MỘT VÀI NHẬN XÉT TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN PIXLEY ROY SOME REMARKS ON PIXLEY ROY HYPERSPACE

58 Lương Quốc Tuyển, Huỳnh Thị Oanh Triều, Trần Nam Tiến MỘT VÀI NHẬN XÉT TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN PIXLEY ROY SOME REMARKS ON PIXLEY ROY HYPERSPACE Lương Quốc Tuyển, Huỳnh Thị Oanh Triều, Trần Nam Tiến T.

Lương Quốc Tuyển, Huỳnh Thị Oanh Triều, Trần Nam Tiến 58 MỘT VÀI NHẬN XÉT TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN PIXLEY-ROY SOME REMARKS ON PIXLEY-ROY HYPERSPACE Lương Quốc Tuyển, Huỳnh Thị Oanh Triều, Trần Nam Tiến* Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng1 *Tác giả liên hệ: tntiendn@gmail.com (Nhận bài: 21/6/2022; Chấp nhận đăng: 29/8/2022) Tóm tắt - Trong năm gần đây, hướng nhiều người quan tâm nghiên cứu mối liên hệ tính chất topo khơng gian topo ( X , ) với tính chất topo siêu không gian Pixley-Roy PL[ X ] gồm tập hữu hạn khác rỗng X Trong báo này, nhóm tác giả nghiên cứu tính trù mật, khơng gian Lindelưf yếu, mạng Pytkeev chặt, cn-mạng thu kết sau: (1) Nếu tập mở siêu không gian Pixley–Roy PL[ X ], tập mở X (2) Tồn T1 -không gian X cho mở X Abstract - In recent years, the study of the relationship between topological properties on topological spaces ( X , ) with topological properties on Pixley–Roy hyperspaces PL[ X ] consisting of finite subsets ( X , ) is one of the central problems of general topology In this paper, the authors study about density, weak Lindelöf space, strict Pytkeev network, cn-network and have obtained new results as follows: (1) If is an open subset of Pixley–Roy hyperspace PL[ X ], then is an open subset of is an open subset of X (2) Exists a T1 -space X such that không mở PL[ X ] (3) Nếu trù mật siêu không gian Pixley–Roy PL[ X ], trù mật X (4) Nếu siêu khơng gian Pixley–Roy PL[ X ] Lindelưf yếu, X khơng gian Lindelưf yếu (5) Nếu X có mạng Pytkeev chặt, siêu khơng gian Pixley–Roy PL[ X ] có mạng Pytkeev chặt X but isn’t an open subset of PL[ X ] (3) If is dense on Pixley–Roy hyperspace PL[ X ], then is dense on X (4) If Pixley–Roy hyperspace PL[ X ] is weakly Lindelöf, then X is weakly Lindelöf (5) If X has a strict Pytkeev network, then Pixley–Roy hyperspace PL[ X ] has a strict Pytkeev network Từ khóa - Lindelưf yếu; Fréchet-Urysohn; T1 -khơng gian; mạng Pytkeev chặt; siêu khơng gian; Pixley–Roy Key words - weakly Lindelưf; Fréchet-Urysohn; T1 -space; strict Pytkeev network; hyperspace; Pixley–Roy Giới thiệu ký hiệu cl( ) bao đóng Năm 1978, David J Lutzer đưa khái niệm topo Pixley-Roy tập PL[ X ] gồm tất tập khác rỗng hữu hạn không gian topo ( X , ), sau người ta gọi siêu không gian Pixley-Roy PL[ X ] Tác giả thu nhiều kết quan trọng giả-đặc trưng đếm được, tính hồn chỉnh siêu khơng gian Pixley-Roy PL[ X ] mối quan hệ tính chất topo khơng gian topo ( X , ) với tính chất topo siêu khơng gian Pixley-Roy PL[ X ] (xem [1]) Từ đó, siêu khơng gian Pixley-Roy thực thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu, nhiều kết thú vị thu khơng gian con, tính khả metric, tính compact, tính paracompact, tính Lindelưf, tính di truyền topo PixleyRoy, đặc biệt tính chất mạng (xem [2, 3, 4]) Trong báo này, nhóm tác giả nghiên cứu mối liên hệ số tính chất topo khơng gian topo ( X , ) siêu không gian Pixley–Roy PL[ X ] Tất khơng gian topo trình bày báo nhóm tác giả quy ước khơng gian Hausdorff, cịn khái niệm thuật ngữ khác khơng nói thêm hiểu thơng thường Ngồi ra, nhóm tác giả sử dụng thêm số ký hiệu: A bao đóng A X , tập siêu không gian Pixley-Roy PL[ X ], PL[ X ] = {U : U  } Cơ sở lí thuyết phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí thuyết Giả sử ( X , ) khơng gian topo kí hiệu PL[ X ] họ gồm tất tập khác rỗng hữu hạn X Với n  , ta đặt PLn [ X ] = { A  X :1 | A | n} Khi đó, PL[ X ] = PLn [ X ] n Giả sử F , A  X , ta đặt [ F , A] = {H  PL[ X ] : F  H  A} Trên PL[ X ] ta xét họ B = {[ F ,V ] : F  PL[ X ], V  } Bổ đề 2.1.1 ([1]) B sở topo siêu không gian Pixley-Roy PL[ X ] Định nghĩa 2.1.2 ([1]) Topo xác định Bổ đề 2.1.1 gọi topo Pixley–Roy PL[ X ], PL[ X ] với topo gọi siêu không gian Pixley–Roy The University of Danang - University of Science and Education (Luong Quoc Tuyen, Huynh Thi Oanh Trieu, Tran Nam Tien) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 9, 2022 59 Định nghĩa 2.1.3 ([2]) Không gian topo ( X , ) gọi Như vậy, V  Lindelöf phủ mở đếm Ví dụ 3.1.2 Tồn T1 -khơng gian X cho mở X không mở siêu không gian Pixley–Roy PL[ X ] X , tồn phủ Không gian topo ( X , ) gọi Lindelöf yếu phủ mở X , tồn họ đếm  cho trù mật X Nhận xét 2.1.4 ([2]) Mỗi khơng gian Lindelưf khơng gian Lindelưf yếu Định nghĩa 2.1.5 ([2]) Giả sử ( X , ) không gian topo, A  X x  X Khi đó, ta nói A tụ điểm x hay x điểm tụ A lân cận x chứa vô hạn phần tử A Định nghĩa 2.1.6 ([2]) Giả sử ( X , ) không gian topo phủ gồm tập X Khi đó, (1) gọi cn -mạng X với lân cận U x X , tập hợp {P  : x  P  U } lân cận x (2) gọi mạng Pytkeev X mạng X với lân cận U x X , với tập A X có điểm tụ x, tồn P  cho P  A vô hạn P  U (3) gọi mạng Pytkeev chặt X mạng X với lân cận U x X , với tập A X có điểm tụ x, tồn P  cho P  A vô hạn x  P  U 2.2 Phương pháp nghiên cứu Nhóm tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực báo Nghiên cứu báo tác giả trước, cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa kết cho Kết đánh giá 3.1 Kết Bổ đề 3.1.1 Giả sử ( X , ) không gian topo Khi đó, tập mở siêu khơng gian Pixley– Roy PL[ X ], tập mở X Chứng minh Giả sử x  , tồn F  cho x  F Bởi F  nên tồn tập V mở X cho F  [F ,V ]  Mặt khác, F  V nên x  V Do đó, ta cần chứng tỏ V  tập mở X Chứng minh Giả sử X tập vô hạn với topo Zariski  = {A  X : A =  X \ A hữu hạn } Khi đó, X T1 -khơng gian Thật vậy, giả sử a, b  X cho a  b Ta đặt A = X \{b}, B = X \{a} Lúc này, a  A, b  B Hơn nữa, X \ A = {b}, X \ B = {a} nên X \ A X \ B tập hữu hạn X , A, B  Như vậy, A B lân cận mở a, b X thỏa mãn a  B b  A Bởi thế, X T1 -không gian Bây giờ, ta đặt = {x}: x  X  Rõ ràng = X mở X Tuy nhiên, mở PL[ X ] Thật vậy, giả sử ngược lại Bởi {x}  khơng mở PL[ X ] nên tồn V   cho {x}  [{x},V ]  Mặt khác, {x}   X \ {x} vô hạn nên {x}  Hơn nữa, V   x  V nên ta suy V  { x}, tồn y  V \ {x} Bởi {x}  {x, y}  V nên ta suy {x, y}  , mâu thuẫn Như vậy, không tập mở PL[ X ] Định lí 3.1.3 Giả sử ( X , ) khơng gian topo Khi đó, siêu khơng gian Pixley–Roy PL[ X ] Lindelưf yếu, X khơng gian Lindelưf yếu Chứng minh Giả sử phủ mở X Ta đặt U = [{x}, X ] : x  X  Với F  PL[ X ], ta có F  , tồn x  F Bởi {x}  F  X nên ta suy F  [{x}, X ], kéo theo F  U Mặt khác, Thật vậy, giả sử z V , F  {z}  F  V Điều chứng tỏ {z}  F  [F ,V ]  Suy z  {z}  F  , [{x}, X ] mở PL[ X ] với x  X nên U phủ mở PL[ X ] Bởi PL[ X ] khơng gian Lindelưf yếu nên tồn họ đếm V  U cho V trù mật PL[ X ] Do đó, tồn dãy {xn }  X cho V = [{xn }, X ] : n   Lương Quốc Tuyển, Huỳnh Thị Oanh Triều, Trần Nam Tiến 60 Bởi vì, phủ X nên với n  , tồn U n  cho xn  U n Ta đặt = {U n : n  } Khi đó, họ đếm Như vậy, để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ trù mật X Thật vậy, giả sử ngược lại X , nghĩa không trù mật Suy tồn x  X \ Bây giờ, giả sử V lân cận mở x X Khi đó, [{x}, V ] lân cận mở { x} PL[ X ] Bởi {x}  PL[ X ] PL[ X ] nên {x} Cl( V) Do đó, V trù mật [{x}, V ]  ( V)   Suy tồn H  V cho Theo Định lí 3.1.4 ta suy = X Bởi phần tử hữu hạn đếm nên đếm Do đó, X khả li x  X điểm tụ A x  A \{x} Chứng minh Điều kiện cần Giả sử x điểm tụ A U lân cận mở x Khi đó, U chứa vô hạn phần tử A, suy U chứa vô hạn phần tử tập A \ {x} Như vậy, U  ( A \{x})   H  [{xn }, X ] Điều kiện đủ Giả sử x  A \{x} U lân cận mở x Ta chứng minh U chứa vô hạn phần tử A Thật vậy, giả sử ngược lại U chứa hữu hạn phần tử A, giả sử {xn }  H  X , U  ( A \{x}) = {x1 ,, xn } Bởi H  V nên tồn n  cho Do đó, kéo theo xn  V Mặt khác, Bởi X T1 -khơng gian nên {x1 ,, xn } đóng X Do đó, xn  U n  V = U \ {x1 ,, xn } Suy xn  V  ( lân cận mở x ), V  ( A \{x}) =  kéo theo V ( x  Cl( ) = PL[ X ] Điều kéo theo x  A \{x} {x}  H  V nên xn   PL[ X ] cho tồn tập đếm Bổ đề 3.1.6 Giả sử ( X , ) T1 -không gian Khi đó,   X\ đó, siêu khơng gian Pixley–Roy PL[ X ] không gian khả li, X khơng gian khả li Chứng minh Giả sử PL[ X ] không gian khả li Khi đó, Điều mâu thuẫn với x  A \{x} ) , mâu thuẫn Định lí 3.1.4 Giả sử ( X , ) không gian topo Khi đó, trù mật siêu khơng gian Pixley–Roy trù mật X PL[ X ], Chứng minh Giả sử   X\ Khi đó, tồn x  X \ Bởi Cl( ) = PL[ X ] nên {x}  Cl( ) Mặt khác, [{x}, X ] lân cận mở { x} PL[ X ] nên ta suy [{x}, X ]   mâu thuẫn Như vậy, Chứng minh Giả sử mạng Pytkeev chặt T1 không gian X U lân cận x X Đặt V = {P  : x  P  U } Ta cần chứng minh V lân cận x Thật vậy, giả sử ngược lại V không lân cận x Khi đó, W  V với lân cận mở W x, nghĩa tồn y  W \ V Do đó, với lân cận mở W x, ta có   W  ( X \ V ) = W \ V  , Do đó, tồn K  [{x}, X ]  Bởi K  [{x}, X ] nên x  K Hơn nữa, K  suy K  Do đó, x Bổ đề 3.1.7 Giả sử ( X , ) T1 -khơng gian Khi đó, mạng Pytkeev chặt cn -mạng X kéo theo x  X \ V Mặt khác, x  V nên x  X \ V , kéo theo X \ V = ( X \ V ) \{x} , trù mật X Hệ 3.1.5 Giả sử ( X , ) không gian topo Khi Do đó, x  X \ V = ( X \ V ) \{x} ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 9, 2022 Hơn nữa, theo Bổ đề 3.1.6, X T1 -khơng gian nên x điểm tụ X \ V Bởi mạng Pytkeev chặt cho x  P  U P  ( X \ V ) X nên tồn P  vơ hạn Lại P  V nên P  ( X \ V )  V  ( X \ V ) = , Điều chứng tỏ PL[ X ] thỏa mãn = [F ,  B F  61 ] lân cận F  Hơn nữa, F điểm tụ PL[ X ] nên  vô hạn Như vậy, B mạng Pytkeev chặt nghĩa P  ( X \ V ) =  Điều mâu thuẫn với PL[ X ] P  ( X \ V ) vô hạn Như vậy, 3.2 Đánh giá Các kết báo thể Bổ đề 3.1.1, Ví dụ 3.1.2, Định lí 3.1.3, 3.1.4 3.1.8 Trong đó: - Bổ đề 3.1.1 Ví dụ 3.1.2 mối liên hệ tập mở siêu không gian Pixley–Roy PL[ X ] với tập tập hợp không gian topo X cn -mạng X Định lí 3.1.8 Giả sử ( X , ) T1 -không gian họ gồm tập X Với F  PL[ X ], ta đặt ( ) F = {P  B = {[ F , : P  F  }; ] : F  PL[ X ], họ ( ) F } Khi đó, mạng Pytkeev chặt X , B mạng Pytkeev chặt PL[ X ] Chứng minh Giả sử mạng Pytkeev chặt X , lân cận F PL[ X ] F điểm tụ PL[ X ] Khi đó, theo Bổ đề 3.1.7, X T1 không gian nên cn -mạng X Mặt khác, lân cận F PL[ X ] nên tồn V   cho F  V F  [ F ,V ]  Do đó, với x  F , tồn Px  cho x  Px  V , {P  ( ) x : P  V } lân cận x X , ( ) x = {P  Bây giờ, ta đặt = {P  ( ) F : P  V } = Suy với x  F , đó, tồn U   cho : x  P} xF V, kéo theo F  [ F ,U ]  [ F , Kết luận Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả đưa chứng minh chi tiết kết mối liên hệ tính chất topo không gian topo ( X , ) với siêu khơng gian Pixley–Roy PL[ X ] Các kết phần làm phong phú cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết mạng, lý thuyết k-mạng topo đại cương TÀI LIỆU THAM KHẢO {P  ( ) x : P  V } lân cận F X Do F U  - Định lí 3.1.3 khẳng định rằng, siêu khơng gian Pixley–Roy PL[ X ] Lindelưf yếu, X khơng gian Lindelưf yếu Tuy nhiên, chiều ngược lại khẳng định mở - Định lí 3.1.4 rằng, trù mật siêu khơng gian Pixley–Roy PL[ X ], trù mật X Chiều ngược lại khẳng định cịn mở - Định lí 3.1.8 rằng, X có mạng Pytkeev chặt, siêu khơng gian Pixley–Roy PL[ X ] có mạng Pytkeev chặt Chiều ngược lại khẳng định mở ]  [ F ,V ] [1] D J Lutzer, “Pixley-Roy topology”, Topology Proceedings, vol 3, 1978, pp 139-158 [2] R Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989 [3] Lj.D R Kočinac, L Q Tuyen, O V Tuyen, “Some results on Pixley-Roy hyperspaces”, Journal of Mathematics, vol 22, 2022, pp 1-8 [4] M Sakai, “The Fréchet-Urysohn property of Pixley-Roy hyperspaces”, Topology and its Applications, vol 159, 2012, pp 308-314  ... 2.1.3 ([2]) Không gian topo ( X , ) gọi Như vậy, V  Lindelöf phủ mở đếm Ví dụ 3.1.2 Tồn T1 -không gian X cho mở X không mở siêu không gian Pixley? ? ?Roy PL[ X ] X , tồn phủ Không gian topo ( X... định rằng, siêu khơng gian Pixley? ? ?Roy PL[ X ] Lindelưf yếu, X khơng gian Lindelưf yếu Tuy nhiên, chiều ngược lại khẳng định cịn mở - Định lí 3.1.4 rằng, trù mật siêu không gian Pixley? ? ?Roy PL[ X... 3.1.8 Trong đó: - Bổ đề 3.1.1 Ví dụ 3.1.2 mối liên hệ tập mở siêu không gian Pixley? ? ?Roy PL[ X ] với tập tập hợp không gian topo X cn -mạng X Định lí 3.1.8 Giả sử ( X , ) T1 -khơng gian họ