Về nhóm đồng luân của không gian tôpô

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG NHÓM CƠ BẢN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ 1.1 Định nghĩa nhóm bản………………………………… 1.2 Định lý Van - Kampen ………………………………………… 13 1.3 Nhóm nhóm tơpơ…………………………………… 16 1.4 Nhóm tích khơng gian tơpơ……………………… 18 CHƢƠNG NHĨM ĐỒNG LN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ 2.1 Nhóm đồng ln tuyệt đối khơng gian tơpơ………………… 19 19 2.2 Nhóm đồng luân tƣơng đối Dãy khớp đồng luân cặp không gian tôpô………………………………………………………… 26 2.3 Liên hệ với nhóm đồng điều…………………………………… 32 Kết luận………………………………………………………… 38 Tài liệu tham khảo……………………………………………… 39 MỞ ĐẦU Tôpô đại số ngành toán học đại Nó đời vào năm kỉ XX Từ nay, tơpơ đại số đƣợc nhiều nhà toán học lỗi lạc giới nhƣ H.Poincaré, S.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, N.Esteerod, E.Cech, A.Kolmogorov, E.Cartan, Ch.Ehresman, H.Cartan, R.Godement, quan tâm nghiên cứu phát triển Ngày nay, tôpô đại số đạt đƣợc thành tựu vô rực rỡ trở thành lĩnh vực hàng đầu để ngƣời làm toán quan tâm học tập nghiên cứu Đây lý để tác giả chọn “Về nhóm đồng luân không gian tôpô” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp Luận văn gồm hai chƣơng: Chƣơng 1– Nhóm khơng gian tơpơ Chƣơng – Nhóm đồng ln khơng gian tơpơ Trong chƣơng tác giả trình bày khái niệm, kết số kiến thức sở nhóm khơng gian tơpơ, có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu đề tài Chƣơng nội dung luận văn đƣợc trình bày từ trƣờng hợp đơn giản đến phức tạp Các nội dung chi tiết đƣợc đề cập gồm: - Nhóm đồng ln tuyệt đối khơng gan tơpơ - Nhóm đồng luân tƣơng đối không gian tôpô - Dãy khớp đồng luân cặp không gian tôpô Mục đích luận văn tìm hiểu việc thiết lập bất biến không gian tôpô mối quan hệ nhóm đồng luân nhóm đồng điều khơng gian tơpơ Nội dung luận văn vấn đề toán học đại mẻ tác giả học tập nghiên cứu dƣới hƣớng dẫn nghiêm túc chu đáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hƣớng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn âu sắc tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan thầy cô giáo Bộ môn Đại số Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học tận tâm dạy bảo chúng em thời gian học tập vừa qua, dƣới mái trƣờng Đại học Vinh thân yêu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ngƣời bạn học viên cao học khóa 16 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số tận tình giúp đỡ q trình học tập hồn thành luận văn Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc bảo thầy cô giáo bạn học viên Tác giả CHƢƠNG NHĨM CƠ BẢN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ 1.1 Định nghĩa nhóm 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, I  0,1 không gian đƣờng thẳng thực R Một ánh xạ liên tục  :I  X đƣợc gọi đƣờng không gian tôpô X Điểm  (0) gọi điểm gốc, điểm  (1) đƣợc gọi điểm cuối đƣờng  Nếu (0)  (1)  x0  X  đƣợc gọi đƣờng đóng x0 1.1.2 Định nghĩa Cho ,  ' hai đƣờng không gian tôpô X mà  (1)   '(0) Ánh xạ liên tục    ' : I  X cho   (2t )    '(t )    '(2t  1)  nÕu  t  nÕu  t 1 đƣợc gọi nối tiếp hai đƣờng ,  ' Chú ý    ' ánh xạ liên tục      '   1 Con đƣờng  2   1    ' có điểm gốc    '(0)  (0) điểm cuối    '(1)   '(1)  (1)  (0)  '(0)  '(1) 1.1.3 Định nghĩa Cho hai đƣờng ,  ' có điểm gốc điểm cuối khơng gian tơpơ X Ta nói  tƣơng đƣơng đồng luân mút cố định với  ' kí hiệu   'rel I tồn ánh xạ liên tục h : I  I  X cho: h(t ,0)  (t ) h(t ,1)   '(t ) h(0, )  (0)   '(0) h(1, )  (1)   '(1) với t  I ,   I Khi ta nói  đồng luân mút cố định với  ' nhờ h h(t , 0)  '(0)  (1)  (0) h(t ', )  '(1) h(t ,1) Nhận xét: Quan hệ đồng luân mút cố định đƣờng không gian tôpô X quan hệ tƣơng đƣơng Thật   ' rel I chọn ánh xạ h theo công thức h(t , )  (t ), t ,   I Nếu   ' rel I nhờ ánh xạ h  '  rel I nhờ ánh xạ h ' với h '(t , )  h(t ,1   ) Nếu   ' rel I nhờ ánh xạ h ,  '  '' rel I nhờ ánh xạ h '   '' rel I nhờ ánh xạ h '' xác định công thức  h(t , 2 ) h ''(t , )    h '(t , 2  1)  nÕu    nÕu  1 Lớp tƣơng đƣơng đƣờng  đƣợc kí hiệu   1.1.4 Mệnh đề Nếu 1  rel I , 1'   ' rel I (1)   '(0)    '  1  1'  Giả sử  x : I  X ,  x (t )  x, t  I (với x phần thuộc X )  đường X nối x0 với x1 Khi  x0       ,    x1     Cho  : I  X , (0)  x0 , (1)  x1 Ta xác định đường  công thức  (t )   (1  t ) Khi       x  ,       x  Nếu  nối x0 với x1 ,  ' nối x1 với x2 ,  '' nối với x2 với x3    '   ''     '  '' Chứng minh Giả sử 1  rel I nhờ h, 1'  ' rel I , nhờ h ' Ta xác định ánh xạ h '' : I  I  X công thức  nÕu  t  h(2t , ) h ''(t , )    h '(2t  1, ) nÕu  t   Vì h(1, )  h '(0, ) nên h '' ánh xạ liên tục Ta có  h(2t , 0) h ''(t , 0)    h '(2t  1, 0)  nÕu  t  nÕu  t 1  nÕu  t  1 (2t )    ' (2t  1) nÕu  t    1  1' (t ) Tƣơng tự, h ''(t ,1)     '(t ) Dễ thấy h ''(0, )  1 (0), h ''(1, )  1' (1) Do 1  1'    'rel I , tức 1  1'      ' Xác định ánh xạ  : I  I  0  (t )    2t   nÕu  t  nÕu  t 1 Ánh xạ co đoạn 0,  dãn  2 1   ,1 thành I 1 Xét ánh xạ h : I  I  X h(t , )  (  (t )  (1  )t ) Ta có h(t ,0)  (t )   (0) h(t ,1)   ( (t ))     (2t  1)  nÕu  t  nÕu   x0 (2t )   (2t  1)   t 1 nÕu  t  nÕu  t 1   x0   (t ) Dễ thấy h(0,  )  (0), h(1,  )  (1) Vậy    x   rel I hay     x    0 Xét ánh xạ  : I I  2t  (t )   1  nÕu  t  nÕu  t 1 ánh xạ h ' : I  I  X h '(t , )  ((1  ) (t)  t ) Dễ kiểm tra    x  rel I , tức    x     Vì ( )   nên cần chứng minh     x Xét ánh xạ h : I  I  X   x0   (2t   )  h (t ,  )    (2  2t   )    x0  nÕu  t    2 2  nÕu  t  2  nÕu  t  nÕu  t  Dễ thấy ánh xạ h liên tục  nÕu  t    (2t ) Ta có h(t , 0)    (2  2t ) nÕu  t    nÕu  t   (2t )   (2t  1) nÕu  t       (t ) h(t , 1)  x0   x0 (t ), h(0,  )  h(1,  )  x0 Vậy     x rel I Ta xác định ánh xạ h : I  I  X   4t    1      h(t , )   '(4t    1)    4t      ''       nÕu  t  nÕu  1  1  t   2 4  2 nÕu  t 1 Dễ thấy h ánh xạ liên tục h(t , 0)  ((   ')   '') (t ) h(t , 1)  (  ( '   '')) (t ) h(0,  )  (0); h(1,  )   ''(1) Vậy (   ')   ( '   '') rel I  1.1.5 Định nghĩa Cho không gian tôpô X x0  X Kí hiệu 1 ( X , x0 ) tập lớp đồng luân mút cố định đƣờng đóng 1 ( X , x0 )   ;  : I  X ,  (0)   (1)  x0  Ta xác định phép tốn hai ngơi tập 1 ( X , x0 ) : Với   ,  ' thuộc 1 ( X , x0 ) ta định nghĩa     '     ' Từ định nghĩa ta suy 1 ( X , x0 ) với phép tốn  nhóm Nhóm 1 ( X , x0 ) đƣợc gọi nhóm khơng gian tôpô X với điểm đánh dấu x0 (hay với điểm gốc x0 ) Chú ý Ta xét cặp ( X , A) X khơng gian tôpô A tập X Khi A điểm  x0  viết ( X , x0 ) gọi không gian tôpô X với điểm đánh dấu x0 (hay điểm gốc x0 ) Ánh xạ f :( X , A)  (Y , B) đƣợc hiểu ánh xạ liên tục f : X  Y cho f ( A)  B Cho X ' không gian X , hai ánh xạ f , g : ( X , A)  (Y , B) đƣợc gọi tương thích X ' f X' g X Hai ánh xạ f , g : ( X , A)  (Y , B) tƣơng thích X ' đƣợc gọi tương đương đồng luân cố định X ' có ánh xạ liên tục H : X  I  Y , I  0, 1 thoả mãn điều kiện: H ( x, 0)  f ( x), H ( x, 1)  g ( x) H ( x, t )  f ( x)  g ( x), x  X ', t  I Khi ta kí hiệu f g rel X ' nói H đồng luân cố định X ' nối f với g quan hệ tƣơng đƣơng hợp thành ánh xạ tƣơng đƣơng đồng luân cố định Với thuật ngữ này, đƣờng  X đóng x0 ánh xạ  :( I , I )  ( X , x0 ) , I  0,1 biên I ,   lớp ánh xạ liên tục đồng luân cố định I với  26 Ví dụ Nhóm đồng luân S n Ta chứng minh nhóm  i  S n , x0  mặt cầu S n nhóm tầm thƣờng i  n Cho f  Si  S n , x0  , tức f : Ii  Sn, f I   x n Ta biểu diễn f hợp thành hai ánh xạ liên tục  : I i  S i , f ' : S i  S n Vì S i coi khơng gian thƣơng I i không gian I i ánh xạ f ' đồng luân với ánh xạ nên f  x relI i Vậy  i  S n , x0  bao gồm phần tử Chú ý  n  S n , x0   Z , việc tính nhóm  i  S n , x0  , i  n vấn đề phức tạp vƣợt ngồi khn khổ sách Ví dụ Cũng nhƣ nhóm bản, p1 : X  Y  X , p2 : X  Y  Y phép chiếu ta có đẳng cấu nhóm  p1 *   p2 * :  n  X  Y ,  x, y     n  X , x    n Y , y  27 2.2 Nhóm đồng luân tƣơng đối Dãy khớp đồng luân cặp không gian tôpô Cho X không gian tôpô A không gian x0  A  X Ta định nghĩa nhóm  n  X , A, x0  với số tự nhiên n  trƣờng hợp A  x0   n  X , x0 , x0    n  X , x0  2.2.1 Định nghĩa Một triad ( X ; A, B ) bao gồm không gian tôpô X hai không gian A, B Cho hai triad X ; A, B Y ; C, D , ánh xạ hai triad f :  X ; A, B   Y ; C , D  ánh xạ liên tục f : X  Y cho f  A  C , f  B   D I n lập phƣơng đơn vị , kí hiệu I n 1   t1 , , tn   I n ; tn  0 mặt I n ứng với tn  Kí hiệu J n1 hợp mặt lại I n Khi ta có triad I n ; I n 1 , J n 1  Kí hiệu Sn  X , A, x0  tập hợp ánh xạ f :  I n ; I n 1 , J n 1   Sn  X , A, x0  tức f : I n  X , f  I n1   A, f  J n1   x0 2.2.2 Định nghĩa Cho f , g  Sn  X , A, x0  Ta nói f đồng luân với g tồn ánh xạ   h I n  I , I n 1  I , J n 1  I   X , A, x0  cho h  x,   f h  x,1  Kí hiệu h : f  x g  x g Dễ thử quan hệ đồng luân tập Sn  X , A, x0  quan hệ tƣơng đƣơng Lớp tƣơng đƣơng f  Sn  X , A, x0  đƣợc kí hiệu  f  28 2.2.3 Mệnh đề Nếu f , g  Sn  X , A, x0  f  g  Sn  X , A, x0  Chứng minh Nhắc lại f  g :  I n , I n    X , x0  f  g  f  g t, y   f  2t , y  nÕu  t      g  2t  1, y  nÕu  t    Nếu x   t , y   I n1  t , y    t , t2 , , tn1 ,   2t  1, y    2t  1, t2 , , tn1 , 0  I n1 f  g  t , y   A tức µ * g  I n 1   A Nếu x   t , y   J n1 t  t  , suy f  g (t , y) f  0, y   x0 f 1, y   x0 Vậy f  g  J n 1   x0  2.2.4 Mệnh đề Cho Nếu f f ', g f , f ' , g , g ' phần tử Sn  X , A, x0  g ' f  g f '  g' Chứng minh mệnh đề tƣơng tự nhƣ chứng minh mệnh đề 2.2.3 2.2.5 Định nghĩa Kí hiệu  n  X , A, x0  tập hợp lớp đồng luân ánh xạ f  Sn  X , A, x0  Trên tập  n  X , A, x0  ta cho phép toán  f   g    f  g  Tƣơng tự nhƣ mệnh đề 2.1.4, tập  n  X , A, x0  với phép toán nhóm Nhóm  n  X , A, x0  gọi nhóm đồng luân tƣơng đối thứ n cặp ( X , A) với điểm đánh dấu x0 Chú ý với n  nhóm  n  X , A, x0  nhóm giao hốn Bây ta với ba  X , A, x0  xây dựng đƣợc dãy khớp nhóm đồng luân Nhận xét I n1  J n1 f  Sn  X , A, x0  29 f' f I n1  Sn1  A, x0  lớp đồng luân thuộc nhóm  n 1  A, x0  Ta có đồng cấu  :  n  X , A, x0    n 1  A, x0   f '  f Thật vậy, h : f g   h' : I n 1  I , I n 1   A, x0  Xác định h'  h I h' : f n1 đồn luân nối f ' g ' g ' relI n 1 ' Dễ thấy  f  g   f '  g ' Vậy  đồng cấu nhóm ' Nhúng tắc i :  A, x0    X , x0  j :  X , x0 , x0    X , A, x0  cảm sinh đồng cấu i* :  n  A, x0    n  A, x0  ,  f  f j* :  n  X , x0 , x0    n  X , A, x0  ,  f  f Hiển nhiên  n  X , A, x0  =  n  X , x0  Nhƣ ta có dãy nhóm đồng luân đồng cấu  i*   n 1  X , A, x0    n  A, x0    n  X , x0    j*   n  X , A, x0    n 1  A, x0  i*    A, x0     X , x0  Và gọi dãy đồng luân cặp ( X , A) với điểm đánh dấu x0 2.2.6 Mệnh đề Dãy đồng luân cặp ( X , A) với điểm đánh dấu x0 dãy khớp Chứng minh (1) Tính khớp  n  A, x0  , n  Giả sử  f    n1  X , A, x0  , f : I n1  I n  I  X , f  I n   A, f  J n   x0 30 Do f In  x relI n Vậy i*   f    f In    ( phần tử trung hịa nhóm  n  X , x0  ) Do Im   Keri* Giả sử  f    n  A, x0  mà f  x relI n h :  I n  I , I n  I    X , x0  Khi h  Sn1  X , A, x0  h In f Do  f     h Suy Keri*  Im  (2) Tính khớp  n  X , x0  , n  xét  f    n  A, x0  h :  I n  I , I n 1  I , J n 1  I    X , A, x0  Xác định  f  t1 , , tn 1 , tn  t  nÕu t  tn  h  t1 , , tn , t    nÕu t  tn   x0 Khi dễ thấy h : f  x Sn  X , A, x0  Do j* i*  f   Suy Im i*  Kerj* Giả sử  f    n  X , x0  cho f  x Sn  X , A, x0  Khi có ánh xạ h :  I n  I , I n 1  I , J n 1  I    X , A, x0  Sao cho h  x,   f  x  , h  x,1  x0 Ta lập ánh xạ h' :  I n  I , I n  I    X , x0  31  h  t , , tn , 2ttn  nÕu t    h  t1 , , tn , t     h  t , , t , 2t 1  t  , t  nÕu t  n 1 n n   Khi h' : f 2 h1' , h1'  t1 , , tn   h'  t1 , , tn , t   h  t1 , , tn , 0, tn  , h1'  Sn  A, x0  Do đó: i* h'    f  Suy Kerj*  Im i* (3) Tính khớp  n  X , A, x0  , n  Nếu  f    n  X , x0  j*  f    f I n1    x relI n1 Ta có h :  I n1  I , I n1  I    A, x0  cho h  x,0  f '  x  , h  x,1  x0 , x  I n1 Xét ánh xạ h :  I n  I , I n1  J , J n 1  I    X , A, x0  Cho công thức  h  t1 , , tn 1 , t 1  2tn   nÕu tn    h  t1 , , tn , t     f  t , , t , 2t  1 nÕu tn  n 1 n   Giả sử h0  t1 , , tn   h  t1 , , tn ,  h1  t1 , , tn   h  t1 , , tn ,1 Ta có h0 Từ suy h1 Sn f  X , A, x0   h1 Sn  X , A, x0  Vì h1 I n x  h1    n  X , x0  Sử dụng quan hệ đồng luân ta có  f   j*  h  Do Ker  Im j* Vậy mệnh đề đƣợc chứng minh  Nếu f :  X , A, x0   Y , B, y0  dễ suy kết sau , 32 2.2.7 Mệnh đề Biểu đồ sau giao hốn i*  j*   n  A, x0   n  X , x0   n  X , A, x0   n1  A, x0    f*  f*  f*  f*   n  B, y0   n Y , y0   n Y , B, y0   n1  B, y0   i* j*  33 2.3 Liên hệ với nhóm đồng điều Nhắc lại ánh xạ liên tục f : I n  X đƣợc gọi lập phƣơng kì dị n chiều khơng gian tơpơ X Kí hiệu Qn  X  nhóm Abel tự sinh lập phƣơng kì dị n chiều X Ta xác định đồng cấu  : Qn  X   Qn 1  X  nhƣ sau Nếu f : I n  X , ta xác định f n f  t1 , , tn 1     1  f  t1 , , ti 1 , 0, ti , , tn 1   f  t1 , , ti 1,1, ti , , tn 1  i i 1 Khi   ta có phức hợp dây chuyền Q  Qn  X  ,   Kí hiệu Dn  X  nhóm Abel tự sinh lập phƣơng kì dị d : I n  X mà t1 d  t1 , , tn   d  0, t2 , , tn  Nếu d  Dn  X  d  Dn 1  X  Ta có D  Dn  X  ,  phức hợp dây chuyền phức hợp Q  X  ,  Xét phức hợp thƣơng Q * n n Q D Các chu trình Qn* lớp   Dn   Qn   Qn1 Còn biên Qn* lớp   Dn   Dn1 Nếu  f    n  X , x0  , n  1, f :  I n , I n    X , x0  Ta đƣợc lập phƣơng kì dị f : I n  X f  Nếu f h  x,   f (1) f 'relI n , tồn h :  I n  I , I n  I    X , x0  cho  x  , h  x,1  f '  x Khi h : I n  I  X lập phƣơng kì dị n  chiều 34 h  t1 , , tn   h t1 , , tn ,0   h t1, , tn ,1  f  t1 , , tn   f '  t1 , , tn  (2) Từ (1), (2) suy lớp  f    n  X , x0  xác định lớp đồng  f   H nc  X  (nhóm đồng điều lập phƣơng kì dị X) Ta có ánh xạ  :  n  X , x0   H nc  X   f   f  2.3.1 Mệnh đề Với n  1, n đồng cấu nhóm Chứng minh Ta cần chứng minh n  f  g    f   g Để làm điều ta chứng minh f  g f +g xác định lớp đồng điều lập phƣơng kì dị X Giả sử  : I  I xác định  nÕu t2  2t1  t2  1   t1 , t2      t2  nÕu t2  1  t1  2 nÕu 2t1  t2  1  t1   t1   t2 N K M (K) (N) (M) t1 35 Xét ánh xạ h : I n  I  X cho h  t1 , , tn , t   f  g   t1 , t2  , t3 , , tn , t  Dễ suy ˆ    x0 h  f  g   f  g (3) Thay hai ánh xạ f, g công thức (3) ánh xạ, g g , g  gˆ ta nhận đƣợc h'   g  gˆ   g  g  gˆ  gˆ   x0 h''  g   g  gˆ   g  gˆ  g   x0 Nhƣng g  gˆ  x , g  gˆ  t   x Vì  g  gˆ   g g  g  gˆ   g  g 0 g   gˆ  g  suy g   gˆ  g   s Khi từ quan hệ (4):   g  g b2  4ac   h'  h''  s   x0 Cuối công thức (3) viết dƣới dạng f  g   f  g   h   g  gˆ    x0  l   x0 Vì  x lập phƣơng kì dị suy biến nên suy f  g   f    g  2.3.2 Định nghĩa Đồng cấu n :  n  X , x0   H nc  X  đƣợc gọi đồng cấu Hurewicz Với n  ta thấy 1 cho phép hồn tồn xác định nhóm H1c  X  nhờ nhóm 1  X , x0  Ta coi H1c  X  nhóm đồng điều đơn hình kì dị khơng gian X có đẳng cấu nhóm đồng điều lập phƣơng kì dị đơn hình Xét đồng phôi j : I  1 ( 1 đơn hình chiều) 36 j  t   1  t , t  ánh xạ k : 1  S , k  t0 , t1    cos 2 t1 ,sin 2 t1  Khi kj : I  S , t   cos 2 t ,sin 2 t  Giả sử      X , x0  Khi đƣờng  :  I , I    X , x0  Xác định ánh xạ f : I I  S1  X Hợp thành fk : 1  X đơn hình kì dị chiều X , fk  C1  X  Hơn f k chu trình Thật   fk 1  f k  0,1  f k 1,0   Dễ thấy 1 : 1  X , x0   H1  X  , 1     f k 2.3.3 Mệnh đề Cho X không gian liên thông cung, x0  X Đồng cấu 1 : 1  X , x0   H1  X  toàn cấu hạt nhân 1 nhóm giao hốn tử 1  X , x0  Chứng minh Kí hiệu C ( X ) phức hợp dây chuyền đơn hình kì dị X Xét hợp phức C '( X ) sinh đơn hình kỳ dị s ' : 1  X cho s ' biến đỉnh 1 vào điểm x0  X Có thể nhúng i :Cq' ( X )  Cq ( X ) tƣơng đƣơng đồng luân phức hợp dây chuyền Trên sở kết ta có:  i : H1 (C '( X ))   H1 ( X ) Nói khác đi, với    1 ( X , x0 ) chu trình fk xác định lớp 1   thuộc vào nhóm C1' ( X ) Do ta có đồng cấu  : 1 ( X , x )  H1 (C '( X )) cho 1  i  37 Bây ta cần  tồn cấu hạt nhân nhóm giao hốn tử  ( X , x0 ) Giả sử  z  H1 (C '( X )) với z  C1' ( X ) z  Ta có z  a1s1   am sm , s1 : 1  X s1 biến đỉnh 1 vào x0 Khi s1  C1' ( X ) m  z   si  Nhƣng i 1 s1 xác định đƣờng i X đóng x0 Xét lớp    1   1 ( X , x0 ) n1 m Khi       i    s1   z  i 1 m i 1 Vậy  tồn cấu Ta kí hiệu nhóm giao hốn tử 1 ( X , x0 ) 1 ( X , x0 ), 1 ( X , x0 ) Chú ý H1 ( X ) nhóm Aben,  đồng cấu nên 1 ( X , x0 ), 1 ( X , x0 )  Ker  Giả sử   ( X , x0 )  1 ( X , x0 ) 1 ( X , x0 ), 1 ( X , x0 ) phép tốn nhóm kí hiệu theo lối cộng Giả sử p :1 ( X , x0 )   * ( X , x0 ) phép chiếu Vì Ke r  chứa nhóm giao hốn tử nên tồn đồng cấu  * :  ( X , x0 )  H1 (C '( X )) với     p Để hoàn thành chứng minh mệnh đề ta cần chứng tỏ   đơn cấu Giả sử s  C1' ( X ) p  sj  có ánh xạ q : C1' ( X )    ( X , x0 ) Ta biên đƣợc biến thành qua ánh xạ q Thật vậy, giả sử t  C2' ( X )      q(t )  q(t  t (1)  t (2) )  p t (2) j   p t (0) j   p t (0) j   38   p t (2) j  t (0) j  t (1) j  1    v × t (1)  j   t (2) j  t (0) j  Vậy q cảm sinh đồng cấu q : H1 (C '( X ))    ( X , x0 ) Tính tốn trực tiếp ta có q    Id  ( X , x0 ) Vậy   đơn cấu mệnh đề đƣợc chứng minh  2.3.4 Hệ Cho X không gian liên thông cung, x0  X , H1 ( X )  1 ( X , x0 ) 1 ( X , x0 ), 1 ( X , x0 ) Hệ chứng tỏ nhóm hồn tồn xác định nhóm đồng điều kì dị H1 ( X ) 2.3.5 Hệ Nếu X không gian liên thông cung 1 ( X , x0 ) nhóm Aben 1 : ( X , x0 )  H1 ( X ) Chú ý Trong mệnh đề 1 ( X )  H1 ( X )  Ta thừa nhận kết sau Nếu 1 ( X )   ( X )    n1 ( X )  (n  1) H1 ( X )  H ( X )   H n1 ( X )  H n ( X )   n ( X ) 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày chi tiết số nội dung sau đây: Kiến thức sở nhóm không gian tôpô giới thiệu trƣờng hợp riêng Định lý Van – Kampen (Mệnh đề 1.2.1) Hệ thống lại khái niệm số kết nhóm đồng luân tuyệt đối, nhóm đồng luân tƣơng đối, dãy khớp đồng luân cặp không gian tơpơ Tìm hiểu việc thiết lập bất biến không gian tôpô mối quan hệ nhóm đồng luân nhóm đồng điều khơng gian tơpơ Luận văn tiếp tục tìm hiểu ứng dụng lý thuyết đồng điều, đồng luân cấu trúc đại số khác 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Đoành, Tạ Mân (2005), Nhập môn tôpô đại số, Đại học Sƣ phạm Hà Nội [3] Sze – Tsenhu (1973), Nhập môn đại số đồng điều, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [4] Serge Lang (1974), Đại số, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Tiếng Anh [5] A Dold (1972), Lectures on algebraic topology, Springer – Verlag Berlin Heidelder Newyork [6] R Hartshorne ( 1977), Algebraic Geometry, Springer – Verlag Berlin Heidelder Newyork [7] E H Spanier (1966), Algebraic topology, Mc Graw – Hillbook Co ... gồm: - Nhóm đồng luân tuyệt đối khơng gan tơpơ - Nhóm đồng ln tƣơng đối không gian tôpô - Dãy khớp đồng luân cặp khơng gian tơpơ Mục đích luận văn tìm hiểu việc thiết lập bất biến không gian tôpô. .. CHƢƠNG NHÓM CƠ BẢN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ 1.1 Định nghĩa nhóm 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, I  0,1 không gian đƣờng thẳng thực R Một ánh xạ liên tục  :I  X đƣợc gọi đƣờng không gian tôpô. .. cặp khơng gian tơpơ Tìm hiểu việc thiết lập bất biến không gian tơpơ mối quan hệ nhóm đồng ln nhóm đồng điều khơng gian tơpơ Luận văn tiếp tục tìm hiểu ứng dụng lý thuyết đồng điều, đồng luân cấu