Tìm hiểu một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường

Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Error! Bookmark not defined Nhận xét giáo viên Error! Bookmark not defined Lời nói đầu Chương Tổng quan giải tích số 1.1 Giới thiệu giải tích số .4 1.2 Quan hệ toán học tính toán công nghệ thông tin 1.3 Các khái niệm sai số .8 1.3.1 Sai số tuyệt đối 1.3.2 Sai số tương đối 1.4 Một số khái niệm giải tích hàm .10 1.4.1 Không gian metric 10 1.4.2 Không gian tuyến tính 12 1.4.3 Không gian tuyến tính định chuẩn 13 1.4.4 Không gian có tích vô hướng .14 Chương 16 Một số phương pháp giải gần 16 phương trình vi phân thường 16 2.1 Đặt vấn đề 16 2.2 Một số phương pháp giải tích 17 2.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard 17 2.2.2 Phương pháp chuỗi nguyên 19 2.3 Một số phương pháp số giải phương trình vi phân 20 2.3.1 Phương pháp sai phân 20 2.3.2 Phương pháp bước 21 2.3.2.1 Phương pháp Euler 22 2.3.2.1.a Phân tích thuật toán .22 2.3.2.1.b Sơ đồ khối .25 2.3.2.2 Phương pháp Euler cải tiến 25 2.3.2.2.a Phân tích thuật toán .25 2.3.2.2.b Sơ đồ khối .27 2.3.2.3 Công thức RK4 28 2.3.2.3.a Phân tích thuật toán .28 2.3.2.3.b Sơ đồ khối .30 2.3.3 Phương pháp đa bước 31 2.3.3.a Phân tích toán 31 2.3.3.b Sơ đồ khối 34 2.4 Phương pháp khử lặp giải toán biên tuyến tính 35 2.4.1 Phân tích toán 35 2.4.2 Sơ đồ khối .37 Chương 38 Giới thiệu ngôn ngữ lập trình Matlab 38 3.1 Khái niệm chung 38 3.1.1 Cửa sổ lệnh Matlab (Matlab Command Window) 40 3.1.2 Hiệu chỉnh, sửa đổi dòng lệnh 41 3.1.3 Xoá cửa sổ lệnh .41 3.1.4 Định dạng số 41 3.1.5 Không gian làm việc Matlab (Matlab Workspace) 42 3.2 Các khái niệm 43 3.2.1 Biến Matlab 43 3.2.1.1 - Một số lệnh với biến 43 3.2.1.2 Một số biến định nghĩa trước 44 3.2.1.3 Biến toàn cục (global variables) 44 3.2.2 Các phép toán matlab 45 3.2.2.1 Phép toán số học 45 3.2.2.2 Thứ tự ưu tiên phép toán số học 45 3.2.2.3 Các phép toán quan hệ phép toán logic 45 3.2.3 Sử dụng file lệnh (lập trình M-file) 46 3.2.4 Cách tạo hàm 46 3.2.5 Vẽ hàm 47 3.2.6 Cấu trúc câu lệnh điều khiển 47 3.2.7 Cấu trúc vòng lặp 49 Chương 50 Các kết ứng dụng 50 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Phụ Lục 59 Lời nói đầu Con người trí thông minh tinh thần hăng say học tập tạo nhiều thành tựu khoa học quan trọng lĩnh vực: Vật lý, hóa học, sinh học… Ảnh hưởng làm thay đổi nhiều đến đời sống kinh tế, văn hoá, xã hội tất nước giới Và toán học đóng góp vai trò quan trọng thành tựu Toán học sở tảng cho khoa học khác phát triển, ngày có nhiều đóng góp tích cực việc giải toán thực tế như: Các toán nhận dạng, hay toán tối ưu, toán vật lý, hoá học… Giải tích số lĩnh vực quan trọng toán học, việc áp dụng phương pháp giải gần phương trình vi phân thường có ý nghĩa quan trọng lĩnh vực khác Vì nhờ phương pháp mà việc thực công việc khác có ý nghĩa Trong nhiều công việc người quan tâm đến kết để phục vụ cho mục đích khác mà không cần quan tâm đến cách người khác giải công việc để đưa kết Và công nghệ thông tin đời đáp ứng yêu cầu Bằng cách chuyển ý tưởng, phương pháp giải thành chương trình để máy tính xử lý cho kết mong muốn Và lý em thực đề tài tốt nghiệp “Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân thường” Nội dung đề tài bao gồm chương: Chương 1: Tổng quan Giải tích số Chương 2: Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân thường Chương 3: Giới thiệu ngôn ngữ lập trình Matlab Chương 4: Các kết ứng dụng Chương Tổng quan giải tích số 1.1 Giới thiệu giải tích số Giải tích số (Numeirical Analysis) hay gọi Phương pháp số (Numerical methods), Phương pháp tính (Computational methods), toán học tính toán (Computational mathematics) Giải tích số khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, phương trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Đầu tiên toán học phát sinh nhu cầu giải toán thực tế như: Tính diện tích đất đai, quỹ đạo chổi, đường tàu buôn biển…Như lúc đầu toán học đồng nghĩa với toán học tính toán Cùng với phát triển toán học khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Trong lịch sử có nhiều nhà toán học có công đầu Giải tích số như: Newton, Lagrange, Euler, Lobasepski, Gauss, Chebysev, Hérmitte… Từ năm 80 kỷ XX đến nay, đặc biệt năm gần với phát triển vũ bão tin học, với đời siêu máy tính khả song song hoá trình tính toán mở rộng Nhiều thuật toán song song đề xuất áp dụng giải toán thực tế Các nhiệm vụ Giải tích số: Xấp xỉ hàm số: Thay hàm có dạng phức tạp hàm cho dạng bảng hàm số đơn giản Lý thuyết xấp xỉ hàm số thường nghiên cứu toán nội suy, toán xấp xỉ đều, xấp xỉ trung bình phương Giải gần phương trình: Phương trình đại số siêu việt, hệ phương trình đại số tuyến tính, hệ phương trình phi tuyến, toán tìm vector riêng, giá trị riêng ma trận, giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân phương trình vi tích phân Giải gần toán tối ưu: Quy hoạch tuyến tính, quy hoạch lồi, quy hoạch toàn phương, quy hoạch nguyên, điều khiển tối ưu, trò chơi vi phân… Sự khác biệt toán lý thuyết toán học tính toán (toán tính) Như nói toán học chia thành hai lĩnh vực là: toán lý thuyết toán học tính toán Nếu toán lý thuyết quan tâm đến chứng minh tồn nghiệm, khảo sát dáng điệu số tính chất định tính nghiệm toán học tính toán đề xuất thuật toán giải máy Giải tích số đặc biệt quan tâm đến vấn đề: thời gian máy, nhớ cần sử dụng để giải toán, tốc độ hội tụ ổn định thuật toán Phân biệt toán lý thuyết toán học tính toán thông qua số ví dụ sau: Ví dụ 1: cho hệ phương trình đại số tuyến tính: Ax = b (1.1) Trong đó: A ma trận vuông cấp n  n b vector n - chiều detA  Về nguyên tắc giải hệ (1.1) theo quy tắc Cramer: xi  i  (i= 1, n ) (1.2) Trong đó:   det A  i định thức ma trận nhận từ A cách thay cột thứ cột b Để tìm nghiệm theo (1.2) ta phải tính (n + 1) định thức Mỗi định thức có n! số hạng Mỗi số hạng có n thừa số, để tính số hạng cần phải thực (n - 1) phép nhân Như vậy, riêng số phép nhân phải thực (1.2) n!(n+1)(n-1) Giả sử n=20 (vì thực tế ta phải giải hệ (1.1) cho n = O( 10 )) máy tính ta thực 10 phép nhân giây Khi để thực hết phép nhân theo (1.2) phải 3 108 năm n   Ví dụ 2: Xét hệ (1.1) với ma trận Hillbert A    thường gặp  i  j   i , j 1 toán xấp xỉ trung bình phương đa thức đại số Ma trận A khả nghịch A -1  (aij ) đó: aij   1 C ni 1i1C nnij 1C ii1j  C nj i j Tuy nhiên việc giải số hệ thách thức người làm ứng dụng Để thấy khó khăn việc giải số hệ (1.1) với ma trận Hillbert ta xét trường hợp đơn gian với n = Ta có hệ: / 1/  1   1 / / /  1 / / /     x1     x2  = x   3 11 /    13 / 12   47 / 60    Nghiệm (1.3) x *  (1,1,1)T Nếu thay 1/3  0.333 tìm nghiệm theo phương pháp số tốt nhất, ta  x  (1.090,0.4880,1.494) T kết hoàn toàn không xác Nguyên nhân ma trận Hillbert điều kiện xấu Khi n >> 1, cond(A)= O(e n ) Ví dụ 3: Xét hệ (1.1) với ma trận A = diag(0.1, 0.1, , 0.1) n = 100 Khi detA = 10100  theo quan điểm lý thuyết ma trận A hầu suy biến Thực hoàn toàn vậy, A 1 = 10.E, E ma trận đơn vị Trong toán học tính toán, người ta dùng đặc trưng khác, gọi số điều kiện cond(A) A để kiểm tra tính suy biến Nếu cond(A) lớn ma trận A gần suy biến Trong ví dụ cond(A) = A coi ma trận điều kiện tốt (well conditioned) Ví dụ 4: Giả sử ta cần tính tích phân I n   x n e x 1dx (n  1) Tích phân phần ta 1 I n  x n e x 1  n  x n 1e x 1dx   nI n 1 0 Ngoài 1 I   xe x 1 dx  xe x 1   e x 1dx  0  0.367879 e Đến đây, người làm lý thuyết cho tính I n theo công thức truy hồi I n   nI n 1 ; I1   0.367879 Thực e I  0.068480 , kết hoàn toàn không xác n, I n  Cho dù ta tính e 1 xác đến ta nhận I n  với N đủ lớn Nguyên nhân thiếu xác sai số ban đầu mắc phải tính e 1 nhỏ bị khuyếch đại sau bước Để khắc phục tượng này, ta tính theo công thức truy hồi ngược I n1  n 1 (1  I n ) Để ý  I n   x n dx  ( n  1) 1 Nên lim I n 0 n Nếu cho I 20  sai số mắc phải  20   19  1 Khi  19  với sai số 21 20 1  21 20 Đến I15 sai số  15   10 8 I  0.091623 Thông qua ví dụ ta thấy trình giải số toán, nảy sinh nhiều vấn đề mà lý thuyết không quan tâm không giải Và toán học tính toán đời để nghiên cứu việc giải số toán 1.2 Quan hệ toán học tính toán công nghệ thông tin Để giải số toán thực tế, người ta phải thực công đoạn trình mô số sau: Xây dựng mô hình toán học toán thực tế Phân tích mô hình: Tính tương thích mô hình với tượng thực tế Vấn đề tồn lời giải Phương hướng tính toán Rời rạc hoá mô hình: Thường sử dụng phương pháp sai phân, phần tử hữu hạn… để quy toán liên tục toán rời rạc Xây dựng thuật toán: Ở giai đoạn người ta ý đến vấn đề độ phức tạp thuật toán, tính hội tụ, ổn định phương pháp giải toán Cài đặt khai thác công nghệ thông tin Giữa toán tính tin học có mối liên hệ mật thiết với tác động qua lại Do việc tăng tốc độ tính toán máy gặp nhiều khó khăn kỹ thuật, đòi hỏi chi phí cao, nên để tính toán nhanh người ta thiên cải tiến phương pháp giải toán Từ xuất phép biến đổi nhanh Fourier, thuật toán song song…Cùng với đời siêu máy tính: Máy tính song song, máy tính vector…, xuất nhiều phương pháp song song Hiện xu song song hoá diễn tất lĩnh vực Giải tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính, người ta đề xuất phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa như: Kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận… 1.3 Các khái niệm sai số 1.3.1 Sai số tuyệt đối Xét đại lượng A có giá trị gần a Khi ta nói “a xấp xỉ A” viết “a  A” Trị tuyệt đối a  A gọi sai số tuyệt đối a (xem giá trị gần A) Vì nói chung ta số A, nên không tính sai số tuyệt đối a Do ta tìm cách ước lượng sai số số dương  a lớn a  A : a  A  a Số dương  a gọi sai số tuyệt đối giới hạn a Rõ ràng  a sai số tuyệt đối giới hạn a số    a xem sai số tới hạn a Vì điều kiện cụ thể người ta chọn  a số dương bé thỏa mãn Nếu số xấp xỉ a A có sai số tuyệt đối giới hạn  a ta qui ước viết: A = a  a Nghĩa là: a  a  A  a  a 1.3.2 Sai số tương đối Tỉ số:  a  a gọi sai số tương đối giới hạn a Suy ra:  a | a |  a Từ a ta có liên hệ sai số tương đối sai số tuyệt đối Biết  a tính  a , ngược lại Ta viết: A = a(1   a ) Trong thực tế người ta xem  a sai số tuyệt đối,  a sai số tương đối Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ “chất lượng” số xấp xỉ, mà phản ánh qua sai số tương đối Ví dụ đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta a = 10cm, b =2cm với a  b  0.05 Khi ta có a  0.01 0.01  0.1% , b   1% hay b  10a Hiển nhiên 10 phép đo a xác hẳn phép đo b a  b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối Trong tính toán ta thường gặp loại sai số sau: a) Sai số giả thiết – mô hình hoá, lý tưởng hoá toán thực tế Sai số không loại trừ b) Sai số phương pháp – Các toán thường gặp phức tạp, giải mà phải sử dụng phương pháp gần c) Sai số số liệu – Các số liệu thường thu thực nghiệm có sai số d) Sai số tính toán – Các số vốn có sai số, thêm sai số thu gọn nên tính toán xuất sai số tính toán 1.4 Một số khái niệm giải tích hàm 1.4.1 Không gian metric Hàm số d đưa cặp phần tử {x,y} tập X vào R gọi khoảng cách hay metric với x, y, z  X ta có: a) d(x,y)  Dấu xảy x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,z)  d(x,y) + d(y,z) (bất đẳng thức tam giác) Cặp (X,d) gồm tập X, metric d xác định X gọi không gian metric Có thể dùng ký hiệu X để không gian metric (X,d) Với x   cố định, tập S ( x0 , R ) : x   : d ( x, x0 )  R gọi hình cầu mở tâm x0 , bán kính R Tương tự tập S ( x0 , R ) : x   : d ( x, x0 )  R S ( x0 , R ) : x   : d ( x, x0 )  R gọi hình cầu đóng mặt cầu tâm x0 , bán kính R Ta nói dãy xn    hội tụ đến phần tử x   (ký hiệu: x n  x ) d ( x n , x)  ( n   ) Ánh xạ A đưa không gian metric X vào không gian metric Y liên tục điểm x   dãy x n  x suy A( xn )  A( x) Dãy xn  dãy Cauchy hay dãy nếu:   N ( ) n , m  N ( ) d ( xn , x m )   Không gian metric X đầy đủ dãy hội tụ đến phần tử thuộc X Ánh xạ A đưa không gian metric (X,d) vào gọi ánh xạ co tồn số q  0,1 cho với x, y  X , d ( A( x), A( y ))  qd ( x, y ) Hằng số q gọi hệ số co A Dễ thấy ánh xạ co liên tục Nguyên lý ánh xạ co (Banach): Cho A ánh xạ co không gian metric đủ (X,d) Khi đó: a) Tồn x    cho A( x  )  x  Phần tử x  gọi điểm bất động ánh xạ A 10 Áp dụng giải số toán Giao diện phương pháp Euler giải toán Cauchy: Giải toán Cauchy sau phương pháp Euler y’ = x – y^2 y(0) = [...]... 2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường 2.1 Đặt vấn đề Trong cuộc sống cần giải quyết rất nhiều bài toán thực tế như: Tính diện tích đất đai, tính quỹ đạo sao chổi, đường đi của các tàu buôn trên biển … Các bài toán khoa học kỹ thuật đó thường được quy về vi c tìm nghiệm phương trình vi phân thoả mãn một số điều kiện nào đó như: Điều kiện ban đầu, điều kiện biên…Các phương pháp. .. kiện ban đầu, điều kiện biên…Các phương pháp giải đúng thông thường chỉ áp dụng được cho một lớp rất hẹp các phương trình vi phân Hầu như các phương trình vi phân mô tả các hệ cơ học, lý học, hoá học, sinh học rất phức tạp và không có hy vọng giải đúng Chính vì vậy ta sẽ tiến hành nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân Trong phạm vi của chương này sẽ tập trung đến hai bài toán... Các phương pháp số bao gồm: phương pháp một bước, và phương pháp đa bước Vi c tìm nghiệm thay vì phải tính nhiều hàm mà chỉ cần tính dựa trên một hàm Các phương pháp một bước thông dụng là: Euler, Euler cải biên, phương pháp Runge – Kutta Các phương pháp loại này cho độ chính xác không cao nhưng ít phức tạp Phương pháp  - bước tính y k thông qua y k 1 , , y k  theo (2.3) Các phương pháp đa bước thường. .. của nhiều hàm, tuy nhiên miền áp dụng của chúng khá hẹp Các phương pháp giải tích thông dụng: Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard, phương pháp chuỗi nguyên, phương pháp Newton – Kantorovich, phương pháp tham số bé 16 Các phương pháp số cho phép tìm nghiệm tại các điểm x 0  x1   x n  x Tại xk ta tìm gần đúng giá trị nghiệm của phương trình (2.1a) hay (2.2a) y k  y ( x k ) Giá trị y k tính được...  k 0 k!  2.3 Một số phương pháp số giải phương trình vi phân 2.3.1 Phương pháp sai phân Xét dãy số xn  dạng khai triển của nó là x0 , x1 , x 2 , , x n ,  Định nghĩa 1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(n)  xn với n  Z : n  0,1,2, , n,  (hoặc n  Z  , hoặc n  N ) là hiệu: xn  xn 1  x n Thí dụ, hàm x n cho dưới dạng bảng n 0 1 2 3 4 xn 1 3 4 7 6 Có sai phân hữu hạn cấp... toán giá trị ban đầu): Tìm y(x) thoả mãn điều kiện: y’ = f(x,y) x0  x  x (2.1a) y( x0 )  y 0 ( y, f  R m ) (2.1b) 2) Bài toán biên 2 - điểm, tuyến tính y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (2.2a)  1 y (a)  1 y ' (a)   1 (2.2b)  2 y (b)   2 y' (b)   2 (2.2c) Có hai loại phương pháp giải gần đúng: phương pháp giải tích và phương pháp số Các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm dưới dạng biểu... tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn cấp k là sai phân cấp k, sai phân cấp 1 là sai phân Định nghĩa 2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp 1 của x n , nói chung sai phân cấp k của hàm x n là sai phân của sai phân cấp k – 1 của hàm số đó Sai phân cấp 2 của hàm x n là 2 x n   ( x n )  xn 1  xn  x n 2  x n1  ( xn 1  x n )  x n 2  2 x n1  xn 20 Sai phân cấp... theo phương pháp chuỗi nguyên ta phải tìm giá trị của các hàm tại điểm x0 Runge và Kutta đã đề xuất một phương pháp tìm y1 chỉ bằng một hàm f(x,y) tại một số điểm khác nhau như sau: y1  y 0  y 0 Trong đó: y 0  p r 1 k1 ( h)   p rr k r ( h) i  1, r k i ( h)  hf ( i , i );  i  x0   i h ;  1  0  i  y0   i1 k1 ( h)    i ,i 1k i 1 ( h) ; 11  0 Khi đó ta có sai số của phương pháp. .. chính xác không cao nhưng ít phức tạp Phương pháp  - bước tính y k thông qua y k 1 , , y k  theo (2.3) Các phương pháp đa bước thường dung là: Phương pháp Adams – Bashforth, phương pháp dự báo - hiệu chỉnh 2.2 Một số phương pháp giải tích 2.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard Xét bài toán Cauchy: y’ = f(x,y) x0  x  x (2.1a) y( x0 )  y 0 ( y, f  R m ) (2.1b) Trong đó hàm f(x,y) thoả mãn điều... 1  x n Sai phân cấp k của hàm x n là k k x n  (k 1 x n )  k 1 x n1 k 1 x n   (1) i C ki x n k i i 0 Trong đó C ki  k! i!( k  i)! 2.3.2 Phương pháp một bước Xét bài toán Cauchy (2.1) Thực hiện tìm nghiệm bằng số của (2.1) tại điểm  x1  x0  h với bước h > 0 Theo phương pháp chuỗi nguyên ta có: y1   i 0 y 0( i ) i h i! trong đó y0( i )  y i ( x0 ) Như vậy để tìm nghiệm tại