Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH CHANG CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH CHANG CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 1-2 Chƣơng Hàm lồi hàm lồi suy rộng .3 1.1 Một số khái niệm hàm lồi hàm lồi suy rộng 1.2 Một số đặc trưng hàm lồi hàm lồi suy rộng 10 1.3 Đặc trưng hàm lồi hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hướng 23 1.4 Đặc trưng hàm lồi hàm lồi suy rộng qua vi phân .37 Chƣơng Đặc trƣng hàm lồi qua dƣới vi phân Frechet dƣới vi phân Mordukhovich 40 2.1 Một số định nghĩa 41 2.2 Điều kiện cần cấp hai .46 2.3 Điều kiện đủ cấp hai 48 2.4 Đặc trưng hàm lồi mạnh 57 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo .62 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Giải tích lồi với tảng tập lồi hàm lồi nghiên cứu triển khai ứng dụng vào toán tối ưu hóa, tốn kinh tế quản lí, từ năm 70 kỉ trước Nhiều nghiên cứu lí thuyết ứng dụng dẫn tới nhu cầu mở rộng khái niệm hàm lồi Nhiều lớp hàm lồi suy rộng (tựa lồi, giả lồi, ) Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar, nghiên cứu cách 50 năm Ngày nay, đặc trưng nghiên cứu tính chất lớp hàm lồi, mối liên quan tính lồi với tính đơn điệu đạo hàm (suy rộng) bậc tính xác định dương đạo hàm (suy rộng) bậc hai nhà toán học giới Việt Nam quan tâm mạnh mẽ Các hàm số gặp tốn ứng dụng nói chung thường có dạng phức tạp, thường khơng khả vi Điều dẫn tới phải mở rộng khái niệm đạo hàm Các đạo hàm suy rộng thường gặp đạo hàm theo hướng, đạo hàm Dini, vi phân Clark, vi phân Rockaffelar, vi phân Frechet, vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng công cụ tốt để nghiên cứu nhiều vấn đề giải tích ứng dụng, có đặc trưng hàm lồi Luận văn Các đặc trưng hàm lồi hàm lồi suy rộng có mục đích trình bày tổng quan đặc trưng hàm lồi (thơng qua tính chất hình học giải tích, thơng qua đạo hàm vi phân suy rộng, ) Nội dung Luận văn gồm hai chương Chương Hàm lồi hàm lồi suy rộng Chương trình bày định nghĩa lớp hàm lồi hàm lồi suy rộng quan hệ chúng Trình bày tổng quan đặc trưng hàm lồi hàm lồi suy rộng thông qua tính chất giải tích hình học Đặc biệt trình bày Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đặc trưng hàm lồi thông qua công cụ đạo hàm (gradien, Hessian, gradient suy rộng, đạo hàm theo hướng, ) Chương Đặc trưng hàm lồi qua vi phân Frechet vi phân Mordukhovich Một hướng mở rộng tự nhiên hữu hiệu khái niệm đạo hàm khái niệm đối đạo hàm vi phân Mordukhovich Gần đây, nhóm nghiên cứu Giáo sư Nguyễn Đơng n sử dụng thành công khái niệm vi phân Mordukhovich cấp hai để đặc trưng hàm lồi hàm lồi mạnh Chương hai trình bày đặc trưng dựa hai báo [10] [11] Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS-TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy hướng dẫn Tác giả xin cám ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học Thầy cô giáo tham gia giảng dạy hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học Toán K3 Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Để hoàn thành luận văn này, tác giả tập trung học tập nghiên cứu cách nghiêm túc suốt khóa học Tuy nhiên, hạn chế thời gian, trình độ hiểu biết nên q trình thực khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo thầy giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2011 Nguyễn Thị Quỳnh Chang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG 1.1 Một số khái niệm hàm lồi hàm lồi suy rộng 1.1.1 Tập lồi Tập S   n gọi tập lồi S chứa đoạn thẳng nối hai điểm nó, tức với x1, x2  S  x1  (1   ) x2  S với  0,1 1.1.2 Hàm nửa liên tục dƣới Hàm f : S   gọi nửa liên tục x  S   n lim inf f ( xn )  f ( x) xn  x với dãy xn   S hội tụ đến x Điều tương đương với: với   tồn   cho f ( x)  f ( x0 )   với x  B( x0 , )  S Nếu f nửa liên tục điểm x  S ta nói f hàm nửa liên tục S 1.1.3 Hàm lồi Định nghĩa 1.1 Hàm f xác định tập lồi S   n gọi hàm lồi (convex function) S f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) với x1, x2  S 1.1.4 Hàm lồi chặt Định nghĩa 1.2 Hàm f gọi lồi chặt (strictly convex) tập lồi S   n f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) với x1, x2  S    0,1 Hàm f gọi hàm lõm (lõm chặt)  f lồi (lồi chặt) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm tuyến tính f ( x) : aT x  c, với a   n vectơ c số, thỏa mãn đẳng thức f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) nên vừa hàm lồi vừa hàm lõm nói chung khơng phải hàm lồi chặt lõm chặt Thí dụ, hàm f ( x )  c tuyến tính, vừa lồi vừa lõm hàm lồi chặt hàm lõm chặt f ( x) f ( x2 )  f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1  (1   ) x2 ) x1  x  (1   ) x x2 x Hình 1.1 Hàm lồi f ( x) f ( x2 ) f ( x1  (1   ) x2 ) f ( x1 ) x1  f ( x1 )  (1   ) f ( x2 )  x1  (1   ) x2 x2 x Hình 1.2 Hàm lõm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.5 Hàm tựa lồi Định nghĩa 1.3 Cho hàm f xác định tập lồi S   n Hàm f gọi tựa lồi (quasiconvex) S nếu: Với x1, x2  S , f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1  (1   ) x2 )  f ( x2 ) với  0,1 (1.1) hay: Với x1, x2  S , f ( x1  (1   ) x2 )  max  f ( x1 ), f ( x2 ) với  0,1 Hàm f gọi tựa lõm (quasiconcave)  f tựa lồi hay với cặp x1, x2  S f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1 )  f ( x1  (1   ) x2 ) với  0,1 1.1.6 Hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) Định nghĩa 1.4 Hàm f xác định tập lồi S   n gọi hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) S f ( x1  (1   ) x2 )  max{ f ( x1 ), f ( x2 )} với x1, x2  S , x1  x2 ,    0,1 Điều tương đương với f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1  (1   ) x2 )  f ( x2 ) với    0,1 Hàm f gọi tựa lõm chặt  f tựa lồi chặt hay f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1  (1   ) x2 )  f ( x2 ) với    0,1 Định lý 1.1 (Mối liên hệ hàm tựa lồi chặt hàm tựa lồi) Cho f hàm xác định tập lồi S   n Nếu f tựa lồi chặt S f tựa lồi S Điều ngược lại nói chung khơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Vì f hàm tựa lồi chặt nên theo định nghĩa ta có f ( x1  (1   ) x2 )  max{ f ( x1 ), f ( x2 )} với x1  x2 Suy f ( x1  (1   ) x2 )  max  f ( x1 ), f ( x2 ) với x1  x2  0,1 Trường hợp x1  x2 hiển nhiên Chiều ngược lại khơng ví dụ sau Ví dụ 1.1 Xét hàm số x  , x  0; f ( x)   x 0, x   Dễ thấy f hàm tựa lồi, không tựa lồi chặt 1.1.7 Hàm nửa tựa lồi chặt (semistrict quasiconvex) Định nghĩa 1.5 Hàm f xác định tập lồi S   n gọi hàm nửa tựa lồi chặt (semistrictly quasiconvex) S với x1, x2  S mà f ( x1 )  f ( x2 ) f ( x1  (1   ) x2 )  max  f ( x1 ), f ( x2 ) với    0,1 Điều tương đương với: với x1, x2  S mà f ( x1 )  f ( x2 ) f ( x1 )  f ( x2  (1   ) x1 ) (1.2) với    0,1 Hàm f gọi nửa tựa lõm chặt  f nửa tựa lồi chặt, tức với x1, x2  S mà f ( x1 )  f ( x2 ) f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 ), f ( x2 ) với    0,1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mối liên hệ hàm nửa tựa lồi chặt hàm tựa lồi 1) Không phải hàm nửa tựa lồi chặt hàm tựa lồi Ví dụ 1.2 Cho hàm f xác định  : 1, x  0; f ( x)   0, x  Hàm f hàm nửa tựa lồi chặt  với x1, x2  S mà f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1 )  0, f ( x2 )  (do f ( x ) nhận hai giá trị 1), x1  0, x2  Với    0,1 ta có x   x1  (1   ) x2   x1   f ( x )   f ( x2 ) Tuy nhiên hàm f khơng tựa lồi với x1  a, x2  a, a  ta có 1 f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1  x2 )  f (0)   f ( x2 ) 2 2) Hàm tựa lồi khơng phải hàm nửa tựa lồi chặt  x,  x  1; Ví dụ 1.3 Hàm f ( x)   1,  x  Hàm f hàm không giảm nên hàm tựa lồi tập S  0;2   Nó khơng phải hàm nửa tựa lồi chặt f (0)   f (2)  1 f [  (1  ).2]  f ( )   f (2) (không nhỏ f (2) ) 4 3) Tuy nhiên thêm điều kiện f nửa liên tục S hàm nửa tựa lồi chặt hàm tựa lồi S Ta có định lý sau Định lý 1.2 (Mối liên hệ hàm nửa tựa lồi chặt hàm tựa lồi) Cho f hàm xác định tập lồi S   n nửa liên tục S Khi f nửa tựa lồi chặt f hàm tựa lồi S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét fv (u)   M v (u) v k V Ta tìm cho  ( M v )  b  a Thật vậy, theo định lý Fubini (xem [8, định lý 7.8]) k (  v)( M )    n f (u, v)d (  v)(u, v)   dv(v)  f v (u )d  (u ) V U   dv(v)  d  (u )    ( M v )dv(v) V Mv V  b  a v(V )  k 1n b  a Như vậy, theo (2.3), bất đẳng thức cuối phải thỏa mãn đẳng thức Vì  (M v )  b  a với v V nên  (M v )  b  a với hầu hết v V Đặt ak : (1, vk ) bk : (1  b  a , v k ) Khi  ({t   0,1 : a k  t (b k  a k )  0})   ({t   0,1 :  (a1  t b  a , v k )   0})  ba 1  ( M v )  k Điều dẫn đến  ({t  0,1 : a k  t (bk  a k ) 0})  Hơn nữa, v k V   ,   k 1    n ,  n  k 1  , ta có lim vk  ( , ,  n ) k  Do a k  a b k  b Ta nói hàm  :  n   hàm C 1,1  khả vi Frechet đạo hàm  (.) Lipschitz địa phương Lớp hàm C 1,1 bao gồm lớp hàm C Hàm  ( x)  x x C 1,1  , khơng phải hàm C Kết hợp với Nhận xét 2.2, Mệnh đề tính chất nửa xác định dương ánh xạ vi phân Frechet cấp hai cho ta đặc trưng đầy đủ cho tính lồi hàm thuộc lớp C1,1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.2 Cho  :  n   hàm C 1,1 Nếu điều kiện (2.2) thỏa mãn  lồi Chứng minh Giả sử  hàm C 1,1 z, u  với u   n , z   ( x, y)(u) với ( x, y )  gph   Vì  khả vi Frechet nên   ( x)   ( x) với x   n Nếu  khả vi liên tục hai lần x 2 ( x)* u   ( x,  ( x))(u) với u   n Thật vậy, ta có  2 ( x)* u , x  x  u ,  ( x )   ( x) limsup x  x   ( x )   ( x) x  x   2 ( x)* u, x  x  u,  ( x )   ( x)  limsup max 0, x  x x  x   u,  ( x )   ( x)   2 ( x)( x  x)  limsup max 0, x  x x  x         Điều có nghĩa  *  ( x)(u) 2 ( x)* u  D Từ ta có 2 ( x)* u   ( x,  ( x))(u) (2.4) với u   n Như vậy,  khả vi hai lần x Đặt 0 = { x   n  khả vi hai lần x } Vì  (.) :  n   n liên tục Lipschitz, nên theo định lý Rademacher ta có 0  Ln  ( n \ (0 )  Ta chứng minh  ( y)   ( x), y  x  với x, y  n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 (2.5) http://www.lrc-tnu.edu.vn Có thể giả thiết  Lipschitz với môđun  B ([ x, y]; 2) Theo Bổ đề 2.2 tồn dãy số x k  x y k  y cho  ({t  0,1 : a k  t (bk  a k ) 0})  Khơng tính chất tổng qt, giả thiết xk , y k  B ([ x, y]; 2) với k Áp dụng công thức Newton-Leiblitz cho hàm f (t ) :  ( x k  t ( y k  x k )), y k  x k ta có  ( y )   ( x ), y  x )   f (t )dt k k k k   ( y k  x k )T  2 ( x k  t ( y k  x k ))( y k  x k ) dt , Tk T k : t   0,1 : x k  t ( y k  x k ) 0  Với t  T k ta có 2 ( xk  t ( y k  xk ))( y k  xk )   ( xk  t ( y k  x k ))( y k  x k ) theo (2.4) Từ suy ( y k  xk )T 2 ( xk  t ( y k  xk ))( y k  xk )  theo giả thiết Do  ( y k )   ( x k ), y k  x k )  với k Cho k   ta có (2.5) Điều có nghĩa  (.) đơn điệu Từ ta có  hàm lồi 2.3.2 Hàm C đơn trị Bây thiết lập định lí mở rộng Định lí 2.2 trường hợp n  Chúng ta với hàm C đơn trị, tính chất ánh xạ vi phân cấp hai Frechet suy tính lồi hàm xét (do tính chất nửa xác định dương ánh xạ vi phân cấp hai limiting suy tính lồi hàm xét) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 2.3 Cho  :  n   , n  hàm C Nếu điều kiện (2.2) thỏa mãn  hàm lồi Chứng minh Phản chứng Giả sử tìm hàm C  :  n   thỏa mãn zu  với u   n , z   ( x, y)(u) với ( x, y )  gph   , (2.6)  không lồi Đặt f ( x)   ( x) ý   ( x)   f ( x), ta sử dụng định nghĩa vi phân cấp hai Frechet đối đạo hàm Frechet để viết lại (2.6) tương đương với:  ( x, f ( x)); gph f ) với x   zu  với ( z , u )  N (2.7) Theo Mordukhovich [3], Định lí 3.56,  khơng lồi nên ánh xạ vi phân Frechet  (.)   f . khơng đơn điệu Có nghĩa tồn cặp a, b   cho ( f (b)  f (a ))(b  a)  Để có mâu thuẫn với (2.7), ta sử dụng cấu trúc hình học sau đây: 1) Chiếu vng góc đường cong  : ( x, f ( x)) : x   a, b   gph f lên đường thẳng L :  ( f (a)  f (b), b  a) :    (1  t )(a, b (a))  t (b, g (b)) : t  0,1 nối (L vng góc với đoạn điểm xấu chọn hai (a, b (a )), (b, g (b))  gph f 2) Tìm giá trị cực đại cực tiểu  phép chiếu L điểm z  tương ứng với giá trị 3) Xác định pháp tuyến Frechet gph f z Khơng tính chất tổng qt, giả sử b  a  f (b)  f (a )  Đặt   ( f (b)  f (a), b  a), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn  ( x) : , ( x, f ( x))  ( f (a)  f (b)) x  (b  a) f ( x) xét toán tối ưu  ( x)  max với x  a, b (2.8)  ( x)  với x  a, b (2.9) Vì  (a)   (b)  liên tục  a, b nên có hai tốn (2.8), (2.9) phải có nghiệm cực đại khoảng  a, b  Đầu tiên giả sử toán (2.8) có nghiệm x   a, b  Đặt z  ( x , f ( x )) , ta  ( z ; gph f ) N (2.10) cách chọn x , với x   a, b  ta có   ( x)   ( x )  ( f (a)  f (b))( x  x )  (b  a)( f ( x)  f ( x ))  , ( x, f ( x))  z Điều suy limsup z  z gph f , z  z zz  Từ ta có (2.10) Vì hai tọa độ  dương, (2.10) mâu thuẫn với (2.7) Bây giả sử (2.9) có nghiệm tồn cục x   a, b  Đặt z  ( x , f ( x )) , lập luận tương tự  ( z ; gph f )   N (2.11) Như vậy, hai trường hợp có mâu thuẫn, suy điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3.3 Ánh xạ dƣới vi phân cấp hai limiting ánh xạ dƣới vi phân cấp hai Frechet Nhận xét 2.3 Tính chất nửa xác định dương ánh xạ vi phân cấp hai Frechet khơng đủ để nhận tính khơng lồi hàm Lipschitz Ví dụ 2.2 Cho   cho  :    xác định  x   ,       ,    ; 0,    ( x)   x  1, x    , 0;   1 x   0,     x  1, Từ dễ dàng suy x   ,       ,    ; 0 ,  0,   , x   ;       , x    ,  ;       ( x)    1      ,   , x  0;     x   0,   ;   ,       x   0,  ,     Với ( x, y )  ( , 0)  gph  , ta thấy:  2 ( x, y )(u )   2 ( , 0)(u )   z   : ( z ,  u )   , 0    với u   Vì zu  với u  z  2 ( , 0) \ 0, ánh xạ vi phân  2 ( , 0)(.) nửa xác định dương Ta lại có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn 0 ,   ,    ,     ( x)    1    ,   ,       ,     , x   ,       ,    ; x   ; x    ,  ; x  0; x   0,   ; x   Và  z     z    z      ( x, y )(u )    z      z     z    / ( z ,  u )  0    , x   , y  0; : ( z,  u )  0    ,  x   , y  ;  : ( z,  u )  0    ,    x  0, y   ;  : ( z,  u )       , x  0, y   ; : ( z,  u )       , x  0, y  ; : ( z,  u )    0 ,   x  0,    y  với ( x, y )  gph   u   Từ zu  với u   , z   ( x, y)(u) với ( x, y )  gph   Mặc dù  Lipschitz không lồi, ánh xạ vi phân cấp hai Frechet  có tính chất nửa xác định dương Thí dụ rằng, ánh xạ vi phân limiting bậc hai  khơng có tính chất xác định dương Nói cách khác, tính khơng lồi hàm  khơng thể kiểm chứng ánh xạ vi phân Frechet, cịn nhận biết tính khơng lồi hàm  vi phân limiting bậc hai Như Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 http://www.lrc-tnu.edu.vn vậy, vi phân limiting bậc hai sử dụng để nhận điều kiện đủ cho tính lồi hàm Lipschitz địa phương (hoặc chí hàm liên tục Trong vi phân cấp hai Frechet khơng đủ để sử dụng cho mục đích 2.4 Đặc trƣng hàm lồi mạnh Hàm  :  n     gọi lồi mạnh tập lồi   dom tồn số   cho bất đẳng thức  ((1  t ) x  ty)  (1  t ) ( x)  t ( y)  t x  y thỏa mãn với x, y   t   0,1 Ta biết (xem [10]) điều kiện thỏa mãn hàm  ( x) :  ( x)   x (2.12) hàm lồi  Sử dụng ánh xạ vi phân cấp hai, ta có điều kiện cần cho tính lồi mạnh hàm thực Định lý 2.4 Cho  :  n   hàm nửa liên tục thường Nếu  hàm lồi mạnh  n với số   0, với ( x, y )  gph , ánh xạ vi phân cấp hai  2 ( x, y) :  n   n   ( x, y) :  n   n thỏa mãn điều kiện z, u   u (2.13) với u   n z  2 ( x, y)(u) với ( x, y )  gph z, u   u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 (2.14) http://www.lrc-tnu.edu.vn với u   n z   ( x, y)(u) với ( x, y )  gph  Chứng minh Theo giả thiết, hàm  (2.12) hàm lồi  n Áp dụng qui tắc tổng vi phân cho hàm tổng     ,  ( x)    x , ta  ( x)   ( x)   x , với x   n (2.15) Đặt F ( x)   ( x), f ( x)  2  x, dùng qui tắc tính tổng đối đạo hàm ta có D* ( F  f )( x, y  2 x)(u)  D*F ( x, y)(u)  2u với x   n , y   ( x) u   n Kết hợp với (2.15) suy 2 ( x, y  2 x)(u)   2 ( x, y)(u)  2u (2.16) với x   n , y   ( x) , u   n Theo Định lí 2.1, từ tính lồi  dẫn đến ánh xạ vi phân cấp hai  2 (.) nửa xác định dương Từ theo (2.16) ta có z  2u, u  với z  2 ( x, y)(u); Do (2.16) thỏa mãn với ( x, y )  gph Nếu  hàm C 1,1 , ta có điều kiện cần đủ để  hàm lồi mạnh sau Định lý 2.5 Cho  :  n   hàm C ,  hàm lồi mạnh  n với số   với ( x, y )  gph  , ánh xạ vi phân cấp hai   ( x, y) :  n   n thỏa mãn điều kiện z, u   u (2.17) với u  X z   ( x, y)(u) với ( x, y )  gph  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Để chứng minh điều kiện cần ta sử dụng Bổ đề sau Bổ đề 2.3 Giả sử T :  n   n toán tử đơn điệu cực đại Khi với điểm ( x, y )  gph T ta có  *T ( x, y)(u), z, u  với z  D  *T ( x, y) : X  X nửa xác định dương tức ánh xạ đối đạo D Điều kiện cần Giả sử  lồi mạnh  n với số   Khi đó, hàm  xác định  ( x) :  ( x)   x hàm lồi  n Áp dụng qui tắc tính tổng vi phân cho tổng      ,  ( x)    x ta có  ( x)   ( x)   x với x   n (2.18) Đặt F ( x) :  ( x), f ( x) : 2  x sử dụng qui tắc tính tổng đối đạo hàm, ta có  * ( F  f )( x, y  2 x)(u)  D  *F ( x, y)(u)  u D với x   n , y   ( x) u   n Kết hợp với (2.18) suy 2   ( x, y  2 x)(u)    ( x, y)(u)  2u (2.19) với x   n , y   ( x) , u   n Ngồi ra,  lồi, F  f :  n   n toán tử đơn điệu cực đại Áp dụng Bổ đề 2.3 ta có ánh xạ vi phân cấp hai   (.) nửa xác đinh dương Điều (2.19) suy z  2u, u  với z   ( x, y)(u) (2.20) tương đương với (2.17) thỏa mãn với x, y  gph  Điều kiện đủ Giả sử (2.17) thỏa mãn với ( x, y )  gph  Cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 http://www.lrc-tnu.edu.vn  ( x)   ( x)   x , x  X Rõ ràng  hàm C Theo (2.20) [11, định lý 3.1] ta có  hàm lồi, từ suy  lồi mạnh Mệnh đề mô tả điều kiện đủ cho tính lồi mạnh số lớp hàm Định lí 2.6 Cho  :  n   hàm số số   Các khẳng định sau i) Giả sử  hàm C 1,1 (2.20) thỏa mãn với ( x, y )  gph Khi  lồi mạnh  n với số   ii) Giả sử n   hàm C , điều kiện (2.20) thỏa mãn với ( x, y )  gph Khi  hàm lồi mạnh  n với số   Chứng minh i) Định nghĩa  , F f chứng minh Theo quy tắc tính tổng vi phân Frechet đối đạo hàm, làm vài phép tính đơn giản Định lý 2.7 Ta có 2   ( x,  ( x)   x)(u)    ( x,  ( x))(u)  u với x   n , y   ( x), u   n (2.21) Từ (2.14) (2.21) dẫn đến   ( x,  ( x)   x) nửa xác định dương với x   n Vì hàm C 1,1  lồi  n với số   ii) Theo quy tắc tính tổng vi phân Frechet đối đạo hàm áp dụng cho hàm C , (2.21) Từ hàm C  :    lồi theo Định lí 2.3, suy điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn Các đặc trưng hàm lồi hàm lồi suy rộng trình bày tổng quan định nghĩa tính chất lớp hàm lồi hàm lồi suy rộng Đặc biệt, luận văn tập trung trình bày đặc trưng khác lớp hàm lồi suy rộng, có kết gần hai báo [10] [11] đặc trưng hàm lồi thông qua vi phân Mordukhovich cấp hai Còn nhiều câu hỏi chưa giải vấn đề Thí dụ, câu hỏi chưa có câu trả lời (xem [10] [11]): 1) Điều kiện (2.2) có suy tính lồi hàm khả vi liên tục  :  n   với n  2? 2) Điều kiện (2.1) có suy tính lồi hàm Lipschitz địa phương  ? 3) Điều kiện (2.1) có suy tính lồi hàm liên tục  :  n   ? 4) Các kết [10] [11] mở rộng cho khơng gian Banach vơ hạn chiều? Ngồi ra, theo chúng tơi, vi phân Mordukhovich chưa sử dụng để đặc trưng hàm lồi suy rộng, đó, có số đặc trưng hàm lồi suy rộng qua công cụ đạo hàm khác (xem Chương 1) Sẽ thú vị có đặc trưng Dưới vi phân Mordukhovich xây dựng tảng giải tích đa trị Chính lẽ mà cơng cụ hữu hiệu thích hợp để đặc trưng tính lồi cho ánh xạ đa trị Hy vọng câu hỏi vấn đề liên quan quan tâm thời gian tới Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Vũ Thiệu (2003), Cơ sở giải tích lồi, Bài giảng lớp cao học, Viện Toán học, Hà Nội [2] Alberto Cambini, Laura Martein (2008), Generalized Convexity and Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer, California [3] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol 1: Basic Theory, Vol II: Applications, Springer, Berlin [4] D Aussel (1998), Subdifferential Properties of Quasiconvex and Pseudoconvex Functions: Unified Approach, Journal of Optimization Theory and Applications: Vol 97, No 1, 29-45, April [5] D W Jorgenson and L J Lau (1974), Duality and differentiability in production, J Econ Theory 9, 23-42 [6] L Mangasarian (1967) Nonlinear Programming, McGraw-Hill Book Company, New York [7] Postein (1967), Seven kinds of convexity, SIAM Rev 9, 115-119 [8] Rockaffelar (1998), R T., Wets, R J.-B., Variational Analysis, Springer, Berlin [9] Rudin, W., (1974), Real and Complex Analysis, 2nd editions, McGrawHill, New York [10] N H Chiêu, T D Chuong, J.-C Yao, N D Yen (2011), Characterizing convexity of a function by its Fre’chet and limiting secondorder subdifferential, Set-Valued Analysis, 19: 75-96 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 http://www.lrc-tnu.edu.vn [11] N H Chiêu, N Q Huy (2011), Second-order subdifferential and convexity of real-valued function, Nonlinear Analysis, 74, 154-160 [12] W E Diewert, M Avriel, I Zang (1981), “Nine Kinds of Quasiconcavity and Concavity”, Journal of Economic Theory, 25, 379-420 [13] W Fenchel (1953), Convex cones, sets and functions, Lecture Notes, Department of Mathematics, Princeton University [14] W Ginsberg (1973), Concavity and Quasiconcavity in economics, J Econ Theory 6, 596-605 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 http://www.lrc-tnu.edu.vn Nội dung luận văn sửa chữa lại theo ý kiến hội đồng chấm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chƣơng Hàm lồi hàm lồi suy rộng .3 1.1 Một số khái niệm hàm lồi hàm lồi suy rộng 1.2 Một số đặc trưng hàm lồi hàm lồi suy rộng 10 1.3 Đặc trưng hàm lồi hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo... 1.5 Hàm lồi chặt Hàm lồi Tựa lồi hiển Hàm tựa lồi Hình 1.5 Mối liên hệ loại hàm lồi 1.3 Đặc trƣng hàm lồi hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hƣớng Trước chứng minh số đặc trưng hàm lồi (lồi suy rộng) ... (1.35) Có thể hàm lồi mạnh loại hàm sau: hàm tựa lồi, tựa lồi chặt, tựa lồi chặt, giả lồi, giả lồi chặt, tựa lồi mạnh, giả lồi mạnh, hàm lồi, hàm lồi chặt 1.4 Đặc trƣng hàm lồi hàm lồi suy rộng qua