3 ỨNG DỤNG CỦA DƯỚI VI PHÂN DƯỚI VÀO BÀ
3.3. Thuật toán tìm nghiệm
Bước 1: Lấy x0 ∈ intK (sao cho ∇Q(x0) 6= 0 ). Bước 2: Đặt
x0∗ = N
k∇Q(x0)k∇Q(x0)
là dưới gradient dưới của Q trên K tại x0. Bước 3: Giải bài toán tuyến tính Pk như sau:
min t
t≥ (xj∗
)T(x−xj) +Q(xj);j = 0, ..., k −1
x ∈ K
Khi K là tập compact, bài toán (PK) có nghiệm tối ưu (tk, xk).
Bước 4: Nếu Q(xk) < qk−1 thì đặt qk = Q(xk) và x¯k = xk (Cách khác đặt qk = qk−1 và x¯k = ¯xk−1 )
Nếu qk −tk ≤ ε|tk| với x¯k là tối ưu. Bài toán được giải xong. Nếu không, chọnxk∗ là dưới gradient dưới của Qtạixk, với kxkk ≤
N.
Dãy {tk}k sinh ra bởi thuật toán là không giảm, theo định nghĩa của bài toán (Pk).
Mặt khác khi không có điều kiện dãy {Q(xk)}k là không giảm, ta phải xem xét trong một số lần lặp, ta có ∇Q(xk) = 0.
Trong trường hợp này, ta lấy xk∗ = N
k∇Q(x0)k∇Q(x0)
Khi ∇Q(xk) 6= 0,
xk∗ = N
k∇Q(xk)k∇Q(xk)
được coi như là dưới gradient dưới.
Trong thực tế, nếu ở trong trường hợp đầu tiên, thay vì thêm các ràng buộc t ≥(xk∗)T (x−xk) +Q(xk), thích hợp hơn để hạn chế j = 0
thay đổi, nếu cần thiết, là độc lập(khi hai bất đẳng thức tuyến tính xác định hai nửa không gian con song song).
Áp dụng thuật toán trước đó, ta cần phải biết N là hằng số Lips- chitz của Q trên Φ(K). Ta lấy N = √
2M kAk+kbk, nếu K ⊂ B(0;M)
ta có Φ(K) ⊂B(0;√
2M). Do đó lấy x ∈ Φ(K) ta có
k∇Q(x)k = kAx +bk ≤ kAk.kxk+kbk ≤ √2M kAk+kbk
Mặt khác K là tập compact, tồn tai điểm cực tiểu của Q trên K, và dãy {xk}k có điểm tụ.
Một tính chất quan trọng của dãy {tk}k là với mọi k, tk là cận dưới đúng của Q trên K. Sử dụng kết quả của Plastria ta chứng minh được điểm tụ của dãy {xk}k cực tiểu hóa của Q trên K và dãy {tk}k hội tụ tới giá trị cực tiểu của Q trên K.
Kết luận
Trong chương 3 ta đã trình bày về điều kiện có nghiệm và thuật toán tìm nghiệm của bài toán tối ưu toàn phương bằng cách dùng dưới vi phân dưới của hàm toàn phương.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống các kết quả về dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng của nó vào bài toán tối ưu toàn phương.
Vì khả năng và điều kiện có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh được thiếu sót. Kính mong các thầy cô và các đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn được tốt hơn.
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu, 1999, Giải tích Lipchitz, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.
[2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, 2000, Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[3] M. Avriel, W. E. Diewert, S. Schaible, and I. Zang , 1988, General- ized Concavity, Pleum, New York.
[4] H.P. Greenberg and W. P.Pierskalla , 1973, “Quasiconjugate func- tion and surrogate duality”, Cahiers du Center d’étude de Racherche Opérationnelle 15, 438-447.
[5] J.A. Gromicho, 1998, Quasiconvex Optimization and Local Theory, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, Holland.
[6] D.G. Luenberger, 1968, Quasiconvex programming, SIAM J. Appl. Math. 16, No. 5, 1090-1095.
[7] O.L. Mangasarian, 1969, Nonlinear programming, McGraw–Hill Book Company, New York.
[8] J.E. Martínez – Legaz, S. Romano – Rodríguez, 1993, Lower sub- diffrentiability of quadratic functions, Mathematical Programming 60, 93-113.
[9] J.E. Martínez - Legaz , 1988, “On lower subdifferentiable func- tions," in: Trends in Mathematical Optimization, Proceedings, In- ternational Conference of lrsee, 1986 Birkhauser, Boston, MA, 197- 232.
[10] F. Plastria, 1985, Lower subdifferentiable functions and their min- imization by cutting planes, Journal of Optimization Theory and Applications 46, 37-53.
[11] F. Plastria, 1988, The minimization of lower subditIerentiable func- tions under nonlinear constraints:An all feasible cutting plane al- gorithm, Journal of Optimization Theory and Applications 57, 463 -484.
[12] S. Schaible, 1981, Quasiconvex, pseudoconvex and strictly pseudo- convex quadratic functions, Journal of Optimization Theory and Applications 35, 303-338.