Từ định nghĩa trên dễ thấy hàm lồi mạnh là hàm lồi chặt, ta có một số đặc trưng sau của hàm lồi mạnh.
Định lý 1.55 Hàm f là hàm lồi mạnh trên S nếu và chỉ nếu tồn tại 0
sao cho hàm g xác định bởi g x( ) f x( )x xT là hàm lồi trên S .
Định lý 1.56 Cho f là hàm xác định và khả vi trên tập mở S , f là hàm lồi mạnh trên S nếu và chỉ nếu với mỗi x x1, 2S,
f x( )2 f x( ) (1 x2 x1)Tf x( )1 (x2x1) (T x2 x1). (1.43)
Định lý 1.57Cho f là hàm khả vi liên tục hai lần xác định trên tập mở S , f là hàm lồi mạnh trên S nếu và chỉ nếu tồn tại 0 sao cho
0 ,
x S v 1 kéo theo vT2f x v( )0 2 . (1.44)
Chú ý
i) Từ (1.44) suy ra điều kiện: x0S, v 1 kéo theo vT2f x v( )0 0 (1.45) tức là ma trận Hessian của f xác định dương trên .S
ii) Nếu thêm điều kiện hàm f khả vi liên tục hai lần trên tập compact lồi S
có phần trong khác rỗng thì (1.45) tương đương với (1.44). iii) (1.45) kéo theo (1.41) và (1.35).
Có thể chỉ ra rằng nếu một hàm là lồi mạnh thì nó cũng là một loại trong các hàm sau: hàm tựa lồi, tựa lồi chặt, tựa lồi chặt, giả lồi, giả lồi chặt, tựa lồi
mạnh, giả lồi mạnh, hàm lồi, hàm lồi chặt.
1.4 Đặc trƣng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua dƣới vi phân Định nghĩa 1.21 (Dưới vi phân f )
Cho hàm f xác định trên S n, nửa liên tục dưới trên .S Điểm x0S.
Vectơ x* n được gọi là dưới gradient của f tại x0 nếu
*
0 0
, ( ) ( )
x x x f x f x
với mọi xS.
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại
0 x và được ký hiệu là f x( ).0 Như vậy, * * 0 0 0 ( ) n: , ( ) ( ), . f x x x x x f x f x x S
Ta nói f là dưới vi phân tại x0 nếu f x( )0 .
Nhận xét 1.3
ii) (f g x)( )0 f x( )0 g x( )0 với g là hàm lồi thực, liên tục và g là
vi phân tại x0.
Hàm g là vi phân tại x0 tức là g x( )0 và ( g x)( )0 .
Định nghĩa 1.22 Cho tập S n và ánh xạ f : S n.
i) Ánh xạ f được gọi là đơn điệu (monotone) trên S nếu với mỗi ,x yS ta có
( ) ( ), 0.
f x f y x y
ii) Ánh xạ f được gọi là đơn điệu chặt (strictly monotone) trên S nếu với mỗi ,x yS ta có
, ( ) ( ) 0.
xy f x f y
iii) Ánh xạ f được gọi là tựa đơn điệu (quasimonotone) trên S nếu với mỗi ,
x yS ta có
, ( ) 0
xy f y suy ra xy f x, ( ) 0.
Một đặc trưng của hàm lồi qua dưới vi phân được trình bày trong Định lý dưới đây (xem [1]).
Định lý 1.58 Cho f là hàm lồi xác định trên tập Sn. Khi đó:
* ( ) x f x * 0 , v ( ) x v D f x với mọi vn \ 0 .
Nếu f liên tục tại x0 thì dưới vi phân f x( )0 là tập lồi, compact và
* *
0 0
( ) max , : ( ) .
v
D f x x v x f x
Quan hệ giữa dƣới vi phân và đạo hàm
Hàm f khả vi tại x0 nếu tồn tại véctơ f x( )0 (véctơ gradient của f tại x0) thỏa mãn
0 0 0
( ) ( ) ( ), (|| ||).
f x v f x f x v o v
Điều này tương đương với
0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ), t f x tv f x f x v t với mọi v0. Mệnh đề
Cho hàm f xác định và là hàm lồi trên tập S n, thỏa mãn f x( )0 . Cố định điểm x0S. Nếu f khả vi tại x0 thì f x( )0 là véctơ dưới gradient duy nhất của f tại x0.
Đặc trƣng hàm tựa lồi qua dƣới vi phân
Chúng ta đã biết, trong trường hợp hàm f không khả vi thì hàm f tựa lồi khi và chỉ khi
* *
( ) : , 0 ( ) ( ).
x f x x y x f x f y
Nếu f nửa liên tục dưới ta có điều kiện cần và đủ để f tựa lồi dưới đây (xem [4]).
Định lý 1.59 Cho hàm f xác định trên tập Sn là nửa liên tục dưới trên
.
S Hàm f là tựa lồi khi và chỉ khi với mỗi xS
* *
( ) : , 0 ( ) ( ),
x f x x y x f z f y
với mọi z x y y, , S.
Định lý 1.60 Cho hàm f X: là hàm nửa liên tục dưới xác định trên không gian Banach X Khi đó f. tựa đơn điệu khi và chỉ khi f tựa lồi.
CHƢƠNG II ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI QUA DƢỚI VI PHÂN CẤP HAI FRECHET VÀ DƢỚI VI PHÂN CẤP HAI LIMITING
Trong Chương 1 chúng ta đã thấy, đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai đặc trưng khá tốt tính lồi của một hàm :f S . Thí dụ, hàm f S: khả vi hai lần trên S là hàm lồi khi và chỉ khi tại mỗi điểm xS, Hessian 2f x( )
của f là một ma trận xác định dương. Tuy nhiên, không phải hàm nào cũng có đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai theo nghĩa cổ điển. Vì vậy các nhà toán học đã cố gắng mở rộng khái niệm đạo hàm. Một số đạo hàm suy rộng và đặc trưng tính lồi của hàm số thông qua đạo hàm suy rộng đã được trình bày trong Chương 1.
Trong những năm gần đây, khái niệm dưới vi phân cấp hai Frechet và dưới vi phân cấp hai limiting của một hàm nửa liên tục dưới f :n đã được nghiên cứu (xem, Mordukhovich, [3]). Dưới vi phân cấp hai Frechet và dưới vi phân cấp hai limiting có một tính chất gọi là tính chất nửa xác định dương, tương tự tính chất nửa xác định dương của một ma trận thực. Nói chung tính chất nửa xác định dương của dưới vi phân cấp hai Frechet và dưới vi phân cấp hai limiting không đủ để đảm bảo cho tính lồi của một hàm nửa liên tục dưới tùy ý. Tuy nhiên, nếu f là hàm C1,1 thì tính chất nửa liên tục dưới là một đặc trưng tốt cho tính lồi của f. Khẳng định này cũng đúng cho lớp hàm vô hướng khả vi liên tục (hàm 1
C ).
Chương này trình bày đặc trưng tính lồi của ánh xạ f :n m thông qua dưới vi phân cấp hai Frechet và dưới vi phân cấp hai limiting dựa theo hai bài báo [10] và [11].