Phép co rút biến dạng và nhóm cơ bản của không gian tôpô

KHOA TOÁN ----*&*---- PHẠM THỊ THANH HOA phÐp co rót biÕn d¹ng vµ nhãm c¬ b¶n cña kh«ng gian t«p« KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN DUY BÌNH SINH VIÊN THỰC HIỆN: PHẠM THI THANH HOA LỚP: 47B - TOÁN VINH Á 2010 MỤC LỤC 1 2 Lời nói đầu Tôpô đại số ra là bộ môn liên quan chặt chẽ đến hai lĩnh vực quan trọng của toán học đó là Đại số hiện đại và Tôpô. Bộ môn này vừa đợc nghiên cứu nh một ngành độc lập vừa đợc xem nh là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề của toán học hiện đại. Vì vậy Tôpô đại số mang lại rất nhiều lợi ích trong toán học. Chẳng hạn việc chứng minh hai không gian không đồng phôi điều này quả không dễ dàng nếu chúng ta chứng minh trực tiếp. Tuy nhiên nhờ có Tôpô đại số cụ thể bằng cách chỉ ra các nhóm cơ bản của chúng không đẳng cấu chúng ta có thể giải quyết vấn đề này một cách khá đơn giản. Nhiều ví dụ tính nhóm cơ bản của các không gian tôpô riêng lẻ và tính nhóm cơ bản của các không gian có mối quan hệ đặc biệt với nhau, để khi biết dợc nhóm cơ bản của không gian này thì ta có thể suy ra nhóm cơ bản của không gian kia. Đề tài luận văn đã tập trung nghiên cứu một cách có hệ thống cái co rút biến dạng và nhóm cơ bản của không gian tôpô. Luận văn đựoc chia làm 3 phần: Đ 1: Nêu lên các khái niệm cơ bản về đồng luân, ánh xạ đồng luân, hai không gian tơng đơng đồng luân, không gian co rút đợc và một số ví dụ , tính chất của chúng. Đ 2: Nêu lên đợc khái niệm ánh xạ co rút, phép co rút, phép co rút biến dạng, cái co rút và cái co rút biến dạng của không gian tôpô Đ 3: Xây dựng nhóm cơ bản của một không gian, và tính nhóm cơ bản của một số không gian có quan hệ đặc biệt với nhau(không gian co rút đợc, cái co rút biến dạng của một không gian ). Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại Học Vinh d- ới sự hớng dẫn của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cảm ơn các thầy cô trong tổ hình đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giảng dạy tại khoa Toán, Ban Giám Hiệu trờng Đại Học Vinh. Bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. 3 Mặc dầu đã có nhiều cố gắng trong học tập, trình bày và in ấn nhng chắc chắn khoá luận không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của thầy cô và bạn bè. Vinh, ngày tháng năm 2010 Tác giả 4 Đ 1: đồng luân 1.1. Phép đồng luân 1.1.1. Định nghĩa Cho các không gian tôpô X, Y và f, g : X Y là các ánh xạ liên tục, f đợc gọi là đông luân với g. Ký hiệu f ~ g nếu tồn tại ánh xạ liên tục F : X ì I X ( I = [ 0, 1] ) sao cho F(x, 0) = f(x) F(x, 1) = g(x) Với x X. Khi đó F đợc gọi là phép đồng luân nối f với g. 1.1.2 Các ví dụ 1.1.2.1. Cho 2 không gian tôpô X và Y sao cho X = Y = R n , x R n 1 x : X Y là ánh xạ đồng nhất 0 x : X Y là ánh xạ hằng tại x 0 Khi đó 1 x ~ 0 x bởi phép đồng luân F xác định bởi : F : X ì I Y F(x, t) = (1- t)x + tx 0 1.1.2.2. X là không gian tôpô bất kỳ, Y là tập lồi trong R n . f, g : X Y là 2 ánh xạ liên tục bất kì. Khi đó ta có f ~ g bởi F : X ì I Y F (x, t) = (1-t)f(x) + tg(x) F liên tục, F(x,0) =f(x) F(x,1) = g(x). 1.1.3 Nhận xét Quan hệ đồng luân của các ánh xạ liên tục từ không gian X vào không gian Y là quan hệ tơng đơng. Chứng minh - Tính phản xạ: f : X Y có f ~ f bởi phép đồng luân F : X ì I Y F(x, t) = f(x) F liên tục, F(x,0) = f(x), F(x, 1) = f(x) . - Tính đối xứng: 5 Giả sử f ~ g bởi phép đồng luân F, ta có g ~ f bởi phép đồng luân E xác định bởi E : X ì I Y E(x, t) = F(x, t -1) E liên tục, E(x, 0) = F(x, 1) = g(x) E(x, 1) = F(x, 0) = f(x). - Tính bắc cầu : Giả sử f ~ g bởi phép đồng luân F và g ~ f bởi phép đồng luân E. Khi đó ta có f ~ h bởi phép đồng luân H xác định bởi: H : X ì I Y H(x, t) = 1 2 1 ),12,( 2 1 0),2,( ttxE ttxF H liên tục , H (x, 0) = F(x, 0) = f(x) H(x, 1) = E(x, 1) = h(x) 1.1.4 Định lý Cho X, Y, Z là các không gian tôpô. Giả sử f 1 , f 2 là các ánh xạ đồng luân từ X Y và g 1 , g 2 là cá ánh xạ đồng luân Y Z. Khi đó g 1 f 1 và g 2 f 2 là các ánh xạ đồng luân từ X Z. Chứng minh Theo giả thiết ta có f 1 ~ f 2 (bởi F 1 ) : X Y và g 1 ~ g 2 (bởi F 2 ) : Y Z xét ánh xạ F : X ì I Z F(x,t) = F 2 (F 1 (x,t),t) F liên tục, F(x,0) = F 2 (F 1 (x,0),0) = F 2 (f 1 (x),0) = g 1 (f 1 (x)) = (g 1 f 1 )(x) F(x,1) = F 2 (F 1 (x,1),1) = F 2 (f 2 (x),1) = g 2 (f 2 (x)) = (g 2 f 2 )(x) F là phép đồng luân nối g 1 f 1 với g 2 f 2 . 1.2. Tơng đơng đồng luân 1.2.1. Định nghĩa. 6 Cho ánh xạ liên tục f : X Y. f đợc gọi là tơng đơng đồng luân nếu tồn tại ánh xạ liên tục g : Y X sao cho gf ~1 x và fg ~ 1 y khi đó g đợc gọi là ánh xạ ng- ợc đồng luân của f. Nếu tồn tại tơng đơng đồng luân f : X Y thì không gian X và không gian Y đợc gọi là tơng đơng đồng luân hay X và Y có cùng kiểu đồng luân. 1.2.2. Nhận xét. ánh xạ đồng phôi là một tơng đơng đông luân, hai không gian đồng phôi là tơng đơng đồng luân. 1.2.3.Mệnh đề. Quan hệ tơng đơng đồng luân giữa các không gian tôpô là quan hệ tơng đ- ơng. Chứng minh Cho hai không gian X và Y ta chứng minh quan hệ đồng luân giữa X và Y là quan hệ tơng đơng. - Tính phản xạ: X ~ X vì 1 x : X X là ánh xạ tơng đơng đồng luân. - Tính đối xứng: X ~ Y nên tồn tại ánh xạ f : X Y là tơng đơng đồng luân g : Y X sao cho gf ~ 1 x và fg ~ 1 y x y fg gf 1~. 1~. Y ~ X - Tính bắc cầu: X ~ Y , Y ~ Z Nên tồn tại f : X Y , g : Y X sao cho g.f ~ 1 x , f.g ~ 1 y Và h : Y Z , K : Z Y sao cho h.k ~ 1 y , k.h ~ 1 z Ta có (g.k)(h.f) = g(k.h)f ~ g1 y f = g.f ~ 1 x (h.f)(g.k) = h(f.g)k ~ h1 y k = h.k ~ 1 z hf : X Z là tơng đơng đồng luân. Vậy X ~ Z. 1.2.4. Mệnh đề. Một ánh xạ đồng luân với một tơng đơng đồng luân là một tơng đơng đồng luân. Chứng minh 7 ánh xạ f : X Y là tơng đơng đồng luân và f đồng luân với f thì f là tơng đơng đồng luân. thật vậy vì f : X Y là tơng đơng đồng luân nên tồn tại ánh xạ liên tục g : Y X sao cho gf ~ 1 x và fg ~ 1 y vì f ~ f g f ~ gf ~ 1 x , f g ~ fg ~ 1 y Vậy f là tơng đơng đồng luân với g là ngợc đồng luân. 1.2.5. Mệnh đề. ánh xạ f : X Y là một tơng đơng đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ g, h : Y X sao cho fg ~ 1 và hf ~ 1. Tổng quát hơn f là tơng đơng đồng luân nếu fg và hf là tơng đơng đồng luân. Chứng minh - f : X Y là một tơng đơng đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ g, h : Y X sao cho fg ~ 1 và hf ~ 1. Thật vậy ta có fg ~ 1 x hfg ~h và hf ~ 1 y hfg ~ g nên g ~ h fg ~ fh ~ 1 x mà hf ~1 y vậy f là tơng đơng đồng luân. - f là tơng đơng đồng luân nếu fg và hf là tơng đơng đồng luân. vì fg là tơng đơng đồng luân từ Y Y p : Y Y sao cho fgp ~ 1 y và pfg ~ 1 x f(gp) ~ 1 y Tơng tự fh là tơng đơng đồng luân từ X X nên tồn tại ánh xạ q : X X sao cho qfh ~ 1 x và fhq ~ 1 x f(hq) ~ 1 x . áp dụng chứng minh trên (khi gf ~ 1 x và fh ~ 1 y ) f là tơng đơng đồng luân. 1.3. Không gian co rút đợc 1.3.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian co rút đợc nếu ánh xạ đồng nhất trên X đồng luân với ánh xạ hằng tại x 0 X, khi đó ta còn nói X co rút đợc về x 0 X. 8 1.3.2. Ví dụ về không gian co rút đợc. Cho X là tập lồi trong không gian ơclit R n và x 0 X . Ta có 1 x ~ 0 x bởi phép đồng luân F : X ì I X F(x,t) = (1-t)x + tx 0 F liên tục, F(x,0) = x = 1 x (x), F(x,1) = x 0 = 0 x (x) Do đó X là không gian co rút đợc về một điểm x 0 thuộc X. 1.3.3. Định lý ( tiêu chuẩn không gian co rút đợc ). Không gian tôpô X đợc gọi là co rút đợc khi và chỉ khi X có kiểu đồng luân của không gian một điểm. Chứng minh - Điều kiện cần: X là không gian co rút đợc khi đó : 1 x ~ 0 x (x 0 X) xét ánh xạ f : X {x 0 } x x 0 và ánh xạ i : { x 0 } X x 0 x Khi đó : f i = 1 { } 0 x ~ 1 { } 0 x i f = 0 x ~ 1 x X ~ {x 0 } tức là X co rút đợc thì tơng đơng đồng luân với không gian một điểm. - Điều kiện đủ : X tơng đơng đồng luân với không gian một điểm thì X co rút đợc. Thật vậy X có kiểu đồng luân của không gian một điểm tức là tồn tại ánh xạ f : X {a} và g : {a} X sao cho gf ~ 1 x và fg ~ 1 { } a . Đặt g(a) = x 0 , x 0 X ta có gf = 0 x và do đó 0 x ~ 1 x Vậy X là không gian co rút đợc. 1.3.4. Mnh Y l khụng gian co rỳt c v f, g : X Y l cỏc xỏnh x liờn tc thỡ f g: . 9 Chứng minh Ta có Y là co rút được → 1 Y o y ε : gọi E là phép đồng luân nối 1 Y và o y ε xét F: X x I → Y với: 1 E(f(x), 2t) 0 t 2 F(x,t)= 1 E(g(x),2 - 2t) t 1 2  ≤ ≤     ≤ ≤   ⇒ F(x, 0) = f(x); F(x, 1) = g(x); F liên tục vậy F là phép đồng luân nối f và g, f : g . 1.3.5. MÖnh ®Ò. Một không gian X lµ co rút được khi và chỉ khi mỗi ánh xạ f : X → Y với Y tuỳ ý là đồng luân 0 (tøc lµ ®ång lu©n víi ¸nh x¹ h»ng). Tương tự X là cái co rút được khi và chỉ khi với mỗi ánh xạ f : Y → X là đồng luân 0. Chứng minh - X là co rút được khi và chỉ khi mỗi ánh xạ f : X → Y với Y tuỳ ý là đồng luân 0. + (⇐) ∀ f : X → Y và ∀ Y tuỳ ý. ta chọn f = i : X → X, 1 X o x ε : → i = f o x ε : Vậy X là cái co rút được. + (⇒) X là cái co rút được ⇒ ∀ f : X → Y, Y tuỳ ý là đồng luân 0, ta có 1 X o x ε : ta cần chứng minh f ~ H 0 x ε X co rút được: α(t) nối x với x o α(t) = F(x, t) F(x, t) = (1 – t)x + tx o F(x, 0) = x, F(x, 1) = x o H(x, t) = f(F(x, t)) phép đồng luân H : X x I → Y H(x, t) = f(F(x, t)) 10 . S∈ ⇒ F là phép co rút biến dạng mạnh của X về S 1 . 15 Phép co rút biến dạng mạnh Phép co rút biến dạng Phép co rút biến dạng yếu Phép biến dạng 2.3.4 cái co rút và cái co rút biến dạng của không gian tôpô Đ 3: Xây dựng nhóm cơ bản của một không gian, và tính nhóm cơ bản của một số không gian có quan hệ