Trong bài viết này, bằng việc xây dựng trực tiếp các nhát cắt trên các tập ENR, bài viết tính toán độ phức tạp tô pô bậc cao của tích kết các mặt cầu.
ISSN: 1859-2171 e-ISSN: 2615-9562 TNU Journal of Science and Technology 204(11): 195 - 197 ĐỘ PHỨC TẠP TÔPÔ BẬC CAO CỦA TÍCH KẾT CÁC MẶT CẦU Trần Huệ Minh*, Nguyễn Văn Ninh Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Năm 2010, Rudyak đưa khái niệm độ phức tạp topô bậc cao không gian tô pô liên thông thường Đây bất biến đồng luân, đo tồn kế hoạch chuyển động bậc cao có nhiều quan hệ với bất biến khác Việc tính tốn độ phức tạp topô bậc cao trường hợp tổng quát khó Trong báo này, việc xây dựng trực tiếp nhát cắt tập ENR, chúng tơi tính tốn độ phức tạp tơ pơ bậc cao tích kết mặt cầu Từ khóa: kế hoạch chuyển động, độ phức tạp tô pô, nhát cắt, bất biến đồng luân, tích kết Ngày nhận bài: 01/8/2019; Ngày hoàn thiện: 22/8/2019; Ngày đăng: 26/8/2019 THE HIGHER TOPOLOGICAL COMPLEXITY OF WEGDE PRODUCT OF SPHERES Tran Hue Minh*, Nguyen Van Ninh University of Education – TNU ABSTRACT In 2010, Rudyak introduced the concept of higher topological complexity of a topological space This is a homotopy invariant, which measures the existence of higher motion plans and has many relations with other invariants It is difficult to calculate higher topological complexity in the general case In this paper, by directly constructing sections on ENRs, we compute directly the higher topological complexity of wegde product of spheres Keyword: Motion planning, topological complexity, homotopy invariant, wegde product Received: 01/8/2019; Revised: 22/8/2019; Published: 26/8/2019 * Corresponding author Email: tranhueminh@gmail.com http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 195 ✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ▼ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ✤ë ♣❤ù❝ t↕♣ tæ♣æ✱ ♥➠♠ ✷✵✶✵✱ ❨❇ ✳❘✉❞②❛❦ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ✤ë ♣❤ù❝ t↕♣ tỉ♣ỉ ❜➟❝ ❝❛♦ ❝❤♦ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ♣ỉ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ ✤÷í♥❣ ữ s ợ ộ số n 2✱ ✤➦t Jn = [0; 1] ∨ [0; 1] ∨ ∨ [0; 1] ❧➔ ❦➳t ❝õ❛ n ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ỡ t ỵ X J t➟♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ γ : Jn → X ✳ ❑❤✐ ✤â X J ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ✈ỵ✐ tỉ♣ỉ ❝♦♠♣❛❝t ♠ð✳ ❳➨t →♥❤ ①↕ n n Jn eX n :X → Xn γ → (γ(11 ), γ(12 ), , γ(1n )) ❧➔ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤♦↕♥ [0; 1] t❤ù i tr♦♥❣ Jn✳ ❑❤✐ ✤â✱ en ❧➔ ♣❤➙♥ tợ t r tợ F ỗ ợ (ΩX)n−1✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳ ✣ë ♣❤ù❝ t↕♣ tæ♣æ ❝õ❛ X ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❜➨ ♥❤➜t T Cn(X) = k t❤♦↔ ♠➣♥ X n ❝â t❤➸ ♣❤õ ❜ð✐ k t➟♣ U1, , Uk s tr ộ Ui tỗ t↕✐ ♠ët ♥❤→t ❝➢t ❧✐➯♥ tö❝ si : Ui → P X tù❝ ❧➔ eXn si = idU ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, , k ✳ 1i i ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ ❝â T Cn(X) = ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ X ❝♦ rót ✤÷đ❝ ✭①❡♠ ❬✷❪✮✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tê♥❣ q✉→t ✈✐➺❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❜➜t ❜✐➳♥ ♥➔② ❦❤→ ♣❤ù❝ t↕♣✳ ✣➸ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ♥➔②✱ ♥❣÷í✐ t❛ t❤÷ì♥❣ ♣❤↔✐ ữ r tr ữợ s t ữợ T Cn(X) ✤➲ ✶✳ ❈❤♦ X ❧➔n ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ ✤÷í♥❣ ✈➔ dn : X → X ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤÷í♥❣ tữỡ ự tỗ t ợ ố ỗ ✤✐➲✉ u1 , , um ∈ H ∗ (X n , Z) t❤ä❛ ♠➣♥✿ ✐✳ d∗n ui = ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, , m✱ ✐✐✳ ▲ỵ♣ u1 um ∈ H ∗ (X n , Z) ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✳ ❑❤✐ õ T Cn (X) m + ú ỵ r X ổ tổổ õ ỗ ❧✉➙♥ ❝õ❛ ♠ët CW − ♣❤ù❝ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ t❤➻ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ H ∗ (X n , Z) ∼ = H ∗ (X, Z)⊗ ⊗H ∗ (X, Z) (n ❧➛♥ ) ▼➺♥❤ ✤➲ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤♦ t❛ ♠ët ❝❤➦♥ tr➯♥ ❝õ❛ ✤ë ♣❤ù❝ t➟♣ tæ♣æ ❜➟❝ ❝❛♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳ ❈❤♦ X ❧➔ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ❝â ❦✐➸✉ ỗ ởt r õ X n = X1 ∪ ∪ Xk ✱ ♠é✐ Xi ❧➔ EN R tr ộ Xi tỗ t si : Xi → X J s❛♦ ❝❤♦ eX n ◦ si = idX t❤➻ T Cn (X) ≤ k ✳ ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ♠ð rë♥❣ ♠é✐ t➟♣ Xi ♥❤÷ tr➯♥ t❤➔♥❤ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð tr♦♥❣ X n ♠➔ tr➯♥ õ tỗ t t t tử eXn ❱ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ EN R Xi ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ Xi ⊂ X n ⊂ RN ✳ ✣➦t r : V Xi rút õ tỗ t↕✐ t➟♣ ♠ð U ❝õ❛ V ✈ỵ✐ X ⊂ U ⊂ rV t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ U ⊂ V U V Xi V ỗ õ tỗ t ởt ỗ H : U × I → V, H(u, 0) = u, H(u, 1) ⊂ Xi ✳ ❳➨t ♥❤→t ❝➢t s : Xi → X J ✈➔ ✤➦t g : U → X J , g(u) = sH(u, 1)✳ ❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠ð rở ỗ ỹ ởt ỗ G : U ì I E ợ pG = H ✈➔ G(u, 1) = g(u)✳ ❑❤✐ ✤â σ : U → E, σ(u) = G(u, 0) ❧➔ ♥❤→t ❝➢t ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ U ✳ ❚❤ü❝ ❝❤➜t ✈➲ s❛✉ ❦❤✐ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ♥❤→t ❝➢t t❛ t❤÷í♥❣ ①➙② ❞ü♥❣ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ EN R✳ n i n n ✷ ✣ë ♣❤ù❝ t↕♣ tæ♣æ ❜➟❝ ❝❛♦ ❝õ❛ t➼❝❤ ❦➳t ❝→❝ ♠➦t ❝➛✉ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② ❜➡♥❣ ✈✐➺❝ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶ ✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t➼♥❤ t♦→♥ trü❝ t✐➳♣ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ✤ë ♣❤ù❝ t↕♣ tổổ t ỵ ●✐↔ sû X ❧➔ t➼❝❤ ❦➳t ❝õ❛ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♠➦t ❝➛✉ ❜➜t ❦➻✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ X = Sk ∨· · ·∨Sk ✱ ki ≥ 1, m > 1✳ ❑❤✐ ✤â T Cn (X) = n + 1✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ t q số ố ỗ ❝õ❛ X ✱ t❛ ❝â H ∗(X) ❝â m ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ui ∈ H k (X), i = 1, , m t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ uiuj = 0, ✈ỵ✐ ♠å✐ i, j ✳ ❚ø m > 1✱ t❛ ❝❤å♥ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ui, uj ✱ i = j ✳ ✣➦t ∨ u ¯it = 1⊗1⊗ ⊗1⊗ ui ⊗ ⊗1−ui ⊗1⊗ ⊗1⊗1✱ ✈ỵ✐ t = 2, , n✱ m i t u ¯j = ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ uj − uj ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ u ¯it , u ¯j ✤➲✉ t❤✉ë❝ ∗ ∗ H (X, Z) ⊗ ⊗ H (X, Z)✳ ▼➦t ❦❤→❝ t❛ ❝â ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ♣❤➛♥ tû n u ¯it = ±uj ⊗ui ⊗ ⊗ui ±ui ⊗ ui ⊗uj = u ¯j t=2 ❍ì♥ ♥ú❛✱ d∗nu¯it = d∗nu¯j = 0✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ❳➨t →♥❤ ①↕ ✤➲ ✶ t❛ ❝â T Cn(X) n + ự ỵ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ Φ : X n −→ X J ♠✐♥❤ T Cn(X) ≤ n + 1✳ ●å✐ P ❧➔ ✤✐➸♠ ❝ì sð ❝õ❛ t➼❝❤ ❦➳t X = Sk ∨ · · · ∨ Sk ✱ Pi ∈ Sk ❧➔ ❜✐➳♥ ♠é✐ ❜ë✐ (A1, A2, , An) ∈ X n t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤✐➸♠ ①✉②➯♥ t➙♠ ✤è✐ ❝õ❛ P tr♦♥❣ Sk t÷ì♥❣ ([A1, A1], [A1, A2], , [A1, An]) ∈ X J ❚❛ ❝â ù♥❣✳ ❈è ✤à♥❤ ✤÷í♥❣ ✤✐ γi tø P tỵ✐ Pi ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ Φ|D : Dk −→ X J ❧➔ ♥❤→t ❝➢t ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ γi−1 ❧➔ ✤÷í♥❣ ✤✐ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✳ eX n ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ Dk ✱ k = 0, , n ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❊◆❘ k ❚❛ ♣❤➙♥ t➼❝❤ S = Ui ∪ Vi✱ ✈ỵ✐ Ui, Vi ✈➔ ♣❤õ X n✳ ❉♦ ✤â t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷ T Cn(X) ≤ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ EN R ✈➔ Ui ∩ Vi = ∅✱ P ∈ Ui✱ n + 1✳ ❱➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ Pi ∈ Vi ✳ ❑❤✐ ✤â X × X ❧➔ ❤đ♣ rí✐ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ Ui × Uj , Ui × Vj , Vi × Uj , Vi × Vj ✱ ≤ i, j ≤ m✳ ❑➳t ❧✉➟♥✿ ✣ë ♣❤ù❝ t↕♣ tỉ♣ỉ ❜➟❝ ❝❛♦ ❝õ❛ ❱ỵ✐ (A, B) X ì X t ỹ ữớ ởt ổ tổổ ởt t ỗ ❧✉➙♥✳ ❤✐➺✉ [A, B] tø A ✤➳♥ B ♥❤÷ s❛✉ ❚❤❡♦ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❬✷❪ t❤➻ T Cn(X) = ❦❤✐ ✈➔ ✰ ◆➳✉ (A, B) ∈ Ui × Uj t❤➻ [A, B] = [A, P ] ∗ ❝❤➾ ❦❤✐ X ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦ rót ✤÷đ❝✳ ❚r♦♥❣ [P, B]✱ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤÷í♥❣ ✤✐ tø A ✤➳♥ B q✉❛ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ✈✐➺❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❜➜t ❜✐➳♥ P✳ ♥➔② ❧➔ ❦❤â✳ ❚r♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t➼♥❤ trü❝ t✐➳♣ ✤ë ♣❤ù❝ t↕♣ tæ♣æ ❜➟❝ ❝❛♦ ❝õ❛ ✰ ◆➳✉ (A, B) ∈ Ui × Vj t❤➻ [A, B] = [A, P ] ∗ t♦→♥ t➼❝❤ ❦➳t ❝→❝ ♠➦t ❝➛✉✳ t ữợ ữủ j [Pj , B] ữớ tứ A tợ B q P ữợ ú tổ sỷ ố ỗ Pj ữợ ữủ tr ú tổ ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ trü❝ ✰ ◆➳✉−1(A, B) ∈ Vi × Uj t❤➻ [A, B] = [A, Pi] ∗ t✐➳♣ ♥❤→t ❝➢t tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ❊◆❘✳ γi ∗ [P, B]✿ ❧➔ ữớ tứ A tợ B q Pi P ✰ ◆➳✉−1(A, B) ∈ Vi × Vj t❤➻ [A, B] = [A, Pi] ∗ ❚➔✐ ❧✐➺✉ γi ∗ γj ∗ [Pj , B] ữớ tứ A tợ B ❬✶❪ ❨✉❧✐ ❇✳ ❘✉❞②❛❦✱ ✧❖♥ ❤✐❣❤❡r ❛♥❛❧♦❣s ♦❢ q✉❛ Pi✱ P ✈➔ Pj ✳ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t②✧✱ ❚♦♣♦❧♦❣② ❛♥❞ ✐ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✶✺✼✱ ✾✶✻✲✾✷✵✱ ✷✵✶✵✳ Ð ✤➙②✱ [A, P ]✱ [A, Pi]✱ [P, B]✱ [Pj , B] ❧➔ ✤÷í♥❣ tr➢❝ ✤à❛ tø A t♦ P ✱ Pi ✈➔ tø P ✈➔ Pj tỵ✐ B ❬✷❪ ❚r➛♥ ❍✉➺ ▼✐♥❤✱ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ◆✐♥❤ ✱ ỹ tữỡ ự tỗ t ❝❛♦✧✱ ✣➦t U = ∪Ui✱ V = ∪Vi✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❚↕♣ ❝❤➼ ❑❍&❈◆ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝♦♥ K ⊂ {1, 2, , n} t❛ ①➨t ❚➟♣ ✶✼✷✱ sè ✶✷✱ ♣♣✺✺✲✺✽✱ ✷✵✶✼ ✳ XK = {(A1 , , An )|Ai ∈ V ✐❢ ♦♥❧② ✐❢ i ∈ K}, ❛♥❞ ❬✸❪ ❊✳❍❛t❝❤❡r✱ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ❚♦♣♦❧♦❣②✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ Xk = XK ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✷✵✵✷✳ |K|=k n m i i n n k i