Một số kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ HOÀNG ÂN MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ HỒNG ÂN MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Võ Thị Hoàng Ân MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1.1 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.1.1 Điều kiện tồn tính chất nghiệm 1.1.2 Phương trình bất phương trình tương đương 13 1.1.3 Giải biện luận phương trình bậc khoảng 15 1.1.4 Phương pháp phương trình bậc tốn cực trị 22 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 30 1.2.1 Phương trình bậc n 30 1.2.2 Phương trình bậc bậc 35 CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 48 2.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 48 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG (LOẠI I, II) 53 2.3 HỆ ĐẲNG CẤP BẬC 62 2.4 HỆ BẬC TỔNG QUÁT 64 2.5 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 69 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 74 3.1 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 74 3.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 89 KẾT LUẬN 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO 99 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình phân mơn quan trọng Đại số có ứng dụng lớn ngành khoa học Được biết đến từ sớm nhu cầu tính tốn người ngày phát triển theo thời gian, đến nay, nói phương trình có mặt lĩnh cực khác toán học Riêng bậc THPT, phương trình, bất phương trình hệ phương trình thuộc nhóm kiến thức cần thiết Chủ đề “phương trình, bất phương trình hệ phương trình” xuất hàng năm kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng kỳ thi chọn HSG nước ta Mỗi toán chủ đề thường có nhiều cách giải Việc hệ thống hóa phương pháp giải cho phép nhìn nhận tốn theo cách qn; từ đó, giúp bạn học sinh nhạy bén việc giải nhiều dạng phương trình, bất phương trình hệ phương trình Với lý nói trên, hướng dẫn thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, em định chọn “Một số kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học Luận văn nhằm hệ thống lại kiến thức đồng thời đưa số kỹ thuật giải chủ yếu, có tính định hướng chung, cho tốn phương trình thường xuất kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng kỳ thi chọn HSG Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài + Mục tiêu: Hệ thống lại kiến thức phương trình, bất phương trình hệ phương trình THPT Tìm hiểu đưa số kỹ thuật giải qua toán + Nội dung: Luận văn trình bày chương Chương 1: Phương trình, bất phương trình Trình bày kiến thức phương trình, bất phương trình kỹ thuật giải tốn liên quan Chương 2: Hệ phương trình Trình bày số hệ phương trình thường gặp kỹ thuật giải Chương 3: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa Trình bày số dạng phương trình, bất phương trình hệ phương trình chứa kỹ thuật giải Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức Thu thập đề thi HSG quốc gia, đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng qua năm, nghiên cứu kỹ thuật giải đặc trưng dạng Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp đề tài Hy vọng đề tài sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh trường THPT quan tâm đến chuyên đề phương trình, bất phương trình hệ phương trình Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em hy vọng nhận góp ý thầy để đề tài hồn thiện CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1.1 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.1.1 Điều kiện tồn tính chất nghiệm Xét tam thức bậc hai f ( x)  a.x  b.x  c , a  0, phương trình f ( x)  (1) Biệt thức   b2 - 4ac   b2  ac với b  b  Khi viết a f ( x)  (a.x  )  b (2) Định lí 1.1: i) Nếu   phương trình (1) vơ nghiệm a f ( x)  , x ii) Nếu   phương trình (1) có nghiệm (nghiệm kép) x b b b   a f ( x)  x   2a 2a a iii) Nếu   a f ( x)  a ( x  x1 )( x  x2 ) phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1,2   b 2a  b  2a a  a (3) Trong trường hợp a f ( x)  x  ( x1, x2 ) a f ( x)  x  x1 x  x2 Bài toán 1.1.1: (Nguyễn Văn Mậu, 2002) Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: 5a  4b  6c  , a  (1) Chứng minh phương trình nghiệm phân biệt Giải: f ( x)  a.x  b.x  c  (2) có Ta có: (1)  b   5a  6c 25a  36c  4ac  5a  6c    b  4ac     4ac  16   (a  2c)  24a  32c  0 16 2 Vậy phương trình (2) có nghiệm phân biệt Bài toán 1.1.2: (Nguyễn Văn Mậu, 2002, trang 8) Xác định tất giá trị a cho bất phương trình: x2 1 a.x  2(a  2) x  2a  (1) nhận x nghiệm Giải: Xét a  biểu thức vế trái không xác định với x    a0 không thỏa mãn Xét a  : Để biểu thức vế trái xác định với x  1  17 a  1  (a  2)2  a(2a  3)   a  a      1  17 a   (2) Lúc (1) tương đương với: a.x  (2a  5) x  2a   x  a.x  2(a  2) x  2a  a[a.x  (2a  5) x  2a  1]  x a[a.x  2(a  2) x  2a  3]  a[a.x2  (2a  5) x  2a  1]  x (vì 1   a[a.x  2(a  2) x  2a  3]  x )  2  (2a  5)2  4a(2a  1)   4a2  16a  25    a  2     a  2   41 41 (3)  1  17 a  Kết hợp (2) (3) ta   41  a  2   Bài tốn 1.1.3: Tìm m để nghiệm bất phương trình: x2  (m  1) x  m  (1) nghiệm bất phương trình: x2  2mx   (2) Giải: Đặt g ( x)  x  (m  1) x  m Dễ thấy g ( x)  ln có nghiệm m Nên g ( x)  có nghiệm x1  x  x2 Đặt f ( x)  x  2mx  ; f ( x)  có nghiệm khi:   m2    m   f ( x)  có nghiệm x1  x  x2 Mọi nghiệm g ( x)  nghiệm f ( x)  x1  x1  x2  x2   2m  a f (1)  vô nghiệm   a f (  m )  m     Kết luận: khơng có m thỏa yêu cầu toán Bài toán 1.1.4: (Nguyễn Văn Mậu, 2002, trang 9) Xác định tất giá trị a, b, c cho nghiệm phương trình x( x  a)( x  b)  (1) nghiệm phương trình: (a  1) x2  (a  b  3) x  a  b  c  (2) Giải: Phương trình (1) có nghiệm x  0, x  a, x  b 1) Nếu a  b, a  0, b  (2) có nghiệm Suy (2) khơng thể phương trình bậc bậc nhất, khả năng: a   a    a  b    b  a  b  c  c  3   x  2) Nếu a  b  (2) có nghiệm  x  a  2a  c  Do đó:  (a  1)a  (2a  3)a  2a  c    a  0, c  (loai)  c  2a 1  13   a  , c   13  a  a  a     a  1  13 , c   13  3) Nếu a  0, b  phương trình (2) có nghiệm x  x  b Suy b  c  c  b   b  0, c  (loại)  b  (b  3)b  b  c  c  2b 4) Nếu a  0, b  phương trình (2) có nghiệm x  x  a 85 Theo cách đặt, ta chuyển hệ  3x   2 3x   8   x  2 (nhận)   x  16    x  Vậy x  2 nghiệm phương trình Bài tốn 3.1.17: Giải phương trình:  x  x 1  Giải: 5  x  Điều kiện:   1 x  x    u   x  u   x   u  v  (1) Đặt  v  x  v  x   Phương trình cho trở thành: u  v  (2) Từ (1) (2) ta hệ  u  v  u  v  u  v     4   2 2 2 u  v  (2  2uv)  2u v   (u  v)  2uv   2u v   u  u  v     v  u  v   uv    2  uv  2u v  8uv   u    v   Theo cách đặt, ta chuyển hệ    x     x   x 1  : nhận  x     x     x   Kết luận: nghiệm phương trình x  , x  86 Bài toán 3.1.18: Giải phương trình:   x  (1  x)3  (1  x)3     x   Giải: Điều kiện: 1  x  Phương trình cho tương đương với:  1 1 x 1 x  1 x      1 x    1 x 1 x  u   x  u   x   u  v  (1) Đặt  v   x  v   x Phương trình trở thành:  uv (u  v3 )   uv (2) Từ (1) (2) hệ u  v  2  u  v      3 3   (2  2uv).(u  v )   uv   uv (u  v )   uv  u  v    2 2  (u  v  2uv)(u  v)(u  v  uv)   uv  u  v     (u  v) (u  v)(2  uv)  (2  uv)    u  v   u  v    u  v  uv    2uv  4       2    2 (u  v )  1  u  v   (2  uv)   2u         u  v   u  v    2 87  (u  v)  2 : vo nghiem  uv       u      v     Theo cách đặt, đưa hệ:  1  x     1  x    2  x : nhận 2 Vậy phương trình có nghiệm x  2 Bài tốn 3.1.19: (Olympic 30/4 năm 2013) Giải phương trình: ( x  3)  x  8x  48  x  24 Giải: Điều kiện:  x2  8x  48    12  x  Đặt: 2  u   x  x  48   u   x  x  48   u  v  2 x  57    v  x  x  v  x  Phương trình cho trở thành: uv  x  24 (2) Từ (1) (2) ta hệ u  v  2 x  57 u  v   (u  v)2     u  v  3 2uv  x  48 Theo cách đặt, ta có   x  x  48  x    x  2      x  x  48  x   3  x  5  31 (1) 88 Kết luận: nghiệm phương trình x  2  , x  5  31 Phương pháp bất đẳng thức Dưới số bất đẳng thức thường dùng để giải phương trình, bất phương trình Bất đẳng thức Cauchy: (AM – GM) Cho số x, y  : x  y  xy Đẳng thức xảy x  y Mở rộng: Cho n số a1, a2 , , an  : a1  a2   an  n n a1.a2 an Đẳng thức xảy a1  a2   an Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho số x, y  R : a.x  b y  (a2  b2 )( x2  y ) Đẳng thức xảy a b  x y Bất đẳng thức Cauchy Schwarz: a b ( a  b) a b   Cho số x, y  : Đẳng thức xảy  x y x y x y Bài toán 3.1.20: Giải phương trình x    x  x2  10 x  27 Giải: Điều kiện:  x  Theo bất đẳng thức Bunhiacơpxki, ta có: VP  x    x  2( x    x)  VT  x2  10 x  27  ( x  5)2   x   Phương trình có nghiệm   x5 x    x  Vậy phương trình có nghiệm x  Bài tốn 3.1.21: Giải bất phương trình  x   x  x 89 Giải: 1  x  Điều kiện:   1  x  1  x  Bất phương trình cho tương đương: (  x   x )(  x   x )  x  x  x(  x   x ) (1) 1 x  1 x 1) x  nghiệm bất phương trình 2)  x  : (1)   x   x  Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki:  x   x  2(1  x   x)  Nên  x  : thỏa mãn toán 3) 1  x  : khơng thỏa mãn tốn Kết luận: nghiệm bất phương trình  x  3.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Hệ phương trình phong phú đa dạng, giải hệ có nhiều kỹ thuật Ở trình bày số kỹ thuật phương pháp thế, phương pháp cộng trừ, phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức   x  24 y 1 Bài toán 3.2.1: Giải hệ:   x  y  Giải: Điều kiện: x  , y  Hệ tương đương với:   0  x   1 x y    1 x   y   y  1 x    1 x 1 x            (1) 90 1 x 1 x  1 x  1 x   4 (1)  (1  x )   (1  x )        (1') 2       1) x  nghiệm (1’) 2)  x  : vế trái (1’) lớn x  Vậy  nghiệm hệ y   Bài tốn 3.2.2: Giải hệ phương trình:  x  y      y  2( x  3) x     (1) (2) Giải:   y  1  Điều kiện:  x  1  5 x  y    x   2 Từ phương trình (1): x  y 1  21  ( y  1)2  x  x  Thế vào (2) ta được: x2  5x  21  2( x  3) x     ( x  3)( x  2)  2( x  3) x   4  ( x  3)  x   x  1   x   y   (Vì x   x   x  ) x   Vậy hệ có nghiệm  y    4 91 Bài tốn 3.2.3: (Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 100) Giải hệ phương trình:  1    1    12  x 2 y  3x  (1) 12  x 6 y  3x  (2) Giải: x  x   0  y Điều kiện:  y   y  3x    y  3x   Hệ phương trình tương đương:  1    1   12  y  3x x 12  y  3x y Lấy (1) (2) cộng, trừ vế theo vế  1  x  y    12    y  3x x y Nhân phương trình vế theo vế, ta được: 12    12 y  9x 12         0    x y y  3x y  3x  x xy y  x y  x y    ( y  x)( y  3x)  12 xy   y  xy  27 x  y x 3  y  y  y  3x        27    x x  y  9 (loai)  x 92  12   x  (1  3)2 (6 x  12) x  12 x x 2 1     Từ hệ    y  3x  y  x     y  3x  y  3(1  3)   x  (1  3) Vậy hệ có nghiệm   y  3(1  3) Nhận xét: Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ để đưa hệ chứa hệ phương trình đại số Bài tốn 3.2.4: Giải hệ phương trình:  x  y  x  y    x  y  x  y  (1) (2) Giải: 7 x  y  Điều kiện:  2 x  y  u  x  y   u  v2  (7 x  y)  (2 x  y)  5x  u  v  x Đặt  v  x  y  x5  u  u  v    Từ  Thế vào phương trình (2) hệ: u  v  x  x  v   x5 x3  x  y 1  y  2 Thế y  2x  x3 vào phương trình (1) hệ: x3 x3 5x   x x 1    x   y  : nhận 2 2 x  Vậy hệ có nghiệm nhất:  y  93  x  y  Bài toán 3.2.5: Giải hệ   x   y   Giải: x  Điều kiện:  y  Viết hệ cho dạng: ( x  x  5)  ( y  y  5)  13  ( x   x )  ( y   y )  ( x  x  5)  ( y  y  5)  13   5  x5  x  y5  y 3   x  x   u Đặt   y  y   v (u  , v  5) Khi có hệ: u  v  13 u  v  13 u  v  13     1  u  v   65     u v   u v  u.v  Hệ cho vơ nghiệm t1  13  u  t1 , v  t2 u  t , v  t ; t1,   247  Bài toán 3.2.6: (Đề ĐH khối A – 2006) Giải hệ phương trình:   x  y  xy     x 1  y 1  Giải:  x  1  Điều kiện:  y  1  xy   (1) (2) 247 13 94 Đặt t  xy  Từ phương trình (1) ta được: x  y   t Bình phương vế phương trình (2): x  y   xy  x  y   16   t   t   t   16  t  t   11  t 0  t  11 0  t  11    t 3  2 4( t  t  4)  (11  t ) t  26 t  105     xy  Chuyển giải   x, y nghiệm X  X    X  x  y  x  Vậy nghiệm hệ  y  Bài toán 3.2.7: Giải hệ phương trình:  x  32  x  y  3 4  x  32  x  y  24 Giải: x  Điều kiện:    x  32 32  x  Cộng phương trình vế theo vế: ( x  32  x )  ( x  32  x )  y  y  21 Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacôpxki: x  32  x  2( x  32  x)  (1) x  32  x  2( x  32  x )  2.8  Suy ( x  32  x )  ( x  32  x )  12 Mà y  y  21  ( y  3)2  12  12  x  32  x   x  32  x  x  16   Đẳng thức (1) xảy   x  32  x y   y  ( y  3)3  12  12  95  x  16 Vậy nghiệm hệ  y  Bài tốn 3.2.8: Giải hệ phương trình: xy   x2  y x  x  2x    xy y   y2  x  y2  y  Giải:  x  x   x Điều kiện:   y  y   y Cộng phương trình vế theo vế: xy xy   x2  y x  2x  y2  y  xy xy xy Ta có    xy 2 x  x  ( x  1)  xy Suy y2  y  xy x2  x  xy   (y 1)  xy y2  y   xy  xy  xy Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: x  y  xy x  y  Đẳng thức (1) xảy   x  y 1 x  x  Vậy nghiệm hệ:  ; y 1 y   x    y  a Bài toán 3.2.9: Giải biện luận hệ:    x  y   a Giải: Điều kiện: 1  x , y  Viết hệ dạng:   x 1   y  a   ( x   y  1)  (  y   x )  (1) (1) 96 1) Nếu a  ( x , y)  (1, 1), ( x , y)  (2,2) : không nghiệm Vậy viết (1) dạng:  x 1   y  a   y  x  x y x y     x    x  a (2)  x 1  y 1   y   x   Nếu a  hệ vơ nghiệm Nếu a   y  x  y  x (2)     2 3  ( x  1)(2  x)  a 2 ( x  1)(2  x)  a    y  x y  x    a   a     x  x   (a  3)  x  x , x  1, 1,2   (a  3)  2) Khi a  , hệ có dạng:  x 1   y   x    y     y 1   x    y    x   ( x    y )  ( y    x )  (3) Vì ( x    x )2   ( x  1)(2  x)  nên vế trái (3) lớn vế phải ( x  1)(2  x)  Dấu đẳng thức xảy   (y 1)(2  y)  Vậy hệ có nghiệm ( x, y)  (1, 1) ( x, y)  (2,2) Kết luận: 1) a  : hệ có nghiệm ( x, y)  (1, 1) , ( x, y)  (2,2) 97  x  x1 , y  x1 2) a  : hệ có nghiệm  với x1,2   x  x2 , y  x2 (a  3)2  3) a  : hệ vơ nghiệm Bài tốn 3.2.10: Xác định giá trị a để hệ có nghiệm nhất:  x   y  a   y   x  a Giải: Điều kiện: x  , y  Vì x   y  x, y  nên a  : hệ vô nghiệm 1) Xét a  : hệ có nghiệm x  0, y  2) Xét a  : với x  , hệ có dạng:   y  a 1    y 1  a  y  (a  1) Vậy a  ( x, y)  (0, t ) ,  t  (a  1)2 nghiệm hệ cho Điều kiện nghiệm không thỏa mãn Kết luận: Hệ cho có nghiệm a  98 KẾT LUẬN Sau khoảng thời gian thu thập tài tiệu, nghiên cứu tổng hợp, luận văn “Một số kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình” hoàn thành, giải vấn đề sau: - Hệ thống lại kiến thức cách giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình quen thuộc - Hệ thống lại đưa cách giải tổng quát phương trình bậc 3, bậc 4; đồng thời cho ví dụ cách giải số phương trình bậc cao (n  5) đặc biệt - Hệ thống đưa cách giải có tính định hướng chung cho dạng tốn thường gặp kì thi đại học, cao đẳng, kì thi học sinh giỏi Tuy vậy, đề tài luận văn mảng toán rộng, khn khổ cho phép trình độ có hạn nên luận văn chưa sâu nghiên cứu dạng tốn nâng cao kì thi học sinh giỏi, kì thi quốc gia 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hùng (1994), Bất đẳng thức bất phương trình đại số, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2002), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Quý, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà (2000), Chuyên đề bồi dưỡng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, NXB Đà Nẵng [4] Đồn Quỳnh, Dỗn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2010), Tài liệu chuyên Toán Đại số 10, NXB Giáo dục [5] Đặng Hùng Thắng (1998), Phương trình, bất phương trình hệ phương trình, NXB Giáo dục [6] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2006), 40 năm Olympic Toán học quốc tế, NXB Giáo dục ... 2: Hệ phương trình Trình bày số hệ phương trình thường gặp kỹ thuật giải Chương 3: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa Trình bày số dạng phương trình, bất phương trình hệ phương. .. Tìm hiểu đưa số kỹ thuật giải qua toán 2 + Nội dung: Luận văn trình bày chương Chương 1: Phương trình, bất phương trình Trình bày kiến thức phương trình, bất phương trình kỹ thuật giải tốn liên... chọn ? ?Một số kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình? ?? làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học Luận văn nhằm hệ thống lại kiến thức đồng thời đưa số kỹ thuật giải chủ