Dưới vi phân của hàm lồi trong không gian banach và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO VĂN PHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kí hiệu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Tập lồi 1.3 Hàm lồi 14 1.3.1 Định nghĩa 14 1.3.2 Các phép toán hàm lồi 18 1.3.3 Tính liên tục hàm lồi 18 1.3.4 Hàm liên hợp 20 Dưới vi phân hàm lồi 2.1 Định nghĩa ví dụ 23 23 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng 25 2.2.1 2.3 Các tính chất 31 Một số ví dụ 41 Ứng dụng vi phân vào nghiên cứu toán tối ưu lồi 48 3.1 Bài toán tối ưu lồi 48 3.2 Bài tốn lồi khơng có ràng buộc 49 3.3 Bài tốn lồi có ràng buộc bao hàm thức 49 3.4 Bài toán với ràng buộc đẳng thức 50 3.5 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức 53 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn bảo tận tình để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Giáo sư trường Đại học Khoa học, Viện Toán học, Đại học Thái Nguyên truyền thụ kiến thức cho tơi suốt q trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để hồn thiện luận văn Hải phịng, ngày 19 tháng năm 2012 Đào Văn Phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Giải tích lồi phận quan trọng giải tích tốn học, nghiên cứu tập lồi hàm lồi Trong giải tích lồi, khái niệm vi phân khái niệm Có thể xem vi phân mở rộng khái niệm đạo hàm Nhiều tác giả nước nghiên cứu thu kết quan trọng vi phân hàm lồi ứng dụng giải tích phi tuyến mơn tốn ứng dụng Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung vi phân hàm lồi không gian Banach số ứng dụng vào lý thuyết tối ưu Luận văn gồm chương Chương trình bày kiến thức tập lồi hàm lồi Chương trình bày vi phân hàm lồi khơng gian Banach Chương trình bày ứng dụng vi phân vào việc nghiên cứu toán tối ưu lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng kí hiệu R Rn R = R ∪ {−∞, +∞} f :D→R δ (x|D) E∗ int A A domf epif f (x) fG (x) f (x; v) ∂f (x) ||.|| |x| x∗ , x KA NA (¯ x) af f A coA f ≤g đường thẳng thực không gian Euclid n - chiều tập số thực suy rộng ánh xạ từ D vào R hàm tập D không gian liên hợp E phần A bao đóng A miền hữu hiệu f đồ thị f đạo hàm Fréchet f x đạo hàm Gâteaux f x đạo hàm theo hướng v f x vi phân f x chuẩn không gian Banach trị tuyệt đối số x giá trị x∗ x nón lồi sinh A nón pháp A x¯ bao lồi affine A bao lồi A f (x) ≤ g(x) với x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm tập lồi không gian Banach hàm lồi khơng gian Banach với tính chất đặc trưng Những kiến thức trình bày chương chọn chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [4], [5], [6], [7], [8] 1.1 Không gian Banach Cho E không gian vectơ trường số R Định nghĩa 1.1 Một chuẩn, kí hiệu || · ||, E ánh xạ từ E vào R thỏa mãn điều kiện: 1) ||x|| ≥ với x ∈ E ; 2) ||x|| = x = θ (θ kí hiệu phần tử khơng); 3) ||λx|| = |λ|||x|| với số λ ∈ R x ∈ E ; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với x, y ∈ E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số ||x|| gọi chuẩn (hay độ dài) vectơ x ∈ E Một không gian vectơ E với chuẩn xác định không gian ấy, gọi không gian định chuẩn Mệnh đề 1.1 Giả sử E không gian định chuẩn Với x, y ∈ E , đặt ρ(x, y) = ||x − y|| Khi đó, ρ metric E Định nghĩa 1.2 Cho E không gian định chuẩn với chuẩn Nếu E với khoảng cách sinh chuẩn E : ρ(x, y) = ||x − y||, không gian metric đầy đủ E gọi khơng gian Banach Nếu khơng có giả thiết thêm, suốt luận văn này, khơng gian Banach kí hiệu E Chuẩn khơng gian Banach ln kí hiệu Định nghĩa 1.3 Cho E không gian định chuẩn với chuẩn Ta gọi ánh xạ tuyến tính x∗ : E → R phiếm hàm tuyến tính xác định E Nếu x∗ ∈ E ∗ x ∈ E giá trị x∗ x kí hiệu x∗ , x , nghĩa x∗ , x = x∗ (x) Dễ dàng kiểm tra rằng, tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục E với phép cộng ánh xạ tuyến tính phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập thành khơng gian tuyến tính thực Ta gọi không gian không gian liên hợp E kí hiệu E ∗ Khơng gian liên hợp E ∗ gọi không gian liên hợp thư hai E kí hiệu E ∗∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 1.1 Khơng gian liên hợp E ∗ E với chuẩn xác định x∗ = sup{ x∗ , y : y ∈ E, y = 0} không gian Banach Tôpô τM sinh metric không gian định chuẩn E ∗ nêu định lý vừa nêu gọi tôpô mạnh E ∗ Định nghĩa 1.4 Tôpô τY E ∗ gọi tôpô yếu hệ thống lân cận của E ∗ tập có dạng ∗ {x∗ ∈ E ∗ : x∗∗ i , x < ε, i = 1, , k}, ∗∗ với i =, , k ε > x∗∗ i ∈E Định nghĩa 1.5 Tơpơ τ ∗ E ∗ gọi tôpô yếu* hệ thống lân cận của E ∗ tập có dạng {x∗ ∈ E ∗ : x∗ , xi < ε, i = 1, , k}, xi ∈ E với i = 1, , k Định nghĩa 1.6 Tập A ⊂ E mà đóng (compact, bị chặn) theo tơ pơ yếu E gọi tập đóng (compact, bị chặn) yếu Tập A đóng (compact, bị chặn) theo tơ pơ yếu* khơng gian liên hợp E ∗ E gọi tập đóng yếu* (compact yếu*, bị chặn yếu*) 1.2 Tập lồi Giả sử E không gian Banach, R tập số thực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.7 Tập A ⊂ E gọi lồi, ∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ ⇒ λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A Ví dụ 1.1 Cả khơng gian E tập lồi Tập A = ∅ tập lồi Mệnh đề 1.2 Giả Aα ⊂ E (α ∈ I) tập lồi, với I tập số Khi A = Aα lồi α∈I Mệnh đề 1.3 Giả sử tập Ai ⊂ E lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1 A1 + + λm Am tập lồi Mệnh đề 1.4 Giả sử Ei không gian Banach, tập Ai ⊂ Ei lồi (i = 1, 2, , m) Khi tích Đềcác A1 × × Am tập lồi E1 × × Em Mệnh đề 1.5 Giả sử E1 , E2 không gian Banach, T : E1 → E2 tốn tử tuyến tính Khi đó, a) A ⊂ E1 lồi T (A) lồi; b) B ⊂ E2 lồi nghịch ảnh T −1 (B) B tập lồi Định nghĩa 1.8 Véc tơ x ∈ E gọi tổ hợp lồi véctơ m x1 , , xm thuộc E , ∃λi ≥ λi = cho (i = 1, 2, , m) , i=1 m x= λi xi i=1 Định lí 1.2 Giả sử tập A ⊂ E lồi; x1 , , xm ∈ A Khi A chứa tất tổ hợp lồi x1 , , xm Định nghĩa 1.9 Giả sử A ⊂ E Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi (convex hull) tập A, kí hiệu coA Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Vậy ∂f (0) = {y : |y1 | + |y2 | ≤ 1} Ví dụ Giả sử K1 , , Kn nón lồi mở, có tương giao khác rỗng Chứng minh ∗ n Ki n Ki∗ = i=1 i=1 Giải: Theo định lí Moreau - Rockafellar, ta có ∗ n Ki n = −∂δ n Ki i=1 (0) = −∂ i=1 δKi (0) i=1 n n =− Ki∗ ∂δKi (0) = i=1 i=1 Ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho K1 , , Kn , Kn+1 nón lồi, Ki mở n+1 Ki = ∅ tồn phiếm hàm (i = 1, 2, n) Khi i=1 x∗i ∈ Ki∗ , i = 1, 2, n + không đồng thời 0, cho x∗1 + x∗2 + + x∗n+1 = Giải: a Điều kiện cần n Ki = ∅ Khi K nón Khơng giảm tính tổng quát, giả sử K = i=1 lồi mở, khơng giao với Kn+1 Theo định lí tách, tồn phiếm hàm tuyến tính y ∗ ∈ X ∗ cho inf y ∗ , x ≥ sup x∈K y∗, x x∈Kn+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 ∗ Nghĩa y ∗ ∈ K ∗ −y ∗ ∈ Kn+1 (điểm x = điểm giới hạn K Kn+1 ) Ta khai triển y ∗ thành tổng n ∗ x∗i , x∗i ∈ Ki∗ , i = 1, n y = i=1 Kí hiệu −y ∗ qua x∗n+1 , ta điều phải chứng minh b Điều kiện đủ Giả sử tồn x∗i ∈ Ki∗ , i = 1, n + không đồng thời 0, n+1 i=1 x∗i n+1 = 0, tồn x ∈ Ki , x = i=1 Giả sử x∗i0 = 0, (1 ≤ i0 ≤ n) Khi x ∈ intKi ⇒ x∗i0 , x > nghĩa n x∗i0 , x > 0= i=1 Ta có điều phải chứng minh Kết luận Chương trình bày khái niệm vi phân hàm lồi không gian Banach tính chất vi phân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Chương Ứng dụng vi phân vào nghiên cứu toán tối ưu lồi Chương trình bày số ứng dụng vi phân hàm lồi trình bày chương vào nghiên cứu số toán tối ưu lồi Những nội dung trình bày chủ yếu lấy từ tài liệu [2], [5] 3.1 Bài toán tối ưu lồi Định nghĩa 3.1 Giả sử E không gian Banach, hàm f lồi xác định E , X ⊂ E tập lồi Xét toán (P ) {f (x) : x ∈ X} Hàm f gọi hàm mục tiêu, tập X gọi tập ràng buộc tốn (P ) Nếu X = E tốn (P ) gọi tốn khơng có ràng buộc a) Điểm x ∈ X gọi điểm chấp nhận (P ) b) Điểm x ∈ X gọi cực tiểu địa phương toán (P ), tồn lân cận mở U x E cho: f (x) ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 f (x) (∀x ∈ X ∩ U ) c) Điểm x ∈ X gọi cực tiểu toàn cục (nghiệm tối ưu) toán (P ), nếu: f (x) ≤ f (x) (∀x ∈ X) 3.2 Bài tốn lồi khơng có ràng buộc Xét tốn khơng có ràng buộc (P1 ) (P1 ) {f (x) : x ∈ E} , f hàm lồi Định lí 3.1 (Định lý Fermat cho toán lồi) Bài toán (P1 ) có nghiệm tối ưu tồn cục x0 ∈ ∂f (x0 ) Chứng minh Ta có x0 nghiệm tối ưu toán (P1 ) f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ E Tức f (x) − f (x0 ) ≥ 0, x − x0 ∀x ∈ E Điều tương đương với ∈ ∂f (x0 ) Định lý chứng minh 3.3 Bài tốn lồi có ràng buộc bao hàm thức Xét toán (P2 ) (P2 ) {f (x) : x ∈ A} , f hàm lồi, A ⊂ E tập lồi, A = E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Định lí 3.2 Giả sử f liên tục x0 ∈ A Khi x0 nghiệm (tồn cục) toán (P2 ) ∈ ∂f (x0 ) + ∂(δ(x0 |A)), điều tương đương với ∃y ∗ ∈ ∂f (x0 ) : −y ∗ ∈ NA (x0 ) Chứng minh Theo định lý Moreau-Rockafellar ta có ∂(f (x0 ) + δ(x0 |A)) = ∂f (x0 ) + ∂(δ(x0 |A)) Như chương 2, (Ví dụ 2.3) ∂(δ(x0 |A)) = NA (x0 ) Vì g(x) = f (x) + δ(x|A) hàm lồi nên xét toán (P2 ) cách thay f g tập nghiệm tối ưu khơng thay đổi Điều phải chứng minh suy từ định lý Fermat cho toán lồi Hệ 3.1 Cho y ∗ ∈ E∗ A ⊂ E tập lồi Điều kiện cần đủ để x0 nghiệm tối ưu toán y ∗ , x : x ∈ A −y ∈ NA (x0 ) 3.4 Bài toán với ràng buộc đẳng thức Giả sử f hàm lồi E , C tập affine E song song với không gian V E , nghĩa C = a + V, a ∈ V Xét toán: (P3 ) {f (x) : x ∈ C} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Có thể xem định lý sau hệ Định lý 3.2 áp dụng cho NA (x0 ) = V ⊥ Để cho đầy đủ ta trình bày chứng minh cách độc lập Định lí 3.3 i) Giả sử f liên tục điểm C, x nghiệm tốn (P3 ) Khi đó, ∂f (x) ∩ V ⊥ = ∅ (3.1) ii) Giả sử (3.1) x ∈ C Khi đó, x nghiệm tốn (P3 ) Chứng minh Ta có V ⊥ = {x∗ ∈ E : x∗ , x = 0, ∀x ∈ V } i) Xét hàm L (x) = f (x) + δ (x |C ) , δ (x |C ) hàm tập C Khi đó, L(.) hàm lồi E Ta thấy x nghiệm toán (P3 ) hàm L(.) đạt cực tiểu x Theo định lí 3.1, ∈ ∂L (x) Do f liên tục, áp dụng định lí Moreau - Rockfellar, ta có ∈ ∂L (x) = ∂f (x) + ∂δ (x |C ) Mặt khác, ta lại có ∂δ (¯ x |C ) = NC (¯ x) = V ⊥ , đó, ta có (3.1) ii) Giả sử (3.1) x ∈ C Khi đó, ∃x∗ ∈ ∂f (x) ∩ L⊥ Vì với x ∈ C, x − x ∈ V , = x∗ , x − x ≤ f (x) − f (x) (∀x ∈ C) Do x nghiệm tốn (P3 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Định lí 3.4 Cho E không gian Banach, x∗i ∈ E ∗ , αi ∈ R, (i = 1, , m) C = {x ∈ E : x∗i , x = αi , i = 1, , m} Giả sử f hàm lồi E liên tục điểm V Khi x đạt cực tiểu hàm f C tồn λi ∈ R (i = 1, , m) cho λ1 x∗1 + + λm x∗m ∈ ∂f (x) Để chứng minh định lí trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau đây: Bổ đề 3.1 Cho E không gian Banach, x∗i ∈ E ∗ , αi ∈ R (i = 1, , m), đặt V = {x ∈ E : x∗i , x = 0, i = 1, , m} Khi V = lin {x∗1 , , x∗m } , lin kí hiệu bao tuyến tính Chứng minh Khơng tính tổng quát, giả sử x∗1 , , x∗m độc lập tuyến tính Xét tốn tử T : E → Rm x → T x = ( x∗1 , x , , x∗m , x ) Khi ImT = Rm Theo kết giải tích hàm, (KerT )⊥ = ImA∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Ta lại có (KerT )⊥ = V ⊥ , ImT ∗ = lin {x∗1 , , x∗m } Từ suy V = lin {x∗1 , , x∗m } Chứng minh định lí 3.4 Tập affine C song song với không gian V V = {x ∈ E : x∗i , x = 0, i = 1, , m} Từ định lí 3.3 suy x đạt cực tiểu hàm f C ∃x∗ ∈ ∂f (x) ∩ V ⊥ Theo bổ đề 3.1, x∗ ∈ V ⊥ = lin {x∗1 , , x∗m } Do đó, tồn số λ1 , , λm cho λ1 x∗1 + + λm x∗m ∈ ∂f (x) 3.5 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức Cho E không gian Banach, f0 , , fm hàm hữu hạn E , tập A ⊂ E Xét toán   f0 (x) , (P4 ) f (x) ≤ 0, i = 1, , m  i x ∈ A Xét hàm số Lagrange toán (P4 ) m L (x; λ0 , , λm ) = λi fi (x) i=0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Định lí 3.5 (Định lí Kuhn - Tucker) Giả sử hàm số f0 , , fm hàm lồi A tập lồi khác rỗng; điểm x điểm chấp nhận tốn (P4 ) Khi đó, i) Nếu x nghiệm tốn (P4 ) tồn nhân tử Lagrange λi ≥ (i = 1, , m) cho chúng không đồng thời thỏa mãn điều kiên Kuhn-Tucker: L (x; λ0 , , λm ) = L (x; λ0 , , λm ) , x∈A (3.2) điều kiện bù λi fi (x) = (i = 1, , m) (3.3) Nếu thêm vào điều kiện Slater: ∃x0 ∈ A : fi (x0 ) < (i = 1, , m) thỏa mãn λ0 > xem λ0 = ii) Nếu (3.2) (3.3) thỏa mãn với λ0 = 1, x nghiệm toán (P4 ) Chứng minh i) Giả sử x nghiệm toán (P4 ) Đặt C = (µ0 , , µm ) ∈ Rm+1 : (∃x ∈ A) , fi (x) − fi (x) < µi , i = 0, , m Ta chứng minh intRm+1 ⊂ C + Thật vậy, lấy (µ0 , , µm ) ∈ intRm+1 + Khi đó, µi > (i = 0, , m) Với x = x, ta có: µ0 > f0 (x) − f0 (x) = µi > ≥ −fi (x) (i = 1, , m) Từ điều trên, suy intRm+1 ⊂ C + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Vậy intC = ∅ Vì f0 , , fm lồi, nên tập C lồi Hơn thế, ∈ / C Thật vậy, ∈ C ∃x ∈ A thỏa mãn f0 (x) < f0 (x) , fi ≤ (i = 1, , m) / C Do đó, x không nghiệm (P4 ), mâu thuẫn với giả thiết Vậy ∈ Theo định lí 1.7 , tách tập C {0} phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức tồn số λ0 , , λm không đồng thời 0, cho m λi µ i ≥ (∀ (µ0 , , µm ) ∈ C) (3.4) i=0 m+1 Do intR+ ⊂ C , ta suy λi ≥ (i = 0, , m) Lấy x ∈ A, µi = fi (x) (i = 1, , m) , µ0 = f0 (x) − f0 (x) + ε, Từ (3.4) ta nhận m λi fi (x) ≥ λ0 f0 (x) (∀x ∈ A) (3.5) i=1 Do x điểm chấp nhận được, ta có fi (x) ≤ (i = 1, , m) Nếu ∃i ∈ {1, m} : fi (x) = −α < với i đó, ∀ε > ta có = f0 (x) − f0 (x) < ε, fj (x) ≤ < ε (j = 1, , i − 1, i + 1, , m) Do (ε, , ε, −α, ε, , ε) ∈ C (−α vị trí thứ i) kết với (3.4) ε → ta có −λi α ≥ Từ suy λi = fi (¯ x) < Vì vậy, fi (¯ x) < 0, λi = Do λi fi (¯ x) = (i = 1, , m) Điều kiện (3.5) cho ta m m λi fi (x) ≥ i=0 λi fi (x) i=0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Từ suy L (x; λ0 , , λm ) = L (x; λ0 , , λm ) x∈A Giả sử điều kiện Slater thỏa mãn Ta khẳng định λ0 = Thật vậy, nhưλ0 = 0, số λ1 , , λm phải có λi > Do m m λi fi (x) < = i=1 λi fi (x) i=0 Điều mâu thuẫn với (3.2) Vậy λ0 = 0, tức λ0 > ii) Giả sử x điểm chấp nhận toán (3.2), (3.3), với λ0 = 1, λi ≥ (i = 1, , m) Lấy x chấp nhận tùy ý, tức x ∈ A, fi (x) ≤ (i = 1, , m) Khi đó, m m λi fi (x) ≤ f0 (x) + f0 (x) = f0 (x) + i=1 λi fi (x) ≤ f0 (x) i=1 Vậy x nghiệm toán (P4 ) Định lí 3.6 Giả sử hàm f0 , f1 , , fm lồi tập A lồi; f0 , f1 , , fm liên tục điểm A, x điểm chấp nhận toán (P4 ) Khi đó, i) Nếu x nghiệm tốn (P4 ), tồn nhân tử Lagrange không đồng thời 0: λi ≥ (i = 0, , m), cho: ∈ λ0 ∂f0 (x) + + λm ∂fm (x) + NA (¯ x), λi fi (x) = (i = 1, , m) , (3.6) (3.7) NA (¯ x) nón pháp A x Thêm vào đó, điều kiện Slater đúng, λ0 = xem λ0 = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 ii) Nếu (3.6) (3.7) thỏa mãn với λ0 = 1, x nghiệm tốn (P4 ) Chứng minh i) Xét hàm Lagrange (P4 ) có dạng m λi fi (x) + δ (x |A) L1 (x; λ0 , , λm ) = i=0 δ ( |A) hàm tập A Do x nghiệm (P4 ) ta có điều kiện cần (3.2), (3.3) (định lí 3.3) Vì thế, hàm L1 (x; λ0 , , λm ) đạt cực tiểu x Theo Định lý 3.1, ∈ ∂L1 (x; λ0 , , λm ) Bởi ∂δ (x |A) = NA (¯ x), theo định lí Moreau - Rockafellar, ta có x) ∈ λ0 ∂f0 (x) + + λm ∂fm f (x) + NA (¯ ii) Giả sử (3.6) (3.7) thỏa mãn với λ0 = Khi đó, tồn x∗i ∈ ∂fi (¯ x) (i = 0, , m) , ⇒0= x∗0 + m+1 m i=1 x∗m+1 λi x∗i , x − x ∈ NA (¯ x) cho i=1 m+1 + i=1 λi x∗i = m ≤ f0 (x)−f0 (x)+ λi (fi (x) − fi (x)) (∀x ∈ A) i=1 m λi fi (x) ≥ f0 (x) + ⇒ f0 (x) + x∗0 (∀x ∈ A) λi fi (x) i=1 Từ định lí (3.3b), suy x nghiệm (P4 ) Kết luận Chương trình bày ứng dụng vi phân hàm lồi không gian Banach vào việc khảo sát toán tối ưu lồi số trường hợp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Kết luận Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung sau: Khái niệm vi phân hàm lồi tính chất vi phân hàm lồi không gian Banach Một số ứng dụng vi phân hàm lồi vào nghiên cứu tốn tối ưu lồi khơng gian Banach Vì khả điều kiện có hạn, luận văn chắn khơng thể tránh thiếu sót Kính mong thầy đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn tốt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Haim Brezis (2005), Giải tích hàm: lý thuyết ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP HCM [2] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Nhà xuất Đại học Khoa học Huế [3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2009), Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật công nghệ [4] Cônmôgôrốp A N., Fômin X V (1971), Cơ sở Lý thuyết hàm giải tích hàm, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà nội Tài liệu tiếng Anh [6] Clarke F H (1983), Optimization and nonsmooth analysis, Wiley [7] Ekeland I and Témam R (1976), Convex Analysis and Variational Problems, Study in Math and its applications, North-Holand American Elsevier, New York Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 [8] Phelps R R (1993), Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Second Edition, Springer, Berlin Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... thu kết quan trọng vi phân hàm lồi ứng dụng giải tích phi tuyến mơn tốn ứng dụng Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung vi phân hàm lồi không gian Banach số ứng dụng vào lý thuyết tối ưu... Chương trình bày kiến thức tập lồi hàm lồi Chương trình bày vi phân hàm lồi khơng gian Banach Chương trình bày ứng dụng vi phân vào vi? ??c nghiên cứu tốn tối ưu lồi Số hóa Trung tâm Học liệu –... http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Chương Dưới vi phân hàm lồi Trong chương nghiên cứu vi phân hàm lồi không gian Banach E Những nội dung chương chủ yếu lấy từ [2], [5], [6], [7], [8] 2.1 Định nghĩa ví dụ Trong mục ta ln