MỘT SỐ TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA KHÔNG GIAN TOPO X VÀ SIÊU KHÔNG GIAN PIXLEY ROY PR X SOME EQUIVALENT PROPERTIES BETWEEN TOPOLOGICAL SPA

MỘT SỐ TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA KHÔNG GIAN TOPO X VÀ SIÊU KHÔNG GIAN PIXLEY ROY PR X SOME EQUIVALENT PROPERTIES BETWEEN TOPOLOGICAL SPA 54 Huỳnh Thị Oanh Triều, Nguyễn Xuân Trúc, Lương Quốc Tuyển MỘT SỐ TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA KHÔNG GIAN TOPO X VÀ SIÊU KHÔNG GIAN PIXLEY ROY PR X SOME EQUIVALENT PROPERTIES BETWEEN TOPOLOGICAL SPA.

Huỳnh Thị Oanh Triều, Nguyễn Xuân Trúc, Lương Quốc Tuyển 54 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA KHƠNG GIAN TOPO X VÀ SIÊU KHÔNG GIAN PIXLEY-ROY PR[ X ] SOME EQUIVALENT PROPERTIES BETWEEN TOPOLOGICAL SPACE X AND PIXLEY-ROY HYPERSPACE PR[ X ] Huỳnh Thị Oanh Triều*, Nguyễn Xuân Trúc, Lương Quốc Tuyển Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng1 *Tác giả liên hệ: oanhtrieuhuynh@gmail.com (Nhận bài: 27/6/2022; Chấp nhận đăng: 16/9/2022) Tóm tắt - Trong năm gần đây, hướng nhiều người quan tâm nghiên cứu mối liên hệ tính chất topo khơng gian topo ( X , ) với tính chất topo siêu khơng gian Pixley-Roy PR[ X ] gồm tập hữu hạn khác rỗng X Trong báo này, nhóm tác giả chứng minh rằng: (1) ( X , ) không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất; (2) ( X , ) không gian topo rời rạc siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] không gian topo rời rạc; (3) Siêu không gian Pixley– Roy PR[ X ] không gian khả ly X tập đếm được; (4) Siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] khơng gian Lindelưf X tập đếm Abstract - In recent years, one of the directions of great interest is the study of the relationship between the topological properties on the topological space ( X , ) with the topological properties on the Pixley-Roy PR[ X ] hyperspace including: non-empty finite subsets of X In this paper, we prove that: (1) ( X , ) is a firstcountable space if and only if Pixley-Roy hyperspace PR[ X ] is a first-countable space; (2) ( X , ) is a discrete topological space if and only if the Pixley-Roy hyperspace Pixley-Roy PR[ X ] is a discrete topological space; (3) The Pixley–Roy hyperspace PR[ X ] is a separable space if and only if X is a countable set; (4) The Pixley–Roy hyperspace PR[ X ] is a Lindelöf space if and only if X is a countable set Từ khóa - Khả li; Lindelưf; rời rạc; siêu khơng gian; Pixley–Roy Key words - Separable; Lindelöf; discrete; hyperspace; Pixley–Roy Giới thiệu Năm 1931, K Borsulk S Ulam giới thiệu khái niệm tích đối xứng cấp n siêu không gian Vietoris không gian topo X , ký hiệu n ( X ) Trong báo này, nhóm tác giả nghiên cứu mối liên hệ số tính chất topo khơng gian topo ( X , ) siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] không gian ( X ) Nhờ đó, tác giả đưa số tính chất quan trọng siêu khơng gian n ( X ) ( X ) (xem [1]) Nghiên cứu mối quan hệ tính chất topo khơng gian topo ( X , ) với tính chất topo siêu không gian Vietoris ( X ) tương ứng tốn topo đại cương Tương tự việc nghiên cứu tính chất mạng siêu khơng gian Vietoris, lần Ljubisa D R Kočinac, L Q Tuyen O V Tuyen (xem [2]) nghiên cứu mối quan hệ tính chất mạng khơng gian topo X với tính chất mạng siêu khơng gian Pixley–Roy PR[ X ] tương ứng thu kết quan trọng Cụ thể siêu khơng gian Pixley–Roy PR[ X ] có cn-mạng đếm (tương ứng, spmạng mạng Pytkeev chặt), X siêu không gian Pixley-Roy PR[ X ] không gian cosmic (tương ứng, P0 -không gian, P0 -khơng gian chặt), X Bên cạnh đó, tác giả đặt số tốn mở liên quan đến siêu khơng gian Pixley–Roy PR[ X ] (xem [2]) topo ( X , ) Tất không gian topo trình bày báo quy ước khơng gian Hausdorff, cịn khái niệm thuật ngữ khác khơng nói thêm hiểu thơng thường (xem [3]) Ngồi ra, nhóm tác giả sử dụng thêm ký = {A : A  } hiệu: Cơ sở lí thuyết phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí thuyết Giả sử ( X , ) khơng gian topo kí hiệu PR[ X ] họ gồm tất tập khác rỗng hữu hạn X Với n , ta đặt PR n [ X ] = { A  X :1 | A | n} Khi đó, PR[ X ] = PR n [ X ] n Giả sử F , A  X , ta đặt [ F , A] = {H  PR[ X ] : F  H  A} Trên PR[ X ] ta xét họ The University of Danang - University of Education (Huynh Thi Oanh Trieu, Nguyen Xuan Truc, Luong Quoc Tuyen) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 9, 2022 B = {[ F ,V ] : F  PR[ X ],V   } Bổ đề 2.1.1 ([4]) B sở topo siêu khơng gian Pixley-Roy PR[ X ] Định nghĩa 2.1.2 ([4]) Topo xác định Bổ đề 2.1.1 gọi topo Pixley–Roy PR[ X ], PR[ X ] với topo gọi siêu không gian Pixley–Roy Định nghĩa 2.1.3 ([3], [4]) Cho ( X , ) khơng gian topo Khi đó, (1) ( X , ) gọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm X , tồn sở lân cận đếm (2) ( X , ) gọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai X có sở đếm (3) ( X , ) gọi khơng gian Lindelưf phủ mở X , tồn phủ đếm (4) ( X , ) gọi không gian compact phủ mở X , tồn phủ hữu hạn Nhận xét Đối với không gian topo ( X , ), khẳng định sau (1) Mỗi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ (2) Mỗi không gian compact khơng gian Lindelưf 2.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết sử dụng trình thực báo Cụ thể, nhóm tác giả nghiên cứu báo tác giả trước, cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa kết cho Kết đánh giá 3.1 Kết = {Bn ( x) : n  } Với F PR[ X ], ta đặt { BF = [ F , Khi đó, tồn V mở X cho F  [ F ,V ]  (1) Bởi F  V V mở X nên ta suy với x  F , tồn nx  cho x  Bnx ( x)  V (2) Bây giờ, ta đặt n( F ) = sup{nx : x  F } Khi đó, F hữu hạn nên n( F ) = max{nx : x  F} Hơn nữa, x giảm với x  F nên Bn( F ) ( x)  Bnx ( x) với x  F Kết hợp (2) ta thu Bn( F ) ( x)  xF xF Bnx ( x)  V (3) Từ (1) (3) ta suy [F , ] Bn( F ) ( x)  [ F ,V ]  xF Như BF sở lân cận F PR[ X ] Điều kiện đủ Giả sử PR[ X ] không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Ta chứng minh rằng, X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Thật vậy, giả sử x  X , đặt H = {x} PR[ X ] Bởi PR[ X ] không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên H , tồn sở lân cận đếm Do đó, tồn {U n }   cho BH = {[ H ,U n ] : H  U n  , n  } Định lí 3.1.1 Giả sử ( X , ) khơng gian topo Khi đó, X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ Khi đó, với x  X , tồn sở lân cận giảm đếm x 55 Bn ( x)] : n  } xF Khi đó, BF họ đếm PR n [ X ] Như vậy, để Ta đặt x = {U n : n  } Để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ x sở lân cận x X Thật vậy, giả sử U lân cận x Khi đó, tồn W   cho x W  U Bởi [H , W ] mở PR[ X ] BH sở lân cận H PR[ X ] nên tồn n  cho H  [ H ,U n ]  [ H , W ] Bây giờ, U n   W , tồn z  U n \ W Rõ ràng [ H , H  {z}]  [ H ,U n ]  [ H ,W ] hoàn thành chứng minh, ta cần chứng tỏ BF Bởi ( H  {z})  [H , H  {z}] nên ( H  {z})  [H ,W ], sở lân cận F PR n [ X ] kéo theo ( H  {z})  W , suy z W , mâu Thật vậy, giả sử lân cận F PR n [ X ] thuẫn Do đó, U n  W Huỳnh Thị Oanh Triều, Nguyễn Xuân Trúc, Lương Quốc Tuyển 56 Như vậy, tồn n  cho Un  W  U , Do đó, x sở lân cận đếm x X Bổ đề 3.1.2 Giả sử ( X , ) khơng gian topo Khi đó, tập mở siêu không gian Pixley– Roy PR[ X ], tập mở X Chứng minh Giả sử x  tồn F  cho x  F Bởi F  nên tồn tập V mở X cho Chứng minh Điều kiện cần Giả sử PR[ X ] không gian khả ly X tập đếm Bởi PR[ X ] không gian khả ly nên PR[ X ], tồn tập đếm trù mật = {Fn : n  } Hơn nữa, X đếm đếm nên tồn x  X cho x  Mặt khác, {x} PR[ X ] nên {x} cl( ) Khi đó, [{x}, X ] lân cận mở { x} nên F  [F ,V ]  [{x}, X ]  Mặt khác, F  V nên x  V Do đó, ta cần chứng tỏ V  Thật vậy, giả sử z V , Điều chứng tỏ {z}  F  [F ,V ]  z  {z}  F  Như vậy, V  , tập mở X Định lí 3.1.3 Giả sử ( X , ) không gian topo Khi đó, X khơng gian topo rời rạc siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] không gian topo rời rạc Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X không gian topo rời rạc Ta chứng minh rằng, PR[ X ] không gian topo rời rạc, nghĩa tập PR[ X ] tập hợp mở Thật vậy, giả sử F [F , F ]  Do đó, tồn K  cho {x}  K  X , kéo theo x , mâu thuẫn Như vậy, X đếm Điều kiện đủ Giả sử X tập đếm Khi đó, PR[ X ] tập đếm Như vậy, PR[ X ] khả ly F  {z}  F  V Suy    PR[ X ] F  Khi đó, Định lí 3.1.5 Siêu khơng gian Pixley–Roy PR[ X ] khơng gian Lindelưf X tập đếm Chứng minh Điều kiện cần Giả sử PR[ X ] khơng gian Lindelưf X tập đếm Ta xét họ { } B = [ F ,U ] : F  PR[ X ],U  Khi đó, B phủ mở PR[ X ] Bởi PR[ X ] khơng gian Lindelưf nên tồn phủ đếm { P = [ Fn ,U n ] : n  } Mặt khác, X đếm Fn đếm n nên tồn x  Fn Hơn nữa, ta có n Bởi F tập mở X nên [F , F ] tập mở PR[ X ] Như vậy, mở PR[ X ], PR[ X ] không gian topo rời rạc Điều kiện đủ Giả sử PR[ X ] không gian topo rời rạc Ta chứng minh X không gian topo rời rạc Thật vậy, giả sử F  X , với x  F ta đặt K = {x} Bởi {K }  PR[ X ] nên theo giả thiết điều kiện đủ ta suy {K } mở PR[ X ] Nhờ Bổ đề 3.1.2 ta suy {K } = K = {x} tập mở X Như vậy, F = {x} tập hợp mở xF X Do đó, X khơng gian topo rời rạc Định lí 3.1.4 Siêu khơng gian Pixley–Roy PR[ X ] không gian khả ly X tập đếm {x}   [ Fn ,U n ] với n  Thật vậy, giả sử ngược lại rằng, tồn n  cho {x}  [ Fn ,U n ] Khi đó, Fn  {x}  U n , kéo theo Fn = {x}  Fn n Điều mâu thuẫn với x  Fn n Như vậy, {x}   P, mâu thuẫn với P phủ PR[ X ] Do đó, X đếm Điều kiện đủ Giả sử X tập đếm Khi đó, PR[ X ] tập đếm Như vậy, PR[ X ] khơng gain Lindelưf ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 9, 2022 57 3.2 Đánh giá Các kết báo thể Định lí 3.1.1, 3.1.3, 3.1.4 3.1.5 Trong đó: - Định lí 3.1.1 khẳng định tính chất thỏa mãn tiên đề đếm thứ tương đương không gian topo X siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] không gian Pixley–Roy PR[ X ] không gian topo ( X , ) Nhờ đó, kết báo góp phần làm phong phú cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết mạng, lý thuyết k-mạng topo đại cương - Định lí 3.1.3 khẳng định tính chất rời rạc tương đương không gian topo X siêu không gian Pixley– Roy PR[ X ] [1] K Borsuk, S Ulam, “On symmetric products of topological spaces”, Bulletin of the American Mathematical Society, vol 37, no 12, pp 875–882, 1931 [2] Lj.D R Kočinac, L Q Tuyen, O V Tuyen, “Some results on Pixley-Roy hyperspaces”, Journal of Mathematics, vol 22, 2022, pp 1-8 [3] R Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989 [4] Lj.D R Kočinac, “The Pixley-Roy topology and selection principles”, Questions and Answers in General Topology, vol 19, no 2, 2002, pp 210–225 [5] A Bella, M Sakai, “Compactifications of a pixley-roy hyperspace”, Topology and Its Applications, vol 196, 2015, pp 173–182 - Định lí 3.1.4 3.1.5 điều kiện để siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] khả ly, Lindelöf Kết luận Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả đưa chứng minh chi tiết kết mối liên hệ tính chất topo khơng gian topo ( X , ) với siêu TÀI LIỆU THAM KHẢO