Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH CHANG CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH CHANG CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 1-2 Chƣơng 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng 3 1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 3 1.2 Một số đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 10 1.3 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hướng 23 1.4 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua dưới vi phân 37 Chƣơng 2 Đặc trƣng hàm lồi qua dƣới vi phân Frechet và dƣới vi phân Mordukhovich 40 2.1 Một số định nghĩa cơ bản 41 2.2 Điều kiện cần cấp hai 46 2.3 Điều kiện đủ cấp hai 48 2.4 Đặc trưng của hàm lồi mạnh 57 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Giải tích lồi với nền tảng cơ bản là tập lồi và hàm lồi đã được nghiên cứu và triển khai ứng dụng vào bài toán tối ưu hóa, các bài toán kinh tế và quản lí, từ những năm 70 của thế kỉ trước. Nhiều nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng dẫn tới nhu cầu mở rộng khái niệm hàm lồi. Nhiều lớp hàm lồi suy rộng (tựa lồi, giả lồi, ) đã được Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar, nghiên cứu cách đây 50 năm. Ngày nay, đặc trưng và nghiên cứu các tính chất của các lớp hàm lồi, mối liên quan của tính lồi với tính đơn điệu của đạo hàm (suy rộng) bậc nhất và tính xác định dương của đạo hàm (suy rộng) bậc hai vẫn đang được các nhà toán học trên thế giới và ở Việt Nam quan tâm mạnh mẽ. Các hàm số gặp trong các bài toán ứng dụng nói chung thường có dạng phức tạp, vì vậy thường là không khả vi. Điều này dẫn tới phải mở rộng khái niệm đạo hàm. Các đạo hàm suy rộng thường gặp là đạo hàm theo hướng, đạo hàm Dini, dưới vi phân Clark, dưới vi phân Rockaffelar, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng là những công cụ tốt để nghiên cứu nhiều vấn đề của giải tích ứng dụng, trong đó có đặc trưng hàm lồi. Luận văn Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng có mục đích trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi (thông qua các tính chất hình học và giải tích, thông qua đạo hàm và dưới vi phân suy rộng, ). Nội dung chính của Luận văn gồm hai chương. Chương 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng Chương 1 trình bày định nghĩa các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng và quan hệ giữa chúng. Trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng thông qua các tính chất giải tích và hình học. Đặc biệt trình bày Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 các đặc trưng của hàm lồi thông qua công cụ đạo hàm (gradien, Hessian, gradient suy rộng, đạo hàm theo hướng, ). Chương 2 Đặc trưng hàm lồi qua dưới vi phân Frechet và dưới vi phân Mordukhovich. Một hướng mở rộng khá tự nhiên và hữu hiệu khái niệm đạo hàm là khái niệm đối đạo hàm và dưới vi phân Mordukhovich. Gần đây, nhóm nghiên cứu của Giáo sư Nguyễn Đông Yên đã sử dụng thành công khái niệm dưới vi phân Mordukhovich cấp hai để đặc trưng hàm lồi và hàm lồi mạnh. Chương hai trình bày các đặc trưng này dựa trên hai bài báo [10] và [11]. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS-TS Tạ Duy Phượng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy hướng dẫn. Tác giả xin cám ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học cùng các Thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học Toán K3 Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiên cứu một cách nghiêm túc trong suốt khóa học. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian, cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2011 Nguyễn Thị Quỳnh Chang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 CHƢƠNG I HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG 1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 1.1.1 Tập lồi Tập n S   được gọi là tập lồi nếu S chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó, tức là với mọi 12 ,x x S thì 12 (1 )x x S     với mọi   0,1 .   1.1.2 Hàm nửa liên tục dƣới Hàm :fS  được gọi là nửa liên tục dưới tại n xS nếu liminf ( ) ( ) n n xx f x f x   với mọi dãy   n xS hội tụ đến .x Điều này tương đương với: với mọi 0   tồn tại 0   sao cho 0 ( ) ( )f x f x   đúng với mọi 0 ( , ) .x B x S   Nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm xS thì ta nói f là hàm nửa liên tục dưới trên .S 1.1.3 Hàm lồi Định nghĩa 1.1 Hàm f xác định trên một tập lồi n S   được gọi là hàm lồi (convex function) trên S nếu 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x          với mọi 12 ,.x x S 1.1.4 Hàm lồi chặt Định nghĩa 1.2 Hàm f được gọi là lồi chặt (strictly convex) trên tập lồi n S   nếu 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x          với mọi 12 ,x x S và mọi   0,1 .   Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu f là lồi (lồi chặt). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Hàm tuyến tính ( ): , T f x a x c với n a là một vectơ và c là một số, thỏa mãn đẳng thức 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x          nên vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm nhưng nói chung nó không phải là hàm lồi chặt hoặc lõm chặt. Thí dụ, hàm hằng ()f x c là tuyến tính, vừa lồi vừa lõm nhưng không phải là hàm lồi chặt cũng không phải là hàm lõm chặt. Hình 1.1 Hàm lồi 12 (1 )xx   1 x 1 ()fx 2 ()fx 12 ( (1 ) )f x x   ()fx x 12 ( ) (1 ) ( )f x f x   2 x 0 Hình 1.2 Hàm lõm 1 ()fx 1 x 2 ()fx 12 ( (1 ) )f x x   ()fx x 12 ( ) (1 ) ( )f x f x   2 x 0 12 (1 )xx   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 1.1.5 Hàm tựa lồi Định nghĩa 1.3 Cho hàm f xác định trên tập lồi n S   . Hàm f được gọi là tựa lồi (quasiconvex) trên S nếu: Với mọi 12 ,,x x S 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( (1 ) ) ( )f x f x f x x f x       với mọi   0,1   (1.1) hay: Với mọi 12 ,,x x S   1 2 1 2 ( (1 ) ) max ( ), ( )f x x f x f x     với mọi   0,1 .   Hàm f được gọi là tựa lõm (quasiconcave) nếu f là tựa lồi hay nếu với mỗi cặp 12 ,x x S 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( (1 ) )f x f x f x f x x       với mọi   0,1 .   1.1.6 Hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) Định nghĩa 1.4 Hàm f xác định trên một tập lồi n S   được gọi là hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) trên S nếu 1 2 1 2 ( (1 ) ) max{ ( ), ( )}f x x f x f x     với mọi 12 ,,x x S 12 ,xx   0,1 .   Điều này tương đương với 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( (1 ) ) ( )f x f x f x x f x       với mọi   0,1 .   Hàm f được gọi là tựa lõm chặt nếu f là tựa lồi chặt hay 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( (1 ) ) ( )f x f x f x x f x       với mọi   0,1 .   Định lý 1.1 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi chặt và hàm tựa lồi) Cho f là hàm xác định trên tập lồi n S   . Nếu f tựa lồi chặt trên S thì f tựa lồi trên .S Điều ngược lại nói chung không đúng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chứng minh Vì f là hàm tựa lồi chặt nên theo định nghĩa ta có 1 2 1 2 ( (1 ) ) max{ ( ), ( )}f x x f x f x     với mọi 12 .xx Suy ra   1 2 1 2 ( (1 ) ) max ( ), ( )f x x f x f x     với mọi 12 xx và   0,1 .   Trường hợp 12 xx là hiển nhiên. Chiều ngược lại không đúng được chỉ ra ở ví dụ sau. Ví dụ 1.1 Xét hàm số , 0; () 0, 0. x x fx x x         Dễ thấy f là hàm tựa lồi, nhưng không tựa lồi chặt. 1.1.7 Hàm nửa tựa lồi chặt (semistrict quasiconvex) Định nghĩa 1.5 Hàm f xác định trên một tập lồi n S   được gọi là hàm nửa tựa lồi chặt (semistrictly quasiconvex) trên S nếu với mọi 12 ,x x S mà 12 ( ) ( )f x f x thì   1 2 1 2 ( (1 ) ) max ( ), ( )f x x f x f x     với mọi   0,1 .   Điều này tương đương với: với mọi 12 ,x x S mà 12 ( ) ( )f x f x thì 1 2 1 ( ) ( (1 ) )f x f x x     (1.2) với mọi   0,1 .   Hàm f được gọi là nửa tựa lõm chặt nếu f là nửa tựa lồi chặt, tức là với mọi 12 ,x x S mà 12 ( ) ( )f x f x thì   1 2 1 2 ( (1 ) ) min ( ), ( )f x x f x f x     với mọi   0,1 .   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Mối liên hệ giữa hàm nửa tựa lồi chặt và hàm tựa lồi 1) Không phải mọi hàm nửa tựa lồi chặt cũng là hàm tựa lồi. Ví dụ 1.2 Cho hàm f xác định trên 1  : 1, 0; () 0, 0. x fx x       Hàm f là hàm nửa tựa lồi chặt trên 1  vì với mọi 12 ,x x S mà 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 1f x f x f x f x    (do ()fx chỉ nhận hai giá trị 0 và 1), vậy 1 0,x  2 0.x  Với mọi   0,1   ta có 1 2 1 (1 ) 0x x x x          2 ( ) 0 ( ).f x f x     Tuy nhiên hàm f không tựa lồi vì với 12 , , 0x a x a a    ta có 12 ( ) ( ) 0f x f x nhưng 1 2 2 11 ( ) (0) 1 ( ). 22 f x x f f x    2) Hàm tựa lồi có thể không phải là hàm nửa tựa lồi chặt. Ví dụ 1.3 Hàm , 0 1; () 1, 1 2. xx fx x       Hàm f là hàm không giảm nên nó là hàm tựa lồi trên tập   0;2 .S  Nó không phải là hàm nửa tựa lồi chặt vì (0) 0 (2) 1ff   nhưng 1 1 3 [ .0 (1 ).2] ( ) 1 (2) 4 4 2 f f f     (không nhỏ hơn (2)f ). 3) Tuy nhiên nếu thêm điều kiện f nửa liên tục dưới trên S thì một hàm nửa tựa lồi chặt là hàm tựa lồi trên .S Ta có định lý sau. Định lý 1.2 (Mối liên hệ giữa hàm nửa tựa lồi chặt và hàm tựa lồi) Cho f là hàm xác định trên tập lồi n S   và nửa liên tục dưới trên .S Khi đó nếu f nửa tựa lồi chặt thì f là hàm tựa lồi trên .S [...]... liên hệ giữa các loại hàm lồi khả vi 2) Nếu hàm f xác định trên tập lồi mở S nhưng không khả vi thì mối liên hệ giữa các loại hàm lồi được nêu trong sơ đồ trong Hình 1.5 Hàm lồi chặt Hàm lồi Tựa lồi hiển Hàm tựa lồi Hình 1.5 Mối liên hệ giữa các loại hàm lồi 1.3 Đặc trƣng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hƣớng Trước khi chứng minh một số đặc trưng mới của hàm lồi (lồi suy rộng) ta đưa ra... là các số Nếu cT x    0 với mọi x  S thì F vừa là hàm giả lồi vừa là hàm giả lõm trên S Hệ quả 1.3 Hàm F là hàm nửa tựa lồi chặt (và tựa lồi) , đồng thời cũng là hàm nửa tựa lõm chặt (và tựa lõm) Mối liên hệ giữa các hàm lồi, lồi suy rộng 1) Nếu hàm f xác định trên tập lồi mở S và khả vi thì mối liên hệ giữa các loại hàm lồi được nêu trong sơ đồ trong hình 1.4 Lồi chặt Lồi Tựa lồi Giả lồi Tựa lồi. .. rằng hàm giả lồi cũng là hàm tựa lồi và nửa tựa lồi chặt Từ định nghĩa 1.10 và định nghĩa 1.11 ta có hàm giả lồi chặt là hàm giả lồi Ponstein (xem [6]) đã chỉ ra hàm vừa giả lồi vừa tựa lồi chặt là hàm giả lồi chặt Định lý 1.38 (Mối liên hệ giữa hàm giả lồi và nửa tựa lồi chặt, tựa lồi) Cho hàm f xác định và khả vi trên tập lồi mở S   n Nếu f giả lồi trên S thì f vừa nửa tựa lồi chặt, vừa tựa lồi. .. tự tính chất của hàm lồi và tựa lồi chặt) Cho hàm f xác định trên tập lồi mở S   n , f là giả lồi Khi đó cực tiểu địa phương của f trên S cũng là cực tiểu toàn cục Định lý 1.40 (Mối liên hệ giữa hàm lồi và hàm giả lồi) Cho hàm f xác định trên tập lồi mở S   n Nếu f lồi và khả vi thì f giả lồi trên S Thí dụ lớp hàm vừa là hàm giả lồi vừa là hàm giả lõm trên S Cho S   n là tập lồi Hàm F trên S... thì f là hàm nửa tựa lồi chặt trên S Mối liên hệ giữa các lớp hàm lồi suy rộng và hàm lồi với giả thiết hàm f là nửa liên tục dưới được nêu trong sơ đồ trong Hình 1.3 dưới đây Lồi chặt Lồi Tựa lồi chặt Nửa tựa lồi chặt Tựa lồi Hình 1.3 Mối liên hệ giữa các loại hàm lồi suy rộng nửa liên tục dưới Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.8 Hàm tựa lồi hiển... f là hàm giảm chặt trên  1 nên f là nửa tựa lồi chặt Kết hợp với f liên tục trên  1 ta có f là tựa lồi hiển Nhưng f là lõm chặt trên  1 và không phải là hàm lồi trên  1 Định lý 1.5 Nếu f là hàm lồi không âm, g là hàm lõm dương xác định trên tập lồi S   n thì hàm F xác định bởi F ( x)  f ( x) là hàm tựa lồi hiển trên g ( x) S 1.2 Một số đặc trƣng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 1.2.1 Đặc. .. hệ giữa hàm lồi nhiều biến và hàm lồi một biến Định lý 1.7 Cho f là hàm xác định trên tập lồi S   n Điều kiện cần và đủ để f là hàm lồi trên S là với mọi x1, x2  S , hàm một biến  : 0;1   xác định bởi  ( )  f ( x1  (1   ) x2 ) là hàm lồi trên 0, 1 Định lý 1.8 Tổ hợp tuyến tính dương các hàm lồi trên S là hàm lồi trên S , tức là: Nếu fi , i  1,2, m là các hàm lồi trên S   n và i... thì hàm f xác định bởi f ( x)   i fi ( x) cũng là hàm lồi trên S i 1 Hơn nữa f lồi chặt nếu một trong các hàm fi lồi chặt Kí hiệu trên đồ thị (epigraph) của hàm f : S   là tập epi  f , S   {( x,  ) : x  S ,    1, f ( x)   } Ta có Định lý 1.9 (Mối liên hệ giữa hàm lồi và trên đồ thị của nó) Hàm f xác định trên tập lồi S   n là hàm lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thị của nó là tập lồi trong... điều kiện (**)) Vì vậy hàm tựa lồi mạnh trong trường hợp khả vi liên tục hai lần có thể được đặc trưng bởi điều kiện (*) và (**) Các điều kiện này thường xuất hiện trong các bài toán kinh tế So sánh Định lý 1.47 và Định lý 1.48 ta có hàm tựa lồi mạnh là hàm giả lồi chặt (điều ngược lại không đúng), cho nên có thể gọi lớp hàm tựa lồi mạnh là lớp hàm giả lồi mạnh Đặc trƣng của hàm lồi Định lý 1.49 (Định...  0 với mọi x  S Khi đó f tựa lồi trên S khi và chỉ khi x  S , y   n , yT f ( x)  0 suy ra yT 2 f ( x) y  0 Hàm giả lồi, giả lồi chặt Một điểm tới hạn của hàm lồi (điểm dừng, điểm x0 mà f ( x0 )  0 ) cũng là điểm cực tiểu toàn cục Tính chất này không được thỏa mãn đối với hàm tựa lồi, hàm tựa lồi chặt và hàm nửa tựa lồi chặt (ví dụ, điểm tới hạn của hàm tựa lồi chặt  (t )  t 3 không là . Chƣơng 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng 3 1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 3 1.2 Một số đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 10 1.3 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng. vấn đề của giải tích ứng dụng, trong đó có đặc trưng hàm lồi. Luận văn Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng có mục đích trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi (thông qua các tính. các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng và quan hệ giữa chúng. Trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng thông qua các tính chất giải tích và hình học. Đặc biệt trình bày