Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hướng

Hệ quả 1.18Cho f xác định trên tập mở S là hàm khả vi trên S. Hàm f là lồi trên S nếu và chỉ nếu

0 ,

x S v 1 suy ra h t( ) f x( 0tv)tvTf x( )0

đạt cực tiểu địa phương tại t0. (1.31)

Hệ quả 1.19 Cho hàm f xác định trên tập mở S khả vi liên tục hai lần trên , .

S Hàm f là lồi trên S nếu và chỉ nếu x0S, v 1 suy ra

i) vT2f x v( )0 0 hoặc

ii) vT2f x v( )0 0 và hàm h t( ) f x( 0 tv)tvTf x( )0 đạt cực tiểu địa

phương tại t 0. (1.32) Đặc trưng tính lồi đưa ra bởi hệ quả 1.19 tương đương với (1.26), nhưng nó

không quá đơn giản như (1.26). Tuy nhiên đặc trưng tính lồi trong trường hợp khả vi đưa ra bởi Hệ quả 1.18 ở trên chỉ xoáy vào tính địa phương của hàm, và do đó thường dễ kiểm tra hơn đặc trưng đưa ra trong hệ quả 1.17.

Đặc trƣng hàm lồi chặt

Định lý 1.52 (Định lí 16, [12]) Cho hàm f xác định trên S khả vi theo ,

hướng trên S Khi đó f lồi chặt trên S nếu và chỉ nếu với mỗi . x0S, 1

v  , t0, x0  tv S,

0 0 0

( ) ( ) v ( ).

f x tv  f x tD f x (1.33)

Hệ quả 1.20 Cho f là hàm xác định và khả vi trên tập mở S Khi đó f là .

hàm lồi chặt trên S nếu và chỉ nếu với mỗi x x1, 2S, x1 x2,

2 1 1 2 1

( ) ( ) ( ) (T ).

f x  f x  f x x x (1.34) Mỗi xấp xỉ tuyến tính hay tiếp tuyến với hàm lồi chặt nằm phía dưới đồ thị của hàm lồi chặt, chấp nhận cả những tiếp điểm.

Trong trường hợp f là hàm khả vi liên tục hai lần thì điều kiện cần và đủ để f là hàm lồi chặt là 0 , x S v 1, t 0, x0  tv S suy ra vT2f x v( )0 0 và 2 0 ( ) 0 T v  f x tv v với hầu khắp t0, t. (1.35) Nếu f không khả vi hai lần ta có một số đặc trưng sau.

Định lý 1.53 (Định lí 17, [12]) Hàm f lồi chặt trên S nếu và chỉ nếu

0 , x S v 1, t 0, x0  tv S, 1 .  0 ( ) ( )

g t  f x tv kéo theo h t( ) g t( )t là hàm tựa lồi chặt. (1.36) Điều này tương đương với (sử dụng Định lý 1.45):

x0S, v 1, t 0, x0  tv S, 1

,

 h t( ) f x( 0 tv)t suy ra h có line segment maximum property (1.8)trên 0, t  và h không đạt cực

đại địa phương tại bất kỳ t00, t . (1.37)

Định lý 1.54 (Điều kiện cần và đủ để một hàm khả vi theo hướng là lồi chặt)

Cho f là hàm xác định và khả vi theo hướng trên S , f lồi chặt trên S nếu và chỉ nếu

0 ,

x S v 1, t 0, x0  tv S, 1

,

 g t( ) f x( 0 tv)

suy ra h t( )g t( )t là hàm giả lồi chặt. (1.38) Điều này tương đương với (sử dụng Định lý 1.47):

x0S, v 1, t 0, x0 tv S, g t( ) f x( 0 tv), t0 0,t , 0

( )

g t  suy ra h t( )g t( )t đạt cực tiểu chặt địa phương trên  0,t tại

0.

Hệ quả 1.21Cho f là hàm xác định và khả vi trên tập mở S , f lồi chặt trên S nếu và chỉ nếu

0 ,

x S v 1 suy ra h t( ) f x( 0tv)tvTf x( )0

đạt cực tiểu địa phương tại t0. (1.40)

Hệ quả 1.22Cho f là hàm xác định và khả vi liên tục hai lần trên tập mở S , f lồi chặt trên S nếu và chỉ nếu

0 ,

x S v 1 suy ra vT2f x v( )0 0 hoặc vT2f x v( )0 0 và hàm

0 0

( ) ( ) T ( )

h t  f x tv tv f x đạt cực tiểu chặt địa phương tại t0. (1.41) Chú ý rằng (1.41) tương đương với (1.35).

Hàm lồi mạnh

Định nghĩa 1.20 f là hàm lồi mạnh trên S nếu và chỉ nếu tồn tại  0 sao cho với mỗi x x1, 2S, 0  1,

1 2 1 2 1 2 1 2

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (T ).

f x   x f x   f x    x x x x