Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG KHẮC LỢI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI LUẠN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu vi 0.1 Lý chọn đề tài vi 0.2 Mục đích nhiệm vụ vi 0.2.1 Mục đích nghiên cứu vi 0.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu vi 0.2.3 Phương pháp nghiên cứu vii 0.2.4 Bố cục luận văn vii Chương Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert thực 1.1 Không gian Hilbert thực 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Các đẳng thức bất đẳng thức 1.2 Tập lồi 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 1.2.2 Một số tính chất quan trọng 1.2.3 Phép chiếu theo chuẩn 1.2.4 Định lí tách tập lồi 10 1.3 Hàm lồi 11 1.3.1 Định nghĩa ví dụ 11 1.3.2 Một số tính chất quan trọng 13 Chương Dưới vi phân hàm lồi tính đơn điệu 16 2.1 Dưới vi phân 16 i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 ii 2.2 Đạo hàm theo hướng 21 2.3 Tính đơn điệu vi phân 25 2.3.1 Toán tử đơn điệu 25 2.3.2 Toán tử đơn điệu cực đại 26 2.3.3 Tính đơn điệu vi phân hàm lồi 27 Chương Hàm tựa lồi, hàm giả lồi tính đơn điệu suy rộng vi phân 30 3.1 Hàm tựa lồi hàm giả lồi 30 3.1.1 Định nghĩa ví dụ 30 3.1.2 Một số tính chất quan trọng 31 3.2 Tính đơn điệu suy rộng vi phân hàm tựa lồi hàm giả lồi 34 3.2.1 Toán tử tựa đơn điệu giả đơn điệu 34 3.2.2 Tính tựa đơn điệu giả đơn điệu đạo hàm hàm tựa lồi hàm giả lồi 35 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại Học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán Học trường Đại học Sư Phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn tập thể bạn bè, đồng nghiệp lớp Cao Học Toán K18B BGH, đồng nghiệp Giáo Viên trường THPT Bạch Đằng - Quảng Ninh gúp đỡ suốt thời gian học tập nghiên cứu Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, Tháng năm 2012 Tác Giả Hồng Khắc Lợi iii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 iv Danh mục kí hiệu viết tắt H, Hi , K: Khơng gian Hilbert thực; 2H : Tập tất tập H ; R : Tập số thực; N : Tập hợp số tự nhiên; | : Tích vơ hướng; ||.|| : Chuẩn khơng gian Hilbert; [−∞, +∞]: Tập số thực mở rộng; R+ : = [0, +∞); R++ : = (0, +∞); in f : Cận đúng; : Cực tiểu; sup : Cận đúng; max : Cực đại; α ↓ µ: α ∈ (µ, +∞) α dần đến µ; C − D : Hiệu Minkowski tập C D; span C : Không gian affine căng C; spanC : Khơng gian đóng affine căng tập C; C : Bao đóng C; C ⊥ : Phần bù trực giao C; convC : Bao lồi tập C; convC : Bao lồi đóng tập C; coreC: Lõi tập C; int C : Phần C; bdryC : Biên C; coneC: Bao nón tập C; NC : Nón chuẩn tắc C; PC : Phép chiếu lên tập C; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 v σC : Hàm tựa tập C; dC : Hàm khoảng cách tập C; B( x, ) : Hình cầu đóng tâm x, bán kính ; ΓH : Tập hàm lồi nửa liên tục từ H vào [−∞, +∞]; Γ0 H : Tập hàm lồi thường nửa liên tục từ H vào (−∞, +∞]; i∈ I f i : Tổng trực tiếp hàm; dom f : Miền xác định f ; f ∗ : Hàm liên hợp f ; ∂ f ( x ) : Dưới vi phân f x ; f ( x ) f ( x ) : Đạo hàm f x ; f ( x, y) : Đạo hàm theo hướng y f x; Argmin f : Tập cực tiểu toàn cục hàm f ; zer A: Tập khơng điểm tốn tử A epi f : Trên đồ thị hàm f ; gra f : Đồ thị hàm f Id : Toán tử đồng nhất; cont f : Miền liên tục hàm f ; l ( I ) : Không gian Hilbert tổng hàm từ I vào R; B(H, K): Không gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ H vào K; i∈ I Hi : Tổng trực tiếp khơng gian Hilbert; ×i∈ I Hi : Tích khơng gian Hilbert; ( x, y) : Khoảng R ; [ x, y] : Đoạn R; ( xi )i∈ I : Họ vectơ H Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài Giải tích lồi mơn quan trọng giải tích phi tuyến tính đại Giải tích lồi nghiên cứu khía cạnh giải tích khái niệm, tính chất tập lồi hàm lồi Tính đơn điệu vi phân hàm lồi tính chất quan trọng hàm lồi, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu đạt nhiều kết sâu sắc với ứng dụng quan trọng lĩnh vực khác Việc nghiên cứu tính đơn điệu vi phân hàm lồi hoàn chỉnh hàm lồi đề tài cần quan tâm nghiên cứu mơn giải tích lồi 0.2 0.2.1 Mục đích nhiệm vụ Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày cách có hệ thống kiến thức quan trọng vi phân hàm lồi tính đơn điệu 0.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: 1) Nghiên cứu tập lồi hàm lồi không gian Hilbert thực 2) Đạo hàm theo hướng vi phân hàm lồi vi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 vii 3) Tính đơn điệu vi phân hàm lồi 4) Hàm tựa lồi hàm giả lồi 5) Tính đơn điệu suy rộng vi phân hàm tựa lồi hàm giả lồi 0.2.3 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích hàm kết hợp với phương pháp giải tích đại - Sử dụng phương pháp lí thuyết tối ưu - Kế thừa phương pháp kết lý thuyết ưu không trơn 0.2.4 Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 47 trang, có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương : Trình bày số kiến thức : Không gian Hilbert thực, tập lồi, hàm lồi Chương : Dưới vi phân hàm lồi tính đơn điệu Nội dung chương trình bày việc xây dụng đạo hàm theo hướng vi phân hàm lồi, toán tử đơn điệu tính đơn điệu vi phân hàm lồi Chương : Hàm tựa lồi, hàm giả lồi tính đơn điệu suy rộng vi phân Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 Chương Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert thực Nội dung kiến thức luận văn nghiên cứu khơng gian Hilbert thực, ta kí hiệu khơng gian H với tích vơ hướng | || || chuẩn H tương ứng với tích vơ hướng này, với khoảng cách d, tức là: x | x d( x, y) = || x − y|| Với x, y ∈ H ta có || x || = Chương nhằm giới thiệu khái niệm nhất, tính chất đặc trưng tập lồi hàm lồi không gian Hilbert thực Các kiến thức chương trích từ sách ”Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces” tác giả HenizH Bauschke PatrickL Combettes [2] Hầu hết hàm luận văn hàm f : H → R ∪ {+∞} 1.1 Không gian Hilbert thực 1.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Phần bù trực giao tập C ⊆ H kí hiệu C ⊥ , tức C ⊥ = {u ∈ H | ∀ x ∈ C, x | u = 0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 Một sở tập C ⊆ H gọi sở trực giao H spanC = H Không gian H gọi tách có sở trực giao đếm Bây giả sử ( xi )i∈ I họ vectơ H giả sử I lớp tập hữu hạn khác rỗng I định hướng ⊂ Khi ( xi )i∈ I khả tổng tồn x ∈ H mà (∑i∈ J xi ) J ∈I hội tụ đến x, tức là, ∀ε ∈ R++ , ∃K ∈ I , ∀ J ∈ I , J ⊃ K ⇒ || x − ∑ xi || ≤ ε j∈ J Trong trường hợp ta viết x = ∑i∈ I xi Đối với (αi )i∈ I [0, +∞], ta có ∑ αi = sup ∑ αi i∈ I J ∈I j∈ J Đây trường hợp riêng khơng gian Hilbert thực sử dụng luận văn Ví dụ 1.1 Tổng trực tiếp họ không gian Hilbert thực (Hi , || ||i )i∈ I không gian Hilbert thực Hi = { x = ( xi )i ∈ I ∈ ×i ∈ I Hi | ∑ ||xi ||2i < +∞} i∈ I i∈ I Được trang bị với phép cộng ( x, y) → ( xi + yi )i∈ I Nhân (α, x ) → (αxi )i∈ I Tích vơ hướng ( x, y) → ∑ xi | yi i∈ I Khi I tập hữu hạn, ta dùng chung kí hiệu ×i∈ I Hi để thay cho i∈ I Hi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 26 Chứng minh Lấy ( x, u) (y, v) ∈ gra∂ f Ta có: x − y | u + f (y) ≥ f ( x ) y − x | v + f ( x ) ≥ f ( y ) Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta x − y | u − v ≥ Ví dụ 2.3 Cho D tập khác rỗng H, cho T : D → H không mở, α ∈ [0, 1] A = Id + αT Khi ∀ x ∈ D, ∀y ∈ D x − y | Ax − Ay = || x − y||2 + α x − y | Tx − Ty ≥ || x − y||(|| x − y|| − |α||| Tx − Ty||) ≥ Do A đơn điệu Mệnh đề 2.11 Cho A : H → 2H đặt f = | , mệnh đề sau tương đương: (i) A đơn điệu (ii) Cho tất tổ hơp hữu hạn (αi )i∈ I (0, 1) mà ∑i∈ I αi = ( xi , ui )i∈ I ∈ gra A, ta có f ( ∑ αi ( xi , ui )) ≤ i∈ I ∑ α i f ( x i , u i ) i∈ I (iii) f hàm lồi 2.3.2 Toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 2.4 Cho A : H → 2H đơn điệu, A gọi đơn điệu cực đại khơng tồn tốn tử đơn điệu B : H → 2H mà gra B thực chứa gra A, tức ( x, u) ∈ H × H, ( x, u) ∈ gra A ⇔ ∀(y, v) ∈ gra B, x − y | u − v ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn34 27 Ví dụ 2.4 Cho T : H → H không mở α ∈ [−1, 1] Id + αT toán tử đơn điệu cực đại Mệnh đề 2.12 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại x ∈ H Khi Ax lồi đóng Chứng minh Giả sử x ∈ domA, ta có { u ∈ H | x − y | u − v ≥ 0} A= (y,v)∈gra A (giao tập lồi đóng) Suy Ax lồi đóng 2.3.3 Tính đơn điệu vi phân hàm lồi Định lý 2.2 Cho f ∈ Γ0 (H × H) A định nghĩa thông qua gra A = {( x, u) ∈ H × H | f ( x | u) = x | u } Khi A đơn điệu cực đại Một hệ định lí 2.2 kết sau tính cực đại vi phân Định lý 2.3 Cho f ∈ Γ0 (H) , ∂ f đơn điệu cực đại Chứng minh Ta có f f ∗ tự liên hợp ( x, u) ∈ H × H | ( f f ∗ )( x, u) = x | u = gra∂ f Ta suy ∂ f đơn điệu cực đại Ví dụ 2.5 Cho C tập lồi đóng khác rỗng H, NC đơn điệu cực đại Định nghĩa 2.5 Cho A : H → 2H với n ∈ N mà n ≥ Khi A đơn điệu tuần hoàn ( x1 , , xn+1 ) ∈ Hn+1 (u1 , , un ) ∈ Hn ,  ( x1 , u1 ) ∈ gra A    n ⇒ ∑ xi+1 − xi | ui ≤  ( x , u ) ∈ gra A n n  i =1  x n +1 = x n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 28 Mệnh đề 2.13 Cho f : H → (−∞, +∞] hàm lồi thường, nửa liên tục ∂ f đơn điệu tuần hoàn Chứng minh Ta cố định số tự nhiên n ≥ Với i ∈ {1, , n}, lấy ( xi , ui ) ∈ gra∂ f Đặt xn+1 = x1 , ta có: ∀i ∈ {1, , n} , xi+1 − xi | ui ≤ f ( xi+1 ) − f ( xi ) Suy ∑in=1 xi+1 − xi ≤ Định lý 2.4 (Rockafellar) Cho A : H → 2H Khi A đơn điệu tuần hồn cực đại tồn f ∈ Γ0 (H) cho A = ∂ f Chứng minh Giả sử A = ∂ f cho f ∈ Γ0 H, theo mệnh đề 2.13 kéo theo A toán tử đơn điệu cực đại là đơn điệu tuần hoàn Như A đơn điệu tuần hoàn cực đại Ngược lại giả sử A đơn điệu tuần hồn cực đại, gra A = Lấy ( x0 , u0 ) ∈ gra A đặt f : H → [−∞, +∞] n −1 x→ sup sup n≥1,n∈N ( xi ,ui )∈gra A x − xn | un + ∑ x i +1 − x i | u i , i =0 ∀i = 1, n Từ gra A = 0, ta kết luận −∞ ∈ f (H) Và f ∈ ΓH Theo tính đơn điệu tuần hồn A ta có f ( x0 ) = 0, với f ∈ Γ0 H Bây lấy ( x, u) ∈ gra A η ∈ (−∞, f ( x )], tồn hữu hạn điểm ( x1 , u1 ), , ( xn , un ) gra A mà n −1 x − xn | un + ∑ xi+1 − xi | ui > η (2.3) i =0 Đặt ( xn+1 , un+1 ) = ( x, u), sử dụng (2.3) Ta suy với y ∈ H n f ( y ) ≥ y − x n +1 | u n +1 + ∑ x i +1 − x i | u i i =0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn36 29 n −1 = y − x | u + x − xn | un + ∑ x i +1 − x i | u i i =0 > y − x | u + η Cho η ↑ f ( x ), ta suy ∀y ∈ H, f (y) ≥ f ( x ) + y − x | u , tức u ∈ ∂ f ( x ) Do gra A ⊂ gra∂ f Từ suy ∂ f đơn điệu tuần hoàn A đơn điệu tuần hoàn cực đại, ta kết luận A = ∂ f Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn37 Chương Hàm tựa lồi, hàm giả lồi tính đơn điệu suy rộng vi phân Hàm tựa lồi hàm giả lồi hàm quan trọng giải tích đặc biệt giải tích lồi chúng nghiên cứu nhiều Trong chương nghiên cứu định nghĩa số tính chất quan trọng hàm tựa lồi hàm giả lồi với tính đơn điệu suy rộng vi phân hàm tựa lồi hàm giả lồi Nội dung kiến thức nghiên cứu chương trích từ sách "Generalized Convexity and Optimization Theory and Applications" tác giả Alberto Cambini - Laura Martein [1] 3.1 Hàm tựa lồi hàm giả lồi 3.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 3.1 Cho f hàm xác định tập C ⊆ H Hàm f gọi tựa lồi C f (αx + (1 − α)y) ≤ max { f ( x ), f (y)} , ∀ x, y ∈ C ∀α ∈ [0, 1] 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn38 31 Hay tương đương với f ( x ) ≥ f (y) kéo theo f ( x ) ≥ f ( x + α(y − x )), ∀ x, y ∈ C ∀α ∈ [0, 1] Định nghĩa 3.2 Cho f hàm xác định tập C ⊆ H ta nói f tựa lồi ngặt f (αx + (1 − α)y) < max { f ( x ), f (y)} , ∀ x, y ∈ C, x = y ∀α ∈ (0, 1) Hay tương đương với f ( x ) ≥ f (y), kéo theo f ( x ) > f ( x + α(y − x )), ∀ x, y ∈ C, x = y ∀α ∈ (0, 1) Ví dụ 3.1 Hàm số f ( x ) = |x| x , x = hàm tựa lồi không , x=0 phải hàm tựa lồi ngặt Định nghĩa 3.3 Cho f hàm khả vi, xác định tập lồi mở C ⊆ H, f gọi hàm giả lồi ∀ x, y ∈ C, f ( x ) > f (y) ⇒ ∇ f ( x )T (y − x ) < Định nghĩa 3.4 Cho f hàm khả vi, xác định tập lồi mở C ⊆ H, f gọi hàm giả lồi ngặt ∀ x, y ∈ C, x = y, f ( x ) ≥ f (y) ⇒ ∇ f ( x )T (y − x ) < Ví dụ 3.2 Xét hàm Cobb -Douglas α f ( x ) = x1 xnαn , x = ( x1 , , xn ), xi > 0, αi < 0, i = 1, , n Hàm f hàm tựa lồi ∇ f ( x ), f hàm giả lồi 3.1.2 Một số tính chất quan trọng Định lý 3.1 Cho C ⊆ H tập lồi Khi (i) Nếu f lồi C f tựa lồi C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn39 32 (ii) Nếu f lồi ngặt C f tựa lồi ngặt C (iii) Nếu f tựa lồi ngặt C f tựa lồi C Chứng minh (i) Ta có: f (αx + (1 − α)y) ≤ α f ( x ) + (1 − α) f (y) ≤ αmax { f ( x ), f (y)} + (1 − α)max { f ( x ), f (y)} = max { f ( x ), f (y)} (ii) Theo định nghĩa (iii) Theo định nghĩa Định lý 3.2 Cho f hàm bậc một, xác định tập lồi C ⊆ H Nếu f ( x ) > 0, ∀ x ∈ C f tựa lồi f hàm lồi Định lý 3.3 Hàm f tựa lồi tập lồi C ⊆ H xi ∈ C, i = 1, , n, ta có n f ( ∑ αi x i ) ≤ i =1 max i ∈{1, ,n} f ( x i ), n ∑ αi = 1, αi ≥ 0, i = 1, , n (3.1) i =1 Ngoài f hàm tựa lồi ngặt C bất đẳng thức ngặt Chứng minh Theo (3.1), cho n = tương đương với định nghĩa hàm tựa lồi Bây giả sử f tựa lồi, chứng minh (3.1) phương pháp quy nạp Khi n = ta có (3.1) đúng, ta chứng minh (3.1) với n kéo theo f (α1 x1 + + αn x n + αn+1 x n+1 ) ≤ với max i ∈{1, ,n+1} f ( xi ) n +1 ∑ αi = 1, αi ≥ 0, xi ∈ C, i = 1, , n + i =1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn40 33 Nếu αn+1 = giả thiết quy nạp Mặt khác đặt α0 = α1 + + αn ta có α0 + αn+1 = nên y = α1 αn n α0 x + + α0 x n tổ hợp lồi n điểm, từ ∑ i =1 αi α0 = Theo kết y ∈ C nên ta có: n ∑ α i x i = α y + α n +1 x n +1 i =1 Do ta có điều phải chứng minh Định lý 3.4 Cho f hàm khả vi tập lồi mở C ⊆ H x0 ∈ C điểm tới hạn Nếu f hàm giả lồi x0 điểm cực tiểu tồn cục f Ngoài x0 f hàm giả lồi ngặt Chứng minh Giả sử tồn y ∈ C mà f (y) < f ( x0 ), ∇ f ( x0 ) = kéo theo ∇ f ( x0 ) T (y − x0 ) = Suy x0 điểm cực tiểu toàn cục f Ngoài ta có x0 f hàm giả lồi ngặt Định lý 3.5 Cho f hàm khả vi tập lồi mở C ⊆ H, ta có: (i) Nếu f giả lồi C, f tựa lồi C (ii) Nếu ∇ f ( x ) = 0, ∀ x ∈ C f giả lồi C f tựa lồi C Chứng minh (i) Giả sử f khơng tựa lồi tồn x, y ∈ C với f ( x ) > f (y) mà ∇ f ( x ) T (y − x ) > Xét ϕ(t) = f ( x + t(y − x )), ∀t ∈ [0, 1] Từ ϕ (t) = ∇ f ( x ) T (y − x ) > 0, ϕ đạt giá trị cực đại điểm t0 ∈ (0, 1) nên ϕ ( t0 ) = f ( x0 ) > f ( x ) = ϕ (0) ≥ f ( y ) = ϕ (1); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn41 34 ϕ (t0 ) = ∇ f ( x0 ) T (y − x ) = 0, x0 = x + t0 (y − x ) Theo tính giả lồi f , áp dụng với hai điểm x0 y suy ra: ∇ f ( x0 )T (y − x )(1 − t0 ) < điều mâu thuẫn (ii) Ta chứng minh hàm tựa lồi hàm giả lồi, có điểm tới hạn Ngược lại suy từ định lí sau Định lý 3.6 Cho f hàm khả vi, tựa lồi tập lồi mở C ⊆ H Khi đó: ∀ x, y ∈ C, f ( x ) > f (y), ∇ f ( x ) = ⇒ ∇ f ( x )T (y − x ) < 3.2 Tính đơn điệu suy rộng vi phân hàm tựa lồi hàm giả lồi 3.2.1 Toán tử tựa đơn điệu giả đơn điệu Định nghĩa 3.5 Toán tử F từ C vào (−∞, +∞] gọi tựa đơn điệu tập C ⊆ H ∀ x, y ∈ C, (y − x )T F ( x ) > ⇒ (y − x )T F (y) ≥ Nếu bất đẳng thức cuối ngặt ta có F tựa lồi ngặt Định nghĩa 3.6 Toán tử F gọi giả đơn điệu tập C ⊆ H ∀ x, y ∈ C, (y − x )T F ( x ) ≥ ⇒ (y − x )T F (y) ≥ 0; hay tương đương (y − x )T F ( x ) > ⇒ (y − x )T F (y) > Ví dụ 3.3 (i) Tốn tử F ( x ) = −x + , 0≤x≤1 toán tử tựa đơn , 1 mà (y + z − x )T F (y + z) < Mà F tựa đơn điệu nên ta có (y + z − x ) T F ( x ) ≤ 0, tức z T F ( x ) ≤ Điều mâu thuẫn với giả thiết 3.2.2 Tính tựa đơn điệu giả đơn điệu đạo hàm hàm tựa lồi hàm giả lồi Định lý 3.8 Cho C ⊆ H tập lồi f hàm khả vi C (i) f hàm lồi C ∇ f đơn điệu C (ii) f hàm lồi ngặt C ∇ f đơn điệu ngặt C Chứng minh (i) Giả sử f hàm lồi C cho x, y ∈ C, ta có: f ( y ) ≥ f ( x ) + ( y − x ) T ∇ f ( x ) (3.2) f ( x ) ≥ f ( y ) + ( x − y ) T ∇ f ( y ) (3.3) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn43 36 Cộng (3.2) (3.3) ta được: (y − x )T (∇ f (y) − ∇ f ( x )) ≥ Tức ∇ f đơn điệu C Ngược lại, ta chứng minh phản chứng Giả sử ∃ x, y ∈ C mà f (y) < f ( x ) + (y − x ) T ∇ f ( x ) Suy ∃ z = x + t(y − x ), t ∈ (0, 1), f (y) = f ( x ) + (y − x )T ∇ f (z) Nên ta có ( y − x ) T ∇ f ( z ) = f ( y ) − f ( x ) < ( y − x ) T ∇ f ( x ) Tức (y − x )T (∇ f (y) − ∇ f ( x )) = (z − x )T (∇ f (z) − ∇ f ( x )) < t Điều mâu thuẫn (ii) Chứng minh tương tự Bổ đề 3.1 Cho C ⊆ H tập lồi f hàm khả vi C (i) Giả sử ∇ f giả đơn điệu C Nếu x, y ∈ C mà (y − x ) T ∇ f ( x ) ≥ thu hẹp hàm f [ x, y] không giảm Nếu x, y ∈ C mà (y − x ) T ∇ f ( x ) > thu hẹp hàm f [ x, y] tăng (ii) Giả sử ∇ f tựa đơn điệu C Nếu x, y ∈ C mà (y − x ) T ∇ f ( x ) > thu hẹp hàm f [ x, y] không giảm f ( x ) < f (y) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn44 37 Chứng minh (i) Đặt ϕ(t) = f ( x + t(y − x )), t ∈ [0, 1] đặt z = x + t(y − x ) Nếu (y − x ) T ∇ f ( x ) ≥ (z − x ) T ∇ f ( x ) ≥ 0, ∀z ∈ [ x, y] Nên theo giả thiết ∇ f ( x ) đơn điệu, suy (z − x )T ∇ f (z) ≥ 0, ∀z ∈ [ x, y] Tiếp theo ta có (z − x )T ∇ f (z) = t(y − x )T ∇ f (z) = tϕ (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] Do ϕ(t) khơng giảm [0, 1] Tương tự với điều kiện (y − x ) T ∇ f ( x ) > tính giả đơn điệu ∇ f ( x ) suy ϕ(t) tăng [0, 1] Suy (i) chứng minh (ii) Với điều kiện (y − x ) T ∇ f ( x ) > tính tựa đơn điệu ∇ f ( x ) suy ϕ(t) khơng giảm [0, 1] Ngồi ϕ (0) = (y − x ) T ∇ f ( x ) > 0, suy ϕ(t) tăng địa phương t = Suy (ii) chứng minh Định lý 3.9 Cho C ⊆ H tập lồi f hàm khả vi C Khi đó: (i) f hàm giả lồi C ∇ f giả đơn điệu C (ii) f hàm tựa lồi C ∇ f tựa đơn điệu C Chứng minh (i) Giả sử f hàm giả lồi C cho x, y ∈ C mà (y − x ) T ∇ f ( x ) ≥ ta có f ( x ) ≤ f (y) Từ f hàm tựa lồi ta có ( x − y) T ∇ f (y) ≤ 0, tức (y − x )T ∇ f (y) ≥ nên ∇ f ( x ) giả đơn điệu C Ngược lại, ta chứng minh phản chứng Giả sử ∃ x, y ∈ C mà f ( x ) > f (y) (y − x ) T ∇ f ( x ) ≥ 0, kéo theo f hàm không giảm nên f ( x ) ≤ f (y), mâu thuẫn với điều giả sử Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn45 38 (ii) Giả sử f hàm tựa lồi C cho x, y ∈ C mà (y − x )T ∇ f ( x ) > ⇒ f ( x ) < f (y) ( x − y) T ∇ f (y) ≤ 0, tức (y − x )T ∇ f (y) ≥ nên ∇ f ( x ) tựa đơn điệu C Ngược lại, giả sử tồn ∃ x, y ∈ C, f ( x ) ≥ f (y) mà (y − x ) T ∇ f ( x ) > Theo bổ đề 3.1 ta suy điều mâu thuẫn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn46 Kết luận Bản luận văn trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực Qua nghiên cứu định nghĩa số tính chất tập lồi hàm lồi khơng gian Hilbert thực Nội dung luận văn đề cập đến vấn đề vi phân, đạo hàm theo hướng, toán tử đơn điệu đến nghiên cứu tính đơn điệu vi phân hàm lồi Cuối luận văn có trình bày đến hàm tựa lồi, hàm giả lồi xét tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu đạo hàm hàm tựa lồi giả lồi 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn47 Tài liệu tham khảo [1] Alberto Cambini - Laura Martein, Generalized Convexity and Optimization Theory and Applications, Springer, 2008 [2] HenizH Bauschke - PatrickL Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, 2010 [3] T.Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Unisversity Press, Princeton New Jersey, 1970 [4] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXBGD, 2002 [5] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXBKHKT Hà Nội, 2000 [6] Lê Dũng Mưu - Nguyễn Văn Hiền, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng , Sắp xuất [7] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm - Giải tích đại, NXBĐHQG Hà Nội, 2003 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn48 ... tập lồi, hàm lồi Chương : Dưới vi phân hàm lồi tính đơn điệu Nội dung chương trình bày vi? ??c xây dụng đạo hàm theo hướng vi phân hàm lồi, toán tử đơn điệu tính đơn điệu vi phân hàm lồi Chương : Hàm. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn7 vii 3) Tính đơn điệu vi phân hàm lồi 4) Hàm tựa lồi hàm giả lồi 5) Tính đơn điệu suy rộng vi phân hàm tựa lồi hàm giả lồi 0.2.3 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích hàm. .. thiết 3.2.2 Tính tựa đơn điệu giả đơn điệu đạo hàm hàm tựa lồi hàm giả lồi Định lý 3.8 Cho C ⊆ H tập lồi f hàm khả vi C (i) f hàm lồi C ∇ f đơn điệu C (ii) f hàm lồi ngặt C ∇ f đơn điệu ngặt C