Trong bài viết này, bằng việc sử dụng các bất đẳng thức về chặn trên của không gian tích và tính chất về đối đồng điều của không gian tích, chúng tôi đưa ra kết quả việc tính toán của tích các không gian tôpô có độ phức tạp tôpô lớn.
TNU Journal of Science and Technology 227(08): 363 - 366 ON HIGHER TOPOLOGICAL COMPLEXITY OF PRODUCT OF TOPOLOGICAL SPACES Tran Hue Minh*, Nguyen Van Ninh TNU - University of Education ARTICLE INFO Received: 18/3/2022 Revised: 23/5/2022 Published: 25/5/2022 KEYWORDS Topological complexity Cohomology Homotopy equivalent Product of topological spaces Fibrational substitute ABSTRACT The higher order topological complexity is Y.B Rudyak introduced in 2010, this is a top ological invariant that has many relations with other invariants To compute higher order topological complexity we usually have to introduce upper bounds by inequalities or by constructing section over the space and lower bound using the congruence property of topological space In this paper, by using the inequalities for the upper bound of the product space and the property of the homogeneity of the product space, we give the results of the calculation of the product of topological spaces which have large topological complexity These are important topological spaces in robot theory ĐỘ PHỨC TẠP TƠPƠ BẬC CAO CỦA TÍCH CÁC KHƠNG GIAN TƠPƠ Trần Huệ Minh*, Nguyễn Văn Ninh Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên THÔNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 18/3/2022 Ngày hoàn thiện: 23/5/2022 Ngày đăng: 25/5/2022 TỪ KHĨA Độ phức tạp tơpơ Đối đồng điều Tương đương đồng ln Tích khơng gian tơpơ Cái phân thớ TĨM TẮT Độ phức tạp tơpơ bậc cao Y.B Rudyak đưa năm 2010, bất biến tơpơ có nhiều liên hệ với bất biến khác Để tính tốn độ phức tạp tơpơ bậc cao ta thường phải đưa chặn bất đẳng thức cách xây dựng nhát cắt khơng gian chặn việc sử dụng tính chất đối đồng điều không gian tôpô Trong báo này, việc sử dụng bất đẳng thức chặn khơng gian tích tính chất đối đồng điều khơng gian tích, chúng tơi đưa kết việc tính tốn tích khơng gian tơpơ có độ phức tạp tôpô lớn Đây không gian tôpô quan trọng lý thuyế t rô bốt DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.5719 * Corresponding author Email: minhth@tnue.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 363 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 363 - 366 Độ phức tạp tôpô bậc cao Cho không gian tôpô liên thông đường X, đặt Jn , n ∈ N tích kết n đoạn đơn vị [0, 1]i , i = 1, , n điểm sở Gọi X Jn không gian ánh xạ liên tục từ Jn vào X với tôpô compact mở Xét ánh xạ e n : X Jn γ −→ Xn , −→ (γ(11 ), , γ(1n )) với 1i đơn vị [0, 1] thứ i tương ứng Khi en phân thớ theo nghĩa Serre Định nghĩa [1] Độ phức tạp tôpô bậc cao T Cn (X) không gian tôpô X số nguyên dương nhỏ k thỏa mãn tồn phủ mở {Xi , i = 1, , k} X n cho tập Xi tồn nhát cắt liên tục si : Xi → X Jn en (nghĩa là, en ◦ si = idXi ) Định nghĩa Y Rudyak đưa [1] Trong trường hợp n = 2, T C2 (X) trùng với khái niệm độ phức tạp tôpô T C(X) M.Farber đưa [2] Có thể hiểu T Cn (X) giống Schwarz phân thớ en Chú ý Chú ý en phân thớ dn : X → X n (nghĩa tồn tương đương đồng luân h : X → X Jn cho dn = en ◦ h) T Cn (X) giống Schwarz ánh xạ dn (xem [1]) Sau số tính chất quan trọng T Cn Cho X không gian liên thông đường có kiểu đồng ln polyhedron n chiều T Cn (X) ≤ dimX + (1) Vì en phân thớ ánh xạ dn : X → X n nên ta có tính chất sau: Giả sử m số nguyên dương, ui ∈ H ∗ (X n ) với i = 1, , m lớp đối đồng điều thỏa mãn d∗n ui = u1 u2 uk ̸= ∈ H ∗ (X n ) T Cn (X) ≥ k + Chú ý Giả sử X không gian liên thông đường u lớp đối đồng điều H ∗ (X) Đặt n−1 i ∨ ⊗ ⊗ ⊗ u ⊗ ⊗ ⊗ 1) − ⊗ ⊗ ⊗ (n − 1)u, u ¯=( (2) i=1 t ∨ u ¯t = ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ u ⊗ ⊗ − u ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ (3) ¯ = Đây lớp đối đồng điều H ∗ (X n ) ∼ = H ∗ (X) ⊗ ⊗ H ∗ (X) thỏa mãn d∗n u n lần d∗n u ¯t = với t = 2, , n Việc tính tốn độ phức tạp tơpơ trường hợp tổng qt phức tạp Do đó, thơng thường ta đưa chặn chặn cho bất biến Trong [3], [4], [5] tác giả đưa số kết độ phức tạp tôpô bậc cao cho số không gian cụ thể http://jst.tnu.edu.vn 364 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 363 - 366 Độ phức tạp tích khơng gian tơ pơ Định nghĩa Cho X không gian tôpô, k số nguyên dương cho tồn lớp đối đồng điều u1 , , uk ∈ H ∗ (X n ) thỏa mãn d∗n uk = 0; u1 uk ̸= Số k lớn thỏa mãn điều kiện gọi độ dài tích cấp n X Kí hiệu cln (X) Từ định nghĩa Chú ý ta dễ dàng suy T Cn (X) ≥ cln (X) + Định nghĩa Cho X không gian tô pô, X gọi khơng gian có độ phức tạp tơpơ lớn T Cn (X) = cln (X) Mệnh đề Cho X Y không gian tôpô liên thơng đường có kiểu đồng ln CW − phức hữu hạn Khi cln (X × Y ) ≥ cln (X) + cln (Y ) (4) Chứng minh Từ X Y có kiểu đồng luân CW − phức hữu hạn nên ta có đẳng cấu H ∗ ((X × Y )n ) ∼ = H ∗ (X n ) ⊗ H ∗ (Y n ) (xem [6]) Ta đồng phần tử tương ứng Giả sử cln (X) = p cln (Y ) = q Gọi u1 , , up ∈ H ∗ (X n ) v1 , , vq ∈ H ∗ (Y n ) lớp đối đồng điều thỏa mãn Định nghĩa Khi đó, lớp đối đồng điều u1 ⊗ 1, , uk ⊗ ⊗ v1 , , ⊗ vq lớp đối đồng điều H ∗ (X n ) ⊗ H ∗ (Y n ) thỏa mãn điều kiện Định nghĩa Mặt khác ta có u1 ⊗ uk ⊗ 1.1 ⊗ v1 ⊗ vq = εu1 uk ⊗ v1 vq Do lớp đối đồng điều thỏa mãn điều kiện Định nghĩa Từ ta có cln (X × Y ) ≥ p + q = cln (X) + cln (Y ) Tiếp theo ta đưa chặn khơng gian tích Bổ đề Cho (E, p, B, F ) không gian phân thớ tồn hai phủ mở γ = {C1 , , Cs } δ = {D1 , , Dt } thỏa mãn tập Ci ∩ Dj với (i = 1, , s, j = 1, , t) tồn nhát cắt p g(p) ≤ s + t − Ở g(p) giống Shwarz phân thớ (xem [7]) Bổ đề chứng minh chi tiết [7] Sử dụng bổ đề ta dễ dàng nhận Mệnh đề Mệnh đề [7] Cho hai không gian phân thớ (E1 , p1 , B1 , F1 ) (E2 , p2 , B2 , F2 , ) Gọi không gian phân thớ tích (E1 × E2 , p1 × p2 , B1 × B2 , F1 × F2 ) Khi g(p1 × p2 ) ≤ g(p1 ) + g(p2 ) − (5) Chứng minh Giả sử g(p1 ) = s g(p2 ) = t Khi tồn phủ mở α = {U1 , , Us } B1 β = {V1 , , Vt } B2 cho Ui tồn nhát cắt p1 , Vj tồn nhát cắt p2 Đặt Ci = Ui × B2 , i = 1, , s Dj = B1 × Vj , j = 1, , t hai phủ mở B1 × B2 Trên tập có dạng Ci ∩ Dj tồn nhát cắt p1 × p2 Áp dụng bổ đề ta (5) http://jst.tnu.edu.vn 365 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 363 - 366 Áp dụng mệnh đề cho độ phức tạp tôpô bậc cao ta có Mệnh đề Cho X Y hai khơng gian liên thơng đường Khi : T Cn (X × Y ) ≤ T Cn (X) + T Cn (Y ) − (6) Từ Mệnh đề Mệnh đề ta có Hệ Cho X Y khơng gian tơpơ có độ phức tạp tơpơ lớn Khi T Cn (X × Y ) = T Cn (X) + T Cn (Y ) − Đặc biệt T Cn (X m ) = mT Cn (X) − m + Kết luận Trong báo này, phương pháp sử dụng tính chất chặn chặn độ phức tạp tơpơ bậc cao tích khơng gian tơpơ, đưa chặn chặn độ phức tạp tơpơ bậc cao tích khơng gian tôpô thông qua không gian thành phần Trong trường hợp khơng gian thành phần có độ phức tạp tơpơ bậc cao lớn chúng tơi kết tính tốn cụ thể khơng gian tích thơng qua khơng gian thành phần Tài liệu tham khảo [1] Yuli B Rudyak, "On higher analogs of topological complexity," Topology and its Applications, vol 157, p.p 916-920, 2010 [2] M.Farber, "Topology of robot motion planning," Topology and its Application, vol 140, pp 245 - 266, 2004 [3] I Basabe, J González, Y.B Rudyak, and D Tamaki, "Higher topological complexity and its symmetrization,"Algebraic and Geometric Topology vol 14, pp.2103–2124, 2014 [4] Tran Hue Minh, Nguyen Van Ninh, " The higher topological complexity of wegde product of spheres", TNU Journal of Science and Technology, Vol 204, No 11, pp195-197, 2019 [5] Tran Hue Minh, Nguyen Van Ninh, " The higher topological complexity of a complement of complex lines arangement", TNU Journal of Science and Technology, Vol 225, No 06, pp255-257, 2020 [6].Allen Hatcher., Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002 [7] A.S.Schwarz, The genus of fiber space, Amer Math Sci, Transl 55(1966) 49 - 140 http://jst.tnu.edu.vn 366 Email: jst@tnu.edu.vn ... cao tích khơng gian tơpơ, đưa chặn chặn độ phức tạp tơpơ bậc cao tích khơng gian tôpô thông qua không gian thành phần Trong trường hợp khơng gian thành phần có độ phức tạp tơpơ bậc cao lớn chúng... tính tốn độ phức tạp tơpơ trường hợp tổng qt phức tạp Do đó, thơng thường ta đưa chặn chặn cho bất biến Trong [3], [4], [5] tác giả đưa số kết độ phức tạp tôpô bậc cao cho số không gian cụ thể... 366 Độ phức tạp tôpô bậc cao Cho không gian tôpô liên thông đường X, đặt Jn , n ∈ N tích kết n đoạn đơn vị [0, 1]i , i = 1, , n điểm sở Gọi X Jn không gian ánh xạ liên tục từ Jn vào X với tôpô