Môi quan hệ giữa nhóm cơ bản của không gian tôpô và không gian phủ

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : HÌNH HỌC TÔPÔ Mã số: 60.46.01.05 ĐỀ TÀI: MỐI QUAN HỆ GIỮA NHĨM CƠ BẢN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ VÀ KHƠNG GIAN PHỦ HỌC VIÊN THỰC HIỆN: NGUYỄN HỮU PHƯỚC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS NGUYỄN DUY BÌNH NGHỆ AN, THÁNG 8/2016 LỜI NĨI ĐẦU Tơ pơ đại số ngành toán học đại, cầu nối gắn kết lĩnh vực toán học tơ pơ đại số, hình thành từ đầu kỷ XX phát triển mạnh mẽ từ đến Các kết tơ pô đại số ứng dụng rộng rãi vào nhiều lĩnh vực khác tốn học Đã có nhiều tài liệu chuyên khảo tô pô đại số (xem mục tài liệu tham khảo) Nhóm đối tượng tô pô đại số Trên tập lớp đồng luân đường cong đóng khơng gian tơ pơ, ta trang bị phép tốn để trở thành nhóm gọi nhóm khơng gian tơ pơ Nghiên cứu khơng gian tơ pơ thơng qua nhóm chúng nội dung quan trọng mối quan hệ tô pô đại số Đồng thời với xét nhóm khơng gian tơ pơ, người ta cịn nghiên cứu khơng gian khơng gian phủ Vấn đề đặt nhóm khơng gian khơng gian phủ có mối liên hệ với nào? Trên sở kết biết nội dung này, để tập dượt nghiên cứu, tập trung vào nghiên cứu mối quan hệ qua tính chất chúng ví dụ áp dụng Vì lý trên, chọn đề tài cho luận văn là: “Mối quan hệ nhóm khơng gian tơ pơ khơng gian phủ” Luận văn trình bày thành hai chương: Chương 1: Một số kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở luận văn, gồm vấn đề sau: Mở đầu khái niệm phép đồng luân, ánh xạ tương đương đồng luân quan hệ tương đương đồng ln hai khơng gian Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm nhóm khơng gian số tính chất Hai mục sau chương khái niệm tính chất ánh xạ phủ, không gian phủ nâng ánh xạ lên không gian phủ Chương 2: Quan hệ nhóm khơng gian tơ pơ không gian phủ Chương trọng tâm luận văn Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề sau: Các tính chất nhóm khơng gian phủ, khái niệm tính chất khơng gian phủ đẳng cấu nhóm các phép biến đổi phủ cuối cho ví dụ tính nhóm số khơng gian thơng qua phủ Luận văn thực hồn thành Khoa Sư phạm Tốn Trường Đại học vinh, hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cảm ơn thầy giáo tổ Hình học ân cần dạy dẫn vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu Chúng chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Sư phạm Toán Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh, bạn học viên, Ban Giám hiệu Trường THPT Anh sơn đồng nghiệp, bạn bè, gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi hồn thành luận văn Nghệ An, tháng năm 2016 Tác giả Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Phép đồng luân 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Giả sử I = [0;1] f,g: X →Y ánh xạ liên tục không gian tôpô Một phép đồng luân từ f đến g ánh xạ liên tục thỏa mãn , Ta nói f đồng luân với g, tồn phép đồng luân từ f đến g Kí hiệu Phép đồng luân F xác định họ ánh xạ liên tục với cho: Họ ánh xạ có tính chất với điểm x0 cố định X, ánh xạ liên tục Ví dụ 1.1.2 Giả sử Xét ánh xạ Khi đó: Thật vậy, đặt , Vậy ta có: Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ liên tục f: X →Y đươc gọi tương đương đồng luân tồn ánh xạ liên tục g:Y→X cho Khi g gọi ngược đồng luân f Không gian X gọi tương đương đồng luân với không gian Y tồn tương đương đồng luân f: X →Y 1.2 Nhóm 1.2.1 Đường khơng gian Định nghĩa 1.2.1.1 Giả sử X không gian tôpô bất kỳ, x0 x1 điểm X Ký hiệu I=[0;1] Đường X ánh xạ liên tục f:I→X thỏa mãn f(0)=x0 f(1)=x1 Khi ta nói đường f từ x0 đến x1, hay f nối điểm x0 x1 X Nếu f đường X f có hai điểm đầu mút trùng (tức x0 x1) f gọi khuyên x0 Hai đường f: I→X g: I→X thỏa mãn f(0)=g(0) f(1)=g(1) gọi đồng luân tồn phép đồng luân F:I×I→X nối f g cho: Định nghĩa 1.2.1.2 Cho f g đường X thỏa mãn: f(1)=g(0) Ký hiệu f.g hợp thành f g, xác định bởi: Mệnh đề 1.2.1.3 i) Quan hệ đồng luân đường quan hệ tương đương ii) Phép hợp thành đường bảo toàn quan hệ đồng luân 1.2.2 Định nghĩa ví dụ nhóm Định nghĩa 1.2.2.1 Lớp tương đương đường f với quan hệ tương đương phép đồng luân, ký hiệu [f], gọi lớp đồng luân f Tập hợp lớp đồng luân khuyên X x0, ký hiệu ta định nghĩa phép toán sau: Với Trên , Nhận xét khuyên xác định bởi: lập thành nhóm với phép tốn xác định gọi nhóm X điểm x0 Ví dụ 1.2.2.2 Giả sử X tập lồi Khi đó: Thật vậy, với và x0 điểm đánh dấu X hai khuyên x0 X, hai khuyên đồng luân qua ánh xạ xác định Vậy nhóm tầm thường Định lý 1.2.2.3 Giả sử x0 x1 điểm X h đường X từ x0 đến x1 Khi ánh xạ , đẳng cấu (trong kí hiệu đường ngược đường h) Chứng minh: Ta có: Do Giả sử , đồng cấu Khi ta có Do Tương tự, ta có song ánh Vậy đẳng cấu Từ định lý ta có nhận xét: Nếu X khơng gian liên thơng đường nhóm X không phụ thuộc vào việc lựa chọn điểm đánh dấu Khi cịn ký hiệu Định nghĩa 1.2.3 Không gian tôpô X gọi đơn liên X liên thông đường Định lý 1.2.4(xem [2]) Không gian tôpô X đơn liên tồn lớp đồng luân đường nối hai điểm X Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử X khơng gian đơn liên, X liên thơng đường Lấy đến giả sử Khi ta có: khuyên luân đường từ hai đường X từ , và Do đến Vậy lớp đồng Điều kiện đủ: Giả sử X có lớp đồng luân đường nối hai điểm nó, X liên thông đường Mặt khác, gọi khuyên Do 1.2.5 Đồng cấu cảm sinh Xét ánh xạ Khi có ánh xạ đồng cấu Định lý 1.2.5.1 , tức ánh xạ đồng không gian cảm sinh đồng cấu đồng i) nhóm ii) Giả sử f: X→Y, g: Y→Z ánh xạ liên tục, Chứng minh: i) Ta có Nghĩa ánh xạ đồng không gian cảm sinh đồng cấu đồng nhóm điểm đánh dấu ii) Với ta có: Vậy Định lý 1.2.5.2(xem[1]) Giả sử ánh xạ f: X→Y tương đương đồng luân, với đẳng cấu Chứng minh: Xét điểm g ngược đồng luân từ giả thiết ta có: thỏa mãn: Nếu tồn đường Giả sử xạ từ đến Do tồn họ ánh ta có: ánh xạ Do Mặt khác, qua phép đồng ln với Ta có , Tương tự, với ( , đường ngược đường Do đường từ đường ngược đường ) đến , Từ định lý 1.2.2.3, ta có Vậy đẳng cấu, song ánh đẳng cấu Định lý 1.2.6 Giả sử X Y không gian liên thơng đường, Chứng minh: Do liên thơng đường nên liên thơng đường Với ta có Xét ánh xạ , , Khi xác định đẳng cấu Thật vậy, Ta có đồng cấu Từ Y khuyên X ( ) đơn cấu Giả sử , khuyên Ta có , tồn cấu Vậy Do 10 khun đẳng cấu Điều kiện đủ: Giả sử đẳng cấu với Ta cần chứng minh Từ định lý tồn phép nâng, ta có , tức Tương tự có nâng dụng định lý phép nâng, ta có: Hay đồng phơi, đẳng cấu với nâng Áp Định lý 2.1.6(xem [3]) Cho X1*, X2* hai không gian phủ, liên thông, liên thông đường địa phương tương ứng với ánh xạ phủ X Nếu nhóm π1 tương ứng với không gian phủ liên hợp khơng gian phủ đẳng cấu Chứng minh: Xét biểu đồ sau: p Giả sử nhóm π1 tương ứng với khơng gian phủ liên hợp, ta có hai phủ đẳng cấu (theo 2.1.5) Ngược lại, giả sử tồn đẳng cấu biến thành , liên hợp với với , theo 2.1.2 ta có , tức 22 , theo 2.1.5 suy liên hợp Định lý 2.1.7(xem [3]) Giả sử X không gian liên thông đường, liên thơng đường địa phương Khi tồn song ánh tập lớp đẳng cấu khơng gian phủ tập nhóm π1 Nếu ta bỏ qua điểm đánh dấu tương ứng song ánh lớp đẳng cấu không gian phủ với lớp liên hợp nhóm π1 (X) 2.2 Nhóm phép biến đổi phủ Định nghĩa 2.2.1 Giả sử , ánh xạ phủ, đồng phôi gọi phép biến đổi phủ Tập phép biến đổi phủ ánh xạ kí hiệu lập thành nhóm với phép hợp thành Ví dụ 2.2.2 1) Cho ánh xạ , nhóm phép biến đổi phủ Thật vậy, ta biết ánh xạ ánh xạ phủ Ta chứng minh nhóm phép biến đổi phủ phủ Với , xét ánh xạ Phép tịnh tiến ánh xạ đồng phơi nên phép biến đổi phủ phủ Giả sử cho Đặt ta có Vì , từ liên tục liên thông, f liên tục nên ta có 23 liên thơng với cố định Do biến đổi phủ h có dạng Vậy nhóm phép biến đổi phủ phủ cho đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên 2) Xét ánh xạ , theo 1.3.4 p ánh xạ phủ Với , xét ánh xạ ánh xạ cặp với thành phần phép đồng phơi, nên phép tịnh tiến phép đồng phôi Hơn phép biến đổi phủ phủ p nên nói Giả sử biến đổi phủ phủ p, Từ đẳng thức Xét ánh xạ liên tục Vì với , ta có cố định liên thơng nên Do tức Vậy nhóm phép biến đổi phủ phủ p nói bao gồm phép biến 24 đổi đẳng cấu với Mở rộng: Cho phủ (xuyến n chiều) Chứng minh tương tự, ta có nhóm phép biến đổi phủ Định lý 2.2.3(xem [3]) Giả sử đường, hai ánh xạ ánh xạ phủ, thỏa mãn liên thông (do hai phép biến đổi phủ ánh xạ phủ p) Nếu với Chứng minh: Từ giả thiết nâng ánh xạ p Do đó, hai ánh xạ f f’ thỏa mãn định lý tính phép nâng nên Định lý 2.2.4(Xem [4]) Giả sử p: X*→X ánh xạ phủ thỏa mãn p(x*) = x Khi tồn tương ứng 1-1 p-1(x) π1(X,x)/ (π1 (X*,x*)) Định nghĩa 2.2.5 Không gian X gọi đơn liên địa phương với tồn lân cận mở Ux cho khuyên Ux đồng luân với khuyên cố định X Định lý 2.2.6(xem [3]) Giả sử X không gian liên thông đường, liên thông đường địa phương đơn liên địa phương, H nhóm π 1(X,x) Khi tồn ánh xạ phủ p: X*→X cho p*(π1(X*,x*))= H, thỏa mãn p(x*) = x 25 Chứng minh: Gọi tập tất đường X, từ x Trên quan hệ tương đương sau: Với ta định nghĩa và Giả sử tập tất lớp tương đương theo quan hệ tương đương Với , gọi lớp tương đương Ánh xạ theo quan hệ tương đương xác định tồn ánh liên thơng đường Ta định nghĩa tôpô sau: Với giả sử tập mở chứa Đặt Khi đó, tập tất tôpô Hausdorff: Giả sử Tơpơ Nếu , , tồn hai tập mở rời cho Giả sử ngược lại: tập mở Vì chứa cho khuyên đường cố định đường đơn liên địa phương nên tồn Khi đó: đồng luân với tồn , từ với , tức theo quan hệ tương đương Do đó: Mặt khác khuyên Tức đương , điều trái với giả thiết p liên tục: Nếu mở tập mở 26 với nên theo quan hệ tương ta có liên thơng đường: Giả sử ánh xạ thỏa mãn xác định bởi: đó: với với liên tục: Với tập mở , đặt: mở: Giả sử , đó: Từ khoảng mở J cho Từ gọi liên tục nên tồn Mặt khác, với , đường từ đến đường từ đến , tức Nhưng Do đương đường theo quan hệ tương từ đến nghĩa Vậy J tập mở chứa là: Tương tự ta chứng minh B mở 27 Do liên thơng đường khơng gian phủ: Với , , gọi tập mở liên thông đường thỏa mãn điều kiện: Mỗi đường cố định Ta thấy đồng luân với đường , tức cho Từ liên thơng đường, tồn ánh với thỏa mãn Hơn nữa, đơn ánh: Giả sử đường từ với đó: khuyên đồng luân với đường cố định nghĩa là: ta ký hiệu đường = với Nếu giả sử mãn từ đến tập mở , giả sử đường Vì Gọi thỏa mãn tính chất: Các điểm nối với liên thơng đường địa phương nên , ta chứng minh Ta có hợp tập nên để chứng minh p mở, ta cần chứng minh tất điểm thỏa p ánh xạ mở: Giả sử mở đường đường Lấy , 28 mở tập mở Rõ ràng Mặt khác phần , đường , với tử có đến và đường , từ từ dạng: đường : Giả sử từ , xác định bởi: Khi nên Giả sử đường liên , tục Vì phủ Khi đó: khuyên theo quan hệ tương đương Do Định nghĩa 2.2.7 Giả sử ánh xạ phủ Nếu p*( π1(X*,x*)) nhóm chuẩn tắc π1(X,x) p gọi phủ chuẩn tắc Định lý 2.2.8(Xem [4]) Giả sử X* không gian liên thông đường liên thông đường địa phương, p: X*→X phủ chuẩn tắc p( ) = x Khi G(X*) π1(X,x)/p*( π1(X*,x*)) 2.3 Khơng gian phủ phổ dụng Định nghĩa 2.3.1 Một ánh xạ phủ p: X*→X gọi phủ phổ dụng X* khơng gian đơn liên Khi X* gọi không gian phủ phổ dụng 29 Mệnh đề 2.3.2 Tích phủ phổ dụng phủ phổ dụng Chứng minh: Giả sử phủ phổ dụng Ta cần chứng minh , phủ phổ dụng Từ định lý 1.3.4 ta có p ánh xạ phủ Mặt khác, nên theo định lý 1.2.6 ta có Vậy p phủ phổ dụng Ví dụ 2.3.3 Ánh xạ phủ phổ dụng Thật vậy, ta có Đặt ánh xạ phủ : Áp dụng định lý 1.3.4 p ánh xạ phủ Hơn nữa, Do phủ phổ dụng Mệnh đề 2.3.4 Giả sử , X khơng có khơng gian phủ phổ dụng Chứng minh: Ta công nhận kết sau: Đặt , ánh xạ phủ, ánh xạ mũ exp ánh xạ phủ Giả sử ngược lại, có phủ phổ dụng , Từ mũ vị trí , với n ánh xạ phủ , , ta có: ánh xạ đồng vị trí cịn lại 30 ánh xạ đơn ánh nên ta có tất ánh xạ Do đơn ánh nên nhóm , Giả sử Do tập phủ ánh xạ phủ tập mở Thay , với j = 1,…,n, chọn ánh xạ xác định bởi: , j = 1,…,n; Lưu ý: (trong vị trí n+1) Giả sử T tầng phơi nên có nâng , , cho thành phần mâu thuẫn với đồng khuyên T Do đại diện Nhưng điều Do X khơng có khơng gian phủ phổ dụng Kết sau hệ 2.2.8 Hệ 2.3.5 Giả sử ánh xạ phủ, thơng đường địa phương Khi đơn liên, liên Định lý 2.3.6 Giả sử G nhóm hồn tồn gián đoạn phép đồng phơi khơng gian đơn liên, liên thơng đường địa phương Khi nhóm khơng gian thương đẳng cấu với nhóm G, tức Chứng minh: Từ định lý 2.2.4 ta có nhóm G tương ứng với nhóm phép biến đổi phủ ánh xạ phủ , hay 31 Mặt khác, từ định lý 2.3.5, ta có Do 2.4 Tính nhóm việc sử dụng không gian phủ Định lý 2.4.1 Chứng minh: Xét ánh xạ , dễ thấy ánh xạ phủ, đơn liên liên thông đường địa phương, nên theo định lý 2.3.5, ta có Mặt khác, theo ví dụ 2.2.2 ta có nhóm phép biến đổi phủ phủ Do Hệ 2.4.2 π1( \{0}) Định lý 2.4.3 Chứng minh: Xét ánh xạ , theo 1.3.4 ta có ánh xạ phủ Mặt khác đơn liên liên thông đường địa phương nên theo định lý 2.3.5 ta có theo ví dụ 2.2.2 ta có nhóm phép biến đổi phủ phủ Mệnh đề 2.4.4 Mỗi không gian phủ S1 đẳng cấu với m : S1  S1, z Vậy z m , với m số nguyên dương Chứng minh Giả sử có phủ p : X  S , ta có định lý 2.1.6, nhóm nhóm cộng số nguyên Theo tương ứng với lớp phủ đẳng cấu S1 Nếu p* (1 ( X ))  ta có phủ đẳng cấu với 32 Nếu p* (1 ( X ))  m , ta chứng tỏ phủ đẳng cấu với phủ m : S1  S1, z z m Thật vậy, nhóm biến đổi phủ phủ  m : S1  S , z nhóm nhân số phức bậc m đơn vị phép quay góc ta có m  i 2 , i  0, , m  ), m * (1 (S )) m đẳng cấu với nhóm zm (tương ứng với nhóm m Theo định lý 2.2.11, Do p* (1 ( X ))  p* (1 (S1 )) Từ định  * (1 ( S ))  m lý 2.1.5 suy điều phải chứng minh Định lý 2.4.5 π1( , ) Chứng minh: Xét ánh xạ [ x] (lớp tương đương chứa x, gồm , x x phần tử xuyên tâm đối –x) Ta chứng minh phép biến đổi phủ phủ là ánh xạ mở: Giả sử phủ phổ dụng nhóm tập mở đồng phơi, , ánh xạ mở nên tập mở Vì cho , mở ánh xạ phủ: Lấy x , chọn chứa Do ánh xạ lân cận đủ nhỏ điểm xuyên tâm đối song ánh Từ tính liên tục mở, đồng phơi Tương tự, Do tập đồng phôi với đồng phôi hợp hai tập mở rời Vậy ánh xạ phủ 33 mà tập Với đơn liên nên = Do Nhóm phép biến đổi phủ phủ Ta có phủ phổ dụng phép biến đổi phủ phủ Gọi phép biến đổi phủ Ta chứng minh hoặc Xét Khi minh đóng: Thật vậy, giả sử ta cần chứng Từ Tương tự, Với mặt khác ta có nên đóng , liên thơng nên Do nhóm phép biến đổi phủ phủ phổ dụng Mệnh đề 2.4.6 Mỗi phủ ( n  ) đẳng cấu với phủ đẳng cấu với phủ Chứng minh: Giả sử có phủ , Nếu p* (1 ( X ))   p* (1 (S n )) , theo định lý 2.1.5 ta có phủ cho đẳng cấu n n với f : S  P Nếu cấu với phủ , theo định lý 2.1.5 ta có phủ đẳng 34 KẾT LUẬN Trong luận văn thu kết sau: Trình bày chứng minh số tính chất khơng gian phủ nhóm Chứng minh tích ánh xạ phủ ánh xạ phủ Chứng minh tích phủ phổ dụng phủ phổ dụng chứng minh phủ phổ dụng Tính nhóm số không gian ( thông qua khơng gian phủ Thơng qua ví dụ 2.4, rút chứng minh vài kết mệnh đề 2.4.4 mệnh đề 2.4.6 Trong thời gian tới, tiếp tục cố gắng nghiên cứu thêm tính chất nhóm không gian phủ, đưa nhiều ví dụ ứng dụng khơng gian phủ vào việc tính nhóm số khơng gian 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Duy Bình: Bài giảng tơpơ đại số - Đại học Vinh – 2009 [2] Nguyễn Văn Đoành – Tạ Mân: Nhập môn Tôpô đại số - Nhà XB Đại học Sư phạm – 2009 TIẾNG ANH [3] Allen Hatcher (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press [4] I M Singer, J A Thorpe (1967), Lecture on Elementary Topology and Geometry, Springer-Verlag New York Heideiberg Berlin, 175 Fifth Avenue, New York, N Y 10010, U S A [5] J Kelley (1955), General Topology, D Van Nostrand, New York [6] Len Evens, Rob Thompson (2003), Algebraic Topology , NorthWestern University, City University of New York [7] Michio Kuga (1993), Galois Dream: Group Theory and Equations, Birkhauser-Boston-Basel-Berlin [8] Richard (2006), “Classsifying Covering Spaces” 36 Differential ... 2: QUAN HỆ GIỮA NHĨM CƠ BẢN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ VÀ KHƠNG GIAN PHỦ 2.1 Nhóm không gian phủ Định lý 2.1.1 (xem [3]) Giả sử p: (X*,x0*)→π1(X,x0) ánh xạ phủ, π1 (X*,x0*) → π1 (X,x0) đơn ánh Do nhóm. .. ánh xạ lên không gian phủ Chương 2: Quan hệ nhóm khơng gian tơ pơ khơng gian phủ Chương trọng tâm luận văn Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề sau: Các tính chất nhóm khơng gian phủ, khái... phép tốn để trở thành nhóm gọi nhóm không gian tô pô Nghiên cứu khơng gian tơ pơ thơng qua nhóm chúng nội dung quan trọng mối quan hệ tô pô đại số Đồng thời với xét nhóm khơng gian tơ pơ, người ta