN RK 14 2.3 PHƢƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA ĐỐI VỚI PTVP CẤP n (n > 1) 25 2.3.1 Bài toán Cauchy hệ phƣơng trình vi phân cấp 26 2.3.2 Bài tốn Cauchy phƣơng tình vi phân cấp hai 31 2.4 ƢU ĐIỂM VÀ HẠN CHẾ CỦA PHƢƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA 33 2.4.1 Ƣu điểm 34 2.4.2 Hạn chế 38 CHƯƠNG ỨNG DỤNG MATHEMATICA CHO PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA 42 3.1 SỰ RA ĐỜI VÀ PHÁT TRIỂN 42 3.2 ỨNG DỤNG CỦA MATHEMATICA 43 3.2.1 Giải phƣơng trình vi phân với Mathematica 43 3.2.2 Vẽ đồ thị với Mathematica 55 VÀI NÉT VỀ CARL RUNGE VÀ WILHELM KUTTA 61 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu Tên bảng Trang 2.1 Kết toán với h = 0, h = 0, 23 2.2 So sánh nghiệm y(2) h = 0, h = 25 2.3 So sánh sai số phương pháp với giá trị xác 30 2.4 Nghiệm phương trình vi phân cấp hai với h = 0, 33 2.5 So sánh độ xác hai phương pháp 37 2.6 Thể sai số tăng bước h 40 3.1 Kiểm tra kết giải máy tính 46 DANH MỤC CÁC HÌNH Số hiệu Tên hình vẽ Trang 3.1 Đồ thị nghiệm cuả phương trình vi phân khoảng (0, 1) 56 3.2 Đồ thị nghiệm phương trình vi phân khoảng (0, 2) 56 3.3 Đồ thị hàm lượng giác khoảng (0, 1) 57 3.4 Biểu diễn tương giao hai hàm số khoảng (0, 1) 58 3.5 Biểu diễn tương giao hai hàm số khoảng (0, 2) 58 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân thường (hoặc hệ phương trình vi phân thường) mơ hình tốn học sử dụng để mô tả nhiều vấn đề tự nhiên kỹ thuật: Các toán chuyển động, tốn cân hệ sinh thái, mơ hình lãi suất ngân hàng Trong nhiều trường hợp nghiệm phương trình vi phân khơng tìm phép cầu phương, phải tìm đến phương pháp số để tìm nghiệm gần Phương pháp Runge – Kutta (RK) phương pháp số thường dùng có ưu điểm đáp ứng yêu cầu số tốn Với ý nghĩa tìm hiểu phương pháp tìm nghiệm gần cho phương trình vi phân thường ứng dụng phần mềm toán học cho đối tượng nghiên cứu trên, nên mạnh dạn lựa chọn đề tài "Phương pháp Runge – Kutta ứng dụng giải gần phương trình vi phân thường" cho luận văn cao học Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài sử dụng phương pháp xấp xỉ bậc bốn RK để trình bày cách tìm nghiệm gần phương trình vi phân cấp một, phương trình vi phân cấp hai, hệ phương trình vi phân, từ so sánh với nghiệm xác Việc tính tốn nghiệm gần tác giả trình bày chương trình viết phần mềm Mathematica nghiệm gần tìm được so sánh kiểm tra máy tính Trong số trường hợp đặc biệt nghiệm tìm được so sánh với nghiệm tường minh minh họa đồ thị biểu diễn thông qua bảng biểu phần mềm Mathematica Phương pháp nghiên cứu Trong trình tìm hiểu nghiên cứu đề tài tác giả sử dụng đến kiến thức thuộc lĩnh vực sau: Lý thyết phương trình vi phân thường, Phương pháp số, Giải tích, Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu cách giải phương trình vi phân thường phương pháp xấp xỉ RK bậc bốn Tìm nghiệm gần phương trình vi phân thường cấp một, cấp hai, hệ phương trình vi phân cấp sử dụng phần mềm Mathematica làm công cụ hỗ trợ kiểm tra Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn cấu trúc chương sau đây: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương pháp tìm nghiệm gần - Runge - Kutta Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho công thức Runge - Kutta bậc bốn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM Phương trình vi phân phương trỡnh cú dng: F (x, y, y, yă, , y (n) ) = 0, (1.1) y = y(x) ẩn hàm cần tìm thiết phải có tham gia đạo hàm (đến cấp đó) ẩn hàm Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm hàm nhiều biến (xuất đạo hàm riêng) phương trình vi phân cịn gọi phương trình đạo hàm riêng Trong luận văn ta xem xét phương trình vi phân thường Tiến hành xem xét phương trình với ẩn hàm hàm số biến thực y = y(x) xác định khoảng mở I ⊆ R, hàm F đẳng thức xác định tập mở G R × Rn+1 Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm vectơ - hàm (hàm với giá trị vectơ) y(x) = (y1 (x), , ym (x))T ∈ Rm , F ánh xạ nhận giá trị Rm , (1.1) hiểu hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân thường cấp có dạng tổng quát: F (x, y, y) ˙ = 0, (1.2) F xác định miền G ⊆ R phương trình vi phân cấp viết dạng (gọi dạng giải theo đạo hàm) y˙ = f (x, y), (1.3) với f liên tục miền D ⊆ R2 Phương trình (1.1) viết dạng sau (gọi dạng giải với đạo hàm) y (n) = f (x, y, y, ˙ , y (n−1) ) (1.4) Dưới dạng ta chuyển từ phương trình vi phân cấp cao dạng hệ phương trình vi phân cấp cách đưa thêm vào ẩn y1 = y, y2 = y, ˙ , yk = y (k−1) , k = 1, n, ta thu    y˙1 = y2 ,        y˙2 = y3 ,    .,       yn−1 ˙ = yn ,      y˙n = f (x, y1 , , yn ) (1.5) Đặt Y := (y1 , , yn )t , g(x, Y ) := (y2 , , yn , f (y1 , , yn )t ) vectơ hàm, (1.5) viết lại sau: Y˙ = g(x, Y ) 1.2 (1.6) ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CAUCHY 1.2.1 Bài tốn Cauchy phương trình vi phân cấp Tìm nghiệm y(x) thỏa:   y˙ = f (x, y),  y(x0 ) = y0 , (x0 , y0 ) ∈ D y(x0 ) = y0 gọi điều kiện ban đầu (1.7) 50 Trường hợp Xét h = 0, f [t− , x− , y− ] := 3x − 2y; g[t− , x− , y− ] := 5x − 4y; t0 = 0; x0 = 3; y0 = 6; tf = 1; tg = 1; n := 2; h = (tf − t0)/n//N ; h = (tg − t0)/n//N ; rk[t0− , tf− , x0− , y0− , n− ] := Module [{h, t, x, y, X, Y, Z, i, k1, k2, k3, k4, k, l1, l2, l3, l4, l}, h = (tf − t0)/n; h = (tg − t0)/n; t = t0; x = x0; y = y0; X = {t}; Y = {x}; Z = {y}; Do [k1 = h ∗ f [t, x, y]; [l1 = h ∗ g[t, x, y]; k2 = h ∗ f [t + h/2, x + k1/2, y + l1/2]; l2 = h ∗ g[t + h/2, x + k1/2, y + l1/2]; k3 = h ∗ f [t + h/2, x + k2/2, y + l2/2]; l3 = h ∗ g[t + h/2, x + k2/2, y + l2/2]; k4 = h ∗ f [t + h, x + k3, y + l3]; l4 = h ∗ g[t + h, x + k3, y + l3]; k = (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6; l = (l1 + 2l2 + 2l3 + l4)/6; x = x + k; y = y + l; t = t + h; 51 X = Append[X, t]; Y = Append[Y, x]; Z = Append[Z, y], {i, 1, n}]; {X, Y, Z}]; {X, Y, Z} = rk[0., 1., 3, 6, 2]; P rint[T able[T ranspose[X, Y, Z]]]; Sau bấm tổ hợp phím Shift + Enter ta có kết sau: {{0., 3, 6}, {0.5, 2.39844, 3.52344}, {1, 2.9986, 3.42047}}, Trường hợp h = 0, f [t− , x− , y− ] := 3x − 2y; g[t− , x− , y− ] := 5x − 4y; t0 = 0; x0 = 3; y0 = 6; tf = 1; tg = 1; n := 5; h = (tf − t0)/n//N ; h = (tg − t0)/n//N ; rk[t0− , tf− , x0− , y0− , n− ] := Module [{h, t, x, y, X, Y, Z, i, k1, k2, k3, k4, k, l1, l2, l3, l4, l}, h = (tf − t0)/n; h = (tg − t0)/n; t = t0; x = x0; y = y0; X = {t}; Y = {x}; Z = {y}; Do [k1 = h ∗ f [t, x, y]; [l1 = h ∗ g[t, x, y]; k2 = h ∗ f [t + h/2, x + k1/2, y + l1/2]; l2 = h ∗ g[t + h/2, x + k1/2, y + l1/2]; k3 = h ∗ f [t + h/2, x + k2/2, y + l2/2]; l3 = h ∗ g[t + h/2, x + k2/2, y + l2/2]; 52 k4 = h ∗ f [t + h, x + k3, y + l3]; l4 = h ∗ g[t + h, x + k3, y + l3]; k = (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6; l = (l1 + 2l2 + 2l3 + l4)/6; x = x + k; y = y + l; t = t + h; X = Append[X, t]; Y = Append[Y, x]; Z = Append[Z, y], {i, 1, n}]; {X, Y, Z}]; {X, Y, Z} = rk[0., 1., 3, 6, 5]; P rint[T able[T ranspose[X, Y, Z]]]; Sau bấm tổ hợp phím Shift + Enter ta có kết sau: {{0., 3, 6}, {0.2, 2.5622, 4.5734}, {0.4, 2.39069, 3.739}, {{0.6, 2.42471, 3.32862}, {0.8, 2.62951, 3.23549}, {1., 2.98908, 3.39533}}, So sánh kết với bảng giá trị (Bảng 2.2) phần 2.3.1 ta thấy lấy bước lặp h = 0, sai số lớn nhiều sơ với lấy h = 0, c Phương trình vi phân cấp hai Giải phng trỡnh: yă y + y = ex Ta có phương trình là: yă y + y = Phng trình đặc trưng: k − k + = 0, ⇔ k = Nghiệm tổng quát phương trình là: y = C1 e2 x + C2 x e2 x Bằng phương pháp biến thiên số ta có: y = C1 (x) e2 x + C2 (x) x e2 x 53 Với: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   C˙1 (x) e2 x + C˙2 (x)x e2 x = 0,  2 C˙1 (x) e2 x + C˙2 (x) (e2 x + x e2 x ) = ex   C˙1 (x) + x C˙2 (x) = 0,  2 C˙1 (x) + C˙2 (x) (1 + x) = e−x   C˙1 (x) = −x C˙2 (x),  C˙2 (x) = e−x   C˙1 (x) = −2 x e−x ,  C˙2 (x) = e−x   C1 (x) = x e−x + e−x + A,  C2 (x) = −2 e−x + B Vậy nghiệm phương trình cho là: y = (2 x e−x + e−x + A) e2 x + (−2 e−x + B) x e2 x = = ex + A e2 x + B x e2 x Giải Mathematica: In[1] := DSolve[ă y [x] y[x] + y[x] == ex , y, x] 2x → F unction {x}, e Out[1] = C1 + e 2x ex x C2 + (−2 + log[e])2 Sử dụng phần mềm Mathematica giải phương trình vi phân bậc sau: i) yă y + y = x ex In[1] := DSolve[ă y [x] y[x] ˙ + y[x] == x ex , y, x] Out[1] = ii) yă + y = ex (−2 − x + x Log[e]) y → F unction {x}, e C1 +e x C2 + (−1 + Log[e])3 x x 54 In[2] := DSolve[ă y [x] + y[x] ˙ == 3, y, x] Out[2] = {{y → F unction[{x}, x − e−x C[1] + C[2]]}} iii) yă + y = sinx In[3] := DSolve[ă y [x] + y[x] == sinx, y, x] Out[3] = {{y → F unction[{x}, sin[x] + C[1] cos[x] + C[2] sin[x]]}} d Nhận xét Từ mục (a), (b) (c) ta nhận thấy rằng: Để tìm nghiệm phương trình vi phân thường bậc hai trình giải phải tốn nhiều thời gian, phải thực bước Trong q trình giải đơi lại gặp phải khó khăn việc tính tích phân, việc xác định số C không đơn giản phương trình vi phân tuyến cấp hai hệ số khơng đổi Ngồi số phương trình cho nghiệm khơng thể tìm giá trị xác y điểm x Vì cần phải sử dụng đến phương pháp xấp xỉ gần mà cụ thể phương pháp Runge - Kutta, dùng phương pháp phải trải qua nhiều bước lặp với khối lượng tính tốn lớn cho giá trị gần Trong việc sử dụng phần mềm Mathematica để giải tìm nghiệm xác giá trị gần phương pháp Runge - Kutta,đối với tìm nghiệm xác ta cần nhập phương trình, điều kiện đầu cú pháp câu lệnh cho kết quả, giải tìm nghiệm gần toán ta cần nhập phương trình, hay hệ phương trình, giá trị n cho kết tốn Từ ví dụ mục ta thấy sử dụng Mathematica nhanh gấp nhiều lần so với giải tay thông thường cách áp dụng phương pháp Đối với số phương trình vi phân bậc cao 55 khó giải phương pháp thơng thường với Mathematica khơng gặp khó khăn Nhưng ngồi ưu điểm vượt trội trình sử dụng phần mềm Mathematica gặp số khó khăn là: số trường hợp nghiệm phức tạp, khó hiểu, số cách biểu diễn hàm máy tính khơng thể hiểu nên phải biểu thị dài dịng Trong Unititled nhận trùng giá trị dẫn đến kết sai báo lỗi Qua ta thấy Mathematica cịn tồn vài nhược điểm việc ứng dụng phần mềm Mathematica để giải phương trình vi phân mang lại cho người sử dụng hiệu đáng kể, tiết kiệm thời gian, cho độ xác cao Đặc biệt trường hợp mà cần tìm nghiệm xác phương trình để sử dụng vào tốn khác giải Mathematica lại cần thiết Và giải phương trình vi phân chức nhỏ phần mềm Mathematica Mathematica cho nhiều ứng dụng mặt khác ngành toán học 3.2.2 Vẽ đồ thị với Mathematica a Các ví dụ Ví dụ 1: Cho phương trình: y(x) ˙ = y − x − 1; y(0) = Nghiệm xác phương trình là: y(x) = x + − e−x Hình (3.1) In[1] := P lot[x + − E ∧ (−x), {x, 0, 1}] Ví dụ 2: Cho phương trình: y(x) ˙ = x + y; y(0) = Nghiệm xác phương trình là: y(x) = −x − + 2ex Hình (3.2) In[2] := P lot[−x − + 2E ∧ x, {x, 0, 2}] Ví dụ 3: Cho phương trình: y˙ = (1/4) (1 + y ), với y(0) = Nghiệm phương trình là: y(x) = tan((1/4) (x + π)) Hình (3.3) 56 Hình 3.1: Đồ thị nghiệm phương trình vi phân khoảng (0; 1) Hình 3.2: Đồ thị nghiệm phương trình vi phân khoảng (0; 2) 57 ln[3] := P lot[tan[ 14 (x + π)], {x, 0, 1}] Hình 3.3: Đồ thị hàm lượng giác khoảng (0; 1) Ví dụ 4: Cho hệ phương trình sau:   x˙ = x − y,  y˙ = x − y, ;   x(0) = 3,  y(0) = Ta có nghiệm xác hệ phương trình là:   x(t) = e−2 t + et ,  y(t) = e−2 t + et Vẽ phần mềm Mathematica: (Hình 3.4) (Hình 3.5) In[4] := P lot[{2 E ∧ (−2 t) + E ∧ t, E ∧ (−2 t) + E ∧ t}, {t, 0, 1}] In[5] := P lot[{2 E ∧ (−2 t) + E ∧ t, E ∧ (−2 t) + E ∧ t}, {t, 0, 2}] 58 Hình 3.4: Biểu diễn tương giao hai hàm số khoảng (0; 1) Hình 3.5: Biểu diễn tương giao hai hàm số khoảng (0; 2) 59 Đồ thị hàm số hai hàm số hình (Hình 3.4) (Hình 3.5) Ở hình (Hình 3.4) ta chọn giá trị biến t = [0, 1] ta chưa thấy giao hai đồ thị, hay nói cách khác chưa thể biết hai đồ thị có cắt hay khơng Cịn hình (Hình 3.5) ta vẽ đồ thị khoảng biến t = [0, 2] thấy giao hai đồ thị b Nhận xét Như để vẽ đồ thị hàm số theo cách mà học thường xuyên áp dụng tức phương pháp thủ cơng cách khảo sát phải trải qua nhiều bước: + Tìm tập xác định + Khảo sát biến thiên ( tức tìm khoảng đồng biến nghịch biến tập xác định) + Xác định số điểm mà đồ thị hàm số qua, sau dựa vào biến thiên để nối điểm lại với ta đồ thị hàm số cần vẽ Đồ thị hàm số biểu diễn phụ thuộc hàm y vào biến x Giao điểm trục tung trục hoành gốc tọa độ O Vì mà để vẽ đồ thị hàm số tốn nhiều thời gian, đơi cịn gặp khó khăn hàm số khó để khảo sát biến thiên như: Hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác số trường hợp việc tìm điểm đồ thị qua x y cách xa dẫn đến chênh lệch lớn truc tung trục hoành làm cho đồ thị vẽ khó kiểm sốt trang giấy Trong việc sử dụng phần mềm Mathematica với máy tính để vẽ đồ thị hàm số đem lại nhiều ưu điểm vượt trội là: + Tốn thời gian dùng câu lệnh P lot[f (x), {x, xmin, xmax}] + Vẽ máy nên đồ thị hàm số chuẩn đẹp hơn, khoảng cách khoảng trục máy tính tự ước lượng độ 60 dài hai trục khác để đồ thị đẹp cân đối + Chúng ta vẽ lúc nhiều hàm số hệ trục tọa độ cần dùng câu lệnh: Ví dụ P lot[{f (x), g(x)}, {x, xmin, xmax}] + Trong trường hợp vẽ đồ thị nhiều hàm số tăng giảm khoảng giới hạn biến trục hoành để thấy tương giao đồ thị ( ví dụ phần 3.2.2) Điều đặc biệt vẽ đồ thị Mathematica là: Quan sát ví dụ ta thấy đồ thị giao trục tung trục hồnh khơng phải gốc tọa độ O mà vị trí hàm số tại: x = Như việc vẽ đồ thị phần mềm Mathematica trải qua bước thơng thường mà phần máy tính tự động xử lý cho đồ thị hoàn chỉnh, mà trình vẽ nhanh vẽ tất hàm số mà không gặp khó khăn 61 VÀI NÉT VỀ CARL RUNGE VÀ WILHELM KUTTA Carl Runge (1856-1927) người trai thứ ba bốn người gia đình thương gia người Đức Cả ba người anh em ông theo đuổi nghiệp thương mại, buôn bán Riêng ông chọn đường học thức 19 tuổi ông rời trường Đại học sau thời gian ngắn ông theo học trường Đại học Munich Đức để nghiên cứu Văn học Nhưng sau tuần khóa học ơng thay đổi chuyển qua nghiên cưú Vật lý Tốn học, sau ơng tập trung chủ yếu vào nghiên cứu tốn học Ơng nhận học vị Tiến Sĩ trường Đại học Munich Phương pháp số phương trình đại số Năm 1904 ơng bổ nhiệm làm chủ tịch toán học nghỉ hưu vào năm 1925 Ơng sau năm Wilhelm Kutta (1867-1944), ông sinh Pitschen-thượng Silesia (nay thuộc Byczyna-Ba Lan) Từ 1885 đến 1890 ông theo học trường Đại học Breslan tiếp tục nghiên cứu Munich 1894 Từ năm 1898, ông dành năm Đại học Cambridge Năm 1912 ông trở thành Giáo Sư Stuttgart, nơi ông lại nghỉ hưu vào năm 1935 Kutta ó mt ti Fă urstenfeldbruck, c vo nm 1944 Nm 1901 Carl Runge Wilhelm Kutta nghiên cứu phát triển phương pháp Runge - Kutta 62 KẾT LUẬN Luận văn "Phương pháp Runge - Kutta ứng dụng giải gần phương trình vi phân thường" thực nội dung sau: Khái quát lại số kiến thức lý thuyết phương trình vi phân Xây dựng cơng thức xấp xỉ bậc bốn RK để giải gần phương trình vi phân cấp Mở rộng công thức cho phương trình vi phân bậc hai hệ phương trình vi phân bậc Giới thiệu phần mềm Mathematica - phần mềm có nhiều ứng dụng tính toán toán học Luận văn đề cập chức "Giải phương trình vi phân" "Vẽ đồ thị biểu diễn nghiệm phương trình vi phân" phần mềm Mathematica Đặc biệt tác giả viết code để chạy phần mềm Mathematica cho phương pháp Runge - Kutta nhằm kiểm tra độ xác phương pháp qua bước lặp Đây phần tâm huyết, nhiều cơng sức có đóng góp ý nghĩa cho luận văn Hy vọng luận văn tiếp tục hoàn thiện để hiểu rõ ứng dụng khác phương Pháp Runge - Kutta trở thành phương pháp tìm nghiệm gần phương trình vi phân hiệu 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2002), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục [2] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều, Ngô Xuân Sơn (2007), Giải tích số, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm [3] Lê Ngọc Bích (2011), Tự học Mathematica hình ảnh, NXB ĐH quốc gia TPHCM [4] Phan Thị Hà, Phan Đăng Cầu (2006), Bài giảng Phương pháp số, Học Viện Cơng Nghệ Bưu Chính Viễn Thơng [5] Nguyễn Thế Hồn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục [6] Lê Đình Thịnh (1995), Phương pháp tính, NXB Khoa học - kĩ thuật Hà Nội [7] Vũ Ngọc Tước (2000), Ngơn ngữ lập trình Mathematica 3.0, Nhà xuất Khoa học - kĩ thuật Tiếng Anh [8] Edwards C Hendry, David E Penney (2007), Elementary diferential equations with boundary value problem, Prentice Hall [9] J D Lambert (1991), Numberical Methods for Ordinary Differential Systems the Initial value Problem, John Wiley - Son Ltd England 64 [10] G Birkhoft, G C Rota (1989), Ordinary Differential Equations, 4th edition, John Wiley - Son, New York [11] U M R Petrold (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential - Algebraic Equations, SIAM ... PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG RUNGE - KUTTA 2.1 PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG Để giải phương trình vi phân thường ta giải theo hai phương pháp: Phương pháp tìm nghiệm xác: Bằng cách dựa vào... dựng phương pháp tìm nghiệm gần cho tốn Cauchy phương trình vi phân cấp một, phương trình vi phân cấp hai hệ phương trình vi phân cấp chương hai mà cụ thể phương pháp Runge - Kutta 13 CHƯƠNG PHƯƠNG... phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu cách giải phương trình vi phân thường phương pháp xấp xỉ RK bậc bốn Tìm nghiệm gần phương trình vi phân thường cấp một, cấp hai, hệ phương trình vi phân cấp sử dụng