I hội tụ trên không gian topo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2020 - 2021 I-HỘI TỤ TRÊN KHÔNG GIAN TOPO Thuộc lĩnh vực khoa học cơng nghệ: Tốn học Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2020-2021 I-HỘI TỤ TRÊN KHÔNG GIAN TOPO Thuộc lĩnh vực khoa học cơng nghệ: Tốn học Sinh viên thực hiện: Ngơ Quang Hải Nam, Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp, khoa: 17ST - Khoa Toán Năm thứ: 4/4 Ngành học: Sư Phạm Tốn Người hướng dẫn chính: TS Lương Quốc Tuyển LỜI CẢM ƠN Lời đề tài nghiên cứu khoa học em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn động viên em suốt trình thực đề tài để em hồn thành nghiên cứu Tuy gặp khơng khó khăn thực đề tài nhờ giúp đỡ từ q thầy cơ, gia đình bạn bè, em nỗ lực tìm tịi học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho thân hồn thành nghiên cứu Đề tài bước đầu tập dượt nghiên cứu, kỷ niệm đáng nhớ trong thời gian học tập em Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Em xin chân thành cảm ơn! Ngô Quang Hải MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Hội tụ thống kê 1.1 Hội tụ thống kê 1.2 Dãy Cauchy thống kê 11 CHƯƠNG I -hội tụ không gian topo .16 2.1 Đặc tính hội tụ thống kê 16 2.2 Ideal lọc tập hợp M 17 2.3 I -hội tụ 21 2.4 Tập I -mở tập I -đóng 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1951, H Fast giới thiệu phần mở rộng khái niệm giới hạn thông thường dãy số thực tác giả gọi hội tụ thống kê (xem [1]) Trong [4], I J Schoenberg đưa số tính chất hội tụ thống kê nghiên cứu tổng chuỗi nhờ khái niệm hội tụ thống kê Đến năm 1985, J A Fridy đưa khái niệm dãy Cauchy thống kê chứng minh tương đương với dãy hội tụ thống kê Hơn nữa, tác giả đưa nhiều kết liên quan đến tổng chuỗi (xem [2]) Gần đây, nhiều tác giả giới mở rộng khái niệm hội tụ thống kê theo nhiều hướng khác Một hướng mở rộng tác giả giới quan tâm nhiều khái niệm I -hội tụ, I ideal Trong [5], X Zhou, L Liu, S Lin nghiên cứu không gian topo xác định I -hội tụ, đưa mối liên hệ hội tụ thống kê I -hội tụ Nhờ đó, tác giả chứng minh nhiều kết tương tự topo đại cương Đưa nhiều khái niệm không gian metric suy rộng không gian I -Fréchet, không gian I -dãy, nhận lại nhiều kết thú vị Ngồi ra, tác giả cịn chứng minh hợp hai tập I -mở tập I -mở; I -là ideal cực đại, giao hai tập I -mở tập I -mở Bởi vậy, tác giả đặt toán mở sau: Bài tốn Giao hai tập I -mở có tập I -mở hay khơng? Bài tốn số tác giả giới quan tâm chưa có lời giải đáp Với mong muốn nghiên cứu hội tụ thống kê nghiên cứu không gian topo xác định I -hội tụ, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “ I -hội tụ không gian topo” làm đề tài cho luận văn Mục đích nghiên cứu Trong khóa luận này, chúng tơi nghiên cứu hội tụ thống kê, từ làm tiền đề để nghiên cứu I -hội tụ không gian topo Chứng minh chi tiết số kết liên quan đến dãy I -hội tụ tác giả trước Đối tượng nghiên cứu Hội tụ thống kê, Cauchy thống kê, I -hội tụ không gian topo, tính chất tập I -mở, I -đóng, tính chất khơng gian I -dãy Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm tính chất I -hội tụ không gian topo Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan hội tụ thống kê I -hội tụ • Bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa kết mở rộng số kết tác giả trước • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hồn chỉnh đề tài Cấu trúc đề tài Nội dung khóa luận chúng tơi trình bày hai chương Ngồi ra, khóa luận có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức hội tụ thống kê nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2, bên cạnh cịn dãy Cauchy thống kê tương đương với dãy hội tụ thống kê Chương 2, trình bày số tính chất I -hội tụ không gian topo chia làm mục Mục 2.1, trình bày đặc tính hội tụ thống kê Mục 2.2, trình bày số khái niệm số tính chất ideal lọc tập hợp M Mục 2.3, trình bày tính chất I -hội tụ khơng gian topo Mục 2.4, trình bày khái niệm tập I -mở tập I -đóng CHƯƠNG HỘI TỤ THỐNG KÊ Chương dành cho việc trình bày khái niệm tính chất dãy hội tụ thống kê, dãy Cauchy thống kê mối liên hệ dãy hội tụ thống kê với dãy Cauchy thống kê 1.1 Hội tụ thống kê Định nghĩa 1.1.1 ([2], [3]) Cho K ⊂ N, số δ(K) = lim |{k ≤ n : k ∈ K}| n n gọi mật độ tự nhiên tập K Nếu {xk } dãy thỏa mãn tính chất “P ” cho tất k , ngoại trừ tập hợp k có mật độ tự nhiên 0, ta nói {xk } thỏa mãn tính chất “P ” tất k , ta viết tắt điều h.t.c k Nhận xét 1.1.2 ([2]) Giả sử K ⊂ N cho tồn δ(K) Khi đó, 1) δ(K) ≤ 1; 2) Nếu K hữu hạn, δ(K) = Do đó, δ(K) = 0, K tập vơ hạn Chứng minh (1) Ta có {k ≤ n : k ∈ K} ⊂ {1, 2, , n}, n kéo theo |{k ≤ n : k ∈ K}| ≤ n Do đó, δ(K) ≤ lim = n n (2) Giả sử K = {k1 , k2 , , kp } Khi đó, với n ≥ kp ta có δ(K) = lim n p |{k ≤ n : k ∈ K}| = lim = n n n Như vậy, δ(K) = 0, K tập vơ hạn Định nghĩa 1.1.3 ([2], [3]) Dãy số {xn } gọi hội tụ thống kê đến L với ε > 0, {k ≤ n : |xk − L| ≥ ε} = 0, n lim n nghĩa |xn − L| < ε h.t.c n (1.1) Trong trường hợp viết st-lim xn = L Bổ đề 1.1.4 ([2]) Giới hạn thống kê dãy tồn Chứng minh Giả sử st-lim xn = L1 st-lim xn = L2 Ta chứng minh L1 = L2 Thật vậy, giả sử ngược lại L1 = L2 Khi đó, < |L1 − L2 | ≤ |xk − L1 | + |xk − L2 | nên với ε = |L1 − L2 | > 0, ta có {k ≤ n : |L1 − L2 | ≥ ε} ⊂ {k ≤ n : |xk − L1 | ≥ ε/2} ∪ {k ≤ n : |xk − L2 | ≥ ε/2} Suy |{k ≤ n : |L1 − L2 | ≥ ε}| ≤ |{k ≤ n : |xk − L1 | ≥ ε/2}| + |{k ≤ n : |xk − L2 | ≥ ε/2}| Nhờ giả thiết ta suy = lim n |{k ≤ n : |L1 − L2 | ≥ ε}| = n Điều mâu thuẫn chứng tỏ L1 = L2 Ví dụ 1.1.5 ([2], [3]) Cho dãy {xn } xác định sau √ 1, √k ∈ N xk = / N 0, k ∈ Khi đó, |{k ≤ n : xk = 0}| ≤ √ n Suy với ε > ta có {k ≤ n : |xk − 0| ≥ ε} n n = lim {k ≤ n : xk ≥ ε} n n ≤ lim {k ≤ n : xk = 0} n n ≤ lim √ = n n ≤ lim Như vậy, st-lim xn = Nhận xét 1.1.6 ([3]) Nếu bất phương trình (1.1) thỏa mãn với tất trừ số hữu hạn giá trị k , lim xk = L Điều chứng tỏ rằng, lim xk = L, st-lim xk = L Tuy nhiên, st-lim xk = L ⇒ lim xk = L Thật vậy, ta đặt K = {12 , 22 , , k , } Khi đó, K tập đếm Bởi Q tập đếm nên ta viết Q = {rk : k ∈ K} Bây giờ, với n ∈ N, ta đặt   rk xk =  1 k Ta có hai khẳng định sau • Khẳng định : st-lim xk = k ∈ K, k ∈ / K 18 (a) Nếu B ⊂ A ∈ I , B ∈ I ; (b) Nếu A, B ∈ I , A ∪ B ∈ I 2) Ideal I M gọi không tầm thường I = ∅ M ∈ / I; 3) Một ideal không tầm thường I M gọi ideal chấp nhận {{x} : x ∈ M } ⊂ I ; 4) Giả sử I ideal không tầm thường M Ta ký hiệu FI = {A ⊂ M : M \ A ∈ I} 5) Giả sử I ideal M Ta ký hiệu If = {A ⊂ M : A hữu hạn} Nhận xét 2.2.2 ([5]) Nếu M tập vơ hạn, If ideal chấp nhận Chứng minh Ta có ❼ Bởi M vơ hạn nên M ∈ / I ❼ Với x ∈ M , tập hợp {x} hữu hạn nên {x} ∈ If , kéo theo If = ∅ {{x} : x ∈ M } ⊂ If Như vậy, If ideal chấp nhận Bổ đề 2.2.3 ([5]) Giả sử M = N Iδ = {A ⊂ N : δ(A) = 0} Khi đó, 1) Iδ ideal chấp nhận được; 2) FIδ = {A ⊂ N : δ(A) = 1} 19 Chứng minh (1) Giả sử i ∈ N, ta lấy Ai = {i} Khi đó, δ(Ai ) = lim n |{k ≤ n : k ∈ Ai }| = lim = n n n Suy Ai ∈ Iδ , nghĩa Iδ = ∅ Hơn nữa, {{i} : i ∈ N} ⊂ Iδ Ta lại có |{k ≤ n : k ∈ N}| n = lim = 1, n n n n kéo theo N ∈ / Iδ Như vậy, Iδ ideal chấp nhận δ(N) = lim (2) Ta có FIδ = {A ⊂ N : N \ A ∈ Iδ } = {A ⊂ N : δ(N \ A) = 0} = {A ⊂ N : δ(A) = 1} Do đó, bổ đề chứng minh Định nghĩa 2.2.4 ([5]) Một họ F ⊂ 2M gọi lọc M 1) ∅ ∈ / F F = ∅; 2) Nếu A, B ∈ F , A ∩ B ∈ F ; 3) Nếu A ∈ F , B ⊃ A, B ∈ F Ví dụ 2.2.5 ([5]) Giả sử (X, τ ) không gian topo, x ∈ X Ux họ gồm tất lân cận x Khi đó, Ux lọc X Chứng minh Ta có • Rõ ràng ∅ ∈ / Ux , X ∈ Ux nên Ux = ∅ • Giả sử A, B ∈ Ux , A ∩ B ∈ Ux • Giả sử A ∈ Ux B ⊃ A Khi đó, rõ ràng B ∈ Ux 20 Nhận xét 2.2.6 ([5]) I ideal không tầm thường M FI lọc M Chứng minh ♣ Điều kiện cần Giả sử I ideal không tầm thường M Khi đó, •∅∈ / F F = ∅ Thật vậy, I khơng tầm thường nên I = ∅ M ∈ / I Bởi I = ∅ nên tồn A ∈ I Suy M \ A ∈ FI , FI = ∅ Mặt khác, M ∈ /I nên ∅ ∈ / FI • Giả sử A, B ∈ FI Khi đó, M \ A, M \ B ∈ I , kéo theo M \ (A ∩ B) = (M \ A) ∪ (M \ B) ∈ I Như vậy, A ∩ B ∈ FI • Giả sử A ∈ FI B ⊃ A Khi đó, M \ A ∈ I M \ B ⊂ M \ A Bởi I ideal M nên M \ B ∈ I , nghĩa B ∈ FI ♣ Điều kiện đủ Giả sử FI lọc M Khi đó, • Bởi FI = ∅ nên tồn A ∈ FI Suy M \ A ∈ I , I = ∅ • Bởi ∅ ∈ / FI nên M = M \ ∅ ∈ / I • Giả sử A, B ∈ I , M \ A, M \ B ∈ FI Bởi FI lọc M nên M \ (A ∪ B) = (M \ A) ∩ (M \ B) ∈ FI Như vậy, A ∪ B ∈ I • Giả sử A ∈ I B ⊂ A Khi đó, M \ A ∈ FI M \ A ⊂ M \ B Bởi FI lọc M nên M \ B ∈ FI Do đó, B ∈ I 21 Như vậy, I ideal M 2.3 I-hội tụ Trong mục ta quy ước I ideal N Định nghĩa 2.3.1 ([5]) Cho (X, τ ) không gian topo, {xk } ⊂ X , x ∈ X Ux họ gồm tất lân cận x Khi đó, {xk } gọi I -hội tụ đến x ∈ X với U ∈ Ux , ta có AU = {k ∈ N : xk ∈ / U } ∈ I I Ta ký hiệu I -lim xk = x xk → x x gọi điểm I -giới hạn {xk } Nhận xét 2.3.2 ([5]) Giả sử I ideal không gian topo (X, τ ) Khi đó, 1) Nếu I chấp nhận được, lim xk = x ⇒ I -lim xk = x; 2) Nếu I ideal khơng tầm thường, khẳng định nói chung không Chứng minh (1) Giả sử I ideal chấp nhận được, lim xk = x U ∈ Ux Khi đó, {xk } hội tụ đến x nên tập hợp AU = {k ∈ N : xk ∈ / U} hữu hạn Như vậy, AU ∈ I , I -lim xk = x (2) Giả sử I = {∅} (X, τ ) không gian topo rời rạc Rõ ràng I ideal N Bây giờ, ta xét dãy {xk } ⊂ X thỏa mãn xn = xm với m = n lim xk = x Khi dó, ta lấy U = {x}, U ∈ Ux , AU = {k ∈ N : xk ∈ / U} = N ∈ / I Như vậy, {xk } không dãy I -hội tụ đến x 22 Bổ đề 2.3.3 ([5]) Giả sử I ideal N (X, τ ) khơng gian topo Khi đó, 1) I = ∅ với dãy {xk = x : k ∈ N} không I -hội tụ đến x ∈ X 2) Nếu N ∈ I , I = 2N , dãy X I -hội tụ đến điểm X 3) Nếu I ideal không tầm thường N X khơng gian Hausdorff, dãy I -hội tụ có điểm I -giới hạn Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử I = ∅ {xk = x : k ∈ N} dãy X Khi đó, I = ∅ nên AU ∈ / I với lân cận U x Như vậy, {xk } không dãy I -hội tụ đến x ∈ X Điều kiện đủ Giả sử với dãy {xk = x : k ∈ N} không I -hội tụ đến x ∈ X Ta chứng minh I = ∅ Thật vậy, giả sử ngược lại I = ∅ Khi đó, tồn A ∈ I Bởi I ideal ∅ ⊂ A nên ∅ ∈ I Ta lấy x ∈ X dãy {xk = x : k ∈ N} Bởi {xk } khơng I -hội tụ đến x nên tồn lân cận U ∈ Ux cho ∅ = {k ∈ N : xk ∈ / U} ∈ / I, mâu thuẫn (2) Rõ ràng I ⊂ 2N Bây giờ, giả sử N ∈ I A ∈ 2N Khi đó, A ⊂ N Bởi N ∈ I I ideal nên A ∈ I Như vậy, 2N ⊂ I Tiếp theo, giả sử {xk } dãy X , x ∈ X U ∈ Ux Khi đó, {k ∈ N : xk ∈ / U } ∈ 2X = I Suy {xk } dãy I -hội tụ đến x X (3) Giả sử I ideal không tầm thường X không gian Hausdorff, I -lim xk = x I -lim xk = y Khi đó, X khơng gian Hausdorff nên 23 tồn U ∈ Ux V ∈ Uy cho U ∩ V = ∅ Mặt khác, I -lim xk = x I -lim xk = y nên AU = {k ∈ N : xk ∈ / U } ∈ I, AV = {k ∈ N : xk ∈ / V } ∈ I Bởi I ideal nên ta có AU ∪ AV ∈ I Mặt khác, {k ∈ N : xk ∈ X \ (U ∩ V )} = {k ∈ N : xk ∈ (X \ U ) ∪ (X \ V )} ⊂ {k ∈ N : xk ∈ X \ U } ∪ {k ∈ N : xk ∈ X \ V } = AU ∪ AV ∈ I Bởi I ideal N nên {k ∈ N : xk ∈ X \ (U ∩ V )} ∈ I Hơn nữa, U ∩ V = ∅ nên N ∈ I Điều mâu thuẫn với I không ideal tầm thường Định lí 2.3.4 ([5]) Giả sử I ideal khơng tầm thường N (X, τ ) T0 -không gian có hai điểm Khi đó, 1) I -hội tụ X trùng với hội tụ thông thường I = If ; 2) I -hội tụ X trùng với hội tụ thống kê I = Iδ Chứng minh Ta lấy a, b ∈ X cho a = b Bởi X T0 -khơng gian nên khơng giảm tổng quát ta giả sử tồn U ∈ Ua cho b ∈ / U (1) Điều kiện cần Giả sử I -hội tụ trùng với hội tụ thông thường Ta chứng minh If = I Thật vậy, • If ⊂ I Giả sử F ∈ If , F tập hữu hạn N Ta xác định dãy 24 {xk } X sau xk = b, a, k ∈ F ; k ∈ N \ F Bởi xk = a hữu hạn phần tử nên hiển nhiên {xk } hội tụ thông thường đến a Mặt khác, theo giả thiết điều kiện cần, I -hội tụ trùng với hội tụ thông thường nên {xk } I -hội tụ đến a Bởi b ∈ / U nên F = {k ∈ N : xk ∈ / U } Như vậy, F ∈ I , If ⊂ I • I ⊂ If Giả sử A ∈ I , ta chứng minh A ∈ If , nghĩa A tập hữu hạn N Thật vậy, giả sử ngược lại A tập vơ hạn N Bởi I ideal không tầm thường nên I = ∅ N ∈ / I Nếu N \ A tập hữu hạn, theo chứng minh ta có If ⊂ I , kéo theo N \ A ∈ I Bởi I ideal nên N = A ∪ (N \ A) ∈ I Điều mâu thuẫn chứng tỏ N \ A tập vô hạn Bây ta định nghĩa dãy {xk } sau: xk = a b k ∈ N \ A k ∈ A Khi đó, ◦ {xk } dãy I -hội tụ đến a Thật vậy, giả sử W ∈ Ua , kéo theo U ∩ W ∈ Ua Bởi b ∈ / U nên b∈ / U ∩ W Do đó, {k ∈ N : xk ∈ / U ∩ W } = A ∈ I Mặt khác, I ideal {k ∈ N : xk ∈ / W } ⊂ {k ∈ N : xk ∈ / U ∩ W} 25 nên {k ∈ N : xk ∈ / W } ∈ I Như vậy, {xk } dãy I -hội tụ đến a X ◦ {xk } không hội tụ thông thường đến a X Thật vậy, U lân cận a, A vô hạn xk = b ∈ / U với k ∈ A Điều kiện đủ Giả sử I = If {xk } dãy X Khi đó, • Nếu {xk } hội tụ đến x, với với V ∈ Ux ta có AV = {k ∈ N : xk ∈ / V} tập hữu hạn Do đó, AV ∈ If = I , {xk } dãy I -hội tụ đến x • Nếu {xk } dãy I -hội tụ đến x, với V ∈ Ux ta có {k ∈ N : xk ∈ / V } ∈ I Bởi I = If nên AV hữu hạn Như vậy, {xk } hội tụ đến x (2) Điều kiện cần Giả sử I -hội tụ trùng với hội tụ thống kê Ta chứng minh I = Iδ Thật vậy, giả sử A ∈ Iδ , ta xét dãy {xk } sau xk = a b k ∈ N \ A k ∈ A Khi đó, ◦ {xk } dãy hội tụ thống kê đến a Giả sử V ∈ Ua , kéo theo V ∩ U ∈ Ua Ta có AV = {k ∈ N : xk ∈ / V } ⊂ {k ∈ N : xk ∈ / U ∩ V } = A ∈ Iδ Do đó, δ(A) = 0, {xk } dãy hội tụ thống kê đến a ◦ Bởi giả thiết điều kiện cần ta suy {xk } dãy I -hội tụ đến a Bởi U ∈ Ua nên ta có A = {k ∈ N : xk ∈ / U } ∈ I 26 Do đó, Iδ ⊂ I Hơn nữa, tồn A ∈ I \ Iδ Khi đó, A N \ A tập vô hạn Do đó, ta suy I ⊂ Iδ Bổ đề 2.3.5 ([5]) Cho I ideal N, (X, τ ) không gian I topo, {xn }, {yn } ⊂ X x ∈ X Khi đó, xn → x {n ∈ N : xn = yn } ∈ I, I yn → x, x ∈ X I Chứng minh Giả sử xn → x ∈ X U ∈ Ux Khi đó, {n ∈ N : xn ∈ / U } ∈ I Ta lấy n cho n∈ / {n ∈ N : xn = yn } ∪ {n ∈ N : xn ∈ / U } Lúc n ∈ / {n ∈ N : yn ∈ / U } Do đó, {n ∈ N : yn ∈ / U } ⊂ {n ∈ N : xn = yn } ∪ {n ∈ N : xn ∈ / U} Hơn nữa, I ideal N nên ta có {n ∈ N : yn ∈ / U } ∈ I I Như vậy, yn → x I Bổ đề 2.3.6 ([5]) Cho I ⊂ J hai ideal N Khi đó, xn → x J không gian topo (X, τ ), xn → x Chứng minh Với U ∈ Ux , {xn } I -hội tụ nên {n ∈ N : xn ∈ / U } ∈ I Bởi I ⊂ J nên ta suy {n ∈ N : xn ∈ / U} ∈ J J Điều chứng tỏ xn → x 27 Nhận xét 2.3.7 ([5]) 1) Theo bổ đề Zorn ta suy họ gồm tất ideal chấp nhận I N, tồn ideal cực đại J 2) Nếu J ideal cực đại N A ⊂ N, A ∈ J A ∈ N\J 3) Ta gọi Θ(I) họ gồm tất ideal cực đại N chứa I Khi đó, I = J ∈Θ(I) J Mệnh đề 2.3.8 ([5]) Cho dãy {xn } không gian topo (X, τ ) I I ideal N Khi đó, với J ∈ Θ(I) ta có xn → x J xn → x I Chứng minh Điều kiện cần Giả sử xn → x Theo Nhận xét 2.3.7 ta suy I ⊂ J với J ∈ Θ(I) Mặt khác, theo Bổ đề 2.3.6, ta thu J xn → x với J ∈ Θ(I) J Điều kiện đủ Giả sử U ∈ Ux , xn → x với J ∈ Θ(I) nên với J ∈ Θ(I) ta có AU = {n ∈ N : xn ∈ / U} ∈ J Như vậy, AU ∈ J ∈Θ(I) J I Điều chứng tỏ xn → x 2.4 Tập I-mở tập I-đóng Định nghĩa 2.4.1 ([5]) Cho I ideal N (X, τ ) không gian topo, U ⊂ X Khi đó, I 1) U gọi I -đóng với dãy {xn } ⊂ U thỏa mãn xn → x, ta có x ∈ U ; 2) U ⊆ X gọi I -mở X \ U tập I -đóng; 3) X gọi không gian I -dãy tập I -đóng đóng X 28 Bổ đề 2.4.2 ([5]) Cho I, J hai ideal N cho I ⊂ J (X, τ ) khơng gian topo Khi đó, U tập J -mở X , U tập I -mở X I Chứng minh Giả sử {xn } ⊂ X \U cho xn → x ∈ X Khi đó, I ⊂ J J nên theo Bổ đề 2.3.6 ta suy xn → x Mặt khác, U tập J -mở nên X \ U tập J -đóng Điều chứng tỏ x ∈ X \ U , X \ U tập J -đóng Do đó, U tập I -mở Hệ 2.4.3 ([5]) Cho I, J hai ideal N cho I ⊂ J (X, τ ) không gian topo Khi đó, X khơng gian I -dãy, X khơng gian J -dãy Chứng minh Giả sử U ⊂ X tập J -mở Khi đó, theo Bổ đề 2.3.6 ta suy U tập I -mở Hơn nữa, X khơng gian I -dãy nên U tập mở X Bởi thế, X không gian J -dãy Hệ 2.4.4 ([5]) Giả sử {Iα : α ∈ A} họ ideal N, (X, τ ) không gian topo U ⊂ X Khi đó, U tập Iα -mở với α ∈ A, U tập α∈A Iα -mở Chứng minh Bởi {Iα : α ∈ A} họ gồm ideal N nên ta suy α∈A Iα ideal N thỏa mãn α∈A Iα ⊆ Iα với α ∈ A Hơn nữa, U tập Iα -mở nên theo Bổ đề 2.4.2 ta suy U tập α∈A Iα -mở Bổ đề 2.4.5 ([5]) Cho không gian topo (X, τ ), A ⊂ X I ideal N Khi đó, mệnh đề sau tương đương 1) A tập I -mở 29 I 2) Với dãy {xn } ⊂ X mà xn → x ∈ A ta có {n ∈ N : xn ∈ A} ∈ / I; I 3) Với dãy {xn } ⊂ X mà xn → x ∈ A ta có |{n ∈ N : xn ∈ A}| = ω Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử A tập I -mở X , {xn } I dãy X thỏa xn → x ∈ A Đặt N0 = {n ∈ N : xn ∈ A} Nếu N0 ∈ I , N0 = N Do đó, A = X , kéo theo tồn a ∈ X \ A Bây giờ, ta xây dựng dãy {yn } X định nghĩa sau yn = a xn n ∈ N0 n ∈ / N0 I Theo Bổ đề 2.3.5, yn → x Bởi X \ A tập I -đóng {yn } ⊂ X \ A nên x ∈ X \ A, mâu thuẫn Như vậy, N0 ∈ / I Bởi ideal I chấp nhận nên rõ ràng ta có (2) ⇒ (3) Tiếp theo ta chứng minh (3) ⇒ (1) Giả sử tập A tập I -mở X Khi đó, X \ A khơng phải I -đóng Do đó, tồn I dãy {xn } ⊂ X \ A cho xn → x ∈ A Điều dẫn đến mâu thuẫn với khẳng định (3) Bổ đề 2.4.6 ([5]) Giả sử J ideal cực đại N (X, τ ) khơng gian topo Khi đó, A ⊂ X tập J -mở với x ∈ A J với dãy xn → x, tồn E ∈ J cho xn ∈ A với n ∈ / E Chứng minh ♣ Điều kiện cần Giả sử A ⊂ X tập J -mở, x ∈ A J xn → x ∈ A Bởi J ideal cực đại nên nhờ Bổ đề 2.4.5, ta suy E = {n ∈ N : xn ∈ / A} ∈ J 30 Do đó, xn ∈ A với n ∈ / E J ♣ Điều kiện đủ Giả sử với x ∈ X với dãy xn → x, tồn E ∈ J cho xn ∈ A với n ∈ / E Ta chứng minh A tập J -mở, nghĩa cần chứng minh X \ A tập J -đóng J Thật vậy, giả sử {zn } dãy X \ A với zn → z ∈ X Khi đó, z ∈ A, theo giả thiết điều kiện đủ ta suy tồn F ∈ J cho zn ∈ F với n ∈ / F Bởi zn ∈ / A với n ∈ N nên ta suy F = N, kéo theo N ∈ J Điều chứng tỏ J ideal tầm thường, mâu thuẫn với J ideal cực đại Định lí 2.4.7 ([5]) Cho J ideal cực đại N (X, τ ) khơng gian topo Khi đó, U, V hai tập J -mở X , U ∩ V J -mở Chứng minh Giả sử x điểm U ∩ V {xn } ⊂ X mà J xn → x Khi đó, Vì U, V hai tập J -mở X nên tồn tập E, F ∈ J cho xn ∈ U với n ∈ / E xn ∈ V với n ∈ / F Suy xn ∈ U ∩ V với n ∈ / E ∩ F Bởi E, F ∈ J J ideal nên E ∪ F ∈ J Như vậy, tồn E ∪ F ∈ J cho xn ∈ U ∩ V với n ∈ / E ∪ F Theo Bổ đề 2.4.6 ta suy U ∩ V tập J -mở X Bài toán 2.4.8 ([5]) Cho I ideal N U, V hai tập I -mở không gian topo (X, τ ) Khi đó, U ∩ V có phải tập I -mở hay không? 31 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, kết khóa luận đọc hiểu chứng minh chi tiết số kết báo [2, 5], thu thành sau Trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất dãy hội tụ thống kê Đặc biệt, chứng minh dãy Cauchy thống kê hội tụ thống kê tương đương Nghiên cứu phương pháp mở rộng từ hội tụ thống kê sang I -hội tụ Chứng minh kết tương đương hai loại hội tụ Tìm hiểu dãy I -hội tụ không gian topo Chứng minh chi tiết số kết liên quan đến I -hội tụ, tập I -mở, I -đóng tài liệu [5] 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Fast, H (1951), Sur la convergence statistique Colloq Math 2, 241244 [2] Fridy, J (1985), On statistical convergence Analysis 5, 301–313 ˇ [3] Salát, T (1980), On statistically convergent sequences of real numbers Math Slovaca 30, 139-150 [4] Schoenberg, I J (1959), The integrability of certain functions and related summability methods Amer Math Monthly 66, 361-375 [5] Zhou X, Liu, L., Lin S., (2020), On topological spaces defined by I -convergence, Bulletin of the Iranian Mathematical Society 46, 675–692 ... CHƯƠNG I-HỘI TỤ TRÊN KHÔNG GIAN TOPO Chương dành cho việc nghiên cứu phương pháp mở rộng từ hội tụ thống kê sang I -hội tụ Chứng minh chi tiết kết tương đương hai loại hội tụ Tìm hiểu dãy I -hội tụ. .. mong muốn nghiên cứu hội tụ thống kê nghiên cứu không gian topo xác định I -hội tụ, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “ I -hội tụ không gian topo? ?? làm đề tài cho luận... I -hội tụ, I ideal Trong [5], X Zhou, L Liu, S Lin nghiên cứu không gian topo xác định I -hội tụ, đưa mối liên hệ hội tụ thống kê I -hội tụ Nhờ đó, tác giả chứng minh nhiều kết tương tự topo đại