Mục đích của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của hàm vector C liên tục trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff và đưa ra một số điều kiện cần cho hàm vector C-lồi f, liên tục trên phần trong của miền xác định D của nó.
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ TUYẾN TÍNH LỒI ĐỊA PHƯƠNG HAUSDORFF Trần Văn Sự Tóm tắt: Mục đích báo nghiên cứu số tính chất hàm vector Cliên tục khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff đưa số điều kiện cần cho hàm vector C-lồi f, liên tục phần miền xác định D Cho X, Y khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X tập khác rỗng X, C ⊆ Y nón Y, C = { tc | c∈C, t ≥ 0} Cho hàm vector f : D → Y Chúng ta nhắc lại số định nghĩa cần thiết sau: i Hàm vector f gọi C-u.s.c x0 ∈ D với W lân cận gốc Y, tồn U lân cận x0 D cho f (U ) ⊆ f ( x0 ) + W − C ii Hàm vector f gọi C-l.s.c x0 ∈ D với W lân cận gốc Y, tồn U lân cận điểm x0 D cho f (U ) ⊆ f ( x0 ) + W+C iii Hàm vector f gọi C-u.s.c (t.ư C-l.s.c) f C-u.s.c (t.ư C-l.s.c) điểm x0 ∈ D iv Hàm vector f gọi C-lồi với x, y ∈ D, t ∈ [0,1] f (tx + (1 − t ) y) ∈ tf ( x) + (1 − t ) f ( y) − C Trên đồ thị f ký hiệu epif định nghĩa sau epif ={(x, y) ∈ D × Y : f ( x)∈ y − C} Tập mức f kí hiệu Levαf với α ∈ Y , định nghĩa sau Levα f ={x∈ D | f(x)∈ α - C} ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam TRẦN VĂN SỰ Các quan hệ nón : ∀ x, y ∈ X , x f y ⇔ x − y ∈C Nếu thêm intC khơng rỗng ∀ x, y ∈ X , x ff y ⇔ x − y ∈ int C Cho B ⊆ Y Ta nói B sở nón C điều kiện sau thoả mãn: i) C = cone( B) := {tb: b ∈ B, t ≥ 0} , ii) B không chứa điểm gốc O, iii) Với c ∈ C , c ≠ 0, tồn b ∈ B, t > 0, cho c = tb Tập B gọi sở nón C Các kết sử dụng để chứng minh kết báo giới thiệu Đinh Thế Lục [1] Bổ đề [1] Cho B Khi ⊆ Y tập Y, C ⊆ Y nón Y, vectơ y ∈ B y ∈ IMin( B | C ) ⇔ B ⊆ y + C Bổ đề [1] Nếu nón C có sở lồi đóng giới nội Y C nón đóng nhọn Bổ đề [1] Giả sử nón C có sở lồi đóng giới nội Y với W lân cận gốc Y, tồn V lân cận gốc cho (V − C ) ∩ (V + C ) ⊆ W Bổ đề [1] Giả sử C nón lồi Y, C + C ⊆ C , tC ⊆ C (∀ t ≥ 0), − C − int C ⊆ − int C ⊆ −C Sau giới thiệu số kết để khảo sát tính liên tục hàm vector C-lồi số tính chất hàm vector C-u.s.c C-l.s.c Các kết báo thể qua định lí sau: Định lí Cho C ⊆ R m nón lồi có sở lồi đóng giới nội, int C ≠ φ , D tập lồi chứa không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X với int D ≠ φ , hàm vector f : D → R m C-lồi với không gian R m thứ tự nón C Khi điều kiện sau tương đương: i f (-C)-bị chặn lân cận điểm x0 thuộc intD ii f liên tục điểm x0 thuộc intD iii Trên đồ thị f có phần khác rỗng, nghĩa int(epi f ) ≠ φ iv f liên tục phần D 102 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN … Chứng minh: i ⇒ ii : Giả sử có i, lấy x0 ∈ int D, gọi U lân cận điểm x0 chứa D Theo định nghĩa C-bị chặn, với W lân cận gốc không gian R m tồn số thực t>0 cho f (U ) ⊆ tW − C (1) Không làm tính tổng qt tốn, xem x0 = 0, f (0) = 0, vì, x0 ≠ thay U U − x0 , f (0) ≠ thay f(x) f ( x + x0 ) − f ( x0 ) Vì nón C có sở lồi đóng giới nội nên tồn lân cận cân đối V gốc cho: (V + C ) ∩ (V − C ) ⊆ W (2) ⎧ε ≤t Tiếp theo chọn ε > tuỳ ý cho ⎨ ⎩ ± εW ⊆ V ⎛ε ⎜ ⎝t ⎞ ⎛ ε ⎟U ∩ ⎜ − ⎠ ⎝ t ⎞ ⎟ U lân cận cân đối gốc ta gọi U ε Chúng ta ⎠ ⎛ t⎞ nhận thấy x ∈U ε ⎜ ± ⎟ x ∈ U Như với x ∈U ε ta có: ⎝ ε⎠ Ta có ε t ε ⎧ ⎪ f ( x) p t f ( ε x) + (1 − t ) f (0) ⎪ ⎪ ε ⎨ t ⎪ f (0) p f ( x) + t f (− x) ε ε ⎪ ε 1+ 1+ ⎪⎩ t t (3) Để kiểm tra kết (3) dễ dàng thấy rằng: ε x= ε t ε t ( x) + (1 − )0 ∈ D, = x + t ( − x ) ∈ D, ε ε ε t ε t 1+ 1+ t t vận dụng giả thiết f hàm vector C-lồi Hệ quả, từ (3) suy f ( x) ∈ f ( x) ∈ C − ε ⎛ ε f (U ) + ⎜ − t ⎝ t ⎞ ⎟0 −C ⎠ ε ⎛ ε⎞ f (U ) + ⎜1 + ⎟ f (0) t ⎝ t⎠ 103 TRẦN VĂN SỰ Điều kết hợp với (1) ta ε ⎛ε ⎞ ⎛ ⎞ f ( x ) ∈ ⎜ ( tW − C ) − C ⎟ ∩ ⎜ C − ( tW − C ) ⎟ t ⎝t ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ε ⎞ ⎞ ⎛ε ⎞ ⊆ ⎜ε W − ⎜ ⎟C − C ⎟ ∩ ⎜ ⎜ ⎟C + C − ε W ⎟ ⎝t⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝t⎠ ⎠ ⊆ (ε W − C − C ) ∩ ( C + C − ε W ) ⊆ (ε W − ( C + C ) ) ∩ ( ( C + C ) − ε W ) ⊆ ( ε W − C ) ∩ ( C + ( −ε W ) ) ⊆ (V − C ) ∩ (C + V ) ⎛ε ⎞ (vì ⎜ ⎟ C = C , C + C ⊆ C ) ⎝t⎠ ( − ε W ⊆ V ) = (V + C ) ∩ (V − C ) Hệ quả: Với x ∈U ε ta có f ( x)∈ (V − C ) ∩ (V + C ) (4) Kết hợp (4) với (2) thu kết sau: f (U ε ) ⊆ W Hay, hàm vectơ f liên tục điểm x0 = ii ⇒ iii : Lấy x0 ∈ int D giả sử f liên tục x0 Ta có f C-u.s.c x0 Áp dụng định nghĩa C-u.s.c gọi W lân cận lồi tuỳ ý gốc không gian R m cho: f (U ) ⊆ ( f ( x0 ) + W ) − C (5) Với U lân cận x0 D Chọn t > cho dụng tính chất lồi W suy tW + W ⊆ (1 + t ) W Áp dụng (5) ta có: f ( x0 ) ∈ W Áp t f (U ) ⊆ (tW + W ) − C ⊆ (1 + t )W − C Vậy f (-C)-bị chặn lân cận U điểm x0 ∈ int D iii ⇒ iv : Giả sử int(epif ) ≠ φ Xét cặp ( x, α )∈ int(epi f ) , tồn cặp (U, V) lân cận ( x, α ) cho (U , V ) ⊆ epi f suy (U , α ) ⊆ epi f hay f (U ) ⊆ α − C Bây chọn số thực t>0 cho với W lân cận gốc khơng gian R m ta có 104 α t ∈ W nghĩa α ∈ tW TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN … Vậy f (U ) ⊆ tW − C Ta kết luận f (-C)-bị chặn lân cận U x với x ∈int D Tiếp theo chứng minh khẳng định sau: int D = { x ∈ D | ∃ α ∈ R m , ( x, α ) ∈ int (epi f )} (6) Với x ∈ int D, c ∈int C , đặt y = f(x) + c ta có ( x, y ) ∈ int(epi f ) Từ có bao hàm thức f ( x) = y − c ∈ y − int C hay int D ⊆ { x ∈ D | ∃ α ∈ R m , ( x, α ) ∈ int (epi f )} Ngược lại giả sử x thuộc vào vế phải (6), có cặp ( x, α ) ∈ int (epi f ), α ∈ R m Vì int(epi f) tập mở khơng gian tích nên tồn U lân cận mở x D cho (U , α ) ⊆ int(epi f ) U ⊆ int D suy x ∈int D Vậy có bao hàm thức { x ∈ D | ∃ α ∈ R m , ( x, α ) ∈ int (epi f )} ⊆ int D Vậy khẳng định (6) Bây dựa vào chứng minh dễ dàng nhận thấy x ∈ int D f (-C)-bị chặn lân cận U x intD theo i ⇒ ii ta khẳng định f liên tục x Vậy f liên tục intD iv ⇒ ii : Khẳng định hiển nhiên i ⇒ iii : Giả sử f (-C)-bị chặn lân cận mở U điểm x0 ∈ int( D) D Theo định nghĩa với W lân cận gốc không gian R m tồn số thực t>0 cho: f (U ) ⊆ tW − C Chọn vector α ∈tW cho f (U ) ⊆ α − C Đặt V = { ( x, α ) ∈ D × R m : x ∈ U , α ff α } Ta chứng minh V ≠ φ : Vì int C ≠ φ nên tồn vector t ∈int C z ff α , suy ( x0 , z ) ∈ V hay V ≠ φ Chứng minh V mở: Do U mở intC mở nên V mở Chứng minh V ⊆ epi f : Với cặp ( x, z )∈V ta có x ∈ U , f ( x) ∈ α − C Suy ra: f ( x) − z = f ( x) − α + α − z ∈ − C − int C = − int C Do intC nón lồi Do ( x, z )∈epi f , hay V ⊆ int(epi f ) ⇒ int(epi f ) ≠ φ (Định lí chứng minh) 105 TRẦN VĂN SỰ Nhận xét: Kết sở cấu trúc hàm vector C-lồi, tiếp tục nghiên cứu cấu trúc hàm vector C-lồi trường hợp khơng gian nguồn khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Chúng ta có Định lí sau: Định lí Cho D tập lồi khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, C ⊆ Y nón lồi có sở lồi đóng giới nội Y, hàm vector f :D → Y với Y thứ tự C C-lồi Kí hiệu: S = {x ∈ D | ∃α ∈Y, (x,α )∈int(epif) } Giả sử S ≠ φ Khi f liên tục S Chứng minh: Trước tiên chứng minh f -C-bị chặn lân cận U điểm x0 ∈S D Theo giả thiết S ≠ φ Với x0 ∈ S tồn α0∈ Y cho: (x0, α0) ∈ int(epif) Gọi U lân cận x0 D V lân cận α0 Y cho: (U , V ) ⊆ epif Suy (U , α ) ⊆ epif (1) Gọi W lân cận tuỳ ý gốc Y, tồn t0 >0 cho: α ∈ t0 W (2) Từ (1) suy f (U ) ⊆ α − C kết hợp với (2) ta có f (U ) ⊆ t0 W − C Tiếp theo để không tính tổng qt tốn giả sử x0=0 f(0)=0, x0 ≠ thay U U - x0, f(0) ≠ thay f(x) f(x+x0) - f(x0) Vì C có sở lồi đóng giới nội Y nên theo Bổ đề tồn lân cận cân đối V gốc cho: (V − C ) ∩ (V + C ) ⊆ W Chọn ε > tuỳ ý cho ε ≤ t0 , ε W ⊆ V ⎛ε ⎝ t0 Đặt U ' = ⎜ ⎞ ⎛ −ε ⎞ ⎟U ∩ ⎜ ⎟U U’ lân cận gốc D Với t ⎠ ⎝ ⎠ x ∈U ' có phân tích sau: 106 (3) TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN … ε x= ε t0 ε ( x) + (1 − )0, t0 ε t0 ε Vì U ⊆ D , t0 ∈ [ 0, 1] , ε t0 giả thiết, x ∈ D 0= 1+ ε t0 x+ 1+ t0 ε (− t0 ε x) t0 x, ∈U D tập lồi không gian X theo ε Tiếp theo ta có ∈ D 1+ không gian X − t0 ε ε t0 + t0 1+ ε = 1, D tập lồi t0 x ∈ U ⊆ D, ∈ U ⊆ D Như chứng minh x, ∈ D Áp dụng tính chất C-lồi hàm vector f ta có: f ( x) ∈ ε t0 ε ε t f ( x) + (1 − ) f (0) − C ⊆ f (U ) − C t0 t0 ε ⊆ ε W − C ⊆V − C , (4) ε = f (0) ⊆ 1+ ε t0 t0 f ( x) + 1+ ε f (− t0 ε x) − C t0 ε ⊆ 1+ ⊆ 1+ Suy ε t0 ε f ( x) + t0 1+ ε f (U ) − C t0 ( f ( x) + ε W − C ) t0 f ( x) ∈ −ε W+C ⊆ −V + C = V + C (5) Bởi V cân đối ⇔ V = −V Từ (3), (4) (5) suy f (U ') ⊆ W với U’ lân cận gốc D Vậy f liên tục x0=0 Định lí chứng minh xong 107 TRẦN VĂN SỰ Định lí Cho X, Y khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D tập lồi có phần khác rỗng chứa X, nón lồi đóng C có sở lồi đóng giới nội Y C có phần khác rỗng, hàm vector f : D → Y với Y thứ tự C C-lồi Ta có khẳng định sau Nếu f C-u.s.c intD f liên tục intD Chứng minh: Trước hết chứng minh: intD = S với S := { x ∈ D | ∃ α ∈Y , ( x, α ) ∈ int(epi f )} Đầu tiên S ⊆ int D Thật vậy, lấy x∈ S tuỳ ý, tồn α ∈ Y cho: ( x,α )∈int(epif ) Vì int ( epif ) tập mở khơng gian tích X × Y , nên tồn U lân cận mở x D cho (U ,α ) ⊆ int ( epif ) Hiển nhiên, với ( x ', α ) ∈ int(epi f ) Do U ⊆S Từ U = int U ⊆ int S ⊆ int D (theo định nghĩa S) x ∈ int D x' ∈ U suy Vậy S ⊆ int D Tiếp theo kiểm tra S ⊇ int D Lấy x0 ∈ int D tuỳ ý Ta có f C-u.s.c x0 nên với W lân cận gốc Y tồn U lân cận mở x0 D cho: f (U ) ⊆ ( f ( x0 ) + W) − C Do C đóng W lân cận tuỳ ý gốc Y nên f (U ) ⊆ f ( x0 ) − C Vì int(C) ≠ φ nên tồn vector e ∈ int(C), đặt z = e + f(x0) z ∈ f(x0) + int(C) Hiển nhiên U khác rỗng Tiếp theo đặt: V = {( x, z ) ∈ D × Y | x ∈U , z ff f ( x0 )} Ở a ff b ⇔ a ∈ b + int C Ta có ( x0 , z ) ∈V nên suy Cuối chứng minh V mở, V ≠φ V ⊆ epi f V mở X ×Y U int(C) tập mở tương ứng D Y Với 108 ( x , z ) ∈V ta có x ∈U , z ∈ f ( x0 ) + int(C ) Do TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN … f ( x) = z + f ( x) − z ∈ z + f (U ) − z ⊆ z + ( f ( x0 ) − z ) − C ⊆ z − int C − C ⊆ z − int C ⊆ z − C Theo định nghĩa đồ thị hàm vector f suy ( x , z ) ∈ epif Vậy V mở bị chứa int(epif) nên (x0, z) ∈ int(epif) Suy x0 ∈ S intD=S Áp dụng định lí ta có f liên tục S f liên tục intD Điều phải chứng minh Vận dụng tính C-u.s.c, C-l.s.c hàm vector f, số tập sau mở D Kí hiệu: B− ={x ∈ D:f(x) ∈ -intC}, B+ = {x ∈ D:f(x) ∈ intC} D ⊆ Định lí Cho X, Y khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, X tập nằm X, C ⊆ Y nón lồi Y có phần khác rỗng hàm vector f : D → Y Khi đó: i Nếu f C-u.s.c D B- tập mở D ii Nếu f C-l.s.c D B+ tập mở D Chứng minh: i Nếu B-= φ kết hiển nhiên đúng, ngược lại lấy điểm x0 ∈ B− tuỳ ý Ta có f ( x0 ) ∈ − int(C ) Theo định nghĩa tính C-u.s.c f suy tồn lân cận U x0 D cho: f (U ) ⊆ − int(C ) − C Áp dụng Bổ đề ta có f (U ) ⊆ − int(C ) Vậy U ⊆ B− B- tập mở D φ kết hiển nhiên đúng, ngược lại lấy điểm x0 ∈ B+ tuỳ ý Ta có f ( x0 ) ∈ int(C ) ii Nếu B+ = Theo định nghĩa tính C-l.s.c f suy tồn lân cận U x0 D cho: f (U ) ⊆ int(C ) + C Áp dụng Bổ đề ta có f (U ) ⊆ int(C ) Vậy U ⊆ B+ B+ tập mở D Định lí chứng minh xong 109 TRẦN VĂN SỰ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lục,D.T., Theory of Vector Optimization, Lectures Notes in Economics and Mathemathtical Systems, Spring Verlag, Berlin, Germany, Vol 319, 1989 [2] Rockafellar, R T., Convex Analysis, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersay [3] Sawaragi, Y., H Nakayama and T Tanino, Theory of Multiobjective Optimization, Academic Press INC., New York and London Title: ON THE C-CONTINUITY OF C-CONVEX VECTOR FUNCTION ON INFINITE DIMENSIONAL SPACE TRAN VAN SU Quang Nam University Abstract: The purpose of this article is to prove some new results about Ccontinuity of C-convex vector function on Hausdorff locally convex linear topology space and to find sufficient conditions for the C-continuity of vector convex functions 110 ... sở c u tr c hàm vector C- lồi, tiếp t c nghiên c u c u tr c hàm vector C- lồi trường hợp không gian nguồn khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Chúng ta c Định lí sau: Định lí Cho... số tính chất hàm vector C- u.s .c C-l.s .c C c kết báo thể qua định lí sau: Định lí Cho C ⊆ R m nón lồi c sở lồi đóng giới nội, int C ≠ φ , D tập lồi chứa khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương. .. lân c n g c cho (V − C ) ∩ (V + C ) ⊆ W Bổ đề [1] Giả sử C nón lồi Y, C + C ⊆ C , tC ⊆ C (∀ t ≥ 0), − C − int C ⊆ − int C ⊆ C Sau giới thiệu số kết để khảo sát tính liên t c hàm vector C- lồi