Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng

Ngày nay, đặc trưng và nghiên cứu các tính chất của các lớp hàm lồi, mối liên quan của tính lồi với tính đơn điệu của đạo hàm suy rộng bậc nhất và tính xác định dương của đạo hàm suy rộn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 1-2

Chương 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng 3

1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 3

1.2 Một số đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 10

1.3 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hướng 23

1.4 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua dưới vi phân 37

Chương 2 Đặc trưng hàm lồi qua dưới vi phân Frechet và dưới vi phân Mordukhovich 40

2.1 Một số định nghĩa cơ bản 41

2.2 Điều kiện cần cấp hai 46

2.3 Điều kiện đủ cấp hai 48

2.4 Đặc trưng của hàm lồi mạnh 57

Kết luận 61

Tài liệu tham khảo 62

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích lồi với nền tảng cơ bản là tập lồi và hàm lồi đã được nghiên

cứu và triển khai ứng dụng vào bài toán tối ưu hóa, các bài toán kinh tế và quản lí, từ những năm 70 của thế kỉ trước

Nhiều nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng dẫn tới nhu cầu mở rộng khái niệm hàm lồi Nhiều lớp hàm lồi suy rộng (tựa lồi, giả lồi, ) đã được Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar, nghiên cứu cách đây 50 năm Ngày nay, đặc trưng và nghiên cứu các tính chất của các lớp hàm lồi, mối liên quan của tính lồi với tính đơn điệu của đạo hàm (suy rộng) bậc nhất và tính xác định dương của đạo hàm (suy rộng) bậc hai vẫn đang được các nhà toán học trên thế giới và ở Việt Nam quan tâm mạnh mẽ

Các hàm số gặp trong các bài toán ứng dụng nói chung thường có dạng phức tạp, vì vậy thường là không khả vi Điều này dẫn tới phải mở rộng khái niệm đạo hàm Các đạo hàm suy rộng thường gặp là đạo hàm theo hướng, đạo hàm Dini, dưới vi phân Clark, dưới vi phân Rockaffelar, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng là những công

cụ tốt để nghiên cứu nhiều vấn đề của giải tích ứng dụng, trong đó có đặc trưng hàm lồi

Luận văn Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng có mục đích

trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi (thông qua các tính chất hình học và giải tích, thông qua đạo hàm và dưới vi phân suy rộng, )

Nội dung chính của Luận văn gồm hai chương

Chương 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng

Chương 1 trình bày định nghĩa các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng và quan hệ giữa chúng Trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng thông qua các tính chất giải tích và hình học Đặc biệt trình bày

các đặc trưng của hàm lồi thông qua công cụ đạo hàm (gradien, Hessian, gradient suy rộng, đạo hàm theo hướng, )

Chương 2 Đặc trưng hàm lồi qua dưới vi phân Frechet và dưới vi phân

Mordukhovich

Một hướng mở rộng khá tự nhiên và hữu hiệu khái niệm đạo hàm là khái niệm đối đạo hàm và dưới vi phân Mordukhovich Gần đây, nhóm nghiên cứu của Giáo sư Nguyễn Đông Yên đã sử dụng thành công khái niệm dưới vi phân Mordukhovich cấp hai để đặc trưng hàm lồi và hàm lồi mạnh Chương hai trình bày các đặc trưng này dựa trên hai bài báo [10] và [11]

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS-TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy hướng dẫn

Tác giả xin cám ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học cùng các Thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học Toán K3 Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên

Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiên cứu một cách nghiêm túc trong suốt khóa học Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian, cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo

và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2011

Nguyễn Thị Quỳnh Chang

CHƯƠNG I HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG

1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng

1.1.1 Tập lồi

S được gọi là tập lồi nếu S chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của

nó, tức là với mọi x x1, 2S thì x1 (1 )x2S với mọi  0,1

1.1.2 Hàm nửa liên tục dưới

Hàm f S:  được gọi là nửa liên tục dưới tại n

Định nghĩa 1.1 Hàm f xác định trên một tập lồi n

S  được gọi là hàm lồi

(convex function) trên S nếu

với mọi x x1, 2S và mọi  0,1

Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu f là lồi (lồi chặt)

Hàm tuyến tính f x( ) :a x T c, với a là một vectơ và n c là một số, thỏa mãn đẳng thức f(x1 (1 ) )x2 f x( )1  (1 ) ( )f x2 nên vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm nhưng nói chung nó không phải là hàm lồi chặt hoặc lõm chặt Thí dụ, hàm hằng ( )f x c là tuyến tính, vừa lồi vừa lõm nhưng không phải là hàm lồi chặt cũng không phải là hàm lõm chặt

1.1.6 Hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex)

Định nghĩa 1.4 Hàm f xác định trên một tập lồi n

S  được gọi là hàm tựa

lồi chặt (strictly quasiconvex) trên S nếu

Định lý 1.1 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi chặt và hàm tựa lồi)

Cho f là hàm xác định trên tập lồi Sn Nếu f tựa lồi chặt trên S thì f

tựa lồi trên S Điều ngược lại nói chung không đúng

Suy ra f(x1 (1 ) )x2 maxf x( ), ( )1 f x2  với mọi x1 x2 và  0,1

Trường hợp x1 x2 là hiển nhiên

Chiều ngược lại không đúng được chỉ ra ở ví dụ sau

Dễ thấy f là hàm tựa lồi, nhưng không tựa lồi chặt

1.1.7 Hàm nửa tựa lồi chặt (semistrict quasiconvex)

Định nghĩa 1.5 Hàm f xác định trên một tập lồi n

Hàm f được gọi là nửa tựa lõm chặt nếu f là nửa tựa lồi chặt, tức là với mọi x x1, 2S mà f x( )1  f x( )2 thì

Mối liên hệ giữa hàm nửa tựa lồi chặt và hàm tựa lồi

1) Không phải mọi hàm nửa tựa lồi chặt cũng là hàm tựa lồi

3) Tuy nhiên nếu thêm điều kiện f nửa liên tục dưới trên S thì một hàm nửa

tựa lồi chặt là hàm tựa lồi trên S Ta có định lý sau

Định lý 1.2 (Mối liên hệ giữa hàm nửa tựa lồi chặt và hàm tựa lồi)

Cho f là hàm xác định trên tập lồi Sn và nửa liên tục dưới trên S Khi

đó nếu f nửa tựa lồi chặt thì f là hàm tựa lồi trên S

Chứng minh

Cho x x1, 2S Nếu f x( )1  f x( )2 thì do f là nửa tựa lồi chặt nên (1.2) thỏa

mãn Chứng tỏ (1.1) được thỏa mãn Như vậy ta chỉ còn phải kiểm tra (1.1)

khi f x( )1  f x( ).2

Giả sử f x( )1  f x( )2 và f không phải là tựa lồi, tức là điều kiện (1.1) không

thỏa mãn Khi đó tồn tại x0x x1, 2 sao cho f x( )1  f x( )2  f x( ).0 Chọn 0  f x( )0  f x( )1 thì f x( )0   f x( ).1

Do f nửa liên tục dưới trên S nên f nửa liên tục dưới tại x0, tức là với mọi

f x  f x f x  f x Mâu thuẫn Vậy f là hàm tựa lồi trên S

Định lý 1.3 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi chặt và hàm nửa tựa lồi chặt)

Cho f là hàm xác định trên một tập lồi Sn. Nếu f tựa lồi chặt trên S

thì f là hàm nửa tựa lồi chặt trên S

Mối liên hệ giữa các lớp hàm lồi suy rộng và hàm lồi với giả thiết hàm f là

nửa liên tục dưới được nêu trong sơ đồ trong Hình 1.3 dưới đây

Hình 1.3 Mối liên hệ giữa các loại hàm lồi suy rộng nửa liên tục dưới

1.1.8 Hàm tựa lồi hiển (explicitly quasiconvex)

Định nghĩa 1.6 Hàm f xác định trên một tập lồi n

S  được gọi là hàm tựa

lồi hiển (explicitly quasiconvex) trên S nếu

i) f tựa lồi trên S

ii) Với x x1, 2S, f x( )1  f x( )2 thì f x( ) f x( )2 với mọi xx x1, 2

Điều kiện ii) tương đương với: Nếu

( ) ( )

f x  f x thì f x( )maxf x( ), ( )1 f x2  với mọi xx x1, 2

Như vây, hàm f là tựa lồi hiển nếu nó vừa là tựa lồi vừa là nửa tựa lồi chặt

Nhận xét 1.1

• Một hàm nửa tựa lồi chặt chưa chắc đã tựa lồi hiển (vì hàm nửa tựa lồi chặt

có thể không tựa lồi, do đó không tựa lồi hiển, xem ví dụ 1.2)

• Theo định nghĩa, hàm f tựa lồi hiển trên S thì tựa lồi nhưng một hàm tựa

lồi trên S chưa chắc đã là tựa lồi hiển

Do vậy f cũng không tựa lồi hiển

Định lý 1.4 (Quan hệ giữa lồi và tựa lồi hiển, tựa lồi và nửa tựa lồi chặt)

Cho f là hàm lồi xác định trên tập lồi Sn. Khi đó f tựa lồi hiển, tựa lồi

và cũng nửa tựa lồi chặt nhưng điều ngược lại không đúng

 nên f là nửa tựa lồi chặt

Kết hợp với f liên tục trên 1 ta có f là tựa lồi hiển

Nhưng f là lõm chặt trên 1và không phải là hàm lồi trên 1

Định lý 1.5 Nếu f là hàm lồi không âm, g là hàm lõm dương xác định trên

1.2 Một số đặc trƣng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng

1.2.1 Đặc trƣng không qua đạo hàm



Quan hệ giữa hàm lồi nhiều biến và hàm lồi một biến

Định lý 1.7 Cho f là hàm xác định trên tập lồi Sn. Điều kiện cần và đủ

để f là hàm lồi trên S là với mọi x x1, 2S, hàm một biến : 0;1  xác định bởi  ( ) f(x1 (1 ) )x2 là hàm lồi trên  0, 1

Định lý 1.8 Tổ hợp tuyến tính dương các hàm lồi trên S là hàm lồi trên S,

tức là: Nếu f i i, 1,2, m là các hàm lồi trên S n và i 0 với mọi

f x  f x



 cũng là hàm lồi trên S Hơn nữa f lồi chặt nếu một trong các hàm f i lồi chặt

Kí hiệu trên đồ thị (epigraph) của hàm : f S  là tập

epi f S, {( , ) :x  xS,  , f x( )}

Ta có

Định lý 1.9 (Mối liên hệ giữa hàm lồi và trên đồ thị của nó)

Hàm f xác định trên tập lồi S  n là hàm lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thị của

Định lý 1.11 (Điều kiện cần để hàm f lồi)

Cho f là hàm lồi xác định trên tập lồi Sn. Khi đó tập mức dưới

 : , ( ) 

S  x xS f x 

là tập lồi với mỗi số thực 

Chú ý rằng điều kiện để một hàm là hàm lồi trong Định lý 1.11 chỉ là điều kiện cần, nói chung không phải là điều kiện đủ Ví dụ hàm lõm đơn điệu tăng,

có tập mức dưới lồi nhưng không phải là hàm lồi

Định lý 1.12 (Điều kiện cần và đủ để hàm f là tựa lồi)

Cho hàm f xác định trên tập lồi S n. Hàm f là tựa lồi trên S nếu và chỉ nếu tập mức dưới của nó là tập lồi với mỗi số thực 

Định lý 1.13 Cho hàm f xác định trên tập Sn. Hàm f tựa lồi trên S nếu và chỉ nếu với x iS i, 1, ,n ta có

{1, , } 1

( ) max ( ),

n

i n i

Chứng minh (bằng qui nạp)

Với n2 hiển nhiên f tựa lồi theo định nghĩa

Giả sử f tựa lồi và (1.3) thỏa mãn với n, ta phải chứng minh (1.3) đúng với

Nếu n1 0;1 thì  0   1 n 0 Ta có  0  n1 1 và

1

n i i

Định lý 1.14 (Liên hệ giữa hàm tựa lồi nhiều biến và hàm tựa lồi một biến)

Hàm f tựa lồi trên tập lồi S  n nếu và chỉ nếu với mỗi x x1, 2S, hàm 

xác định bởi  ( ) f(x1 (1 ) )x2 là hàm tựa lồi trên  0,1

Định nghĩa 1.7 (Cực tiểu địa phương và cực tiểu toàn cục của hàm lồi)

S  Điểm xS được gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm

f trên S nếu tồn tại một -lân cận N x( ) của điểm x sao cho f x( ) f x với mọi x S N x( ). Nếu điểm xS thỏa mãn f x( ) f x  với mọi

xS thì x được gọi là điểm cực tiểu toàn cục của f

Nếu thay dấu " " bởi dấu " " ta được định nghĩa điểm cực tiểu địa phương chặt và điểm cực tiểu toàn cục chặt

Điểm cực đại địa phương và cực đại toàn cục được định nghĩa tương tự

Định lý 1.15 Cực tiểu địa phương của hàm lồi f trên một tập lồi là cực tiểu

toàn cục Tập tất cả các điểm cực tiểu là một tập lồi

Định lý 1.16 Một hàm lồi chặt trên tập lồi n

S nếu có cực tiểu thì cực tiểu đạt tại duy nhất một điểm trên S

Định lý 1.17 Giả thiết f là hàm tựa lồi chặt xác định trên tập lồi S và f đạt

cực tiểu địa phương tại x0S. Khi đó f đạt cực tiểu toàn cục trên S tại x0

Hơn nữa, nếu f là nửa liên tục dưới thì tập tất cả các điểm cực tiểu là một tập lồi

Hơn nữa, ta có (xem [12])

Định lý 1.18 (Mở rộng của Định lý 1.17) Nếu f là hàm tựa lồi chặt xác định

trên tập lồi S và f đạt cực tiểu địa phương tại x0S thì x0 là điểm cực tiểu toàn cục duy nhất của f trên S

Định lý 1.19 Dạng toàn phương Q x( )x Bx T với B là ma trận đối xứng là hàm lồi trên  nếu và chỉ nếu n B là ma trận nửa xác định dương

Hệ quả 1.1 Dạng toàn phương Q x( )x Bx T với B là ma trận đối xứng xác định dương là hàm lồi chặt trên  n

Nhận xét 1.2 Hàm lồi f xác định trên một tập lồi n

S  chưa chắc đã liên tục tại mọi điểm của S

Ví dụ 1.6 Hàm lồi f cho bởi công thức

Do phần trong của một tập lồi n

S  bất kỳ đều là tập lồi mở nên ta có hàm

f xác định trên tập lồi S n thì liên tục trên phần trong của S

riêng của f theo từng biến tại điểm x0 ( , ,x10 x n0) T

Nếu đạo hàm riêng cấp một (cấp hai) của f theo từng biến tồn tại và là các hàm liên tục thì ta nói f khả vi liên tục cấp một (cấp hai) tại xx0

Giả sử f khả vi liên tục hai lần Ma trận

được gọi là ma trận Hessian của f tại xx0

Cho x0S Hướng v n, v 1 được gọi là hướng chấp nhận được tại x0

nếu x0  tv S với t 0 đủ nhỏ

Định nghĩa 1.9 Cho hàm f xác định trên tập n

S  , x0S,v là hướng chấp nhận được Nếu giới hạn

( ) ( )( ) lim

x y hay xy là tích vô hướng của hai véctơ x và y

Nếu D f x v ( )0  v T f x( )0 với mọi hướng chấp nhận được v thì ta nói f khả

vi tại x0

Định lý 1.21 Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi mở S n. Hàm f

là lồi trên S nếu và chỉ nếu với mỗi x0S,

( ) ( ) ( ) (T ),

f x  f x  f x xx  x S

(Hoặc với mọi x x1, 2S, f x( )2  f x( )1  f x( ) (1 T x2 x1))

Định lý 1.22 Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi mở S n. Hàm f

là hàm lồi chặt trên S nếu và chỉ nếu với mọi x x1, 2S, x1 x2,

( ) ( ) ( ) (T )

f x  f x  f x x x

Định lý 1.23 Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi mở S n. Hàm f

là lồi trên S nếu và chỉ nếu với mọi x x1, 2S,

f x( )2  f x( ) (1 T x2 x1)0

Định lý 1.24 Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi mở S n. Hàm f

là lồi chặt trên S nếu và chỉ nếu với mọi x x1, 2S x, 1x2,

f x( )2  f x( ) (1 T x2 x1)0

Định lý 1.25 Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi Sn, điểm x0S

Điểm x0 là điểm cực tiểu toàn cục của ( ) f x trên S nếu và chỉ nếu

( ) (T ) 0

f x x x

   với mọi xS

Định lý 1.26 (Điều kiện cần và đủ để một hàm vô hướng là lồi)

Giả sử hàm  xác định và khả vi trên khoảng mở D Hàm 1  là lồi trên

D nếu và chỉ nếu đạo hàm  của nó là hàm không giảm trên D hay

( )x 0

  với mọi xD

Định lý 1.27 (Điều kiện cần và đủ để một hàm khả vi là tựa lồi)

Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi mở Sn. Hàm f là tựa lồi trên

S nếu và chỉ nếu với mọi x x1, 2S,

( ) ( ) ( ) (T ) 0

f x  f x  f x x x 

Định lý 1.28 Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi mở S  n. Nếu f

là tựa lồi thì với mọi x x1, 2S ta có

nhiều nhất một giá trị riêng âm

Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng điều kiện của Định lí trên không là điều kiện đủ

Một điều kiện cần khác để một hàm khả vi liên tục hai lần là hàm tựa lồi được đưa ra trong định lý dưới đây (xem [2])

Định lý 1.31 Cho hàm f xác định trên tập lồi mở n

S là tựa lồi và khả vi liên tục hai lần trên S Khi đó tính chất sau được thỏa mãn:

, n, T ( ) 0

xS y y f x  suy ra y T2f x y( ) 0

Định lý 1.32 Cho hàm f xác định trên tập lồi mở n

S là tựa lồi và khả vi liên tục hai lần sao cho f x( )0 với mọi xS. Khi đó f tựa lồi trên S khi

và chỉ khi

, n, T ( ) 0

xS y y f x  suy ra y T2f x y( ) 0

Hàm giả lồi, giả lồi chặt

Một điểm tới hạn của hàm lồi (điểm dừng, điểm x0 mà f x( )0 0) cũng là điểm cực tiểu toàn cục Tính chất này không được thỏa mãn đối với hàm tựa lồi, hàm tựa lồi chặt và hàm nửa tựa lồi chặt (ví dụ, điểm tới hạn của hàm tựa

S Hàm f được gọi là giả lồi (pseudoconvex function) nếu với mọi

Hàm f được gọi là giả lồi chặt (strictly pseudoconvex function) nếu với mọi

Định lý dưới đây sẽ chỉ ra rằng điểm tới hạn của một hàm giả lồi là điểm cực tiểu toàn cục (tính chất tương tự như với hàm lồi) (Xem [2])

Định lý 1.33 Cho hàm f xác định trên tập lồi mở S  n, khả vi theo hướng trên S và x0S là một điểm tới hạn Nếu f là giả lồi thì x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f Hơn nữa x0 là duy nhất nếu f là hàm giả lồi chặt

Chú ý rằng tính giả lồi yêu cầu phải thỏa mãn điều kiện f x( )2  f x( )1

f x( ) (1 T x2 x1)0 tại tất cả các điểm thuộc miền xác định, trong khi đó hàm tựa lồi thỏa mãn điều kiện trên khi f x( )1 0 (theo Định lý 1.28) Theo

đó, mối liên hệ giữa hàm tựa lồi và hàm giả lồi được trình bày trong định lý dưới đây

Định lý 1.34 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi và hàm giả lồi)

Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi mở Sn

i) Nếu f giả lồi trên S thì f tựa lồi trên S

ii) Nếu f x( )0 với mọi xS thì f giả lồi trên S khi và chỉ khi f tựa lồi trên S

Chứng minh

i) Giả sử f không phải là hàm tựa lồi, khi đó tồn tại x x1, 2S, f x( )1  f x( )2

sao cho f x( ) (1 T x2 x1)0 Đặt ( )t  f x( 1t x( 2 x1)), t 0,1 là hàm thu

hẹp của f trên đoạn thẳng x x1; 2 Ta có   ( )t f x( 1t x( 2x1)) (T x2 x1),

suy ra (0) f x( ) (1 T x2 x1)0, chứng tỏ  đạt cực đại tại một điểm

Điều này mâu thuẫn với ( )t0  f x( ) (0 T x2 x1)0 Vậy giả sử trên là sai

ii, Ngược lại là hiển nhiên, theo Định lý 1.28

Nếu f khả vi liên tục hai lần ta có một số đặc trưng sau (xem [2])

Định lý 1.35 Cho  là hàm khả vi liên tục hai lần xác định trên khoảng mở

I  Khi đó  là giả lồi (giả lồi chặt) trên I nếu và chỉ nếu với mỗi t0I

sao cho ( )t0 0, ( )t0 0 hoặc ( )t0 0 thì t0 là cực tiểu địa phương (hoặc cực tiểu địa phương chặt) tại t0

Định lý 1.36 Cho f là hàm khả vi liên tục hai lần xác định trên tập lồi mở

sau được thỏa mãn:

S Nếu f x( )0 với mọi xS thì f giả lồi trên S nếu và chỉ nếu

thỏa mãn điều kiện (1.5)

Trong trường hợp f chỉ khả vi theo hướng trên một tập S nào đó, người ta

đưa ra định nghĩa hàm giả lồi và giả lồi chặt như sau (xem [12])

Định nghĩa 1.11 Hàm khả vi theo hướng f xác định trên S được gọi là giả

lồi trên S nếu với mọi x0S, v 1, t0, D f x v ( )0 0 suy ra

( ) ( )

Định nghĩa 1.12 Hàm f xác định và khả vi theo hướng trên S được gọi là

giả lồi chặt trên S nếu

0

x S v  t 0, D f x v ( )0 0 suy ra f x( 0 tv) f x( ).0 (1.7)

Mangasarian (xem [6]) đã chỉ ra rằng hàm giả lồi cũng là hàm tựa lồi và nửa tựa lồi chặt Từ định nghĩa 1.10 và định nghĩa 1.11 ta có hàm giả lồi chặt là hàm giả lồi Ponstein (xem [6]) đã chỉ ra hàm vừa giả lồi vừa tựa lồi chặt là hàm giả lồi chặt

Định lý 1.38 (Mối liên hệ giữa hàm giả lồi và nửa tựa lồi chặt, tựa lồi)

Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi mở Sn Nếu f giả lồi trên S

thì f vừa nửa tựa lồi chặt, vừa tựa lồi trên S Điều ngược lại không đúng

f x   x  f x Vậy f là hàm nửa tựa lồi chặt Vì f liên tục nên

f cũng là hàm tựa lồi trên  1

Hàm f x không phải là hàm giả lồi trên ( ) 1 vì chọn x2  a 0,x10 ta có

3

( ) 0 ( )

f x a   f x nhưng f x( )(1 x2 x1) f x( ).0 x2 0.x2 0

Định lý 1.39 (Tương tự tính chất của hàm lồi và tựa lồi chặt)

Cho hàm f xác định trên tập lồi mở Sn, f là giả lồi Khi đó cực tiểu địa phương của f trên S cũng là cực tiểu toàn cục

Định lý 1.40 (Mối liên hệ giữa hàm lồi và hàm giả lồi)

Cho hàm f xác định trên tập lồi mở Sn. Nếu f lồi và khả vi thì f giả lồi trên S

Thí dụ lớp hàm vừa là hàm giả lồi vừa là hàm giả lõm trên S

Cho S  n là tập lồi Hàm F trên S được xác định bởi ( )

T T

trong đó c d, n, ,  là các số Nếu c x T   0 với mọi xS thì F vừa

là hàm giả lồi vừa là hàm giả lõm trên S

Hệ quả 1.3 Hàm F là hàm nửa tựa lồi chặt (và tựa lồi), đồng thời cũng là hàm nửa tựa lõm chặt (và tựa lõm)

Mối liên hệ giữa các hàm lồi, lồi suy rộng

1) Nếu hàm f xác định trên tập lồi mở S và khả vi thì mối liên hệ giữa các

loại hàm lồi được nêu trong sơ đồ trong hình 1.4

Hình 1.4 Mối liên hệ giữa các loại hàm lồi khả vi

2) Nếu hàm f xác định trên tập lồi mở S nhưng không khả vi thì mối liên hệ

giữa các loại hàm lồi được nêu trong sơ đồ trong Hình 1.5

Hình 1.5 Mối liên hệ giữa các loại hàm lồi

1.3 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hướng

Trước khi chứng minh một số đặc trưng mới của hàm lồi (lồi suy rộng) ta đưa

ra một số khái niệm sau (xem[12])

Định nghĩa 1.13 (Điểm cực tiểu địa phương mạnh) Hàm đơn trị g xác định

trên tập S đạt cực tiểu địa phương mạnh tại t0S nếu tồn tại  0 và  0sao cho g t( )g t( )0 (tt0)2 với mọi t t0 , t0   và tS

Định nghĩa 1.14 (Cực đại trên đoạn thẳng-line segment maximum property)

Cho f là một hàm số xác định trên tập Sn. Hàm f được gọi là có tính

chất cực đại trên đoạn thẳng x x0; 0 tv (line segment maximum property) nếu cực đại của f trên x x0; 0tv đạt được trên đoạn thẳng đó, tức là với mỗi x0S, n

0,

t  t và  0, t là đoạn thẳng nối 0 và t

Hàm f được gọi là có tính chất cực đại trên S nếu nó có tính chất cực đại

trên mọi đoạn thẳng x x0; 0tvS với mọi v có tính chất n

0

v  x  tv S

Định lý 1.41 Cực đại của hàm tựa lồi trên đoạn thẳng compact bất kỳ (đóng

và bị chặn) chứa trong S đạt được trên đoạn thẳng đó, tức là hàm tựa lồi có tính chất (1.8)

Kí hiệu  b c; , b c; , b c;  và b c;  với bc tương ứng là đoạn thẳng,

khoảng và các nửa đoạn thẳng mở trong 

Trong cả ba định nghĩa 1.15, 1.16, 1.17 dưới đây ta coi g là hàm số xác định

trên đoạn  b c,

Định nghĩa 1.15 Hàm g đạt semi cực đại chặt địa phương từ phía trên

(one-sided semistrict local maximum from above) tại t0b c,  nếu tồn tại  0sao cho g t( )0 g t(0 h) với mọi h thỏa mãn 0   h  c t0 và

( ) ( )

g t g t 

Định nghĩa 1.16 Hàm g đạt semi cực đại chặt địa phương từ phía dưới

(one-sided semistrict local maximum from below) tại t0b c,  nếu tồn tại  0sao cho g t( )0 g t( 0 h) với mọi h thỏa mãn 0   h  t0 b và

hướng tại t0

Định nghĩa 1.17 Hàm g đạt semi cực đại chặt địa phương(semistrict local

maximum) tại t0 b c; nếu nó đồng thời đạt semi cực đại chặt địa phương từ phía trên và từ phía dưới (one-sided semistrict local maximum from above and below) tại t0

Điểm semi cực đại chặt địa phương mạnh hơn khái niệm cực đại địa phương nhưng yếu hơn cực đại địa phương chặt

Đặc trƣng hàm tựa lồi

Định lý 1.42 (Định lí 4, [12]) Hàm f xác định trên S là tựa lồi trên S nếu

và chỉ nếu f thỏa mãn tính chất cực đại trên các đoạn thẳng trên S và tính chất

x S v  t  x  tv S suy ra hàm g t( ) f x( 0tv)

không đạt semistrict local maximum trên 0,t . (1.9)

Hệ quả 1.4 Cho f là hàm nửa liên tục trên hoặc liên tục trên S , khi đó f

tựa lồi nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn (1.9)

Hàm f nửa liên tục trên trên S nếu x f x: ( )  là tập đóng với mỗi số

thực 

Chứng minh Hàm f nửa liên tục trên hoặc liên tục thì luôn thỏa mãn (1.8),

do vậy theo Định lý 1.42 nó chỉ cần thỏa mãn (1.9)

Hệ quả 1.5 Hàm f xác định trên S và khả vi theo hướng trên S là tựa lồi

phương bán chặt (semistrict local maximum) tại t0.

Hệ quả 1.6 Hàm khả vi f xác định trên tập mở S là tựa lồi nếu và chỉ nếu

x S v  v f x  g t  f x tv không đạt semi cực đại chặt

địa phương tại t 0. (1.11)

Hệ quả 1.7 Cho f là hàm khả vi liên tục hai lần xác định trên tập mở S, f

tựa lồi nếu và chỉ nếu x0S v, 1,v Tf x( )0 0 suy ra

i) v T2f x v( )0 0 hoặc

ii) v T2f x v( )0 0 và hàm g t( ) f x( 0 tv) không đạt semi cực đại chặt địa

phương tại t 0. (1.12)

Định lý 1.43 (Định lí 5, [12]) Cho hàm f khả vi liên tục hai lần trên tập lồi

mở S và thỏa mãn giả thiết f x( )0 0n với mọi x0S (0n là véctơ không

nchiều), khi đó f tựa lồi nếu và chỉ nếu

0

x S , v 1, v Tf x( )0 0 suy ra v T2f x v( )0 0 (1.13)

Đặc trƣng hàm nửa tựa lồi chặt

Đặc trưng dưới đây của hàm nửa tựa lồi chặt tương tự hàm tựa lồi

Định lý 1.44 (Định lí 7, [12]) Hàm f nửa liên tục dưới xác định trên S là

hàm nửa tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn line segment maximum property (1.8) và tính chất (1.14) dưới đây

x S v 1, t 0, x0  tv S, x0 tv S, hàm g t( ) f x( 0 tv) đạt cực đại địa phương tại t0 suy ra g không đạt one sided semistrict local maximum tại t 0 (1.14)

Chứng minh

Điều kiện cần f nửa tựa lồi chặt suy ra (1.8) và (1.14)

Hàm f nửa tựa lồi chặt và nửa liên tục dưới thì tựa lồi nên (1.8) được thỏa mãn, do vậy chỉ cần chỉ ra nếu f thỏa mãn (1.8) và không thỏa mãn (1.14) thì

f không nửa tựa lồi chặt Điều này là dễ dàng

Điều kiện đủ Từ (1.8) và (1.14) suy ra f nửa tựa lồi chặt

Giả sử f không là hàm nửa tựa lồi chặt, tức là tồn tại hai điểm x x1, 2S,

( ) ( ),

f x  f x và *: 0*1 sao cho f x( )1  f(*x1 (1 *) )x2 Bất

đẳng thức này chứng tỏ f đạt cực đại địa phương trên phần trong của đoạn

nối x1 với x2 và cũng đạt one sided semistrict local maximum Điều này mâu

thuẫn với (1.14) Do vậy giả sử là sai, vì vậy f là hàm nửa tựa lồi chặt

Hệ quả 1.8 Hàm f liên tục xác định trên tập S là nửa tựa lồi chặt nếu và

chỉ nếu thỏa mãn (1.14)

Do hàm f liên tục luôn thỏa mãn (1.8) nên theo Định lý 1.44, f chỉ cần thỏa

mãn (1.14)

Hệ quả 1.9 Hàm khả vi theo hướng f xác định trên tập S là nửa tựa lồi chặt

Hệ quả 1.10 Hàm khả vi liên tục hai lần f xác định trên tập mở S là nửa

tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu với mỗi x0S, v 1, v Tf x( )0 0 suy ra

i) v T2f x v( )0 0 hoặc

ii) v T2f x v( )0 0 và hàm g t( ) f x( 0 tv) không đạt cực đại địa phương tại

0

t tức là cũng không đạt one sided semistrict local maximum

Đặc trƣng của hàm tựa lồi chặt

Đặc trưng dưới đây tương tự đặc trưng của hàm tựa lồi

Định lý 1.45 (Định lí 9, [12]) Hàm f xác định trên S là tựa lồi chặt nếu f

có line segment maximum property (1.8) tính chất (1.15) dưới đây:

x S v  t  x  tv S x  tv S

suy ra g t( ) f x( 0tv) không đạt cực đại địa phương tại t 0. (1.15)

Chứng minh Hàm f tựa lồi chặt suy ra f tựa lồi và tựa lồi suy ra (1.8) Do

vậy f tựa lồi chặt suy ra (1.8) được thỏa mãn Ta chỉ cần chỉ ra nếu f thỏa mãn (1.8) và không thỏa mãn (1.15) thì f không tựa lồi chặt Điều này là dễ

dàng

Chiều ngược lại (1.8) và (1.15) suy ra f tựa lồi chặt

Với mọi x x1, 2S x, 1 x2 và f x( )1  f x( ).2 Ký hiệu tập các điểm cực đại

của f trên đoạn thẳng đóng nối x1 và x2 là M

Nếu M  x1 hoặc M x x1, 2 thì f x( )1  f(x1 (1 ) )x2 với 0  1

f  x   x  f x   x với mọi  thỏa mãn 0  1 Vì

vậy f phải đạt cực đại địa phương trên đoạn nối x1 và x2 Điều này mâu

thuẫn với (1.15), suy ra giả thiết sai Vậy f là tựa lồi chặt

Hệ quả 1.11 Hàm f liên tục (hoặc nửa liên tục trên) xác định trên tập S là

tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu tính chất (1.15) được thỏa mãn

Hệ quả 1.12 Hàm f khả vi theo hướng xác định trên S là tựa lồi chặt nếu và

chỉ nếu thỏa mãn điều kiện (1.16) dưới đây:

x S v  t 0, x0 tv S, x0  tv S, D f x v ( )0 0 suy ra

0

( ) ( )

g t  f x tv không đạt cực đại địa phương tại t 0. (1.16)

Hệ quả 1.13 Hàm f khả vi liên tục hai lần xác định trên tập mở S là hàm

tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu x0S, v 1, v Tf x( )0 0 suy ra

( ) ( )

g t  f x tv (xác định với mọi t sao cho x0  tv S )

đạt cực tiểu địa phương tại t0. (1.17)

Hệ quả 1.14 Hàm f khả vi liên tục hai lần trên tập mở S là hàm giả lồi nếu

và chỉ nếu với mỗi x0S, v 1, v Tf x( )0 0 suy ra

suy ra g t( ) f x( 0 tv) đạt cực tiểu chặt địa phương tại t 0. (1.19)

Hệ quả 1.15 Hàm f khả vi liên tục hai lần xác định trên tập mở S là giả lồi

chặt nếu và chỉ nếu với mỗi x0S, v 1, v Tf x( )0 0 suy ra

i) v T2f x v( )0 0 hoặc

ii) v T2f x v( )0 0 và hàm g t( ) f x( 0 tv) đạt cực tiểu chặt địa phương tại

0

So sánh tính chất (1.16) và (1.19) ta có: giả lồi chặt => tựa lồi chặt (Kết quả

được chứng minh bởi Ponstein, xem [7]), cả hai loại hàm này đều có chung

tính chất:

i) Mọi cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục và là duy nhất

ii) Đường mức I u( )x f x: ( )u x, S không chứa bất kỳ đoạn thẳng nào