VẬN DỤNG các đặc TRƯNG của hàm số SÁNG tạo một số kỹ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH hàm TRÊN t08

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VẬN DỤNG CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM SỐ SÁNG TẠO MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN � MỤC LỤC Trang MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT……………………………………………… A ………………………………… dung Đặt vấn đề …………………………………………… B Nội …………………………………………………………………………………………… … I Các phương pháp thơng thường giải phương trình hàm � dựa đặc trưng hàm số 1- Quan điểm đặc trưng hàm số ……………… ………… 2-Tóm tắt phương pháp thơng thường giải phương trình hàm � dựa đặc trưng hàm số …………………………… 2.1 - Phương pháp sử dụng ánh xạ (Đơn ánh, toàn ánh, song ánh)…… 2.2 - Phương pháp sử dụng tính đơn điệu……………………………… 2.3 - Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số…………………… 2.4 - Phương pháp sử dụng tính khả vi hàm số…………………… 2.5 - Phương pháp sử dụng điểm bất động hàm số………………… 15 19 24 28 II Một số ý tưởng khai thác đặc trưng hàm số sáng tạo C kỹ thuật giải phương trình hàm � 33 2.1 – Khai thác tập xác định tập giá trị …………………… 33 2.1.1 – Xét hàm số tập tập xác định ………………… 33 2.1.2 – Khai thác tính chất tập giá trị ………………………… 38 2.2 – Khai thác đại lượng (biến, hàm) gia giảm …………… 44 2.3 – Sử dụng tính tuần hồn hàm số ……………………… 51 III Một số tập vận dụng ………………… 57 Kết luận …………………………………………………………………………………… 59 … TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………… 60 MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT Kí hiệu tắt Giải thích HSG Học sinh giỏi DHBB Thi Olympic khu vực Duyên hải Đồng bằng Bắc Bộ IMO Olympic Toán học quốc tê …X…MO Olympic Toán học khu vực/quốc gia X VMO Thi học sinh giỏi Quốc gia mơn Tốn Việt Nam APMO Olympic Tốn học khu vực Châu Á Thái Bình Dương USA MO Olympic Toán học My MEMO Olympic Toán học khu vực Trung Âu TST Thi chọn đội Quốc gia dự thi Quốc tê Đpcm Điều phải chứng minh Trang VẬN DỤNG CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM SỐ SÁNG TẠO MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN � A.ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình bất phương trình hàm nội dung Tốn học tổng hợp, bao gồm nhiều phân môn Đại số, Số học, Giải tích, Hình học Bài tốn phương trình hàmcó mặt hầu hêt kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán, nội dung quan trọng chương trình Tốn THPT chun đợt tập huấn đội tuyển học sinh giỏi Đối với học sinh chuyên Toán, bên cạnh việc rèn luyện lực tư độc lập cho học sinh việc tạo thói quen làm việc theo quy trình u tố tảng quan trọng đên tư sáng tạo Tuy nhiên bất cứ quy trình có hồn cảnh khơng ứng dụng thành cơng, đòi hỏi có thay đổi Trong việc giải Phương trình hàm khơng ngoại lệ Do q trình dạy học sinh chun Tốn bời dưỡng đội tuyển, tác giả ln trăn trở tìm kiêm hướng có lợi cho học sinh Đây ng̀n gốc q trình nghiên cứu hình thành báo cáo Trong báo cáo chuyên đề này, bên cạnh việc hệ thống lại số phương pháp thơng thường giải phương trình hàm dựa đặc trưng hàm số, tác giả trình bày số ý tưởng việc khai thác đặc trưng hàm số Các phương pháp thông thường giải phương trình hàm dựa đặc trưng hàm số bao gồm: - Phương pháp sử dụng ánh xạ (đơn ánh, toàn ánh, song ánh) - Phương pháp sử dụng tính đơn điệu - Phương pháp sử dụng tính liên tục - Phương pháp sử dụng tính khả vi Trang - Phương pháp sử dụng điểm bất động Một số ý tưởng khai thác đặc trưng hàm số vào việc giải phương trình hàm: - Khai thác tập giá trị, tập xác định hàm số -Sử dụng đại lượng (biên, hàm) gia giảm - Sử dụng tính tuần hồn hàm số B NỘI DUNG I.CÁC PHƯƠNG PHÁP THƠNG THƯỜNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN � DỰA TRÊN CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM SỐ 1– Quan điểm đặc trưng hàm số Trong phần ta làm rõ cách gọi “đặc trưng hàm số” Quan điểm 1: Đặc trưng hàm số tính chất gắn riêng, dạng hàm số có Ví dụ [2], tác giả Nguyễn Văn Mậu nêu đặc trưng số hàm sơ cấp nhằm mơ tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý dự đốn cơng thức nghiệm tốn liên quan Chẳng hạn với hàm f  x   ax  b có tính chất đặc �x  y � f� �  f  x   f  y   , x, y �� f x  ax � � trưng ; hàm   có tính chất đặc f  x  y   f  x   f  y  , x, y �� trưng tính chất cộng tính , hàm x f  x   a  a  0, a �1 có đặc trưng f  x  y   f  x  f  y  , x, y ��… Quan điểm 2:Mỗi hàm số cụ thể có nhiều mặt (thơng tin, thuộc tính) để phản ánh hàm số đó, bao gờm: Tập xác định, tập giá trị, tính chất chẵn lẻ, tính đơn điệu, thuộc loại ánh xạ nào, tính tuần hồn, tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích, … Người ta gọi mặt đặc trưng hàm số Báo cáo sử dụng đồng thời hai quan điểm nêu lí sau đây: - Mỗi hàm số cần xác định mang thuộc tính chung lớp hàm mà thuộc vào có thuộc tính riêng biệt Trang - Mỗi tốn Phương trình hàm cụ thể cho đáp số họ hàm số, cho đáp số hàm số cụ thể – Tóm tắt phương pháp thơng thường giải phương trình hàm �dựa đặc trưng hàm số 2.1 - Phương pháp sử dụng ánh xạ (Đơn ánh, toàn ánh, song ánh) a) Kiến thức ánh xạ: Định nghĩa: Cho hai tập hợp khác rỗng X Y Nêu với phần tử x thuộc X, quy tắc f đặt tương ứng x với phần tử xác định y thuộc Y ta nói f ánh y  f  x xạ từ X vào Y, kí hiệu f : X � Y Khi nói hay y ảnh x, x tạo ảnh y Đơn ánh: Ánh xạ f : X � Y gọi đơn ánh nêu hai phần tử khác X có ảnh hai phần tử khác Y f : X � Y đơn ánh, x1 , x2 �X , f  x1   f  x2  � x1  x2 Toàn ánh: Ánh xạ f : X � Y gọi toàn ánh nêu phần tử Y có tạo ảnh X f : X � Y toàn ánh, y �Y , x �X , f  x   y Song ánh: Ánh xạ f : X � Y gọi song ánh nêu vừa tồn ánh, vừa đơn ánh b) Phương pháp dấu hiệu sử dụng ánh xạ: Với mục đích chung khai thác có hiệu phép thê đặc biệt, phương pháp sử dụng ánh xạ tập trung hai kiểu suy luận chủ yêu là: f u x  f  v x  � u  x  v  x + Khi có f đơn ánh, song ánh     + Khi có flà tồn ánh, song ánh với b thuộc tập đích Y tờn số a f a b thuộc tập nguồn X mà   Thông thường suy luận để tính giá trị đặc u f x v f x f ,f biệt     , … Ở góc độ khác, có flà toàn ánh         cho u t  v t phép ta đổi phương trình đơn giản   Trang Dấu hiệu: Trong hầu hêt toán phương trình hàm có biểu thức hàm hợp dạng f  f   �   vê phải có biên “tự do” nghĩ đên sử dụng ánh xạ suy luận c) Sử dụng đơn ánh: Ví dụ [Đề chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu, năm 2013-2014] Tìm tất hàm số f : �� � cho f  xy  f  x    f  x  yf  x    x, x, y �� Lời giải:Giả sử hàm f : �� � thỏa mãn (1): f  xy  f  x    f  x  yf  x    x, x, y �� Kí hiệu + việc thay  x; y  P  x;0  � f  f  x    f  x   x, x vậy, giả sử có + P  u; v  f  a  f  b suy  u; v  vào (1) Điều dẫn đên f đơn ánh Thật 2a  f  f  a    f  a   f  f  b    f  b   2b P  x;1 � f  x  f  x    f  x  f  x    x, x , P  x; 1 � f   x  f  x    f  x  f  x    x, x     Kêt hợp hai điều suy  x  f  x    x  f  x  , x � f  x   x, x nên xảy f x f x + Thử lại thấy f  x   x, x nên a  b  f  x  f x   , x , mà flà đơn ánh hàm thỏa mãn u cầu Ví dụ [VMO 2016] Tìm tất giá trị thực a để tồn hàm f : �� � thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f  1  2016 ii) f  x  y  f  y    f  x   ay , x, y �� , Trang Lời giải: f x  2016, x Xét trường hợp a  , ta chọn   hàm thỏa mãn Xét trường hợp a �0 : Giả sử hàm f : �� � thỏa mãn điều kiện i) ii) toán Ta kí P u; v  x; y  u; v  hiệu  việc thay   vào ii) + P   f  x  ; x  � f   f  x   x  f  x    f   f  x    ax � f  x   f   f  x    ax, x Từ suy + f đơn ánh P  x;0  � f  x  f     f  x  � x  f    x � f    (do f đơn ánh) � f  x � � f  x � � f  x � � f  x � P �x;  � f x   f   f x  a    � � � � � � � a � a a a � � � � � � � + � f  x � f  x � f �x   f�  a a � � � f  y P �x;  a + � � �� � � � f  x � f  x   f � x   f    � � � a a � � � � f  y � f  y f �x  f�  a � a � � f  x  y   f  x   f  y  , x, y � � 0, x � (*) � � � f  x   f  y  � � � (do (*)) f  y   f  y  , y Đặc biệt cho x  ta   Khi ta có f  x  y   f  y   f  x  y  y   f  x  � f  x   f  y   f  x  y  , x, y Sử dụng (**) + f  1  2016 ta quy nạp f  2016   2016 f  1  20162 P  x; y  � f  x   f  y   f  f  y    f  x   ay � f  y   f  f  y    ay , y (**) (do tính chất cộng tính) Cho y = ta có phương trình 2016  20162  a � a  2016 �2017 Trang Ngược lại, a  2016 �2017 ta thử tìm kiêm hàm f dạng hàm đa thức bậc f x  2016 x, x nhất, bằng cách cân bằng hệ số ii) ta chọn   Điều chứng tỏ a  2016 �2017 tờn hàm f thỏa mãn đề Kêt luận: a   0;2016 2017 Ví dụ [IMO 2017] Tìm tất hàm số f : �� �sao cho f  f  x  f  y    f  x  y   f  xy  , x, y �� Phân tích: Quan sát đề ta có số suy đốn, định hướng sau: f f x �c - Tính tốn giá trị đặc biệt, trường hợp đặc biệt (   ;   ) x �1  y �1  xy � x  y   - Liên hệ đẳng thức  … ta dự đoán f x  � x  1 phát hai đáp số   - Bài toán có dấu hiệu việc dùng ánh xạ, kêt hợp đáp số dự đốn tính đối xứng, khơng có mặt biên tự bên ngồi kí hiệu hàm f dẫn đên ý tưởng dùng đơn ánh theo kiểu “Viète” Lời giải: Giả sử hàm f : �� �thỏa mãn (1): f  f  x  f  y    f  x  y   f  xy  , x, y �� Kí hiệu + + P  0;0  � f P  u; v  việc thay  x; y   u; v  vào (1)   f      (2), điều chứng tỏ tồn x P  x;0  � f  f  x  f     f  x   f   , x mà f  x0   (3) + Với x �1 , ta chọn y cho x  y  xy hay y x x  P  x; y  thành � � �x � f �f  x  f � � � 0, x �1 �x  � � � (4) Trang f x 0 f 0 Trường hợp 1: Nêu x0 �1 mà   từ (3), cho x  x0 thu   ; f x 0 kêt hợp với (3) suy   với mọi x Thử lại thấy hàm thỏa mãn yêu cầu Trường hợp 2: Nêu có f  1  , nghĩa là: f f  x  x =   f  0    �  f  0  2  � f  0  � + Từ (2) trường hợp xét có f 1 f  1 Ta cần xét khả   , khả ngược lại   ta thay f 1 đổi hàm f hàm  f đề khơng thay đổi quy khả   Vậy + f  0  f  1  P  x;1 �  f  x  1  f  x  , x � f  x  n   f  x   n, x, n �� + Ta có x = thỏa mãn f  x  (5) f a 1 f a  1  f  a      Thật vậy, giả sử có a �0 mà   ta có  , f a  1  có giá trị thứ hai a  khác mà  , mâu thuẫn với trường hợp xét + Chứng minh f đơn ánh: Xét mà �x  y  x1  N  � �xy  x2  N  x1  N  1   x2  N   có f  x1   f  x2  , tồn N nguyên dương đủ lớn nghiệm với N đủ lớn Ta chọn thực  x; y   x; y  , nghiệm hệ P  x, y  � f  f  x  f  y    f  x1  N  1  f  x2  N  � f  f  x  f  y    f  x1    N  1  f  x2   N � f  f  x  f  y    Dựa vào �f  x   � x 1 f  f  x f  y   � f  x f  y  � � �� �f  y   �y  (5) mà Chẳng hạn x  từ hệ xác định x, y có f x chứng tỏ   đơn ánh  y  x1  N  � � x1  x2 � y  x  N � Điều Trang �x  z  t � �x  y  � Với t ��, ta xét hệ phương trình �y  z  , � t 1 �x  � � 1 t �y  � � t 1 z � , � hệ ln có nghiệm (2) trở thành f  t   t f  1    t  f   , t Điều chứng tỏ hàm f  x  có dạng f  x   ax  b với a, b hằng số thực Thử lại thấy hàm thỏa mãn yêu cầu Ví dụ 32 [IMO Shortlist 2005] Tìm tất hàm số f :  0; � �  0; � thỏa mãn f  x  f  y   f  x  y f  x   , x  0, y  Lời giải:Giả sử tồn hàm f thỏa mãn  1 : f  x  f  y   f  x  y f  x   , x  0, y   Với mọi số thực dương x, y, z, sử dụng (1) ta có:  f  x  f  y  f  z   f  z  f  x  y f  x    f z   x  y f  x   f  z    f  z  x f  z   y f  z  f  x    f z  x f  z   y f  z  x f  z      f  z  x f  z   f  y   f  z  f  x  f  y  Do f  x  , f  z   nên thu f  y   f  y  , y  (2)  Ta chứng minh f  x  tăng (không nghiêm ngặt)  0;� (3) Trang 52 Thật vậy, giả sử có  x1  x2 mà f  x1   f  x2  Đặt x1  y f  x1   x2  y f  x2   , ta có y x2  x1 0 f  x1   f  x2  f  x1  y f  x1    f  x2  y f  x2   suy , Theo (1) có điều tương đương f  x1  f  y   f  x2  f  y  � f  x1   f  x2  , mâu thuẫn  Bây sử dụng (2) (3) ta chứng minh f hàm hằng  0;� Thật vậy: Với hai số thực dương tùy ý a, b mà a  b f  a   f  2a   f  22 a    f  2n a  , n ��* - Theo (2) có (4) n n lim  a   � - Do nên tồn số nguyên dương n mà a  b  a Theo f  a  �f  b  �f  2n a  (3) ta có Kêt hợp (4) suy f  a   f  b   Ta có f  x  hàm hằng Đặt f  x   c  0, x  , thay vào (1) ta hàm f  x   2, x  Nhận xét: Với kĩ thuật giải ta chứng minh kêt sau: Nếu hàm số f :  0; � �  0; � đơn điệu f  Ax   f  x  , x  (với A số khác �1 ) f hàm Một vấn đề đặt nêu ta bỏ kiện “đơn điệu” kêt sao? Vấn đề giải quyêt bằng tính tuần hồn phần sau báo cáo Ví dụ 33 Tồn hay không hàm số f : �� � bị chặn thỏa mãn điều kiện: � �1 � � � � f �x  � f  x   �f � � �, x �0 f  1  � x � x � � � � Lời giải:Giả sử tồn hàm f thỏa mãn yêu cầu + Cho x = ta thu f    + Do fbị chặn nên có chặn tốt nhất, gọi giá trị c, ta có: f  x  �c, x Trang 53 và: Với   (bé tùy ý chọn trước), tồn khoảng I �� mà f  x   c  , x �I + Ta có  f   �c     f y  y � Tồn mà � � �1 � �  �f � � �� � �y � � Lại có c c � f �y � � � � �1 � c f � � � y2 � �� � �y � � �1 � f � �  �y � �1 � c �f �  y � �y � 2 �1 � � 1� f � �  f  y      � c � y 4� � �� c � 3� �c c   � � c  � � � , mâu thuẫn với c �2 + Vậy không tờn hàm thỏa mãn u cầu Ví dụ 34 [Balkan TST 2017] Tìm tất hàm số f :  0; � �  0; � cho f  x  f  y  f  z   f  z  xyf  z   , x , y , z  Phân tích hướng giải: + Ta dự đoán kêt toán hàm hằng, từ tìm đáp số f  x   3, x  Kêt gợi ý ta đên việc f  z   f  y  , z , y  bằng cách tìm mối quan hệ “giống hệt nhau” f  y  , f  z  với đại lượng thứ ba y z  xf  z  + Chọn x, y, z dương cho y  z  xyf  z  hay Như với z z 0 x y f  z  xf  z  dương, chọn x mà đẳng thức cho f  x  f  y  f  z   f  z  xyf  z   trở thành f  x  f  z   Trang 54 �1 �  x  � , � f  y f  z � � + Như vậy: Với y, z dương tùy ý, ta chọn x cho có đờng thời đẳng thức f  x  f  z   f  x  f  y   Kêt hợp điều kiện f  x   0, x  suy f  y   f  z  , điều dẫn đên f hàm hằng mong muốn Ví dụ 35 Tìm tất hàm số f :  0;1 � � thỏa mãn f  xy   f  x  xy  , x, y � 0;1 Lời giải: Giả sử f hàm số thỏa mãn yêu cầu (1): f  xy   f  x  xy  , x, y � 0;1 + Xét hệ phương trình �xy  a � �x  xy  b với ẩn x, y thuộc  0;1 �x  a  b �xy  a �xy  a � �� �� � a �x  xy  b �x  a  b �y  � a  b (với a, b dương), điều chứng tỏ Ta có với cặp số dương a, b thỏa mãn a  b  , tồn x, y � 0;1 mà Sử dụng cặp  x; y  thay vào (1) cho ta kêt f  a   f  b  �xy  a � �x  xy  b + Với cặp số dương a, b tùy ý thuộc  0;1 , tồn số c thuộc  0;1 mà c    a;1  b , �a  c  � �f  a   f  c  � � f  a  f  b � � b  c  f b  f c   � �  chứng tỏ f hàm hằng  0;1 Điều + Thử lại thấy mọi hàm hằng f tùy ý  0;1 thỏa mãn yêu cầu Trang 55 – Sử dụng tính tuần hồn Một số kiến thức hàm số tuần hoàn: Định nghĩa: Hàm số f  x  gọi tuần hoàn M nêu tồn số T �0 mà với mọi x �M x �T �M f  x  T   f  x  Số T gọi chu kì f Số T dương nhỏ thỏa mãn định nghĩa gọi chu kì sở f Định lí: Cho hàm số f  x  g  x  tuần hoàn M với chu kì a �� a, b mà b Khi hàm số f  x  �g  x  , f  x  g  x  tuần hồn M Ví dụ 36 Tìm tất hàm số f : �� � cho (1): f  x   f  x  1  f  x  3  3x  3x  5, x �� Phân tích hướng giải:  Quan sát hình thức tốn phân tích “bậc” (nêu ta xét tốn hạn chê lớp hàm đa thức), ta tìm nghiệm riêng tốn có dạng f  x   ax  bx  c , bằng cách thay trực tiêp vào (1) cân bằng hệ số có f  x   x2  x  kêt f x  F  x  x  x 1  Đặt   , (1) trở thành   : F  x   F  x  1  F  x    0, x Trong (2) thay x x  F  x  1  F  x    F  x  3  0, x Từ hai điều suy F  x   F  x  3 , x hay F  x  hàm tuần hoàn với chu kì � F  x  � F  x   F  x  1  F  x   � , x � 3�  Ta viêt lại (2) thành , f  x   x2  x   � g  x   g  x  1  g  x   � , x � 3� ta có biểu diễn (3): , với g hàm tuần hồn có chu kì bằng �  Thử lại thấy (3) thỏa mãn yêu cầu Trang 56 Ví dụ 37 Cho A hằng số thực Tìm tất hàm số f : �� � cho (1): f  Ax   f  x  , x Phân tích hướng giải:  Trước hêt ta xét trường hợp đặc biệt A : + Nêu A  f  x   f   , x hay f hàm hằng � + Nêu A  f hàm tùy ý � nghiệm hàm thỏa mãn + Nêu A  1 f hàm chẵn tùy ý � nghiệm hàm thỏa mãn  Xét trường hợp: A  A �1 + Cho x  vào (1) f    f   , Vậy đặt f    c hằng số tùy ý u f  Au 1   f  Au  , u x  x  A + Với , đặt (1) thành u h u  f  A  Lại đặt h  u  1  h  u  , u , điều có nghĩa h hàm tuần hồn chu kì f  x   h  log A x  , x  � Khi có u f  Au 1   f   Au  , u + Với x  , đặt x   A (1) thành  k  u   f   Au  Lại đặt k  u  1  k  u  , u , điều có nghĩa k hàm tuần hồn chu kì � Khi có f  x   k  log A   x   , x  � h  log A x  x  � f  x  � c x  � k  log A x  x  � , h  x  , k  x  hàm tuần hoàn tùy ý � với chu kì 1, c số thực tùy ý Dễ dàng thử lại thấy hàm f  x  xác định thê thỏa mãn yêu cầu Vậy  Xét trường hợp: A  A �1 Trang 57 �f  A2 x   f  x  , x � f  Ax   f  x  , x � � f  Ax   f  x  � , x �f  x   � � � 2� Ta có (1): 2 Thấy A  0, A �1 nên theo trường hợp có kêt f  x  � h  x   h  Ax  � , x � h x 2� , hàm xác định � h1  log A2 x  x  � � h x  � c x  � h2  log A2 x  x  � với c hằng số thực tùy ý, h1  x  h2  x  hàm tuần hoàn tùy ý � với chu kì Ví dụ 38 Tìm tất hàm số f : �� � cho (1): f  x    f  x    f  x   0, x Phân tích hướng giải:  Ta nhìn nhận tốn phương trình hàm theo góc độ tốn dãy số, có  thể xét đên “phương trình đặc trưng”   5   �   2;   Điều gợi ý cho ta hai biên đổi cho (1) bước sau , x  1 � f  x    f  x    � �f  x    f  x  � � hay (2): g1  x    3g1  x  , x , kí hiệu g1  x   f  x    f  x  g1  x    3 x  3 h1  x  x2 h1  x     3 x h1  x  , x Đặt   thành hay h1  x    h1  x  , x Điều có nghĩa là: h1  x  hàm tuần hoàn chu kì x bằng � Vậy ta có f  x    f  x   h1  x  , x (3) Chú ý: Việc tìm đặt g1  x     x h1  x  sau: - Để giải (2), nêu ta khử hệ số vê phải dẫn đên hàm tuần hồn chu kì 2, mục đích cách đặt Trang 58 - Hình thức (2) gợi ý cho ta nghĩ đên việc g1  x  đóng vai trò hàm chuyển đổi từ phép toán cộng sang phép toán nhân, theo ý g1  x    g1   g1  x  , hàm hàm số mũ dạng g1  x   A x Ta cần đảm bảo việc g1    nên có A  chọn g1  x   A  Vậy đên phép đặt   x h1  x  , x  1 � f  x    f  x    � �f  x    f  x  � � hay (4): g  x    g  x  , x , kí hiệu g  x   f  x    f  x   Lại có Giải (4) thu kêt (5): f  x    f  x   x h2  x  , x với h2  x  hàm tuần hồn chu kì � x x  Kêt hợp (3) (5) ta có f  x   h1  x   h2  x  , x Thử lại thấy hàm dạng thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 39 [Việt Nam TST, 1993-1994] Tìm tất hàm số f : �� � cho (1):     f x  f x 43    f  x     , x Phân tích hướng giải: + Trong (1) cho x = f    f   , ta suy đoán f    c : hằng số thực tùy ý x + Trong (1) ta thay x  thu (2): f      1 x  f � � 1 � 1 x� � f  x  , x � Trang 59  x  1  Trường hợp 1: x  , ta đặt thành  f� �1  �   u 1  � f �1  � � � �   u 1  u hay u  log1  x �� (2) trở  � f �1  u � , u � � � � � � Đặt tiêp u � g u f�  � �   f  x   g log1 x , x  � � hay (2) trở thành: g  u  1  g  u  1  g  u  , u � g  u  1  g  u   g  u   g  u  1 , u � h1  u  1  h1  u  , u (với h1  u   f  u  1  f  u  )   � h1  u  hàm tuần hồn với chu kì bằng � Khi g  u  1  g  u   h1  u   h1  u   u.h1  u  1  u.h1  u  (do h1  u  1  h1  u  )   u  1 h1  u  1  u.h1  u  , suy kêt g  u  1   u  1 h1  u  1  g  u   uh1  u  , u Đặt k1  u   g  u   uh1  u  k1  u  1  k1  u  , u hay k1  u  hàm tuần hồn chu kì bằng � Vậy ta có g  u   k1  u   uh1  u  với mọi u Khi có kêt mọi x>    Trường hợp 2: x  , ta đặt    f  x   g log1 x  log1 x.h1 log1 x  k1 log1 x f  x   log1  x   1       với u x h2 log1 x  k2 log1   giải tương tự thu kêt x  với mọi x<  � log1 x.h1 log1 x  k1 log1 x x  � � f  x  � c x  � log1 x h2 log1 x  k2 log1 x x  � + Kêt luận: , c hằng số thực tùy ý, h1  x  , h2  x  , k1  x  , k2  x  hàm số tuần hoàn tùy ý �     với chu kì bằng Trang 60 Ví dụ 40 Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn đồng thời điều kiện: � � f  x   ln   sin x   1, x �� 0; � � � i) � � f �x  � f  x   8, x �� ii) � � Hướng giải: Trong toán này, hàm f chưa tuần hồn, nhiên � � 0; � � f �nên dựa vào ii) tính � quan sát thấy kiện i) cho thấy xác định chất “tựa tuần hoàn” để thác triển hàm f toàn trục số � � f �x  �   f  x    , x  ii) viêt lại thành � � , bằng quy nạp � n � f �x  �  3n � , x, n �� �f  x   � � � � đên kêt (1): � n � n n f �x  � x1  x  x  x1  * hay , sử dụng (1)  Xét � �với n �� : Đặt thu f  x1    3 n � �f  x   � � Vậy � n � n f �x  , x, n �� �  � �f  x   � � � � x � � � �  �� 0; � x    � �  , đó: � � � � x ��  Với , tồn mà 2x� � 2x� � � � � � � x � � � f  x  f � � � � 3� � f        3� � ln   sin 4     � � �2 � Hay mãn 2x� � � � � � f  x   ln   sin x   3  , với mọi x Thử lại thấy thỏa Ví dụ 41 Cho hàm số f  x  liên tục � thỏa mãn điều kiện: với x ��, giá trị tổng f  x   f  x  1009  số hữu tỉ giá trị tổng Trang 61 f  x  10   f  x  20   f  x  2018 số vô tỉ Chứng minh rằng f  x  hàm tuần hoàn Hướng dẫn giải: Bổ đề: Nêu F  x  liên tục � nhận giá trị vơ tỉ F  x  hàm hằng Chứng minh bổ đề: Giả sử F  x  không hàm hằng, nghĩa tồn a  b mà F  a  , F  b  hai giá trị vơ tỉ phân biệt Do tính trù mật tập hợp số hữu tỉ tập số thực mà tồn giá trị hữu tỉ c nằm hai số F  a  , F  b  Mặt khác theo định lí giá trị trung gian, hàm F  x  liên tục đoạn  a; b  nên tồn x0 � a; b  mà F  x0   c Điều dẫn đên mâu thuẫn c  F  x0  số vơ tỉ Áp dụng vào ví dụ: + Từ giả thiêt x ��, f  x   f  x  1009  ��� f  x  10   f  x  20   f  x  2018  ��\ � dẫn đên � �F1  x   f  x   f  x  1009   f  x  10   f  x  20   f  x  2018  ��\ �, x � �F2  x   f  x   f  x  1009   f  x  10   f  x  20   f  x  2018  ��\ �, x Suy f  x   f  x  1009   F1  x   F2  x  , x + Vì f  x  liên tục � nên F1  x  , F2  x  liên tục �, theo bổ đề có F1  x  , F2  x  hàm hằng, dẫn đên f  x   f  x  1009   a, x (a hằng số) Khi f  x   f  x  1009   a  f  x  1009   f  x  1009  1009  , x � f  x   f  x  2018  , x � f  x  hàm số tuần hoàn III MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Trang 62 Bài [Mở rộng IMO 1992] Xét n số nguyên lớn Tìm tất hàm f  x n  f  y    y   f  x   , x, y f : � � � số thỏa mãn điều kiện n Bài [AMM E984] Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn f  f  x    x  2, x �� Bài Xác định tất hàm số f : �� � thỏa mãn điều kiện f   ��  f x   f  y     f  x  y   , x, y Bài Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn f  x    f  x    f  x   0, x �� Bài [Croatia TST 2016] Tìm tất hàm số f : �� � cho f  x   xf  y   f  x  f  x  f  y   , x, y �� Bài [IMO Shortlist 2009] Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn f  x f  x  y    f  y f  x    x , x , y Bài [Greece TST 2010] Tìm tất hàm số f : �\  0 � �\  0 thỏa mãn �f  x  f� �f  y  � � f  f  x   , x, y �0 � y hàm f đơn điệu  0;� Bài [Indian IMO Training Camp 2016] Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn điều kiện   f x  x  f  y    x f  x  y  , x, y �� Bài [Indian TST 2013] Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn f  x  xy   f  x    f  y   , x, y �� Bài 10 [Albania TST 2012] Xét hàm số f :  0; � �  0; � thỏa mãn điều kiện x  0, y  : f  x  f  y    y f   xy  Trang 63  y  1  f  y   1 �0, y  1) Chứng minh rằng 2) Tìm tất hàm f thỏa mãn yêu cầu đề Bài 11 [APMO 2002] Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn đồng thời: i) ii) f  x  y   x f  x   f  f  y   , x, y Tập hợp  x ��| f  x   0 , tập hữu hạn   Bài 12 [Italy TST 2002] Tìm tất hàm số f : � � � thỏa mãn đồng thơi: i) ii) f  x  f  y    f  x  f  y  , x, y  Tập hợp  x �� | f  x   1  , có hữu hạn phần tử Bài 13 Tìm tất hàm f :  0;1 � � cho f  xyz   xf  x   yf  y   zf  z  , x, y , z � 0;1   f x  f  xy    x f   f  y   , x, y  Bài 14 Tìm hàm số f : � � � mà    Bài 15 [Bulgarian MO 2006] Cho f : � � � thỏa mãn điều kiện f  x  y  f  x  y  f  x f  y với mọi x  y  Chứng minh rằng f  x   f  x  , x  Trang 64 C KẾT LUẬN Báo cáo chuyên đề làm rõ hai hệ thống: - Các phương pháp thơng thường giải phương trình hàm � dựa đặc trưng hàm số, - Đưa ba ý tưởng khai thác đặc trưng hàm số (cũng coi ky thuật dùng giải phương trình hàm �) Trong phương pháp có hệ thống kiên thức liên quan, đặc điểm nhận dạng phương pháp, ví dụ minh họa số phân tích tiêp cận lời giải cần thiêt qua thi Olympic tốn Những trình bày nhằm mục đích giúp học sinh lớp chuyên tốn có tiêp cận rõ ràng phương pháp nắm bắt thêm số cách giải có tính “ky thuật” mang màu sắc giải tích Khi giảng dạy chuyên đề Phương trình hàm cho học sinh chuyên toán 10 11, bên cạnh phương pháp chủ đạo phương pháp thê việc rèn luyện cho học sinh nắm vững năm phương pháp trình bày phần báo cáo yêu cầu quan trọng Nội dung không giúp học sinh hình thành ky giải phương trình hàm �mà ứng dụng tốn phương trình hàm tập rời rạc hay tốn bất phương trình hàm Các ý tưởng phần hai báo cáo sử dụng đan xem trình rèn luyện phương pháp Chuyên đề tác giả hình thành sở giảng phương trình hàm tập số thực cho lớp chuyên tốn 10 11 năm học 2018-2019, chưa thật cung cấp đầy đủ góc nhìn tốn phương trình hàm � mắc phải sai sót định, tác giả mong nhận trao đổi bạn đọc để hồn thiện hơn, trở thành tài liệu hữu ích cho mọi người Nam Định, tháng năm 2019 Người viết chuyên đề:Phạm Bắc Phú Trang 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngũn Tài Chung, Lê Hồnh Phò.Chun khảo Phương trình hàm NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2013 [2] Nguyễn Văn Mậu Tủ sách chuyên Toán cấp III Phương trình hàm NXB Giáo dục, năm 1997 [3] Nguyễn Trọng Tuấn.Bài toán hàm số qua kỳ thi Olympic NXB Giáo dục, năm 2008 [4] Titu Andreescu, Rawzvan Gelca.Mathematical Olympiad Challenges BirkhäuserBoston, a part of Springer Science, Second Edition 2009 [5] Titu Andresscu, Iurie Boreico, Functional Equations Electronic Edition 2007 [6] Christopher G Small, Functional Equationsand How to Solve Them.Springer Science, 2007 [7] Các trang, diễn đàn từ Internet: www.mathvn.com, www.vnmath.com, http://boxmath.vn, http://diendantoanhoc.net, http://dethi.violet.vn,http://www.artofproblemsolving.com … Các đề thi HSG Toán quốc gia, đề thi đề nghị HSG khu vực Duyên hải Đồng bằng Bắc Bộ, thi chọn đội tuyển tỉnh; IMO Shortlist, … Các tạp chí: Tốn học tuổi trẻ; Pi; Mathematical Excalibur; Mathematical Reflections, Trang 66 ... Đpcm Điều phải chứng minh Trang VẬN DỤNG CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM SỐ SÁNG TẠO MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN � A.ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình bất phương trình hàm nội dung Tốn học tổng hợp,... lại số phương pháp thơng thường giải phương trình hàm dựa đặc trưng hàm số, tác giả trình bày số ý tưởng việc khai thác đặc trưng hàm số Các phương pháp thơng thường giải phương trình hàm dựa đặc. .. - Sử dụng tính tuần hồn hàm số B NỘI DUNG I.CÁC PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN � DỰA TRÊN CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM SỐ 1– Quan điểm đặc trưng hàm số Trong phần ta làm rõ cách