CHƯƠNG 2 I-hội tụ trên không gian topo
2.4. Tập I-mở và tập I-đóng
Định nghĩa 2.4.1 ([5]). Cho I là một ideal trong N và (X, τ) là một không gian topo, U ⊂X. Khi đó,
1) U được gọi là I-đóng nếu với mọi dãy {xn} ⊂ U thỏa mãn xn →I x, ta đều có x ∈ U;
2) U ⊆ X được gọi là I-mở nếu X \U là tập I-đóng;
3) X được gọi là không gian I-dãy nếu mỗi tập con I-đóng là đóng trong X.
Bổ đề 2.4.2 ([5]). Cho I,J là hai ideal trên N sao cho I ⊂ J và (X, τ)
là một không gian topo. Khi đó, nếu U là tập J-mở trong X, thì U cũng là tập I-mở trong X.
Chứng minh. Giả sử{xn} ⊂ X\U sao choxn →I x ∈ X. Khi đó, vìI ⊂ J
nên theo Bổ đề 2.3.6 ta suy ra xn →J x. Mặt khác, vì U là tập J-mở nên
X \U là tập J-đóng. Điều này chứng tỏ rằng x ∈ X \U, và X \U là tập
J-đóng. Do đó, U là tập I-mở.
Hệ quả 2.4.3 ([5]). Cho I,J là hai ideal trên N sao choI ⊂ J và(X, τ)
là một không gian topo. Khi đó, nếu X là không gian I-dãy, thì X cũng là không gian J-dãy.
Chứng minh. Giả sử U ⊂ X là tậpJ-mở. Khi đó, theo Bổ đề 2.3.6 ta suy ra U cũng là tập I-mở. Hơn nữa, vì X là không gian I-dãy nên U là tập mở trong X. Bởi thế, X là một không gian J-dãy.
Hệ quả 2.4.4 ([5]). Giả sử rằng {Iα : α ∈ A} là một họ các ideal trên N, (X, τ) là một không gian topo và U ⊂ X. Khi đó, nếu U là tập Iα-mở với mọi α ∈ A, thì U là tập T
α∈AIα-mở.
Chứng minh. Bởi vì {Iα : α ∈ A} là họ gồm các ideal trên N nên ta suy ra T
α∈AIα cũng là một ideal trên N thỏa mãn T
α∈AIα ⊆ Iα với mọi α ∈ A.
Hơn nữa, bởi vì U là tập Iα-mở nên theo Bổ đề 2.4.2 ta suy ra rằng U là tập T
α∈AIα-mở.
Bổ đề 2.4.5 ([5]). Cho không gian topo (X, τ), A ⊂ X và I là một ideal trên N. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương.
2) Với mọi dãy {xn} ⊂ X mà xn →I x ∈ A ta đều có
{n∈ N : xn ∈ A} ∈ I/ ;
3) Với mọi dãy {xn} ⊂ X mà xn →I x ∈ A ta đều có
|{n ∈ N : xn ∈ A}| = ω.
Chứng minh. (1) ⇒(2). Giả sử rằng A là tập I-mở trong X, {xn} là một dãy trong X thỏa xn →I x ∈ A. Đặt
N0 = {n ∈ N : xn ∈ A}.
Nếu N0 ∈ I, thì N0 6= N. Do đó, A 6= X, kéo theo tồn tại a ∈ X \A. Bây giờ, ta xây dựng dãy {yn} trong X được định nghĩa như sau.
yn = a nếu n ∈ N0 xn nếu n /∈ N0. Theo Bổ đề 2.3.5, yn I → x. Bởi vì X \A là tập I-đóng và {yn} ⊂ X \A
nên x∈ X \A, đây là một mâu thuẫn. Như vậy, N0 ∈ I/ .
Bởi vì ideal I là chấp nhận được nên rõ ràng ta có (2) ⇒ (3).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh (3) ⇒ (1). Giả sử rằng tập A không phải là tập I-mở trong X. Khi đó, X \A không phải là I-đóng. Do đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ X \A sao cho xn →I x ∈ A. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với khẳng định (3).
Bổ đề 2.4.6 ([5]). Giả sử J là một ideal cực đại của N và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, A ⊂ X là tập J-mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ A
và với mỗi dãy xn →J x, tồn tại E ∈ J sao cho xn ∈ A với mọi n /∈ E.
Chứng minh. ♣ Điều kiện cần. Giả sử rằng A ⊂ X là tập J-mở, x ∈ A
và xn →J x ∈ A. Bởi vì J là ideal cực đại nên nhờ Bổ đề 2.4.5, ta suy ra
Do đó, xn ∈ A với mọi n /∈ E.
♣ Điều kiện đủ. Giả sử rằng với mỗi x ∈ X và với mỗi dãy xn
J
→ x, tồn tại E ∈ J sao cho xn ∈ A với mọi n /∈ E. Ta chứng minh A là tập
J-mở, nghĩa là cần chứng minh X \A là tập J-đóng.
Thật vậy, giả sử {zn} là dãy trong X \A với zn →J z ∈ X. Khi đó, nếu
z ∈ A, thì theo giả thiết điều kiện đủ ta suy ra tồn tại F ∈ J sao cho
zn ∈ F với mọi n /∈ F. Bởi vì zn ∈/ A với mọi n ∈ N nên ta suy ra F = N, kéo theo N ∈ J. Điều này chứng tỏ J là ideal tầm thường, mâu thuẫn với
J là ideal cực đại.
Định lí 2.4.7 ([5]). Cho J là một ideal cực đại của N và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, nếu U, V là hai tập con J-mở trên X, thì U ∩V
là J-mở.
Chứng minh. Giả sử x là điểm bất kỳ trong U ∩ V và {xn} ⊂ X mà
xn →J x. Khi đó, Vì U, V là hai tập con J-mở của X nên tồn tại các tập
E, F ∈ J sao cho xn ∈ U với mọi n /∈ E và xn ∈ V với mọi n /∈ F. Suy ra xn ∈ U ∩V với mọi n /∈ E∩F. Bởi vì E, F ∈ J và J là một ideal nên
E∪ F ∈ J. Như vậy, tồn tại E∪F ∈ J sao cho
xn ∈ U ∩V với mọi n /∈ E∪ F. Theo Bổ đề 2.4.6 ta suy ra U ∩ V là tập J-mở trong X.
Bài toán 2.4.8 ([5]). Cho I là một ideal trên N và U, V là hai tập con
I-mở trong không gian topo (X, τ). Khi đó, U∩V có phải là tập con I-mở hay không?
KẾT LUẬN
Sau một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu, các kết quả của khóa luận là đọc hiểu và chứng minh chi tiết một số kết quả trong các bài báo [2, 5], và đã thu được những thành quả sau đây.
1 Trình bày khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất của dãy hội tụ thống kê. Đặc biệt, chứng minh rằng dãy Cauchy thống kê và hội tụ thống kê là tương đương.
2 Nghiên cứu phương pháp mở rộng từ hội tụ thống kê sang I-hội tụ. Chứng minh kết quả về sự tương đương giữa hai loại hội tụ.
3 Tìm hiểu về dãy I-hội tụ trên không gian topo. Chứng minh chi tiết một số kết quả liên quan đến I-hội tụ, các tập I-mở, I-đóng trong tài liệu [5].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Fast, H. (1951), Sur la convergence statistique. Colloq. Math. 2, 241- 244.
[2] Fridy, J. (1985), On statistical convergence. Analysis 5, 301–313. [3] ˇSalát, T. (1980),On statistically convergent sequences of real numbers.
Math. Slovaca 30, 139-150.
[4] Schoenberg, I. J. (1959), The integrability of certain functions and related summability methods. Amer. Math. Monthly 66, 361-375. [5] Zhou. X, Liu, L., Lin S., (2020), On topological spaces defined by
I-convergence, Bulletin of the Iranian Mathematical Society 46, 675–692.